We show that the fractal curvature measures of invariant sets of one-dimensional conformal iterated function systems satisfying the open set condition exist, if and only if the associated geometric potential function is nonlattice. Moreover, in the nonlattice situation we obtain that the Minkowski content exists and prove that the fractal curvature measures are constant multiples of the $δ$-conformal measure, where $δ$ denotes the Minkowski dimension of the invariant set. For the first fractal curvature measure, this constant factor coincides with the Minkowski content of the invariant set. In the lattice situation we give sufficient conditions for the Minkowski content of the invariant set to exist, contrasting the fact that the Minkowski content of a self-similar lattice fractal never exists. However, every self-similar set satisfying the open set condition exhibits a Minkowski measurable $\mathcal{C}^{1+α}$ diffeomorphic image. Both in the lattice and nonlattice situation average versions of the fractal curvature measures are shown to always exist.
On the Minkowski Measurability of Self-Similar Fractals in R^d
M. Lapidus和C. Pomerance（1990-1993）和K. J. Falconer（1995）证明了$\mathbb{R}$中的自相似分形是Minkowski可测的当且仅当它是非格型的。D. Gatzouras（1999）证明了$\mathbb{R}^d$中的自相似分形是Minkowski可测的，如果它是非格型的（尽管用他的方法实际计算内容是困难的），并证明了如果它是格型的，它不是Minkowski可测的。在温和的条件下，我们证明了这一猜想，并在非格的情况下，我们改进了他的结果在这个意义上，我们表示的内容的分形在剩余的相关$ζ$ -功能在Minkowski维。
最近已经研究了R^d中一般集合的（上和下）Minkowski内容和（上和下）基于表面积的内容（S-内容）之间的相互关系，以及它们的相关维度之间的相互关系（参见图1）。[3]）。虽然上维度总是一致的，并且上内容彼此有界，但[3]中获得的界限表明，下内容和维度具有更大的灵活性。我们表明，这确实是这样的。存在其下S-维数严格小于其下Minkowski维数的集合。更精确地说，给定两个数s，m，其中0 < s < m < 1，我们在R^d中构造具有较低S维数s+d-1和较低Minkowski维数m+d-1的集合。特别地，这些集合被用来证明在[3]中获得的关于这两个维度的一般关系的不等式是最好的可能。
