The universal order one invariant of framed knots in most S^1-bundles over orientable surfaces
众所周知，自连接是S^3中框架纽结唯一的Z值瓦西里耶夫不变量。然而，对于大多数3-流形，特别是对于可定向曲面F（而不是S^2）上的S^1-丛的全空间，Z值一阶不变量空间是无穷维的。本文给出了可定向的非紧曲面F（非S^2）上S^1-丛的可定向全空间中框架纽结的一阶不变量I的一个显式公式。我们证明了如果F不是S^2或S^1 × S^1，则I是泛一阶不变量，即它区分每两个可以由值在阿贝尔群中的一阶不变量区分的框架纽结.
2003-02-12 math.GT
An Index-Type Invariant of Knot Diagrams Giving Bounds for Unknotting Framed Unknots
我们引入了一个新的纽结图不变量，称为自交叉指数（SCI）。使用SCI，我们提供了两个家庭的框架解开结的界限。对于其中一个家族，使用框架Reidemeister移动解开打结比使用常规Reidemeister移动解开打结要困难得多。我们还研究了SCI和Arnold曲线不变量St之间的关系，以及与Hass和Nowik不变量之间的关系，后者推广了cowrithe。特别是，在Ω3移动下SCI的变化仅取决于移动的向前/向后特征，类似于St或cowrithe的变化仅取决于移动的正/负质量。
2017-07-13 math.GT
A refinement of the first Vassiliev invariant can distinguish the orientation of knots
我们改进的Polyak-Viro高斯图公式的Vassiliev不变量的顺序2在一个非常简单的方式为2-电缆的框架长结。令人惊讶的是，所得到的帧结的同痕不变量可以检测已经不可逆的结。这使得我们的不变量的自然推广的所有n-分量串链接卫星的一个框架长结的候选人区分所有经典的结。
2019-02-22 math.GT
Framed Knotoids and Their Quantum Invariants
我们修改球形knotoids的定义，包括一个框架，在类似的框架结，并定义了进一步的修改，包括一个二级的“coframming”，以获得“biframed”knotoids。我们展示了拓扑空间，其周围的合痕类是在一对一的对应框架和双框架knotoid分别。然后，我们展示了如何框架和biframe knotoid允许我们推广量子结不变量的knotoid设置，导致建设一般Reshetikhin-Turaev型biframe knotoid不变量。
2022-03-15 math.GT math.QA
Framed instanton homology of surgeries on L-space knots
本文计算了具有瞬子L-空间手术的纽结在所有整数手术上的带标架瞬子Floer同调，并证明若纽结同时具有Heegaard Floer和瞬子Floer的L-空间手术，则两种理论在所有整数手术上一致。
2020-03-06 math.GT
Rational knot concordance and homology cobordism
下面是一个长期存在的开放问题：“如果在三维球面上的两个纽结上的零框架手术是整同调共边的，那么纽结本身是一致的吗？“我们表明，这个问题的一个明显的理性版本有一个否定的答案。也就是说，我们给出了节点的例子，它们的零框架手术是有理同调协边3-流形，其中节点不是有理协调的（即在任何有理同调S^3 x [0，1]中都不是协调的）。具体地说，我们证明了对任意正整数p和任意纽结K，K上的零框架外科手术与其（p，1）cable上的零框架外科手术是Z[1/p]-同调协边的.然后，我们观察到，大多数纽结是不合理的协调，他们的（p，1）电缆。
2010-11-24 math.GT
Framed instanton homology and concordance
我们定义了两个协调不变量的结使用框架瞬子同调。这些不变量$ν^\sharp$和$τ^\sharp$给出了片亏格和最大自环绕数的界，后者是一个协调同态，它在所有已知的情况下都与Heegaard弗洛尔同调中的$τ$不变量一致.我们使用$ν^\sharp$和$τ^\sharp$来计算所有非零有理Dehn手术的框架瞬子同调：35个非平凡素数结中的20个，通过8个交叉点，扭曲和椒盐卷饼结的无限家族，以及瞬子L-空间结;以及Hodgson-Weeks普查中前20个闭合双曲流形中的19个。在另一个应用中，我们确定了一个纽结的索何时是瞬子L-空间纽结。最后讨论了奇Khovanov同调谱序列到分支双覆盖的框架瞬子同调谱序列的应用，以及$τ^\sharp$和$τ$在亏格2突变下的行为.
2021-09-14 math.GT
Framed Cord Algebra Invariant of Knots in $S^1 \times S^2$
我们将Ng的二元代数/组合$0$ -th框架纽结接触同调推广到$S^3$中的纽结，并证明了所得到的纽结不变量与纽结的框架索代数相同.实际上，我们的弦代数有一个额外的变量，它可能对应于Ng的三变量纽结接触同调中的第三个变量。我们的主要工具是Lin将$S^3$中辫子的马尔可夫定理推广到$S^1 \times S^2$中的辫子。我们猜想，我们的框架弦代数总是非局部纽结生成。
2014-11-12 math.GT math.QA
$p$-adic framed braids II
Yokonuma-Hecke代数是模框架辫群的子代数，它们支持Markov迹.作为Juyumaya和Lambropoulou（2007）的续篇，本文利用逼近$p$-adic元的稠密子结构，进一步研究了Juyumaya和Lambropoulou（2007）构造的$p$ -adic框架辫子和$p$ -adic Yokonuma-Hecke代数的结构.我们还构造了$p$-adic Yokonuma-Hecke代数上的$p$-adic Markov迹，并对$p$-adic元上的$p$-adic迹的值进行了近似.令人惊讶的是，马尔可夫迹不直接重新缩放以产生帧链接的同痕不变量。这导致对跟踪参数施加“$E$ -condition”。对于“$E$ -系统”的解，我们定义了模块化框架链接的2变量同痕不变量。这些提升到经典框架链接的$p$ -adic同痕不变量。Yokonuma-Hecke代数在框架结、经典结、奇异结和横结的背景下有拓扑解释。
2012-10-05 math.GT
Framed holonomic knots
完整纽结是三维空间中的一个纽结，它是圆上一个光滑函数的2-喷注扩张。一个完整的纽结关联到一个通用的功能，自然是由黑板框架的纽结图相关联的1-喷流扩展的功能。框架纽结图有两个经典的不变量：Whitney指数（旋转数）W和自环绕数S。对于一个框架完整纽结，我们证明了W是有界的负的辫子指数的纽结，和W和|S|的总和是有界的负的欧拉示性数的任何塞弗特表面的纽结。本文证明了W=m的框架完整纽结的不变量S分裂成n个，其中n是最大的自然数，2n < |m| +1是整数不变量.利用这一点，框架完整纽结的框架完整合痕分类比它们的图的正规合痕分类更精细。
2002-06-18 math.GT math.SG
On Hecke lifting conjecture for framed knots
本文证明了框架纽结的Hecke提升猜想：对环面纽结给出完整证明，并对任意框架纽结验证其极限形式，该猜想源于Chern-Simons量子不变量的整性结构。
2025-10-17 hep-th math.GT
There are non homotopic framed homotopies of long knots
设$\mathcal {M}$是3-空间中所有的空间，包括奇异的长纽结，并且对于该空间，到平面的固定投影是浸入。设$cl(Σ^{(1)}_{iness})$是$\mathcal {M}$中所有奇异结点的并集的闭包，其中恰好有一个普通的二重点，并且使得两个分解表示相同的（非奇异的）结点类型。我们称$Σ^{(1)}_{iness}$为{ \em非本质墙}，称$\mathcal {M}_{ess} = \mathcal {M} \setminus cl(Σ^{(1)}_{iness})$为{ \em本质图空间}。通过对Kauffman括号的扩展，构造了$H^1(\mathcal {M}_{ess}; \mathbb{Z}[A, A^{-1}])$中的一个非平凡类.这特别意味着在$\mathcal {M}_{ess}$中有环，它由结的规则同位素和交叉变化组成，并且在$\mathcal {M}_{ess}$中是不可收缩的（导致论文的标题）。我们猜想，我们的建设产生了一个新的结多项式的unknotting号码1。
2009-03-10 math.GT
Vassiliev invariants of Legendrian, of transverse and framed knots in contact 3-manifolds
我们表明，对于一个大类的接触3-流形的Vassiliev不变量的Legendrian和框架结的群体是规范同构的。作为推论，我们得到曲面$F$上波前的有穷级Arnold $J^+$型不变量群同构于$F$的球面余切丛$ST^*F$中框架纽结的Vassiliev不变量群.另一方面，我们构建接触流形的第一个例子，其中勒让德结的Vassiliev不变量可以区分勒让德结，实现同位素框架结和勒让德浸入同伦。
2000-04-29 math.GT math.SG
Framed knot contact homology
本文将纽结接触同调推广到环$\mathbb{Z}[λ^{\pm 1},μ^{\pm 1}]$上的一个理论，给出了拓扑和组合的不变量。改进的不变量定义在$S^3$中的框架纽结上，并可推广到任意流形上的纽结，它能区分非纽结和突变体。它包含亚历山大多项式，并自然产生一个二元多项式结不变量，这是相关的$A$ -多项式。
2007-05-22 math.GT math.SG
Higher-order linking forms for knots
我们构造的例子结同构的n阶亚历山大模块，但非同构的n阶链接形式，显示链接形式提供更多的信息比单独的模块。这推广了特罗特的工作，特罗特发现了具有同构的经典亚历山大模但具有非同构的经典布兰奇菲尔德连接形式的节点的例子。
2006-10-18 math.GT
Knot concordance and homology cobordism
我们考虑这个问题：“如果三维球面中两个定向结点上的零框运算是整同调协边，保持正子午线的同调类，那么结点本身是一致的吗？“我们证明了这个问题在光滑范畴中有一个否定的答案，即使是拓扑切片结。为了证明这一点，我们首先证明了K上的零框架外科手术是Z-同源共边到它的许多卷绕数为1的卫星P（K）上的零框架外科手术。然后我们证明了在许多情况下K和P（K）的τ和s-不变量是不同的。因此，tau和s都不是零框架手术的光滑同调配边类的不变量。我们还表明，这个问题的一个自然理性的版本有一个否定的答案在拓扑和光滑的类别，通过证明类似的结果K和它的（p，1）-电缆。
2011-02-28 math.GT
Certain connect sums of torus knots with infinitely many non-characterizing slopes
对于一个结$K,$的斜率$r$被认为是表征，如果没有其他结$J$不$r$ -框架手术沿$J$产生相同的流形$r$ -框架手术$K.$应用贝克和Motegi的条件，我们表明，结$T_{2,2n+3}\#T_{-2,2n+1}$有无限多个非表征斜率。
2023-03-16 math.GT
Vassiliev Invariants of Virtual Legendrian Knots
我们介绍了一个理论的虚拟勒让德结。虚勒让德纽结是一个有向曲面上的共定向波前，直到它的单位余切丛的升力的勒让德合痕以及远离波前的曲面的稳定和不稳定。我们表明，Vassiliev不变量的虚拟勒让德结和虚拟框架结的群体是同构的。特别是，瓦西里耶夫不变量不能用来区分虚拟勒让德结，这些虚拟勒让德结与虚拟框架结是同位素的，并且具有相等的虚拟马斯洛夫数。
2013-05-23 math.GT
BV-structures on the homology of the framed long knot space
本文从两个方面在$\mathbb{R}^n$中引入框架长纽结空间的同调上的BV-代数结构。第一个是在一个类似的方式Chas-Sullivan的弦拓扑。第二个是定义在与循环乘法运算的分次模相关的霍赫希尔德同调上。后者可应用于收敛于框架长纽结空间的同调的Bousfield-Salvatore谱序列。这两种结构相互吻合。
2015-05-11 math.AT math.GT
Linking between singular locus and regular fibers
给定一个闭的定向$3$-流形$M$中的零协边定向框架链$L$，我们确定$M \setminus L$中那些可以实现为一般映射$M \to \mathbb{R}^2$的奇点集的链，其中$L$是定向框架规则纤维.然后，我们研究了$M$到$\mathbb{R}^2$的一般映射的奇点集与正则纤维之间的联结行为。
2018-04-02 math.GT
The Writhe of Permutations and Random Framed Knots
我们介绍并研究了一个置换的扭曲，一个著名的反转数的循环变体。这个简单的排列统计有几种解释，这导致了一些有趣的性质。对于均匀随机抽样的置换，研究了其扭振的渐近性，得到了一个非高斯极限分布。这项工作的动机是随机结的研究。随机帧结模型描述，细化Petaluma模型。该模型中框架的分布等价于随机排列的扭曲。
2016-12-29 math.CO math.GT
BPS invariants from framed links
本文将代数曲线与纽结BPS不变量的关系推广到带标架纽结，给出相关显式公式，并对带标架链环的相关不变量进行数值计算验证其整性。
2025-02-23 hep-th math.GT
A Euclidean Geometric Invariant of Framed (Un)Knots in Manifolds
基于欧氏几何原点的无圈复形的Reidemeister挠率，给出了含框架纽结的三维流形的一个不变量.为了证明它的非平凡性，我们计算了透镜空间中某些加框（不加框）纽结的不变量。我们的不变量与有限维费米拓扑量子场论有关。
2010-04-22 math-ph math.AT math.GT
Linking forms of amphichiral knots
我们给出了一个简单的障碍，一个结是双手，在2倍分支覆盖的同源性。我们处理的是无方向的纽结，因此阻碍了正负两性。
2017-07-06 math.GT
Birack Bracket Quivers and Framed Links
本文提出birack括号和quiver值不变量，用于研究framed结和链的多项式不变量。
2026-02-06 math.GT math.QA
Knot types of generalized Kirchhoff rods
Kirchhoff能量是弧长参数框架曲线空间上的经典泛函，其临界点近似于弹性杆的形状。我们引入了一个广义功能的任意参数化的框架曲线的空间，模型杆轴向拉伸或横截面膨胀。我们的主要结果给出了明确的参数化的所有周期临界框架曲线的广义功能。主要技术工具是闭框架曲线形状相似类的模空间与无限维格拉斯曼流形之间的对应关系。临界框架曲线具有令人惊讶的简单参数化，但它们仍然表现出有趣的拓扑特征。特别是，我们表明，对于每个临界能级有一个参数的框架曲线，其基曲线通过两个环面结类型，呼应了类似的结果Ivey和辛格经典基尔霍夫能源的一个参数家庭。与经典理论不同，广义泛函中存在非环面纽结的临界点。
2017-08-30 math.DG math.GT
Higher-order linking forms for 3-manifolds
给定一个闭的、定向的、连通的3-流形M，我们在M的高阶Alexander模上定义高阶连接形式。这些高阶连接形式推广了作者以前研究过的结的类似连接形式，这些连接形式本身就是经典的Blanchfield结连接形式的推广。我们还调查的影响，被称为“感染结”的建设这些连接形式。
2012-04-23 math.GT
Algebraic linking numbers of knots in 3-manifolds
利用4维流形中浸入曲面的交不变量定义了定向3维流形中纽结对的相对自连接数和连接数。由此产生的协调不变量一般化了通常的同调概念的联系，考虑到基本群的环境流形和经常映上无限生成的群体。纽结不变量推广了Kirk和Livingston的循环（1型）不变量，并且当相对于某些优选纽结（称为球形纽结）时，相对自环绕数在几何上被表征为完全阻碍奇异和谐的存在，该和谐具有由Whitney圆盘配对的所有奇点。这种几何等价关系称为W-等价，也是通过Conant和Teichner的工作相关的有限型-1等价（在Habiro和Goussarov的意义上），并且代表对任意奇异和谐的“一阶”改进。对于零同伦结，一个稍弱的几何等价关系示出承认一个群结构。
2003-10-04 math.GT
A subtle new invariant for framed knots and links
我们生产的一个结或一个链接，承认一个不变的专业化下波利亚克最近的一套生成的4 Reidemeister移动平面图上的面部状态和。从而得到了框架连杆的一个同痕不变量。每个状态都是图的面完全着色成白色和黑色的面，这样就不会有两个黑色的面共享一条边。每个状态在16个变量的环中导出一个单项式。状态的总和，适当地专门定义了新的不变量。尽管它的简单性，它补充琼斯不变量在区分镜像对的链接。特别地，它证明了$9_{42}$不同于它的镜像。对于这对节点，琼斯多项式和考夫曼二元多项式都失败了。
2012-09-28 math.CO math.GT
Cubes, cacti, and framed long knots
该研究定义了射影无刺仙人掌operad对标架长纽结空间泰勒塔各层的作用，证明其与Budney小2-立方体作用的空间相容性，改进了相关Vassiliev不变量猜想的前期结果，还重新证明了Sakai发现的一类Browder括号类的非平凡性。
2025-09-06 math.AT math.GT
Linking number and folded ribbon unknots
本文研究Kauffman折叠带状纽结模型，确定了特定环绕数下3段解结的最小折叠带状长度，并证明钝角n边形在正则时达到最小折叠带状长度，同时给出拓扑圆环面折叠带状解结的最小折叠带状长度上界为2n。
2022-08-05 math.GT
Finite Order Invariants of Legendrian, Transverse, and Framed Knots in Contact 3-manifolds
我们证明了对于一个大类的接触流形的顺序$\leq n$不变量（值在任意阿贝尔群）的勒让德，横向和框架结的群体是典型同构。另一方面，对于$S^1\times S^2$上的任意共定向切触结构，其接触丛的非零欧拉类，我们构造了勒让德同伦勒让德结$K_1$和$K_2$的例子，使得它们实现同位素框架结，但可以通过$S^1\times S^2$中勒让德结的有穷级不变量来区分。我们构造了一大类接触流形$M$的类似例子，使得$M$是一个不可定向曲面上的局部平凡$S^1$ -纤维化的全空间。我们证明了在某些例子中$K_1$和$K_2$的补集是过扭曲的。
1999-08-09 math.GT math.SG
Finite Type Invariants of Links with Fixed Linking Matrix
本文介绍了两种具有固定连接矩阵的杆件的有限型不变量理论。我们表明，这些thepries与框架链接的瓦西里耶夫不变量的理论。我们还研究了"弦线"的对应空间。
1999-06-21 math.GT math.QA
Framed graphs and the non-local ideal in the knot Floer cube of resolutions
本文讨论了Ozsváth和Szabó的结Floer分解立方与Khovanov和Rozansky的HOMFLY-PT链复形的两个重要区别：（1）扭曲系数的使用和（2）神秘的非局部理想的出现。我们的目标是促进Rasmussen猜想的进展，一个谱序列涉及两个结的同源性。我们取代语言的扭曲系数与更多的量子拓扑语言的框架上的三价图。我们定义了一个同调论框架三价图形的边界-一个特定的非黑板框架-专门的同源性的奇异结的基础结Floer立方体的决议。对于黑板框架图，我们的理论最终恢复了HOMFLY-PT链复形的图同调性。我们解释的外观的非本地理想表示为一个理想的理想商，出现在HOMFLY-PT和结Floer立方体的决议。这个结果是我们的主要定理的推论，即封闭辫子图中的一串对应于取其非局部理想的理想商。证明是一个Gröbner基础参数，它将非局部理想的组合数学与Buchberger算法的组合数学联系起来。
2013-08-14 math.GT math.QA
Milnor's triple linking numbers and derivatives of genus three knots
代数切片结$K$的衍生物是不相交地嵌入$K$的Seifert表面中的定向连接，使得其同调类形成$K$的代谢物$H$的基础。我们发现，对于一个属三代数切片结$K$，集$\{ \barμ_{\{γ_1,γ_2,γ_3\}}(123) - \barμ_{\{γ'_1,γ'_2,γ'_3\}}(123)| \{γ_1,γ_2,γ_3\}$和$\{γ'_1,γ'_2,γ'_3\}$是衍生物的$K$与代谢$H\}$包含$n\cdot \mathbb{Z}$，其中$n$是由塞弗特形式的$K$和代谢$H$。作为一个推论，我们表明，它是可以实现任何整数作为一个Milnor的三重环绕数的衍生物的unknot在一个固定的塞弗特表面与一个固定的代谢。此外，我们还证明了一个纽结（它是三个亏格一个代数切片纽结的连通和）至少有一个具有非零Milnor三重环绕数的导数。
2016-03-30 math.GT
On the cube of the equivariant linking pairing for knots and 3-manifolds of rank one
设M是第一贝蒂数为1的闭定向三维流形.它的等变连接配对可以看作是M的不同点的序偶空间的适当无限循环覆盖中的二维上同调类。我们展示了如何定义这个Blanchfield配对关于生成H_1（M）/Torsion的框架结K的等变立方Q（K）。本文致力于研究不变量Q。我们证明了这个不变量的许多性质，包括两个手术公式。通过手术，不变量Q等价于有理同调球面中的零同调结的不变量，这与Kontsevich积分的Kricker有理提升的两圈部分相一致，至少对于积分同调球面中具有平凡Alexander多项式的结。
2010-08-30 math.GT
Framed instanton homology and Frøyshov's invariant
本文研究了结的Dehn手术中框架瞬子同调与Froyshov不变量的关系，并证明了非退化$SU(2)$-abelian的限制条件。
2025-11-24 math.GT
Linking numbers in rational homology 3-spheres, cyclic branched covers and infinite cyclic covers
本文研究了有理同调三维球面和纽结的补的无限循环覆盖中的环绕数。它们分别取$\Bbb Q$和${Q}({\Bbb Z}[t,t^{-1}])$中的值，其中${Q}({\Bbb Z}[t,t^{-1}])$表示${\Bbb Z}[t,t^{-1}]$的商字段。已知有理同调3-球面中的模- $\Bbb Z$连接数由框架连接的连接矩阵决定，纽结的补的无限循环覆盖中的模- ${\Bbb Z}[t,t^{-1}]$环绕数由纽结的Seifert矩阵决定.我们去掉了“modulo $\Bbb Z$”和“modulo ${\Bbb Z}[t,t^{-1}]$”。当纽结上分支的3-球面的有限循环覆盖是有理同调3-球面时，3-球面中链环的原像对的环绕数由纽结的Goeritz/Seifert矩阵决定.
2001-11-19 math.GT
Isomorphism of the groups of Vassiliev Invariants of Legendrian and of Pseudo Legendrian Knots in Contact 3-manifolds
对勒让德纽结的Vassiliev不变量的研究始于D. Fuchs和S. Tabachnikov谁表明，集团的复值瓦西里耶夫不变量的Legendrian和框架结的标准接触$R^3$是典型的同构。最近，我们构建了第一个例子，其中Vassiliev不变量的Legendrian和框架结是不同的，和Vassiliev不变量的Legendrian结区分Legendrian结是同位素的框架结和同伦的Legendrian浸入。这就提出了一个问题：关于勒让德结的什么信息可以用瓦西里耶夫不变量来捕捉。在这里，我们回答这个问题，表明任何接触3-流形的cooriented的切触结构的勒让德结和结的瓦西里耶夫不变量的群体是无处正切的向量场coorients的切触结构是规范同构的。
2000-12-09 math.GT math.SG
Knotting and linking in 4 and 5 dimensions from barbell diffeomorphisms
本文通过双耳微分同胚构造了无限多个非同胚的3结，每个具有四个临界点，反驳了Scharlemann定理，并解决了Budney和Gabai关于存在结状处理体的猜想最后情况。
2026-04-05 math.GT
A Seifert algorithm for lamination links
我们推广了H. Seifert的算法为一个结或链接找到一个Seifert曲面。一般适用于“框架定向测量层压链接。“对于节点，塞弗特曲面决定了一个独特的框架。在我们的设置中，我们分析了一套框架层压链接，绑定塞弗特叠片，并进行了$S^1$ -纤维管附近的定向训练轨道嵌入在一个3歧管。
2018-12-30 math.GT
A Linking Number Definition of the Affine Index Polynomial and Applications
本文利用虚环绕数给出了仿射指数多项式的另一种定义，并探讨了该多项式的应用。特别证明了奇虚纽结和纯虚纽结的化妆交叉变换猜想。证明了该多项式可以通过正旋转检测突变，但不能通过正反射检测突变。最后，它展示了一对突变结，可以区分的类型2瓦西里耶夫不变量来自多项式。
2012-11-08 math.GT
Knot invariants derived from the equivariant linking pairing
设M是第一贝蒂数为1的闭定向三维流形.它的等变连接配对可以看作是M的不同点的序偶的位形空间的适当无限循环覆盖中的二维上同调类。我们展示了如何定义这个Blanchfield配对的等变立方体Q（M，K）相对于生成H_1（M;Z）/Torsion的框架结K。给出了不变量Q（M，K）及其一些性质，包括一个手术公式.通过手术，不变量Q等价于有理同调球面中零同调纽结的不变量Q'，这在理论上等价于Kontsevich积分的两圈部分。我们推广的Q'的建设，以获得一个拓扑结构的不变量，这是完全等价于整个Kricker合理提升的Kontsevich积分的零同源结在合理的同调球面。
2010-09-10 math.GT
A Self-Linking Invariant of Virtual Knots
在本文中，我们引入了一个新的不变量的虚拟节点和链接，是不平凡的无穷多个虚拟，但平凡的经典节点和链接。首先用括号多项式的一个相对变量表示不变量，然后用它的指数从这个多项式中提取不变量，特别是对于结点的情况。括号多项式的这种类似物将被表示为{K}（带有花括号），并被称为二元括号多项式。不变量组合学的关键是用相关图的2-着色来解释状态和。对于虚纽结，新的不变量J（K）是对图的奇数交叉点的扭曲的限制（如果一个交叉点连接纽结高斯码中的奇数交叉点，则该交叉点是奇数。对于经典纽结，奇交叉的集合是空的。）对于K为虚纽结，J（K）非零意味着K非平凡、非经典且不等价于其平面镜像。本文还considers推广的双重着色的状态的二元括号的情况下，三个和更多的颜色。讨论了图的着色与四色定理的关系。
2004-10-29 math.GT
Classifying the surface-knot modules
本文通过有限生成模的性质刻画了四维球面中亏格为g的曲面纽结的约化第一模，并由此确定第二模的挠与无挠部分，同时构造了区分相邻亏格基本群的具体例子。
2024-08-08 math.GT
Framed instanton homology and concordance, II
Boston College（波士顿学院）；Imperial College London（伦敦帝国学院）
本文研究了框架瞬子同调与结的同调，证明了$ν^\sharp(K)$的性质，并定义了瞬子FloER的类似量$ε^\sharp(K)$，同时探讨了3-流形作为结手术的问题。
2024-09-09 math.GT
Knot surgery formulae for instanton Floer homology II: applications
University of South Florida（南佛罗里达大学）；Harvard University（哈佛大学）
本文通过整数手术公式研究了3流形的瞬子同调，揭示了几乎L空间结的纤维化和强准正性质，并确定了特定类型的结结构。
2025-12-30 math.GT
Intrinsic linking and knotting of graphs in arbitrary 3-manifolds
我们证明了一个图在任意3-流形M中是内在连通的当且仅当它在S^3中是内在连通的。另外，在庞加莱猜想的假设下，我们证明了一个图在M中是内在纽结的当且仅当它在S^3中是内在纽结的。
2009-04-17 math.CO math.GT
Instanton Floer homology, sutures, and Heegaard diagrams
本文建立了一种新的技术，使我们能够访问一些基本的结构性质的瞬子弗洛尔同调。作为应用，我们首次建立了$3$ -流形或$3$ -流形内部的零同调纽结的瞬子弗洛尔同调与该$3$-流形或纽结的Heegaard图之间的关系.我们进一步利用这个关系计算了$(1,1)$ -结的一些家族的瞬子结的同源性，包括$S^3$中的所有环面结，这些结以前大多是未知的。作为第二个应用，我们还研究了瞬子结同调$KHI(Y,K)$和框架瞬子弗洛尔同调$I^\sharp(Y)$之间的关系.特别地，我们证明了不等式$\dim_\mathbb{C} I^\sharp(Y)\le \dim_\mathbb{C}KHI(Y,K)$，并构造了Dehn手术的框架瞬子弗洛尔同调沿$K$的一个新的分解，它对应于Drachet和Heegaard Floer理论中沿扭转自旋的分解$^c$.
2021-11-03 math.GT
Universal cocycle Invariants for singular knots and links
给定一个二重$(X, S)$，一个具有一定相容性的函数$τ$和一对{ \em非交换上环} $f,h:X \times X\to G$，其值在一个非必然交换群$G$中，我们给出了奇异纽结/链环的一个不变量.给定$(X,S,τ)$，我们还定义了一个通用群$U_{nc}^{fh}(X)$和通用函数控制所有的2-上循环在$X$，并展示计算的例子。当目标群是阿贝尔群时，给出了{ \em阿贝尔上循环对}的概念，并定义了奇异纽结/链的“状态和”.给出了广义奇异纽结的环绕数的计算。对于虚结点，可以为奇异结点定义“自环绕数
2019-10-09 math.GT
Representation spaces of pretzel knots
我们研究了出现在Kronheimer和Mrowka的框架瞬子结弗洛尔同调中的一类椒盐卷饼结的表示空间$R(K;\bf{i})$。特别地，对于具有$p, q, r$两两互质的椒盐卷饼结$P(p,q,r)$，它们似乎是非退化的，并且包含了SU（2）中不是二元二面角的表示。
2012-05-08 math.GT
Annulus twist and diffeomorphic 4-manifolds
本文给出了一个求表示一个纯4-流形的无穷多个框架纽结的方法。我们还研究了$n$ -摇动亏格和纽结的4球亏格之间的关系。此外，我们给出了由解纽结数为1的切片纽结构造同伦4-球面的方法。
2013-01-22 math.GT
Linking coefficients and the Kontsevich integral
本文给出一个一般公式，将链环数和加框的任意幂次乘积表示为Kontsevich积分中系数的组合，从而可用链环系数表示给定次数的所有系数之和，证明是纯组合的。
2023-11-23 math.GT
Slice knots which bound punctured Klein bottles
研究了S^3中约束克莱因瓶的纽结的性质，使得纽结的推射与纽结的环绕数为零，即具有零框架。这是由文献中关于亏格为1的切片结点的许多结果所激发的，例如，对于代数切片结点，在亏格为1的Seifert曲面上存在同调本质零自连接的简单闭曲线.给定一个结K，它是一个具有零框架的克莱因瓶F的边界，我们证明了F的任何盘带形式中的取向保持带的核心J具有零自链接。我们证明了这样一个K是Z[1/2]-同调4-球中的切片当且仅当J也是，一个比目前已知的亏格切片结更强的结果。作为应用，我们证明了给定纽结K和J以及任意奇数p，K和J的（2，p）索是Z[1/2]-协调的当且仅当K和J是Z[1/2]-协调的.特别地，如果一个纽结K的（2，1）-索是切片，则K在Z[1/2]-同调球中是切片。
2013-08-05 math.GT
