In this paper we obtain the following results: (1) Any compact Stein surface with boundary embeds naturally into a symplectic Lefschetz fibration over the 2-sphere. (2) There exists a minimal elliptic fibration over the 2-disk, which is not Stein. (3) The circle bundle over a genus n>1 surface with euler number e=-1 admits at least n+1 mutually non-homeomorphic simply-connected Stein fillings. (4) Any surface bundle over the circle, whose fiber is a closed surface of genus n>0 can be embedded into a closed symplectic 4-manifold, splitting the symplectic 4-manifold into two pieces both of which have positive b_2^+. (5) Every closed, oriented connected 3-manifold has a weakly symplectically fillable double cover, branched along a 2-component link.
Topology of multiple log transforms of 4-manifolds
给定一个4-流形X和T^{2} x B^2在X中的嵌入，我们描述了一个算法X --> X_{p,q}，用于沿平行环面绘制由X通过（p，q）-对数变换得到的4-流形的曲面体.利用这个算法，我们得到了Dolgachev曲面E（1）p，q的一个简单的句柄图，由此我们推出E（1）p，q的奇异副本E（1）p，q与原始副本E（1）5（-CP^2）相差一个余维为零的单连通Stein子流形M_{p,q}，因此，它们是无限多个Stein流形的例子，它们是彼此的奇异副本（rel边界）。进一步，我们用类似的方法得到了E（1）_{p，2} # 2（-CP^2）$的无穷多个单连通Stein子流形Z_{p}，它们具有相同的边界和第二个贝蒂数2，它们（绝对）是彼此的奇异副本，这为作者和Yasui [AY 4]最近的一个定理提供了另一种证明.此外，通过将S^2 x S^2描述为沿其边界胶合的两个尖点的并集，并通过使用该算法，我们证明了沿这些尖点中的环面的多次对数变换不会改变S^2 x S^2的光滑结构。
Circular spherical divisors and their contact topology
本文研究了与球面因子相关的辛拓扑和切触拓扑。我们分类，复曲面等价，所有的凹圆形球形因子$ D $，可以辛嵌入到一个封闭的辛4-流形，并显示他们都实现为辛日志卡-丘对，如果他们的补充是最小的。然后，我们确定Stein填充和合理的同源型的所有最小辛填充的边界环面束这样的$D$。当$ D $是反正则凸的时，我们给出了其边界接触环面丛的Stein填充的明确的贝蒂数界.
本文证明了从Stein流形X到复流形Y的每一个连续映射都可以通过X上的映射和Stein结构的同伦变形而成为全纯的。在没有拓扑障碍的情况下，全纯映射可以被选择为具有逐点最大秩。类似的结果适用于任何紧的豪斯多夫映射族，但它一般不适用于非紧的映射族。我们的主要结果实际上证明了光滑几乎复源流形（X，J）的正确的单粒子结构。这篇论文包含了Eliashberg（Int J Math 1：29--46，1990）Stein流形的同伦特征的另一个证明，以及由于Gompf（Ann Math 148（2）：619--693，1998; J辛几何3：565--587，2005）而对奇异Stein曲面的构造的稍微不同的解释。(See还有相关的预印本数学/0509419）。
