Compact Clifford-Klein forms -- geometry, topology and dynamics
David Constantine
我们调查结果紧凑的Clifford-Klein形式的齐性空间，重点是最近的贡献，并组织周围的方法，通过拓扑，几何和动力学。此外，我们还综述了紧形式的模空间的一些结果。
We survey results on compact Clifford-Klein forms of homogeneous spaces, with a focus on recent contributions and organized around approaches via topology, geometry and dynamics. In addition, we survey results on moduli spaces of compact forms.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A topological necessary condition for the existence of compact Clifford-Klein forms
本文给出了一个约化型齐性空间的紧致Clifford-Klein型存在的必要条件。证明的关键是将Kobayashi-Ono的一个结果与两个不同的Clifford-Klein型有相同的上同调环这一基本事实相结合。我们给出了不允许紧致Clifford-Klein型的齐性空间的一些例子，如SL（p+q，R）/SO（p，q）（p，q：奇）.
A cohomological obstruction to the existence of compact Clifford-Klein forms
本文从上同调的观点继续研究了紧Clifford-Klein型的存在性问题，这一观点是由Kobayashi-Ono提出的，并由Benoist-Labourie和作者推广.通过将相对李代数上同调到de Rham上同调的一个自然同态与不连续群的上同调维数的上界估计联系起来，给出了紧Clifford-Klein型存在的一个障碍.从这个障碍，我们得到一些例子，例如$\mathrm{SO}_0(p+r, q)/(\mathrm{SO}_0(p,q) \times \mathrm{SO}(r))$ $(p,q,r \geq 1, \ q:\text{odd})$和$\mathrm{SL}(p+q, \mathbb{C})/\mathrm{SU}(p,q)$ $(p,q \geq 1)$，一个齐性空间，不允许一个紧凑的Clifford-Klein形式。为了构造这些例子，我们应用H。约化对的相对李代数上同调的Cartan定理和半单对称对的$ε$ -族理论。
Compact Clifford-Klein forms of homogeneous spaces of SO(2,n)
一个齐性空间G/H称为具有紧Clifford-Klein型，如果存在G的一个离散子群D，它适当地不连续地作用在G/H上，使得商空间D \G /H是紧的。当n为偶数时，我们找到G = SO（2，n）的每个闭连通子群H，使得G/H具有紧Clifford-Klein型，但当n为奇数时，我们的分类不完全.这项工作揭示了新的例子齐性空间的SO（2，n），有紧凑的Clifford-Klein形式，如果n是偶数。进一步证明了如果H是G = SL（3，R）的闭连通子群，且H和G/H都不是紧的，则G/H不具有紧的Clifford-Klein型，并研究了有限体积的非紧Clifford-Klein型.
On semisimple standard compact Clifford-Klein forms
本文给出了对应于三元组（g，h，l）的标准紧Clifford-Klein型的分类，使得g = h+l且g是两个绝对单理想之和.分类是利用Onishchik关于半单李代数的半单分解的结果。使用这种分类，我们得到了新的例子，约化齐性空间承认非标准紧Clifford-Klein形式。
On solvable compact Clifford-Klein forms
本文证明了在一定的假设下，约化齐性空间G/H不存在可解的紧致Clifford-Klein型.这推广了著名的Benoist关于幂零Clifford-Klein型的不存在定理。这种推广适用于一类特殊的齐性空间，这类空间是由H到G的“非常正则”嵌入决定的。
A splitting of the local rigidity of Clifford-Klein forms of homogeneous spaces of completely solvable Lie groups
本文讨论了1-连通完全可解李群的齐性空间的Clifford-Klein型的局部刚性。实际上，我们引入了局部刚度的分解：竖向刚度和水平刚度。通过使用这种分裂，我们改进了一些现有的结果的局部刚性和介绍了一个新的途径Baklingo的猜想的局部刚性。
Four-dimensional compact Clifford-Klein forms of pseudo-Riemannian symmetric spaces with signature $(2, 2)$
我们给出了允许紧Clifford-Klein形式的不可约四维对称空间$G/H$的分类，其中$G$是$G/H$的横截群。为此，我们开发了一种方法，适用于特定的1-连通可解对称空间。我们还研究了一个“可解的类似物”的小林的猜想约化群，并找到一个证据表明，在小林的猜想约化假设是至关重要的。
Non-existence of standard compact Clifford-Klein forms of homogeneous spaces of exceptional Lie groups
我们用计算机辅助的方法证明了例外李群的齐性空间不存在标准紧Clifford-Klein型。这进一步支持了Kobayashi关于可能的紧Clifford-Klein形式的猜想。一方面，我们的方法是基于在这项工作中开发的算法，消除了大多数的可能性。另一方面，我们完成了证明使用的算法方法分类的半单子代数在简单的实李代数开发的Facin和de Graaf，以及通过计算不变量，如a-双曲秩。
On the Hirzebruch-Kobayashi-Ono proportionality principle and the non-existence of compact solvable Clifford-Klein forms of certain homogeneous spaces
这篇文章继续了一系列的研究，旨在解决T。Kobayashi证明了约化齐性空间的紧致Clifford-Klein型的存在性。我们的贡献，这一主题表明，几乎所有的对称空间和3-对称空间不承认可解的紧凑CliffordfKlein形式（有几个可能的例外）。我们的基本工具是Hirzebruch-Kobayashi-Ono比例原则与联合外壳理论的结合。利用这一点，我们证明了一个一般定理，产生一个充分条件的不存在的紧凑的可解CliffordKlein形式。
Obstructions to the existence of compact Clifford-Klein forms for tangential symmetric spaces
对于约化型齐性空间$G/H$，我们考虑切齐性空间$G_θ/H_θ$。本文对这类切对称空间给出了紧Clifford-Klein型存在的障碍，得到了不允许紧Clifford-Klein型的新切对称空间.结果，在不可约的经典半单对称空间类中，我们只有两类对称空间没有被证明不允许紧致Clifford-Klein型。研究了约化型齐性空间的紧致Clifford-Klein型的存在性问题。Kobayashi在20世纪80年代提出的“无解”问题，人们用各种方法进行了研究，但至今仍未完全解决。另一方面，切向齐性空间的判别准则在2000年以后得到了研究，T. Kobayashi和T.吉野在具体的例子中，需要进一步的工作来验证小林-吉野的条件，通过直接计算。本文给出了切向空间中存在紧等价物的几个易于检验的必要条件（=障碍），并将它们应用于对称空间的情形。这些条件涉及到各种数学领域，如对称空间的相伴对，Calabi-Markus现象，向量丛的平凡化（可并行性，Pontrjagin类），Hurwitz-Radon数和Pfister定理（奇次多项式公共零点的存在性问题）。
Volume and non-existence of compact Clifford-Klein forms
本文研究了约化齐性空间的紧向量的体积。设$G/H$是一个约化齐性空间，$Γ$是$G$的一个离散子群，它在$G/H$上不连续地作用.证明了$Γ\backslash G/H$的体积是$G/K$（其中$K$是$G$的极大紧子群）上的$G$不变形式在$Γ$的某个同调类上的积分.作为推论，我们得到了一大类齐性空间，它们的紧致子空间具有有理体积。例如，常曲率伪黎曼空间$-1$和奇维伪黎曼空间的紧积都有有理体积。这与黎曼的情况相反。在某些齐性空间中，我们还得到了紧Clifford-Klein型存在的一个新的障碍。特别地，当$p$为奇数时，$\mathrm{SO}(p,q+1)/\mathrm{SO}(p,q)$不允许紧代数，当$m$为偶数时，$\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})/\mathrm{SL}(m,\mathbb{R})$不允许紧代数.
A solution of the problem of standard compact Clifford-Klein forms
本研究在G、H、L为单且绝对单的假设下，解决了单非紧实李群齐性空间标准紧Clifford-Klein形式的分类问题，给出了约化子群在齐性空间上真余紧作用的充要条件。
A note on the geometry and topology of almost even-Clifford Hermitian manifolds
我们计算了几乎偶数Clifford Hermitian流形的结构群，并确定了当这些群导致自旋结构。
Cartan projections of some non-reductive subgroups and proper actions on homogeneous spaces
Kobayashi [Duke Math. J.（1992）]利用约化子群的Cartan投影和非紧维数给出了紧Clifford-Klein型存在的一个必要条件。我们将其方法推广到非约化子群，并通过比较约化子群与非约化子群的Cartan投影和非紧维数，给出了不允许紧致Clifford-Klein型的约化型齐性空间的一些例子.
Compact Clifford-Klein forms of symmetric spaces -- revisited
本文讨论对称空间被真不连续群紧商的存在性问题，重点讨论非黎曼情形。如果$H$是非紧的，则不连续群在齐性空间$G/H$中不总是丰富的.文章的前半部分阐明了一般的机器来研究不连续群的$G/H$，其次是最新的和完整的列表对称空间与/不紧的不连续性。在后半部分，作为一般理论的应用，我们证明：（i）存在具有常曲率的签名为$(7,8)$的15维紧致伪黎曼流形，（ii）存在1、3、7维复球面的紧致商，以及（iii）存在签名的切空间形式$(p,q)$的紧商当且仅当$p$小于Hurwitz-$q$的氡数。
Nonlinear Connections and Clifford Structures
本文介绍了高阶向量和余向量丛的几何（包括Finsler几何和Kaluza-Klein引力的高阶推广），并回顾了由高阶非线性联络模拟的具有一般局部各向异性的空间上Clifford和旋量结构的基本结果。局部各向异性重力和物质场相互作用的几何应用被认为是。这篇文章包含了这些作者和P. Stavrinos在他们的演讲中提供的材料的一部分。
A piecewise-linear isometrically immersed flat Klein bottle in Euclidean 3-space
本文首次构造了平坦克莱因瓶到欧氏三维空间的显式分段线性等距浸入，并给出数值多面体数据，说明该曲面局部可由折纸实现且整体拓扑为克莱因瓶。
On the topology of locally volume collapsed Riemannian 3-orbifolds
研究了局部体积坍缩的黎曼3-orbifolds的几何和拓扑性质。我们证明了一个充分塌陷的封闭的3-orbifold没有坏的2-suborbifold要么承认一个度量的非负截面曲率或满足瑟斯顿的几何化猜想。我们还证明了一个带边界的版本。Kleiner和Lott独立地证明了类似的结果。
Local topology in deformation spaces of hyperbolic 3-manifolds
证明了与具有不可压缩边界的固定紧致三维流形M同伦等价的标记双曲三维流形的变形空间AH（M）在极小抛物点处局部连通。此外，Kleinian曲面群的空间在拟共形刚性点处局部连通。对非圆柱三维流形和Bers切片的变形空间也得到了类似的结果。
Some Conformally Flat Spin Manifolds, Dirac Operators and Automorphic Forms
本文研究了共形平坦自旋流形上的Clifford与调和分析。特别是，我们对待流形，可以参数化的$U / Γ$其中$U$是一个单连通子域的$S^{n}$或$R^{n}$和$Γ$是一个克莱因集团不连续作用于$U$。这里处理的这种歧管的实例包括例如$RP^{n}$和$S^{1}\times S^{n-1}$。与$Γ$的不同选择相关的特殊类型的Clifford解析自守形式用于构造位于这些流形中的超曲面的$L^{p}$空间的柯西核、柯西积分公式、格林核和公式以及Hardy空间、Plemelj投影算子和Szegö核。
On Geometry and Topology of 4-Orbifolds
我们证明了Hsiang和Kleiner关于具有正曲率和等距圆作用的四维紧致orbifolds的结果的一个类似结果。此外，我们还证明了当底层空间是单连通的时，轨道基本群提供了底层空间的整数值Poincre对偶失效的一个界，并且当轨道是单连通的时，整数值Poincre对偶对底层空间成立.
k-Dirac operator and parabolic geometries
Klein几何的主群在该几何的齐性空间上具有标准左作用，并且这个作用诱导了在齐性空间上的向量丛的截面空间上的作用。本文研究一类特殊抛物几何中关于主群诱导作用不变量的微分算子的构造。这些算子形成的序列与Clifford分析中研究的k-Dirac算子的最小分解有关。
On locally homogeneous pseudo-Riemannian compact einstein manifolds
我们问一个普遍的问题：什么是局部齐次紧伪黎曼爱因斯坦流形？我们证明了简单非紧李群的任何标准紧Clifford-Klein型至少存在一个Einstein度量。我们猜想，这些基本上是唯一可能的局部齐性爱因斯坦伪黎曼紧流形使用T。小林的猜想作为指导原则。
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