On some Definite Integrals involving the Hurwitz Zeta function
Olivier R. Espinosa, Victor H. Moll
我们建立了一系列的积分公式，涉及赫维茨zeta函数。给出了伯努利多项式、log Gamma（q）和log sin（q）积分的应用。
We establish a series of integral formulae involving the Hurwitz zeta function. Applications are given to integrals of Bernoulli polynomials, log Gamma(q) and log sin(q).
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Special values and integral representations for the Hurwitz-type Euler zeta functions
Hurwitz型Euler zeta函数定义为Hurwitz zeta函数的变形：\begin{equation*} ζ_E(s,x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(n+x)^s}. \end{equation*}在本文中，我们将利用Fourier展开的方法计算几个含Hurwitz型Euler zeta函数$ζ_E(s,x)$的被积函数的积分.此外，还给出了一类Hurwitz型（或Lerch型）Euler zeta函数在有理变元上的值之间的关系.
On some integrals involving the Hurwitz zeta function: part 2
建立了一系列包含Hurwitz zeta函数及其它与之相关的初等函数和特殊函数，如伯努利多项式、ln sin（πq）、ln Gamma（q）和多Γ函数的不定积分公式.许多结果可以用一族函数A_k（q）：=k zeta '（1-k，q）和一族负阶多Γ函数来表示，其中k是自然数，我们详细研究了它们的性质.
A new derivation of Hermite's integral for the Hurwitz zeta function
给出了赫维茨zeta函数的Hermite积分的另一个证明.
Connection formulas for the confluent hypergeometric functions and the functional relation for the Hurwitz zeta function
利用汇合型超几何方程的联络问题证明了Hurwitz zeta函数的函数关系。
On the Stieltjes constants and gamma functions with respect to alternating Hurwitz zeta functions
Dating back to Euler, in classical analysis and number theory , the Hurwitz zeta function $$ ζ(z,q)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+q)^{z}}, $$ the Riemann zeta function $ζ(z)$ , the generalized Stieltjes constants $γ_k(q)$ , the Euler constant $γ$ , Euler's gamma function $Γ(q)$ and the digamma function $ψ(q)$ have many close connections on their definitions and properties. There are also many integrals, series or infinite product representations of them along the history. In this note, we try to provide a parallel story for the alternating Hurwitz zeta function (also known as the Hurwitz-type…
On Hurwitz zeta function and Lommel functions
从Hermite公式出发，得到了Hurwitz zeta函数$ζ(s, a)$的Hurwitz公式的一个新的证明.目的是揭示$ζ(s, a)$和Lommel函数$S_{μ, ν}(z)$的特殊情况之间的良好联系。这种联系是用来重新措辞的模块型变换涉及无穷级数的赫维茨zeta函数的条款，涉及Lommel功能。
Evaluation of series with Hurwitz and Lerch zeta function coefficients by using Hankel contour integrals
我们介绍了一种新的技术与zeta系数系列的评价，也为某些积分涉及logGamma函数的评价。这种技术是基于Hankel整表示的赫维茨泽塔，Lerch泽塔，Digamma和logGamma功能。
Further extension of the generalized Hurwitz-Lerch Zeta function of two variables
本文给出了二元Hurwitz-Lerch Zeta函数的一个新推广，并研究了它的几个有趣的性质，如整表示、求和公式以及与广义超几何函数的关系.为了加强主要结果，我们还考虑了许多重要的特殊情况。
A new extension of Hurwitz-Lerch Zeta function
利用广义β函数，给出了Hurwitz-Lerch Zeta函数的一种新的推广.然后我们研究了它的重要性质，如整表示，微分公式，梅林变换和某些生成关系。并指出了主要结果的一些重要特例。
A Half-Discrete Hardy-Hilbert-Type Inequality with a Best Possible Constant Factor Related to the Hurwitz Zeta Function
利用权函数方法、实分析技巧和Hermite-Hadamard不等式，得到了一个与Hurwitz zeta函数和黎曼ζ函数有关的具有最佳常数因子的多参数半离散Hardy-Hilbert型不等式.等价形式，赋范算子表达式，其反转和一些特殊情况也被考虑。
On $p$-adic Hurwitz-type Euler zeta functions
利用$\mathbb Z_p$上的费米$p$-adic积分，给出了$p$-adic Hurwitz型Euler zeta函数的定义.通过计算这类$p$ -adic zeta函数在负整数处的值，证明了它对欧拉多项式$p$ -adic插值.给出了$p$ -adic Hurwitz型Euler zeta函数的许多性质，包括收敛的洛朗级数展开式、分布公式、函数方程、反射公式、导数公式、$p$ -adic Raabe公式等，并利用$p$-adic Hurwitz型Euler zeta函数给出了$p$-adic Euler $L$ -函数的定义.
On the Taylor Coefficients of the Hurwitz Zeta Function
我们找到了Hurwitz zeta函数的Maclaurin系数的一个表示，它是用包含伯努利多项式和第一类Stirling数的半收敛级数表示的.特别地，这给出了黎曼ζ函数的系数的表示。我们的主要工具是一定的级数变换公式。一个类似的结果也证明了麦克劳林系数的Lerch zeta函数。
On gamma functions with respect to the alternating Hurwitz zeta functions
本文进一步研究由交替Hurwitz zeta函数定义的gamma函数$\widetildeΓ(x)$，获得了与经典gamma函数类似的多种性质，并证明了一个Lerch型公式，表明$ζ_{E}(z,x)$的导数可由$\widetildeΓ(x)$表示。
The summation of infinite partial fraction decomposition I: some formulae related to the Hurwitz zeta function
本文通过对$\prod_{k}(1-\frac{z}{a_{k}})^{-1}$进行泰勒展开和无穷部分分式分解，建立了一种新的求和方法。在这里，我们关注的情况下，当$a_{k}$是等差数列。通过这种求和，我们得到了涉及Hurwitz zeta函数和Gammma函数的许多等式.
Asymptotics to all orders of the Hurwitz zeta function
给出了修正的Hurwitz zeta函数$ζ_1(x,s),x>0,s=σ+it,0<σ\leq1,t>0,$的大$t$渐近性的几个公式，这些公式对所有阶都有效.在$x=0$的情况下，这些公式减少到最近获得的黎曼ζ函数的渐近表达式，其中包括经典的结果西格尔作为一个特殊的情况。
Integrals of products of Hurwitz zeta functions via Feynman parametrization and two double sums of Riemann zeta functions
我们考虑$x\in [0,1]$上的两个积分涉及函数$ζ_1(a,x)\equiv ζ(a,x)-x^{-a}$的乘积，其中$ζ(a,x)$是Hurwitz zeta函数，当$\Re (a,b)>1$时由$$\int_0^1ζ_1(a,x)ζ_1(b,x)\,dx\quad\mbox{and}\quad \int_0^1ζ_1(a,x)ζ_1(b,1-x)\,dx$$给出。这些积分已被调查最近在\cite{SCP}，在这里，我们提供了一个替代推导应用费曼参数化。我们还讨论了一个矩积分和两个双无穷和包含Riemann zeta函数$ζ(x)$和两个自由参数$a$和$b$的评价。当$a+b$取整数值时，这些和的极限形式被考虑。
Error bounds for the asymptotic expansion of the Hurwitz zeta function
本文重新考虑了Hurwitz zeta函数$ζ(s,a)$的大$a$渐近展开.新的表示剩余项的渐近展开被发现，并用于获得尖锐和现实的误差界。应用程序的多Γ函数，Γ函数，巴恩斯$G$ -功能和$s$ -衍生物的赫维茨zeta功能$ζ(s,a)$的渐近展开。我们的误差界的清晰度也给出了详细的讨论。
On Fractional derivative of Hurwitz Zeta function and Jacobi Theta function
本文基于Grunwald-Letnikov分数阶导数的复推广形式，研究Hurwitz Zeta函数与Jacobi Theta函数的分数阶导数，提出推广的Hurwitz Zeta函数方程恒等式，推导Jacobi Theta函数方程并研究相关性质。
A note on some infinite sums of Hurwitz zeta functions
我们考虑了某些包含形式为\[\sum_{k=1}^\infty (\pm 1)^k k^m ζ(s,k),\]的Hurwitz zeta函数$ζ(s,α)$的无穷和的封闭形式估计，其中$m$是非负整数.对于$m=0$和用$ka+b$代替$ζ(s,k)$中的自变量$k$的和，其中$a$和$b$是正参数，我们还得到了一个适合于极限$a\to0$中计算的变换公式.
Remainder Padé approximants for the Hurwitz zeta function
本文基于先前研究，利用余项Pade近似法构造Hurwitzζ函数的近似，并证明其在正实轴上收敛，应用于ζ(2)和ζ(3)的新有理近似。
Some Additions to a Family of Sums and Integrals related to Hurwitz' Zeta Function(s), Euler polynomials and Euler Numbers
半无限域上涉及核函数$sech (πx)$的积分在黎曼函数$ζ(s)$和赫尔维茨函数$ζ(s,a)$的研究中具有广泛的意义。在被积函数中包含$arctan$和$log$函数的这种积分在这里用$ζ(s,a)$来计算，从而为已知的相关积分族增加了一些新成员。证明了一个声称的具有奇数自变量的$ζ(s)$与此类积分之间的联系。
Rational approximation to the Hurwitz-Lerch zeta function
本文基于作者1996年提出的“余项Padé逼近”方法的推广，构造了Lerch函数的有理逼近新序列，并应用于Stieltjes常数的逼近。
An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions
本文提出一种加速振荡级数收敛的算法，并将其应用于多对数函数和Hurwitz zeta函数的高效计算，扩展了Borwein的Riemann zeta函数算法。
Integrals of products of Hurwitz zeta functions and the Casimir effect in $ϕ^4$ field theories
我们评估两个积分$x\in [0,1]$涉及产品的功能$ζ_1(a,x)\equiv ζ(a,x)-x^{-a}$为$\Re (a)>1$，其中$ζ(a,x)$是赫维茨zeta功能。这些积分为整数$a\geq 2$的特定情况下的评价。作为应用，我们在$gϕ^4_{4-\varepsilon}$理论的框架下计算了由Symanzik [Schrödinger表象和Casimir效应在可重整化量子场论中，Nucl.Phys.B190（1981）1-44]首次提出的Dirichlet-Dirichlet边界条件下薄膜Casimir能量的$O(g)$弱耦合展开系数$c_{1}(\varepsilon)$.
Infinite order linear differential equation satisfied by $p$-adic Hurwitz-type Euler zeta functions
1900年，在国际数学家大会上，希尔伯特声称黎曼zeta函数$ζ(s)$不是任何代数常微分方程在其解析区域上的解。2015年，Van Gorder考虑了$ζ(s)$是否满足非代数微分方程的问题，并表明它形式上满足无限阶线性微分方程。最近，普拉多和Klinger-Logan扩展了Van Gorder的结果，表明Hurwitz zeta函数$ζ(s,a)$也形式上满足一个类似的微分方程\begin{equation*}\label{HurDE} T\left[ζ(s,a) - \frac{1}{a^s}\right] = \frac{1}{(s-1)a^{s-1}}. \end{equation*}，但不幸的是，在同一篇论文中，他们证明了算子$T$应用于Hurwitz zeta函数$ζ(s,a)$不收敛于复平面$\mathbb{C}$中的任何一点。本文通过定义Van Gorder算子$T,$的$p$ -adic模拟$T_{p}^{a}$，建立了由Hurwitz型Euler zeta函数\begin{equation*}\label{HEZ} ζ_E(s,a)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(n+a)^s}. \end{equation*}的$p$ -adic模拟$ζ_{p,E}(s,a)$所满足的Prado和Klinger-Logan微分方程的模拟。应用…
On the real zeroes of the Hurwitz zeta-function and Bernoulli polynomials
研究了Hurwitz zeta函数$$ζ(s,a)=\sum_{r=0}^{\infty}(a+r)^{-s}\qquad\qquad a > 0$$的实零点的性质。结果表明，对于大的负$σ$，$ζ(s,a)$在区域$a >\frac{-σ}{2πe}+\frac{1}{4πe}\log (-σ) +1$中没有实零点$(s=σ,a)$.在区域$0 < a < \frac{-σ}{2πe}$中，零渐近地位于具有整数$m$的线$σ+ 4a + 2m =0$处。如果$N(p)$是一些真正的零$ζ(-p,a)$与给定的$p$然后$$\lim_{p\to\infty}\frac{N(p)}{p}=\frac{1}{πe}.$$作为推论，我们有一个简单的证明Inkeri的结果，即数量的实际根的经典伯努利多项式$B_n(x)$为大$n$是渐近等于$\frac{2n}{πe}$。
Series over Bessel functions as series in terms of Riemann's zeta function
本文利用Hurwitz公式和三角级数求和公式，将Bessel函数级数转化为Riemann zeta函数级数，并求得有限和。
Ramanujan-type identities for alternating Hurwitz zeta functions
将拉马努金关于\(\zeta(2n + 1)\)的恒等式扩展到交错赫维茨zeta函数，研究其在不同模对称条件下性质及对应恒等式，还建立相关函数无穷级数表达式与变换公式。
Expressing a difference between two Hurwitz zeta functions in terms of the Gauss hypergeometric functions
作者以矩阵方程形式，将两个 Hurwitz zeta 函数之差表示为 Gauss 超几何函数的线性组合，解决了源自固态材料 Landau 能级量子化的问题。
The Stokes phenomenon associated with the periodic zeta function $F(a,s)$
利用Hurwitz zeta函数$ζ(s,a)$的指数改进的大- $a$展开式来研究周期zeta函数$F(a,s)$在变量$a$的上半平面中的展开。结果表明，在正虚$a$轴附近发生双斯托克斯现象，为$|a|\ra\infty$ .这是由于$F(a,s)$的组成部分涉及两个赫维茨ζ函数，导致两条平行的斯托克斯线相隔单位距离。数值计算证实了理论预测。
Multipoint Padé Approximation of the Hurwitz Zeta Function and a Riemann-Hilbert Steepest Descent Analysis
本文通过构造多点Padé逼近，利用Riemann-Hilbert问题与非线性最陡下降分析，研究Hurwitzζ函数的渐进行为及其边缘缩放特性。
Fourier Transform Representation of the Extended Fermi-Dirac and Bose-Einstein Functions with Applications to the Family of the Zeta and Related Functions
一方面，费米-狄拉克函数和玻色-爱因斯坦函数已经以这样一种方式被扩展，使得它们与黎曼函数和其他zeta函数密切相关。另一方面的傅里叶变换表示的伽马和广义伽马函数证明有用的推导各种积分公式，这些功能。本文利用延拓函数的傅里叶变换表示来计算这些函数乘积的积分。特别是我们评估一些积分包含黎曼和赫维茨zeta函数，这还没有被评估之前。
Asymptotic expansions for the alternating Hurwitz zeta function and its derivatives
本文研究交替 Hurwitz zeta 函数，建立了其在参数模趋于无穷时的渐近展开及余项估计，并进一步给出其高阶导数渐近展开和一个新的精确级数表示。
Euler-Hurwitz series and non-linear Euler sums
在本文中，我们推导出两个表达式的赫尔维茨zeta函数涉及完全贝尔多项式的限制情况下，其中q是一个正整数大于1。完整的贝尔多项式的参数包括广义谐波数函数。这些反过来又引起欧拉-赫维茨系列，然后可以用来确定身份的组合，线性和非线性欧拉总和。
The Barnes zeta-function, sphere determinants and Glaisher- Kinkelin-Bendersky constants
涉及赫维茨和黎曼zeta函数的求和和关系首先扩展到巴恩斯zeta函数，然后到一般类型的zeta函数。分析的动机是评价领域的直接扩展方法和正规化的总和治疗的决定因素。对现有的计算方法进行了评述。甲卡鲁扎-克莱因技术介绍提供一个决定性的解释的Glaisher-Kinkelin-Bendersky常数，然后推广到任意zeta函数。这种技术允许一个改进的治疗领域的决定因素。
Determining the Indeterminate: On the Evaluation of Integrals that connect Riemann's, Hurwitz' and Dirichlet's Zeta, Eta and Beta functions
本文研究了连接黎曼、Hurwitz和狄利克雷ζ、η和β函数的积分的评估，揭示了与本质奇点相关的不定性，并提出了新的符号和方法来处理这些积分。
Vanishing of Witten zeta function at negative integers
利用涉及Hurwitz zeta函数的积分表示，证明了根系Φ的Witten zeta函数在负偶数处具有高阶消失，解决了Kurokawa和Ochiai对一大类紧李群的猜想，并给出了相应首项系数的定性描述。
A Remarkable Definite Integral
一个积分公式的开发，适用于一个基本上是任意的功能。应用程序是由黎曼ζ函数。
Fractional Laplacians on the sphere, the Minakshisundaram zeta function and semigroups
在本文中，我们展示了新的潜在的连接之间的分数幂拉普拉斯的单位球和功能，从解析数论和微分几何，如赫维茨zeta函数和Minakshisundaram zeta函数。受Minakshisundaram思想的启发，我们找到了球面上Dirichlet-to-Neumann映射的分数幂对$(-Δ_{\mathbb{S}^{n-1}})^s u(x)$的精确逐点描述.单位球的泊松核对于这部分分析是必不可少的。另一方面，利用球面上的热半群，得到了点态积分微分公式。最后，我们证明了一个局部扩张问题和内部Harnack不等式的特征。
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