The local Langlands correspondence for GL(n) over p-adic fields
T. Wedhorn
本文介绍了p-adic域上GL（n）的局部朗兰兹对应的表述和构造。重点在于对通信的陈述和解释。
This work is intended as an introduction to the statement and the construction of the local Langlands correspondence for GL(n) over p-adic fields. The emphasis lies on the statement and the explanation of the correspondence.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Langlands program for $p$-adic coefficients and the petites camarades conjecture
本文证明了，如果Deligne的“petites camarades猜想”成立，那么对于有限域上平滑曲线上的$p$ -adic系数，Langlands型对应也成立.证明了光滑簇上秩小于或等于2的过收敛$F$ -同晶是$ι$ -混合的.
We construct infinitely many non-isotrivial families of abelian varieties over given four punctured projective lines. These families lead to algebraic solutions of Painleve VI equation. Finally, based on a recent paper by Lin-Sheng-Wang, we prove a complete characterization for the locus of motivic Higgs bundles in the moduli space as fixed points of an ``additive'' self-map. This is a note based on the lecture given by the second named author on 04 Nov. 2022 at Tsinghua University.
p-adic Jacquet-Langlands correspondence and patching
我们描述了两个候选人的本地p-adic雅凯朗兰兹对应和修补我们表明，他们实际上是同构的。然后，我们研究当地的代数向量的对应关系。
Quantum Langlands Correspondence
这些是写于2007年的非正式笔记，概述了局域和全局量子朗兰兹计划。（鉴于人们对这一问题的兴趣重新燃起，我决定将它们公之于众。）
The Local Langlands correspondence for $\GL_n$ over $p$-adic fields
我们重新证明了局部Langlands对应$\GL_n$在$p$ -adic域以及存在的$\ell$ -adic伽罗瓦表示附加到（大多数）正则代数共轭自对偶尖形自守表示，我们证明了一个局部-全局兼容性声明，在书中的哈里斯-泰勒。与Henniart和Harris-Taylor给出的局部朗兰兹对应的证明相反，我们的证明完全绕过了Henniart的数值局部朗兰兹对应。相反，我们利用以前的结果描述的惯性不变附近的周期在某些常规的情况下。
We establish several new properties of the $p$-adic Jacquet-Langlands functor defined by Scholze in terms of the cohomology of the Lubin-Tate tower. In particular, we reprove Scholze's basic finiteness theorems, prove a duality theorem, and show a kind of partial Künneth formula. Using these results, we deduce bounds on Gelfand-Kirillov dimension, together with some new vanishing and nonvanishing results. Our key new tool is the six functor formalism with solid almost $\mathcal{O}^+/p$-coefficients developed recently by the second author [Man22]. One major point of this paper is to extend the …
Geometric Langlands in positive characteristic from characteristic zero
本文在正特征域上证明了几何朗兰兹猜想的部分结论，即幂零奇异支撑的自守层范畴与朗兰兹参数栈部分分量上的ind-凝聚层范畴等价。
On a vanishing conjecture appearing in the geometric Langlands correspondence
设$X$是光滑的完备曲线，$Bun_n$是$X$上秩$n$向量丛的模栈.假设$E$是$X$上的本地系统。在E.Frenkel，K.Vilonen和作者最近的一篇论文中，证明了从范畴$D(Bun_n)$作用到自身的某个函子$Av_E^d$的消失蕴涵几何Langlands猜想。在本文中，我们建立所需的消失的结果。我们的证明适用于char=0系数的层，或者当参数$d$小于特征时具有挠系数的层。
We show that the completed Hecke algebra of $p$-adic modular forms is isomorphic to the completed Hecke algebra of continuous $p$-adic automorphic forms for the units of the quaternion algebra ramified at $p$ and $\infty$. This gives an affirmative answer to a question posed by Serre in a 1987 letter to Tate. The proof is geometric, and lifts a mod $p$ argument due to Serre: we evaluate modular forms by identifying a quaternionic double-coset with a fiber of the Hodge-Tate period map, and extend functions off of the double-coset using fake Hasse invariants. In particular, this gives a new proo…
Geometric Langlands correspondence for SL(2), PGL(2) over the pair of pants
建立了射影直线上具有三个驯服分支点的秩为一的群的几何朗兰兹对应。
Constructing families of abelian varieties of $\text{GL}_2$-type over $4$-punctured complex projective line via $p$-adic Hodge theory and Langlands correspondence and application to algebraic solutions of Painleve VI equation
本研究借助p进霍奇理论与朗兰兹对应，构造了4穿孔射影直线上无穷多族带特定坏约化的$\text{GL}_2$型阿贝尔簇，结合相关猜想证明其可由椭圆曲线泛族挠截面参数化，且可导出Painleve VI方程的代数解。
Langlands correspondence for isocrystals and the existence of crystalline companions for curves
本文给出了曲线上同晶的朗兰兹对应。这表明在曲线情况下存在晶体伴侣。为了证明这一点，我们构造了对角态射有限的代数栈的算术$\mathscr{D}$ -模理论。
On Quantization of the Geometric Langlands Correspondence I
由于一些技术问题不清楚，以及对量子化猜想缺乏合理的陈述，本文已被撤回。
Geometrization of the local Langlands correspondence: an overview
本文综述了作者提出的局部朗兰兹对应的几何化猜想。
Shtukas for reductive groups and Langlands correspondence for function fields
我们讨论最近的事态发展在朗兰兹计划的功能领域，并在几何朗兰兹计划。特别是，我们解释了一个典型的分解的尖形自守形式的任何约化群G在一个函数域，全球朗兰兹参数索引的空间。证明使用了多重修改的G-shtukas的上同调和几何佐竹等价。
Geometric Langlands Correspondence Near Opers
我们将范畴几何Langlands对应从光滑射影代数曲线上de Rham局部系统堆栈中opers的轨迹推广到opers的形式邻域（对于任何半单复代数群）.
$\infty$-Categorical Generalized Langlands Correspondence III: $\infty$-Stackification
本研究属于数论与代数几何领域，利用∞-范畴化和∞-解析栈化方法，对广义朗兰兹纲领展开进一步的探讨。
On the geometrization of the local Langlands correspondence
本文综述了 Fargues-Scholze 对局部朗兰兹对应几何化的研究。
Following Weinstein, Boyarchenko-Weinstein and Imai-Tsushima, we construct a family of affinoids in the Lubin-Tate perfectoid space and formal models such that the cohomology of the reduction of each formal model realizes the local Langlands correspondence and the local Jacquet-Langlands correspondence for certain representations. In the terminology of the essentially tame local Langlands correspondence, the representations treated here are characterized as being parametrized by minimal admissible pairs in which the field extensions are totally ramified.
Affine Deligne-Lusztig varieties of higher level and the local Langlands correspondence for $GL_2$
本文定义了特征为$p > 0$的局部域上连接约化群的仿射Deligne-Lusztig簇的覆盖。在$\GL_2$的情况下，局部朗兰兹对应的非分歧部分在这些簇的$\ell$ -adic上同调中实现。我们表明这一点，通过实现局部朗兰兹通过尖型Bushnell-Henniart的详细比较。所有的证据都是纯粹的地方性的。
Geometric realization of the local Langlands correspondence for representations of conductor three
本文通过纯局部几何方法，在 Lubin-Tate 曲线上同调中实现了 Weil 群导子为三的二维表示的局部 Langlands 对应。
These are lecture notes (by the first author) from a course (by the second author) given over two extended semesters at the University of Sydney. The first part provides an introduction to the Langlands correspondence from an arithmetical point of view. The second part gives enough background in geometric representation theory to understand Bezrukavnikov's equivalence, which is a categorification of Kazhdan and Lusztig's two realizations of the affine Hecke algebra.
$\infty$-Categorical Generalized Langlands Program I: Mixed-Parity Modules and Sheaves
本研究在小v-栈框架下构建混合奇偶性场景的p进霍奇理论基础，研究对应模v-栈，为广义朗兰兹纲领提供支撑，并给出Moduli_G上理论的p进上同调化实现。
Twisted Hilbert modular surfaces, arithmetic intersections and the Jacquet-Langlands correspondence
本文研究了实二次域上的扭曲（四元数）Hilbert模曲面和Shimura曲线的算术交。我们的第一个主要结果是算术扭曲Hilbert模曲面的顶部算术Todd类的程度的确定。这个量然后通过算术Grothendieck-Riemann-Roch定理和Jacquet-Langlands对应关系与志村曲线的算术体积相关。
Geometric approach to the local Jacquet-Langlands correspondence
本文在除代数的不变量为1/n的假设下，给出了p-adic域上GL（n）的局部Jacquet-Langlands对应的一种纯几何方法.我们利用Drinfeld塔的l-adic etale上同调构造了有理系数Grothendieck群水平上的对应。此外，假设n是素数，我们证明了这种对应保持不可约表示。在这种情况下，这给出了局部Jacquet-Langlands对应的纯局部证明。我们既不需要一个整体自守技术，也不需要GL（n）的超尖点表示的详细分类。
A geometric interpretation of the nilpotent part of local Langlands correspondence modulo l
设p和l是两个不同的素数。我们展示了如何，在一定的同余假设下，模l上同调的鲁宾-泰特塔与一定的Lefschetz算子提供了一个几何解释Vigneras的Langlands对应的p-adic域模l系数。
Recent Advances in the Langlands Program
以下是作者于2003年1月17日在巴尔的摩AMS会议的“时事”特别会议上所作的演讲笔记。回顾的主题包括函数域情况下GL（n）的朗兰兹对应及其由V.Drinfeld和L.Lafforgue证明，GL（n）的几何朗兰兹对应及其由D.Gaitsgory，K.Vilonen和作者证明，以及A.Beilinson和V.Drinfled关于Hitchin系统的量子化和任意半单代数群的朗兰兹对应的工作。
Travaux de Frenkel, Gaitsgory et Vilonen sur la correspondance de Drinfeld-Langlands
1967年，朗兰兹在数域和函数域上证明了自守表示和伽罗瓦表示之间的自然对应。1983年，Drinfeld发现了函数域情形下的Langlands对应的几何模拟，推广了Lang和Rosenlicht的几何类域理论。所谓Drinfeld-Langlands对应是两个模空间之间的一种代数对偶，这两个模空间自然地与一条代数曲线X和一个约化群G相联系。当X是射影的且G是一般线性群GL（n）时，最近E. Frenkel，D. Gaitsgory et K.维洛宁
Computing genus 2 Hilbert-Siegel modular forms over $\Q(\sqrt{5})$ via the Jacquet-Langlands correspondence
本文给出了计算窄类数为1的实二次域上Hilbert-Siegel尖点形式的Hecke本征系的一个算法。我们使用二次域$\Q(\sqrt{5})$给出一些说明性的例子。在这些例子中，我们确定希尔伯特-西格尔本征形是希尔伯特本征形的可能提升。
Tame categorical local Langlands correspondence
本文系统阐述范畴算术局部朗兰兹猜想中的局部朗兰兹范畴，并在拟分裂非分歧约化群的驯顺情形下证明该猜想，进而探讨其范畴等价的首批应用。
Geometric tamely ramified local theta correspondence in the framework of the geometric Langlands program
本文在几何Langlands程序的框架下，研究了特征为$p\neq 2$的非阿基米德域$F$上的II型对偶约化对在Iwahori水平上的几何局部θ对应.首先，我们构造和研究的Iwahori-Hecke代数的Weil表示的不变量的几何版本。在$(GL_1, GL_m)$的特殊情况下，我们给出了相应范畴的完整几何描述。第二部分的文件涉及几何局部Langlands函在岩堀水平在一般设置。给定两个约化连通群$G$，$F$上的$H$和Langlands对偶群的态射$\check{G}\times \mathrm{SL}_2\to\check{H}$，构造了$H$和$G$的仿射扩张Hecke代数上的双模，该双模在Iwahori水平上实现了几何局部Arthur-Langlands函子.然后，我们提出了一个猜想，描述的几何局部θ对应在岩堀水平在第一部分中构造的双模方面，我们证明了我们的猜想对$(GL_1, GL_m)$。
Geometric approach to the explicit local Langlands correspondence
本文提出了一种几何策略，给出了非阿基米德局部域上GL（n）不可约超尖点表示的Langlands参数的显式描述.其关键是比较Lubin-Tate空间中仿射胚在无穷水平上的上同调与其形式模型的约化的上同调。作为例子，我们处理的情况下，深度0超尖点表示和简单的超尖点表示。
Geometrization of the local Langlands correspondence, motivically
本文通过动机层理论扩展了局部朗兰兹对应式的几何化研究，证明了L参数对ℓ的独立性。
Derived structures in the Langlands Correspondence
本文综述了 Langlands 对应中出现的导出结构，涵盖导出 Galois 形变环、导出 Hecke 代数、导出 Hitchin 叠等案例，并指出了未来研究的关键开放问题。
In this expository paper we provide a geometric proof of the local Langlands Correspondence for the groups $\operatorname{GL}_{1}$ defined over $p$-adic fields $K$. We do this by redeveloping the theory of proalgebraic groups and use this to derive local class field theory in the style of Serre and Hazewinkel. In particular, we show that the local class field theory of Serre and Hazewinkel is valid for both equal characteristic and mixed characteristic ultrametric local fields. Finally, we use this to prove an equivalence of the categories of smooth representations of $K^{\ast}$ with continuou…
Quantum q-Langlands Correspondence
我们制定了一个两个参数的推广的几何朗兰兹对应，我们证明了所有简单的花边李代数。它确定了量子仿射代数和变形W-代数的q-共形块与两个Langlands对偶李代数。我们的证明依赖于最近的结果在量子K理论的Nakajima品种。对应的物理起源是6d小弦论。量子朗兰兹对应出现在6d弦论成为具有（2，0）超对称性的6d共形场论的极限。
Preservation of depth in local geometric Langlands correspondence
预计在温和的条件下，局部朗兰兹对应保持深度的表示。在这篇文章中，我们制定了一个几何几何的期望。我们证明了这个猜想的一半表明，一个范畴表示的循环组的深度是小于或等于其潜在的几何朗兰兹参数的深度。我们的证明的一个关键因素是一个新的定义的斜率的亚纯连接，一个定义，它使用opers。在附录中，我们考虑了我们的猜想和朱的猜想之间的关系的非零的Hecke本征层所产生的Beilinson和Drinfeld的量化希钦的纤维化的非常数群。
Correspondance de Langlands locale $p$-adique et anneaux de Kisin
本文借助 $\mathcal B$-进完备化与 $\mathrm{GL}_2(\mathbf Q_p)$ 的 $p$-进局部 Langlands 对应，从经典对应直接构造 Kisin 环及二维通用 Galois 表示，并统一证明超尖点情形的几何 Breuil–Mézard 猜想。
We begin this paper by reviewing the Langlands correspondence for unipotent representations of the exceptional group of type $G_2$ over a $p$-adic field $F$ and present it in an explicit form. Then we compute all ABV-packets, as defined in [CFM+21] following ideas from Vogan's 1993 paper The local Langlands Conjecture, and prove that these packets satisfy properties derived from the expectation that they are generalized A-packets. We attach distributions to ABV-packets for $G_2$ and its endoscopic groups and study a geometric endoscopic transfer of these distributions. This paper builds on ear…
Cayley and Langlands type correspondences for orthogonal Higgs bundles
通过Cayley和Langlands型对应，给出了希钦纤维化的正则纤维中任意签名的实正交和辛Higgs丛的模空间的几何描述.作为我们的方法的应用程序，我们完成了具体的阿贝尔化的实切片对应的所有准分裂的实形式，并描述了额外的组件自然出现的光谱数据的角度来看。
Unramified two-dimensional Langlands correspondence
本文描述了二维局部域的非分歧Langlands对应，构造了非分歧主列表示的范畴模拟，并研究了它的性质.这种描述的主要工具是中央扩展的构造。对于这个（和其他）中心扩展，我们证明了非交换互惠法律（即分裂的中心扩展在一些子群）的算术表面和射影表面在有限域。这些互易律连接了局部和全局构造的中心扩张。
We continue to develop the analytic Langlands program for curves over local fields initiated in arXiv:1908.09677, arXiv:2103.01509 following a suggestion of Langlands and a work of Teschner. Namely, we study the Hecke operators introduced in arXiv:2103.01509 in the case of P^1 over a local field with parabolic structures at finitely many points for the group PGL(2). We establish most of the conjectures of arXiv:1908.09677, arXiv:2103.01509 in this case.
Local geometric Langlands correspondence and affine Kac-Moody algebras
通过复约化群G的局部几何Langlands对应，我们得到了一个构造，它赋给G的Langlands对偶群的穿孔圆盘上的一个局部系统，这是一个具有形式环群G（（t））的作用的范畴。我们提出了这些范畴作为相应的临界水平仿射Kac-Moody代数的表示范畴的一个代数描述，在某些情况下，作为ind-scheme G（（t））/K上的D-模范畴的一个代数描述.我们详细描述了这些类别和它们之间的相互关系，并为我们的解释提供支持证据。特别地，我们证明了临界能级表示的某个商范畴等价于与Langlands对偶群相关的幂零算子概型的增厚上的拟相干层范畴.
Local Geometric Langlands Correspondence: the Spherical Case
一个仿射Kac-Moody代数g^上的模称为球面模，如果李子代数g[[t]]在它上的作用积分为相应群G[[t]]的代数作用。考虑临界水平的球g^-模范畴。本文证明了这一范畴等价于穿孔圆盘上未分歧为局部系统的opers的ind-scheme上的拟凝聚层范畴。这一结果是一个明确的版本，著名的描述球面向量的表示团体在当地的非阿基米德领域。它可以被视为arXiv：math/0508382中提出的局部几何朗兰兹对应的特殊情况。
On Langlands functoriality- reduction to the semistable case
我们推广了Blasius和Ramakrishnan的一个漂亮的方法，为了展示朗兰兹函子对应的特定实例，只要证明对应在半稳定的情况下成立就足够了，只要我们考虑的算术数据关于循环基变化和下降是封闭的。
A special case of the geometric Langlands correspondence is given by the relationship between solutions of the Bethe ansatz equations for the Gaudin model and opers - connections on the projective line with extra structure. In this paper, we describe a deformation of this correspondence for $SL(N)$. We introduce a difference equation version of opers called $q$-opers and prove a $q$-Langlands correspondence between nondegenerate solutions of the Bethe ansatz equations for the XXZ model and nondegenerate twisted $q$-opers with regular singularities on the projective line. We show that the quant…
The Langlands correspondence for complex curves is traditionally formulated in terms of sheaves rather than functions. Recently, Langlands asked whether it is possible to construct a function-theoretic version. In this paper we use the algebra of commuting global differential operators (quantum Hitchin Hamiltonians and their complex conjugates) on the moduli space of G-bundles of a complex algebraic curve to formulate a function-theoretic correspondence. We conjecture the existence of a canonical self-adjoint extension of the symmetric part of this algebra acting on an appropriate Hilbert spac…
Quantum Analytic Langlands Correspondence
本文提出 Analytic Langlands Correspondence 的单参数形变，将其与量子场论相联系，并利用 $H_3^+$ WZNW 模型配分函数和 Verlinde 线算符探讨复 Chern-Simons 理论量子化，猜想其生成 Hilbert 空间的基。
Classical limit of the geometric Langlands correspondence for $SL(2, \mathbb{C})$
本文通过显式参数化和分离变量方法，描述了Hitchin模空间的可积结构，并揭示了其与Drinfeld几何朗兰兹构造的类比，可视为该构造在复数域上的经典极限。
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