Solutions of Inverse Problems for Variational Calculus
Mircea Neagu
本文研究了黎曼空间到广义Lagrange空间的方向上的调和映射。同时证明了某些常微分方程或偏微分方程的C^2类解是本文意义下的调和映射。
The paper studies the harmonic maps on a direction between a Riemannian space and a generalized Lagrange space. Also, it is proved there that the solutions of C^2 class of certain ODEs or PDEs are harmonic maps, in the sense of this paper.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On the geometry of variational calculus on some functional bundles
本文首先将形式外微分的运算推广到有限维纤维流形的情形，然后将其推广到某些光滑映射丛的情形。为了刻画光滑映射丛之间某些态射的算子阶，我们引入了纤维状$(k,r)$ -喷的概念。描述了变分法与欧拉-拉格朗日态射的关系。
Bundle-theoretic methods for higher-order variational calculus
给出了任意向量丛上分部积分公式的几何解释。作为应用，我们给出了高阶变分学的一个新的几何公式。
Generalized variational calculus for continuous and discrete mechanical systems
本文考虑变分学的一个推广，它允许我们在同一个框架内考虑力学系统的不同情况，例如拉格朗日力学，哈密顿力学，受约束的系统，最优控制理论等等，这个推广的变分学是基于两个主要的概念：曲线的切提升和向量场的完全提升。这两个概念也适用于斜对称代数胚的情况下，因此，我们的形式很容易扩展到李代数胚和非完整系统的情况下。因此，该框架自动包括受到或不受到约束的简化机械系统。最后，我们表明，我们的形式主义可以用来解决离散力学的情况下，包括减少系统，系统受到约束和离散最优控制理论。
Variational calculus with constraints on general algebroids
变分演算的向量丛E配备了一个结构的一般代数体的开发，连同相应的类似物的欧拉-拉格朗日方程。约束系统中引入的变分和几何设置。导出了完整、非完整和非完整约束下的欧拉-拉格朗日方程。这个通用模型涵盖了文献中出现的大多数一阶拉格朗日系统，并简化为标准变分法和经典力学中的Euler-Lagrange方程（E=TM）。
The $\mathcal{L}$-Calculus for Causal Variational Principles: An Exterior Differential Calculus on Non-Smooth Spaces
本文针对非光滑空间，开发了适用于因果变分原理的$\boldsymbol{\tilde{\textit{L}}}$演算，将外微分演算及相关拓扑结构推广至非光滑空间，证明了斯托克斯定理等相关定理并辅以示例说明。
Variational calculus on Lie algebroids
证明了李代数体上的拉格朗日系统的欧拉-拉格朗日方程可以作为定义在Banach曲线流形上的作用泛函的临界点的方程。研究了降阶理论及其与拉格朗日乘子法的关系。
On the exact inverse problem of the calculus of variations
本文讨论了一个给定的微分方程组与一个适当变分的欧拉-拉格朗日方程组是否相同的问题。基本方法适用。主要结果涉及与二阶欧拉-拉格朗日系统有关的一阶变分积分的确定。
Inverse problem in the calculus of variations -- functional and antiexact forms
我们将著名的变分双复变函数形式理论与反精确微分形式理论联系起来。我们确定反精确的功能形式作为一个障碍的变分微分方程。最突出的结果，这一观察是制定的变分问题的一些微分方程是不是变分，也没有变分乘数。热、Navier-Stokes和KdV方程说明了这种新的变分原理。
Hamiltonian dynamics and constrained variational calculus: continuous and discrete settings
本文利用方便辛流形的拉格朗日子流形和Tulczyjew三元组，研究哈密顿动力学与约束变分法之间的关系，并推广到离散动力学和非完整力学，应用于哈密顿系统的几何积分。
Prototypes of higher algebroids with applications to variational calculus
李群胚的高切丛的约化提供了我们称之为高代数胚的几何结构的自然例子。这样的对象也可以从任意的几乎李代数胚抽象地构造。一个高等代数胚原则上是一个配备了特殊类型的微分关系（Zakrzewski态射）的分次丛。本文研究了高等代数胚的基本性质，并给出了一些应用。也就是说，我们开发了一个几何框架变分演算的高等代数体（包括力和动量）。这样的形式同时涵盖了高级切丛上的变分问题、代数胚上的一阶问题以及由对称性约化的高阶问题。
New progress in the inverse problem in the calculus of variations
本文给出了任意维变分反问题的一类新的解$n$。这是确定$n$二阶常微分方程系统的拉格朗日量的存在性和唯一性的问题。我们还提供了一些新的定理，反问题的使用外微分系统理论（EDS）。集中在EDS过程的差分步骤，我们的新结果提供了一个显着的进步，在任意维的反问题的理解。特别是，我们指出如何概括杰西道格拉斯著名的解决方案$n=2$。我们给出了2，3，4维中的一些非平凡例子。我们完成了一个新的分类方案的反问题在任意维。
Integration by parts and vector differential forms in higher order variational calculus on fibred manifolds
在经典（非量子）域论中，作用泛函的无穷小变分与高阶导数是用定义明确的内在几何对象来表示的，它与变化的特定场无关。“分部积分法”程序的这种变化，然后描述在纯粹的形式语言，并示出包括在应用非线性格林公式的拉格朗日的垂直微分。Euler-Lagrange表达式和Green算子通过与给定变分问题相关的某些向量丛值微分形式的简单拉回来计算。
On complexes related with calculus of variations
研究了无穷喷流空间上的变分复形和多维路径的拉格朗日量的变分导数复形，并研究了它们之间的关系。变分（双）复杂的讨论是建立在一个平面连接的喷丛。我们使用一个特殊的新的形式类扩展到supercase。建立了变分导数复形与变分复形的关系。某些微积分的拉格朗日多维路径的发展。它示出了如何协变拉格朗日高阶可以用来表示特征类。
The inverse problem of the calculus of variations for systems of second-order partial differential equations in the plane
给出了一类二阶双曲型偏微分方程两个自变量的变分反问题的乘子形式的完全解.给出了变分乘子存在的充分必要代数条件和微分条件。它表明，独立的变分乘子的数量是由一个完全代数系统的方程与给定的偏微分方程组偏微分方程组的零点。几个例子证明了反问题的求解算法。研究了两个独立变量和因变量的二阶偏微分方程系统，并将具有多个变分形式的系统分类为接触等价。
The inverse problem of the calculus of variations for discrete systems
我们开发了一个几何版本的离散力学和约束离散力学的变分法反问题。几何方法包括使用适当的拉格朗日和各向同性子流形。我们还提供了一个过渡之间的离散和连续的问题，并提出可变性作为一个有趣的几何属性，考虑到在数值积分器的设计和计算机模拟。
Presymplectic current and the inverse problem of the calculus of variations
变分法的反问题是问一个给定的偏微分方程组是否存在变分公式。我们表明，存在的变分双复形的前辛形式，当水平封闭的解决方案，使我们能够构建一个变分制剂的一个子系统的给定偏微分方程。没有约束的微分阶数或因变量或自变量的数量被假定。证明如下最近的观察桥梁，海顿和劳森和推广的老结果亨诺从常微分方程（ODEs）偏微分方程。文中还讨论了变分形式的唯一性。
Exterior differential systems on Lie algebroids and the invariant inverse problem of the calculus of variations
本文研究了Lie algebroids上的外微分系统，提出积分流形的概念，并应用到具有对称群的动力系统及变分学的不变反问题中。
An alternative form of the Helmholtz criterion in the inverse problem of calculus of variations
本文给出了变分法反问题局部解存在的一个充要条件，它是在扩展空间（自变量数加1）上泛函的变分同零，并利用无穷维场空间上的de Rham复形解释了它与经典Helmholtz判据的关系.
Discrete variational calculus for double-bracket dissipation
本文提出一种离散变分积分器，用于处理具有双重括号耗散的机械系统，保持共伴随轨道精确性，并通过不同数值模拟比较其优势。
Semi-basic 1-forms and Helmholtz conditions for the inverse problem of the calculus of variations
我们使用Frölicher-Nijenhuis理论获得全球亥姆霍兹条件，表示在一个半基本的1-形式，当一个semispray是局部拉格朗日的特征。我们还讨论了这些亥姆霍兹条件和他们的经典配方之间的关系，使用乘子矩阵。当半基本1-形式是1-齐次（0-齐次）时，我们证明了两个（一个）Helmholtz条件是其他条件的后果。这两种特殊情况对应于变分法中的两个逆问题：喷雾的芬斯勒度量化和喷雾的投影度量化。
Formal Integrability for the Nonautonomous Case of the Inverse Problem of the Calculus of Variations
我们解决的可积性条件的反问题的变分法的时间依赖SODE使用斯宾塞版本的Cartan-Kähler定理。考虑由两个Helmholtz条件给出的线性偏微分算子$P$的半基本1-形式，研究其形式可积性.我们证明了$P$是对合的，并且该算子的形式可积性只有一个障碍。障碍表示的曲率张量$R$的诱导非线性连接。我们恢复了一些类的拉格朗日半投影：平坦的半投影，迷向半投影和任意半投影的2维流形。
Magnetic equations on the Heisenberg group: symmetries, solutions and the inverse problem of the calculus of variations
本文研究Heisenberg群上磁方程的对称性、解及变分学逆问题，通过显式计算磁轨迹并展示其作为变分问题解的性质。
Divergences as a grading of the formal variational calculus
证明了域论泊松括号的新公式自然地产生于形式变分法的发散推广。局部泛函、演化向量场、泛函形式、多向量和微分算子的线性空间在发散性方面是分等级的。向量场对泛函的作用、向量场的交换子、形式与向量的内积以及Schouten-Nijenhuis括号等双线性运算都与分次相容。给出了伴随分次算子的定义，并利用边界项构造了反对称算子。新的泊松括号的雅可比恒等式的实现被证明是等价于消失的Schouten-Nijenhuis括号的泊松双向量本身。作为一个例子，它表明，第二结构的Korteweg-de Vries方程是不是哈密顿的新括号，直到特殊的边界条件规定。
The inverse problem in the calculus of variations: new developments
该研究利用外微分系统理论（EDS）探讨二阶常微分方程组拉格朗日量的存在唯一性，推广了Jesse Douglas的n=2情形经典解，还给出任意维数的新解类及三维非平凡示例。
Geometric aspects of higher order variational principles on submanifolds
本文研究了子流形的射流的几何，特别关注它与变分法的关系。给出了子流形上喷流变分问题的一个新的内禀几何形式。提供了工作实例。
Variational properties of the total inverse mean curvature in the plane under boundary constraints
该研究针对半平面内带指定边界的曲线，分析其总逆平均曲率的变分行为，明确了给定面积下临界点的存在性与强稳定性，并据此推导出局部极小性性质，丰富了平面曲线变分问题的相关结论。
Helmholtz conditions and symmetries for the time dependent case of the inverse problem of the calculus of variations
本文利用Frölicher-Nijenhuis理论，在第一喷流束$J^1π$上，给出了二阶常微分方程不定常系统变分反问题的一个新的形式.证明了一个由半基本1-形式构成的不定常SODE系统是Lagrangian的当且仅当一个特殊的半基本1-形式类$S$不为空.给出了半基本1-形式类$Λ^1_S(J^1π)$的整体Helmholtz条件.每一个这样的类都包含某个拉格朗日函数的Poincaré-Cartan 1-形式。证明了如果在$Λ^1_S(J^1π)$中存在一个非Poincaré-Cartan 1-形式的半基本1-形式，则它决定了给定SODE系统的一个对偶对称和一个首次积分.
Weak inverse problem of calculus of variations for geodesic mappings and relation to harmonic maps
本文研究了测地映射与调和映射之间的关系。调和映射被定义在作为能量泛函临界点的黎曼流形之间，测地线映射被定义在更一般的情况下（具有仿射联络的流形）.利用已建立的流形上变分法的形式，我们解决了测地映射方程的弱反问题，得到了一个变分方程，它是测地映射方程的一个推论.对于目标流形上的联络，我们得到了预期的结果，即它是一个度量联络。然而，我们发现源流形上的联络不一定是度量的。有趣的结果是，导致目标流形上的连接的度量可以在纤维之间改变，并且这些改变与源流形上的连接有关。这些结果暗示了一种可能性，即比通常假设的更一般的结构。
A global variational calculus on Fréchet manifolds and the Lagrangian structure of the Einstein evolution equations
该研究建立弗雷歇流形上的变分演算，将其应用于爱因斯坦演化方程的拉格朗日形式化，推导约束传播恒等式，证明相关定理并揭示受约束爱因斯坦演化的测地线性质。
Metric-affine cosmological models and the inverse problem of the calculus of variations. Part 1: variational bootstrapping -- the method
本文提出面向多动力学变量理论的变分自举方法，证明仅凭度规方程的猜测即可完备化度规-仿射引力理论并恢复广义协变拉格朗日量，同时分类4维时空中仅含联络畸变的残余项。
Cohomology of the variational bicomplex on the infinite order jet space
在有限喷流级的外形式类中，得到了光滑纤维丛的无穷级喷流空间上的变分双复形的上同调。这提供了纤维丛上有穷级变分法的全局反问题的一个解。
Geometric variational crimes: Hilbert complexes, finite element exterior calculus, and problems on hypersurfaces
本文建立了一个抽象希尔伯特复形中变分犯罪的分析框架，并将其应用于超曲面上的有限元外微积分，推广了Arnold、Falk和Winther的工作，恢复了Dziuk和Demlow的先验估计，并推广到任意维超曲面上的混合有限元方法。
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