Remarks about uniform boundedness of rational points over function fields
Lucia Caporaso
本文证明了函数域上曲线及其有理点的Mordell-Lang猜想和Shafarevich猜想的几个统一形式。主要研究对复数具有高超越度的函数域。
We prove a few uniform versions of the Mordell-Lang Conjecture and of the Shafarevich Conjecture for curves over function fields and their rational points. The main focus is on function fields having high transcendence degree over the complex numbers.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Boundedness for some rationally connected threefolds in $\mathbb P^6$
在一些额外的假设下，我们证明了$\mathbb P^6$中有理连通三重的有界性。
Boundedness of total Cartier indices for rational singularities in families
本文研究了有理奇点族中变种的总Cartier指数有界性问题，通过分别处理二维和高维情况，解决了Han和Jiang提出的问题。
Boundedness of elliptic Calabi-Yau varieties with a rational section
本文证明了在典范类挠指数有界且椭圆纤维化具有有理截面的条件下，固定维数的 klt 椭圆卡拉比-丘簇在余维一内有界，并将三维情形推广到有理连通的 ε-lc 对。
Uniform boundedness for rational points
推广了Dan Abramovich的一个结果，证明了S. Lang的结果暗示了在$K$上定义的亏格$g$的所有光滑曲线上的$K$ -有理点个数的一致界的存在，其中$K$是固定次数$d$的任意数域，$g$是大于1的整数.该界仅依赖于亏格$g$和数域$K$的次数。
A Ganzstellensatz for semi-algebraic sets and a boundedness criterion for rational functions
设$\langle K,ν\rangle$是实闭值域，$S\subseteq K^n$是开半代数集.利用模型论的工具，我们找到了有理函数的一个代数特征，它在$S$上只允许赋值环中的值。利用这个结果，我们得到了实闭域或实闭包稠密的序域上的有理函数在某个不可约簇的开半代数子集上有界的一个判别准则.
A remark on uniform boundedness for Brauer groups
数域上簇上因子的Tate猜想等价于Brauer群中$\ell$ -准素挠的有限性.我们表明，这种有限性实际上是统一的，在一维家庭的品种，满足泰特猜想的除数-例如阿贝尔簇和$K3$表面。
On the height boundedness of periodic and preperiodic points of dominant rational self-maps on projective varieties
本文推翻了关于周期点高度有界的猜想，并证明了在射影簇上某些主导有理自映射的周期点集高度有界，同时指出前周期点可能不满足这一性质。
Logarithmic Kodaira-Akizuki-Nakano vanishing and Arakelov-Parshin boundedness for singular varieties
文章分为两个部分。第一部分是证明Esnault和Viehweg的对数Kodaira-Akizuki-Nakano消灭定理的奇异形式。然后用它来证明其他的消灭定理。第二部分利用这些消灭定理证明了具有有理Gorenstein奇点的正则极化簇族的一个Arakelov-Parshin型有界性结果。
Finite $p$-groups of birational automorphisms and characterizations of rational varieties
研究了双有理自同构群的有限$p$ -子群。利用Fano簇的有界性定理，证明了存在一个常数$R(n)$，使得代数闭域上的维数为$n$的有理连通簇是有理的，如果它的双有理自同构群包含一个$p > R(n)$的最大秩的$p$ -子群.讨论了Jordan性质的一些相关应用。
Birational boundedness of low dimensional elliptic Calabi-Yau varieties with a section
本文证明了在余维1上同构的情况下，有100多族有理截面椭圆型Calabi-Yau流形$Y\rightarrow X$，只要$\dim(Y)\leq 5$和$Y$不是乘积型的.结果，我们得到了这类流形的Hodge diamond有许多可能性。这个结果来自于klt对$(X, Δ)$与$K_X+Δ$的对数双有理数有界性，并且不是乘积型的，维数至多为$4$。
Remarks on lines and minimal rational curves
我们确定了任意秩和度的稳定丛的模空间$M$中的所有直线。最后给出了极小有理曲线的一个进一步应用。
A remark on the rational cohomology of $\bar{S}_{1,n}$
本文主要研究亏格为1的自旋曲线的Cornalba模空间的有理上同调，并给出了其$n$标记点.特别地，我们证明了它的第一和第三上同调群都为零，第二上同调群由边界类生成。
A boundedness result for toric log Del Pezzo surfaces
本文给出了极小分解给定指标$\ell$的复曲面log Del Pezzo曲面奇点的有理曲面的Picard数的一个上界。这个上界是变量$\ell$的二次多项式。
Remarks on endomorphisms and rational points
设X是数域上的簇，f：X --> X是具有不动点q的“有趣”有理自映射.我们对利用f在q附近的行为在X上产生许多有理点的可能性作一些一般性的评论。作为应用，我们给出了三次四重线簇上有理点的势密度的一个简化证明（最初由Claire Voisin和第一作者在2007年得到）.
Remarks on Galois rational covers
在这篇文章中，我们改进了作者最近证明的关于本原Fano簇$V$的伽罗瓦有理覆盖$X\dashrightarrow V$的定理，在两个方向上：我们将证明有效的伽罗瓦群$G$的类扩展到最大值，并放松了簇$V$必须满足的条件--仅正则性就足够了。
Remarks on minimal rational curves on moduli spaces of stable bundles
设M是亏格g>= 2的光滑射影曲线C上秩为2且d次行列式\mathcal{L}固定的稳定丛的模空间.当g=3，d为偶数时，证明了对任意点[W] \in M，存在一条极小的有理曲线通过[W]，但它不是Hecke曲线.这补充了孙晓涛的一个定理。
Remarks on Rational Points of Universal Curves
本文对Hain关于泛曲线有理点的结果进行补充说明，重点考察泛曲线$\mathcal{M}_{g,n+1}\to \mathcal{M}_{g,n}$及其代数基本群的截面。
Singularities of linear systems and boundedness of Fano varieties
研究$\mathbb{R}$ -线性系的对数典型阈值（也称为全局对数典型阈值或$α$ -不变量）.我们证明了在不同情况下正下界的存在性，特别是证明了Ambro的一个猜想.证明了Borisov-Alexeev-Borisov猜想成立，即给定一个自然数$d$和一个正实数$ε$，维数为$d$且具有$ε$ -log正则奇点的Fano簇集构成一个有界簇族.这意味着双理性自同构群的合理连接品种是约旦特别回答了一个问题的塞尔。接下来，我们表明，如果反典型系统的Fano品种的对数典型阈值是最多为1，那么它是由一些除数计算，回答了田在这种情况下的一个问题。
A remark on rational quartic curves in prime Fano threefolds of degree $22$
利用度22的素Fano三维流形$V_{22}$与五次del Pezzo三维流形$V_5$之间的Sarkisov联系，证明$V_{22}$中有理四次曲线的Hilbert方案到射影空间$\mathbb{P}^4$存在一个一般2对1的有理映射。
Some Results about the Index Conjecture for log Calabi-Yau Pairs
本文给出了对数典型Calabi-Yau对的指数猜想的一些归纳陈述。利用它，我们证明了3维上具有有理DCC系数的对数典型Calabi Yau对的对数典型指标的有界性。利用$B\neq 0$证明了4维klt log Calabi-Yau对的对数典范指标的有界性.
Remarks on the non-vanishing conjecture
讨论了对数典型对的伪有效对数典范除子的有理猜想与实非零猜想的区别。在假设Shokurov的ACC拓扑下，我们还证明了有理连通簇的对数非消灭定理.
A remark on Banecki's theorem
该研究对Banecki定理作注记，修改其证明后将结论从光滑射影有理簇推广至光滑完全有理簇，完善了代数簇相关结论。
A remark on hyperplane sections of rational normal scrolls
我们提出了代数和几何参数，给出了一个完整的分类的合理的正常的涡卷是超平面部分的一个给定的合理的正常涡卷。
Remarks on rational points of varieties whose cotangent bundles are generated by global sections
在这篇短文中，我们将给出余切丛由整体截面生成的簇的有理点的几个注记。例如，我们将证明，如果一个射影簇X在数域k上的微分层是充分的，并且由整体截面生成，那么X的k-有理点集是有限的。
Stable polynomials and bounded rational functions in the unit ball
研究单位球内无零点的多项式及其对有理函数有界性的贡献，通过局部描述和高维特征分析，探讨有理函数在球上的有界性问题。
Two remarks on sums of squares with rational coefficients
存在具有$\mathbb Q$ -系数的齐次多项式$f$，其是$\mathbb R$上的平方和，但不是$\mathbb Q$上的平方和。迄今为止已知的此类多项式的唯一系统构造使用具有特定伽罗瓦理论性质的全虚数域$K/\mathbb Q$作为其关键成分。我们首先表明，人们可以放松这些属性相当不失去的结论，这种放松是尖锐的，至少在弱意义上。在第二部分中，我们讨论了开放的问题是否任何$f$如上必然有一个（非平凡的）实零。在极小开情形$(3,6)$和$(4,4)$中，我们证明了所有不含实零点的例子都包含在平方和锥边界的一个薄子集中.
Remarks on Non-Abelian Cohomology of Proalgebraic Groups
这些是关于Minhyong Kim在arXiv：0409456中开发的非阿贝尔上同调的变体的详细注释（发表在Invent. Math.）研究数域上簇的有理点。在arXiv：1001.5008中使用当前变体来研究通用曲线对M_{g,n}的通用点的限制的合理点。
Uniform boundedness of small points on abelian varieties over function fields
研究函数域上阿贝尔簇上 torsion 点的均匀有界性，证明其阶与 g 和 B 的 gonality 有关，并给出 Néron-Tate 高度的下界。
A remark on Deligne's finiteness theorem
在有限域上有限型的连通几何单支方案$X$上，我们证明了不可约$\bar \Q_\ell$ -lisse层数量的有限性，具有有界秩和德林菲尔德意义上的有界分支，直到被有限域的特征所扭曲。在$X$光滑的，有界分歧的意义上的边界的天鹅导体曲线，这是德利涅定理。版本2：我们还证明，Deligne的有限性定理，它是足够的，以假定$X$正常的。然而，证明使用光滑的情况下，不像证明的情况下有界分歧的意义上的德林费尔德。最后，我们讨论了各种概念的分歧的有界性。
Genus and Gonality of Small Curves, Dynamical Uniform Boundedness, and Bifurcation
研究算术动力学中亏格度猜想，证明非等平凡单参数有理映射代数族中不同动力曲线亏格度趋于无穷，结合多种理论证明相关结果，还得到高维类似及应用，如迭代原像和预周期点的一致有界性。
Bounds on the number of rational points of curves in families
本文给出了固定数域上光滑射影曲线在固定素数集外具有好约化的整数点个数一致有界性的另一种证明.由于Bertin-Romagny，Lawrence-Venkatesh构建的Kodaira-Parshin族本身可以组装成一个族。然后，我们重复劳伦斯-文卡特什对p-adic周期图的研究，以及对附近纤维的比较。
A remark on resolution of terminal singularities
令$(Z,o)$为类型为$cA/r$的三维终端奇异性。证明了$o$上所有具有偏差$\le 1$的例外因子都是有理数.
On rational singularities and counting points of schemes over finite rings
本文研究了有限型$\mathbb{Z}$ -格式X的奇点与各种有限环上X的渐近点计数之间的关系。特别是，如果通用纤维$X_{\mathbb{Q}}=X\times_{\mathrm{Spec}\mathbb{Z}}\mathrm{Spec}\mathbb{Q}$是一个局部完全相交，我们表明，有界的$\frac{\left|X(\mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z})\right|}{p^{n\mathrm{dim}X_{\mathbb{Q}}}}$在p和n实际上是等价的条件，即$X_{\mathbb{Q}}$减少，并有合理的奇点。本文完善了Aizenbud和Avni的一个结果。
Some remarks about the Zariski topology of the Cremona group
对于一个代数簇$X$，我们研究了从一个代数簇到$X$的双有理映射群$\bir(X)$的代数态射的行为，并作为应用，得到了关于$\bir(X)$的所谓的Zerki拓扑与这个群的代数结构之间关系的一些见解，其中$X$是一个有理簇.
Diagram Method for 3-Folds and its Application to Kahler Cone and Picard Number of Calabi-Yau 3-Folds, I. with Appendix by Vyacheslav V. Shokurov: "Anticanonical boundedness for curves"
我们证明了一般的图解法定理对具有Q-阶乘奇点的相当大的一类3-重有效（见基本定理1.3.2和定理2.2.6）。这给出了我们关于具有Q-阶乘终端奇点的Fano 3-folds的结果（预印本alg-geom/9311007）的推广。作为应用，我们得到了关于三维Calabi-Yau流形X的如下结果：假设Picard数ρ（X）> 93.则以下两种情况之一成立：（i）X上存在一个小的极值射线;（ii）存在一个nef元素h使得h^3=0（因此，nef锥NEF（X）和三次相交超曲面W_X有一个公共点;这里，我们不主张h是有理的！）。作为推论，我们得到：设X是三维Calabi-Yau流形。假设nef锥NEF（X）是有限多面体，并且X没有小的极值射线。若ρ（X）>93，则存在有理nef元h，且h^3=0。为了证明关于Calabi-Yau流形的这些结果，我们还使用了V. V. Shokurov关于除极射线长度的一个结果（见附录）。因此，我们应该把上面关于Calabi-Yau 3-folds的结果看作是我们与V. V. Shokurov的共同结果。我们还讨论了上述结果的推广到所谓的Q-factorial模型的Calabi-Yau 3-folds，有时允许涉及非多面体的情况下，小的极值射线的游戏。
Remarks on double points of plane curves
研究了平面曲线的二重点的类型与曲线在该点处的0维曲线子格式之间的关系。描述并证明了一个与研究密切曲线二重点的经典过程有关的算法。最后，我们寻找一种方法来创建具有给定奇点$A_s$的有理平面曲线的例子。
Remarks on the degree growth of birational transformations
我们看看序列的正整数，可以实现为度序列的迭代的理性占主导地位的映射光滑的投影品种在任意领域。新的限制度增长的自同态的仿射空间和度序列的例子。我们还证明了有理映射的所有度序列的集合是可数的，这推广了Bonifant和Fornaess的一个结果。
Heegaard Floer Homologies and Rational Cuspidal Curves. Lecture notes
这是第二作者于2016年2月在里尔Winterbraids VI上发表的演讲课程的扩展版本。版本2：修订版纳入了裁判员备注。
Periodic points and arithmetic degrees of certain rational self-maps
本文研究代数数域上的上同调双曲双有理自映射，给出其周期点高度的有界性结果，还将二维有理自映射的Kawaguchi--Silverman猜想归约为动力Mordell--Lang猜想，验证了若干新情形并证明对应Zariski稠密轨道存在。
Moduli spaces of quadratic maps: arithmetic and geometry
我们建立了两个长期存在的开放问题之间的复杂动力学的影响。$n$阶Gleason多项式$G_n\in\mathbb{Q}[c]$的根包含具有$n$周期临界点的二次多项式的$0$维模空间. $\mathrm{Per}_n(0)$是$\mathbb{P}^1$上具有$n$ -周期临界点的二次有理映射的$1$ -维模空间.证明了若$G_n$在$\mathbb{Q}$上不可约，则$\mathrm{Per}_n(0)$在$\mathbb{C}$上不可约.为了做到这一点，我们展示了一个$\mathbb{Q}$ -有理光滑点的$\mathrm{Per}_n(0)$的投影完成，使用的容许覆盖完成的Hurwitz空间。相反，算术动力学中的一致有界猜想意味着对于足够大的$n$，$\mathrm{Per}_n(0)$本身没有$\mathbb{Q}$ -有理点。
Some remarks on cyclic Galois coverings of the projective line over finite fields
研究了由射影线性群PGL（2，q）的有限子群的商曲线定义的q元有限域F_q上的射影直线P^{1}（F_q）的有理函数域的循环有限Galois扩张，并用Stirling数表示了它们的个数.
Uniformity of stably integral points on elliptic curves
算术几何中的一个常见做法是将投射簇上的有理点推广到拟投射簇上的整点。按照这种做法，我们证明了一个类似的结果L。Caporaso，J. Harris和B. Mazur，证明了Lang - Vojta猜想蕴含着数域上椭圆曲线上稳定整数点个数的一致有界性，以及一致有界性猜想（Merel定理）。
Remarks on the combinatorial intersection cohomology of fans
我们回顾了由Barthel-Schuelet-Fieseler-Kaup，Bressler-Lunts和Karu提出的扇形的组合交上同调理论。这个理论给出了一个替代的交集上同调的环面品种，具有所有预期的形式属性，但即使是非理性球迷，这并不定义一个环面品种的意义。因此，复曲面$g$和$h$多项式的一些有趣的结果已从有理多面体推广到一般多面体。我们提出了明确的复杂计算的组合IH度1和2;度2复杂的刚性复杂的卡莱以前使用的研究$g_2$。我们提出了几个新的结果，遵循这些方法，以及以前未发表的证据卡莱$g_k(P) = 0$意味着$g_k(P^*) = 0$和$g_{k+1}(P) = 0$。
A remark on the Farrell-Jones conjecture
假设经典的Farrell-Jones猜想，我们产生一个显式（交换）群环$R$和一个完备$R$ -复形的厚子范畴$\mathsf{C}$，使得Waldhausen $K$ -理论空间$\mathrm{K}(\mathsf{C})$等价于有理Eilenberg-Maclane空间。
Complements, index theorem, and minimal log discrepancies of foliated surface singularities
本文将配对与簇的若干结果推广到叶状曲面对，证明局部补集有界性、局部指标定理及mlds一致有界性，否定Cascini-Spice的两个问题，并恢复叶状曲面mlds升链条件猜想的证明。
Remark on Weil's conjectures
引入了一类有限域上的投射簇的上同调理论，该簇来自于C*-代数上的标准迹。利用上同调理论，证明了该簇的zeta函数的合理性、函数方程和贝蒂数表达式.
Remarks on the motivic sphere without $\mathbb A^1$-invariance
本文将动机球谱的基本性质推广到非 $\mathbb A^1$-不变的动机谱范畴，证明 Milnor-Witt K-理论关系成立，并给出有理动机上同调谱 $\mathrm H\mathbb Q$-模的多种等价刻画。
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