All two dimensional links are null homotopic
Arthur Bartels, Peter Teichner
我们证明了在4-空间中任意数量的不相交嵌入的2-球面可以被链接同伦拉开，也就是说，通过一个运动，2-球面保持不相交，但允许自交。
We show that any number of disjointly embedded 2-spheres in 4-space can be pulled apart by a link homotopy, ie, by a motion in which the 2-spheres stay disjoint but are allowed to self-intersect.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Whitney-type Formula for Non-null-homotopic Curves on Aspherical Surfaces
在较早的文件中，我定义了一个新的卷绕数的正则闭曲线在完全欧几里德/双曲曲面，并表明，这卷绕数，连同自由的同伦类，确定定期同伦类。本文给出了具有完全欧氏或双曲结构的曲面上的非零同伦一般正则闭曲线的卷绕数的Whitney型公式，推广了Tanio和Kobayashi关于环面上曲线的缠绕数公式.
Null-homotopic knots have Property R
本文证明了在闭定向3-流形中，满足特定条件的非平凡零同伦纽结进行零手术后不含 $S^1\ imes S^2$ 直和项，推广了 Hom 和 Lidman 在不可约有理同调球情形下的结果。
Codimension one spheres which are null homotopic
本文分类嵌入，余维1领域是零同伦。这个信息是用来表明，所有的零同伦，沉浸余维1的领域是拉紧的意义上的Terng和Thorbergsson实际上是距离球。
On Kirby calculus for null-homotopic framed links in 3-manifolds
柯比证明了S^3中的两个框架链环给出外科手术的保向同胚结果当且仅当这两个链环通过称为稳定化和双滑动的两种移动序列相关联。Fenn和Rourke给出了一个充要条件，使得在一个闭的定向三维流形中的两个框架链环通过这些移动的一个有限序列相关联。本文件有两个目的。本文首先将Fenn和Rourke的结果推广到带边界的三维流形上。然后，我们将这一结果的情况下，框架链接的组件是零同伦的3流形。
Link homotopic but not isotopic
给定$m$中的一个$m$ -分量连接$L$（$m \ge 2$），我们构造了一个与$L$连接同伦但不是连接同位素的连接族.这种连接的每个适当的子连接都是与$L$的相应子连接同位素的连接。此外，如果$L$是一个unlink，则存在除了上述属性之外所有Milnor不变量都为零的链接。
Epimorphisms between 2-bridge link groups: Homotopically trivial simple loops on 2-bridge spheres
本文给出了2-桥链环的2-桥球面上在链环补中为零同伦的基本单圈的完整刻画。利用这个结果，我们刻画了2-桥链群之间所有的上子午线对保持满态。
Homotopically equivalent simple loops on 2-bridge spheres in 2-bridge link complements (I)
本文及其两个续篇给出了2-桥球面上2-桥环补中两个本质单环在环补中同伦的一个充要条件。本文处理的情况下，当2-桥链接是一个$(2,p)$ -环面链接，在更多的同伦情况下出现，其续集将处理其余的情况。
Homotopically equivalent simple loops on 2-bridge spheres in 2-bridge link complements (II)
这是第二个一系列的文件，其中给出了一个充要条件的两个基本简单的循环上的2桥领域的2桥链接补充同伦的链接补充。该系列的第一篇论文处理的情况下，2桥环面链接。本文讨论了两个桥的斜率$n/(2n+1)$和$(n+1)/(3n+2)$的情况，其中$n \ge 2$是一个任意的整数。
Homotopically equivalent simple loops on 2-bridge spheres in Heckoid orbifolds for 2-bridge links (II)
在本文及其前篇中，我们给出了偶Heckoid轨道折叠中的2-桥球面上的两个本质单回路使2-桥链环在该轨道折叠中同伦的一个充要条件。我们还给出了一个充要条件，使得在偶数Heckoid轨道中的2-桥球面上的本质简单回路，使2-桥连杆在该轨道中是周边的或扭转的。前传处理的情况下，2桥链接是一个$(2,p)$ -环面链接，本文处理其余的情况。
Homotopically equivalent simple loops on 2-bridge spheres in Heckoid orbifolds for 2-bridge links (I)
本文及其续篇给出了偶Heckoid轨道折叠中2-桥球面上两个本质单回路使2-桥环在该轨道折叠中同伦的一个充要条件。我们还给出了一个充要条件，使得在偶数Heckoid轨道中的2-桥球面上的本质简单回路，使2-桥连杆在该轨道中是周边的或扭转的。本文处理的情况下，2桥链接是一个$(2,p)$ -环面链接，其续集将处理其余的情况。
Homotopically equivalent simple loops on 2-bridge spheres in 2-bridge link complements (III)
这是最后的一系列文件，其中给出了一个充要条件的两个基本简单的循环上的2桥领域的2桥链接补充同伦的链接补充。该系列的第一篇论文处理了2桥圆环链的情况，第二篇论文处理了斜率为$n/(2n+1)$和$(n+1)/(3n+2)$的2桥链的情况，其中$n \ge 2$是任意整数。本文首先讨论了斜坡$n/(mn+1)$和$(n+1)/((m+1)n+m)$（其中$m \ge 3$为任意整数）的2-桥连接的情况，然后用归纳法处理其余情况。
Link-homotopy classes of 4-component links and claspers
如果两个链通过一系列自交叉变化和环境同位素相互转化，则它们是链同伦的。Levine用大量的代数运算对4-分量连杆的连杆同伦类进行了分类。我们使用Habiro的抱茎理论修正了结果。新的分类给出了更多的对称性和示意性的观点，链接同伦类的4个组成部分的链接。作为应用，我们给出了4-分量链的链同伦类的几个新子集，这些子集按可比不变量分类，并给出了判定给定两个链是否同伦的算法。
Homotopical interpretation of link invariants from finite quandles
本文从同伦理论的角度证明了有限连通quandle $X$上链的quandle上圈不变量的拓扑意义：具体地，对于不划分$X$的类型的任何素数$\ell$，该不变量的$\ell$ -挠率等于着色多项式和Dijkgraaf的$\Z$ -等变部分的和。循环分支覆盖空间的Witten不变量。此外，我们的同伦方法包括应用计算的一些第三同调群和第二同伦群的quandles的分类空间，从群上同调的结果。
Immersions of Surfaces into Aspherical 3-Manifolds
研究了闭可定向曲面到非球面可定向三维流形的零同伦浸入的有穷级不变量。我们给出了它们的基本构造，并对所有一阶不变量进行了分类。
Quantitative null-cobordism
对于一个给定的零配边黎曼$n$ -流形，零配边的最小几何复杂性如何依赖于流形的几何复杂性？在[Gro 99]中，Gromov指出这种依赖性应该是线性的。我们证明了它至多是一个次数依赖于$n$的多项式。这一结构依赖于另一个独立利益。取$X$和$Y$是足够好的紧度量空间，例如黎曼流形或单纯复形。假设$Y$是单连通的，并且有理同伦等价于一个Eilenberg-MacLane空间的乘积：例如，任何单连通的李群。则两个同伦L-Lipschitz映射$f, g : X \rightarrow Y$通过一个$CL$ -Lipschitz同伦是同伦的.我们提出了一个反例，表明这是不正确的更大类的空间$Y$。
Implementation of the Habegger--Lin decision algorithm
本文实现了Habegger-Lin决定算法，展示了新的无法通过Milnor链接同伦不变量区分的链接对，并提供了算法实现代码。
The relative Whitney trick and its applications
我们引入了一个几何操作，我们称之为相对惠特尼技巧，删除一个单一的二重点之间的适当浸入表面的$4$ -带边流形的边界。利用相对Whitney技巧，证明了同调球面中的每一个链环都同伦于可收缩拓扑$4$ -流形中拓扑切片的链环.我们进一步证明，对于所有$k$，同源球中的任何链接都是$k$ Whitney塔阶，与$S^3$中的链接一致。最后，我们探讨了从$S^3$中的链路到同伦平凡链路的最小Gordian距离。扩展这一概念的同源领域的链接，我们使用相对惠特尼技巧，使明确的计算3分量链接，并建立一般的界限。
Pure Virtual Braids Homotopic to the Identity Braid
两个虚拟链接图是同伦的，如果一个可以转化为另一个由一系列的虚拟Reidemeister移动，经典Reidemeister移动，和自我交叉的变化。我们回想一下纯虚辫群。然后，我们描述了一组纯虚拟辫子是同伦的身份辫子。
Pseudo-Legendrian and Legendrian Simplicity of Links in 3-Manifolds
该研究通过构造非简单同胚类的Legendrian链接，展示了在过扭接触结构中，Legendrian同胚与框架同胚、同伦及链接同伦之间的差异，揭示了非简单性现象在相同光滑同胚类中的共存。
Classification of string links up to $2n$-moves and link-homotopy
两串链环等价于$2n$ -移动和链环-同伦当且仅当它们的所有Milnor链环-同伦不变量模$n$全等。此外，等价类的集合形成由$n$阶元素生成的有限群。该分类得出，如果两个字符串链接是等价的$2n$ -移动每个$n>0$，那么他们是链接同伦。
Simple loops on 2-bridge spheres in 2-bridge link complements
本说明的目的是宣布对以下问题的完整答案。(1)对于2-桥球面上2-桥环补中的本质单环，它在环补中什么时候是零同伦的？(2)对于2桥链补中2桥球体上的两个不同的基本简单环，它们何时在链补中同伦？我们还宣布应用这些结果的字符品种和McShane的身份。
The Milnor $\barμ$ invariants and nanophrases
两个链环图是链环同伦的，如果一个可以通过一系列的Reidemeister移动和自交叉变化转化为另一个。米尔诺尔介绍了不变量下链接同伦称为$\barμ$。Turaev引入的纳米短语概括了链接。在本文中，我们将链接同伦的概念扩展到纳米短语。我们还将$\barμ$推广到对应于虚拟链接的那些纳米短语的集合。
Nullification of knots and links
在本文中，我们研究的几何/拓扑措施的节点和链接称为无效数。认为结/连接无效具有生物学相关性。例如，在DNA拓扑学中，人们可以直观地将其视为一种测量打结的环状DNA通过DNA链的重组来解开自身的容易程度的方法。事实证明，有几种不同的方法来定义这样一个数字。这些定义导致相关但不同的无效数。我们的目的是探索这些无效数的数学性质。首先，我们给出具体的例子来说明我们定义的无效数是不同的。我们提供了详细的分析无效数为众所周知的2桥结和链接。我们还探讨了三个无效数之间的关系，以及它们与其他结不变量的关系。最后，我们研究了一类特殊的链路，即一般无效数等于1的链路。我们发现，这种联系存在丰富。实际上，交叉数小于或等于n的这种链路的数量相对于n呈指数增长。
The triviality of a certain invariant of link maps in the four-sphere
Kirk的$σ$不变量是否完全阻碍了链映射$S^2\cup S^2\to S^4$是链同伦平凡的，这是一个悬而未决的问题.为了构造反例，Li提出了一个定义在$σ$核上的链同伦不变量$ω$，该不变量同时也阻碍了链空同伦.证明了$ω$是由$σ$决定的，并且是严格弱不变量.
Dehn surgeries that yield fibred $3$--manifolds
我们研究Dehn手术的零同伦结，产生一个额外的（但自然）的同调限制时，被包围的$3$ -流形。主要工具是Gabai的缝合流形分解理论。这种手术是米歇尔·布瓦洛问题的反面例子。另一个结果，我们将证明是关于手术，减少瑟斯顿范数的一个流形。
About homotopy classes of non-singular vector fields on the three-sphere
一般地，三球面上的两个非奇异向量场沿其正（分别为）的点集。负）共线形成链接。证明了两个向量场同伦的充要条件是它们的环绕数为零。利用这一准则给出了Yano的一个结果的新证明：三球面上的每个非奇异向量场都同伦于一个非奇异Morse-Smale向量场.
Bar-Natan Homology for null homologous links in \mathbb{RP}^3
本文在二元域上为\u211dP³中零同调链环引入Bar-Natan同调（Khovanov同调的形变），定义s不变量并证明亏格界，关键为扭曲定向概念。
Kirby calculus for null-homologous framed links in 3-manifolds
Kirby的一个定理给出了S^3中两个框架连杆产生外科手术保向同构结果的充要条件。Kirby定理是构造三维流形不变量的一个重要方法。本文证明了三维流形中零同调框架链的Kirby定理的一个变形。这个结果涉及到一种新的移动，称为IHX-移动，它与有限型不变量理论中的IHX关系密切相关。当M的第一个同调群是自由交换群时，我们将这个结果改进到M中的\pm 1-框架的代数分裂的零同调框架链环.
Three-component link homotopy
本文构造三分量链环同伦不变量及相应区分工具，证明同像链环映射未必链环同伦，并推广至环形与n分量情形。
Khovanov-type homologies of null homologous links in $\mathbb{RP}^3$
设L为$\mathbb{RP}^3$中的无效同源连接。我们定义了L的Khovanov型同调，它依赖于一个额外的输入$α= (V_0,V_1,f,g)$，该输入由两个分次向量空间和它们之间的两个映射组成.通过对$α= α_{APS}$的一些特定选择，我们恢复了由于Asaeda-Przytycki-Sikora而对考夫曼括号的分类。通过另一种选择$α= α_{HF}$，我们从我们的理论中构造了一个谱序列，该理论收敛于$\mathbb{RP}^3$的偶分支双覆盖的Heegaard弗洛尔同调。
On codimension two embeddings up to link-homotopy
我们考虑4维空间中的纽结环，称为2-弦链，它们是余维为2的纽结曲面，通过闭包运算，它们自然地与2-链和2-环面链相关。我们分类的2-弦链接到链接同伦的4维版本的米尔诺尔不变量的装置。我们证明的关键是任何2-弦链都是链同伦到带状链的;这允许使用P. Bellingeri和作者在带状链情况下得到的同伦分类。在此过程中，我们给出了4-空间中浸入曲面的Roseman型结果。我们还讨论了带状k-弦链接的情况下，$k\geq 3$。
Virtual Homotopy
两个焊接（分别为虚拟）链接图是同伦的，如果一个可以转化为其他的一系列的扩展Reidemeister移动，经典Reidemeister移动，和自交叉的变化。在本文中，我们扩展Milnor的亩和酒吧亩不变量焊接和虚拟链接。最后，我们总结了本文的几个例子，并计算μ不变量使用的Magnus扩展和Polyak的绞关系的μ不变量。
Concordance invariants of null-homologous knots in thickened surfaces
使用Gordon-Litherland配对，可以定义加厚表面中${\mathbb Z}/2$空同源连接的不变量（签名、无效性、行列式）。在本文中，我们研究这些不变量的协调性质。例如，如果$K \subset Σ\times I$是${\mathbb Z}/2$空同源和切片，我们表明，它的签名消失，其行列式是完满平方。这些陈述来自于某些四维流形中闭无向曲面的配边结果。布朗不变量是为加厚曲面中的${\mathbb Z}/2$空同源链接定义的。它们采用${\mathbb Z}/8 \cup \{\infty\}$中的值，并取决于生成曲面的选择。我们提出了两个等价的方法来定义和计算它们，我们证明了色对偶结果与两者。我们研究了它们的一致性属性，我们将展示如何解释它们为空同源链接的Arf不变量。布朗不变量和结签名被证明是不变的和谐下的跨越表面。
Isolated critical points of mappings from $\mathbf{R}^4$ to $\mathbf{R}^2$ and a natural splitting of the Milnor number of a classical fibered link. Part I: Basic theory; examples
从三维球面中的纤维链环可以构造一个非处处相切的2-平面场;当纤维链环是四维空间映射的孤立临界点到平面的链环时，平面场本质上是该映射的导数的核的场。同伦地，这样的平面场决定两个整数。我表明，这些整数的总和是米尔诺尔数的纤维链接。取链接的镜像交换整数。计算了各种例子。值得注意的是（证据在别处给出），这些整数不是由纤维链的代数单值性（或塞弗特形式）决定的。
Immersions of the circle into a surface
我们分类浸入$f$的$S^1$在$2$ -流形$M$的初等不变量：奇偶$S(f)$的自横$C^1$ -逼近$f$的双重点的数目，和转向数$T(e\bar f)$的浸入$e\bar f:S^1\to M_f\subset\Bbb R^2$，其中$\bar f$是$f$的提升到覆盖$M_f$的$M$对应的子群$\left<[f]\right>\subsetπ_1(M)$。也就是说，浸入$f,g:S^1\to M$是正则同伦的当且仅当它们是同伦的，并且如果$M=S^2$或$\Bbb R P^2$或正规丛$ν(f)$是不可定向的，则$S(f)=S(g)$，而如果$M\not= S^2,\Bbb R P^2$和$ν(f)$，$ν(g)$具有关于同伦相容的定向$o$，$o'$，则$T(e_o\bar f)=T(e_{o'}\bar g)$，其中$e_o$是定向表面$M_f$（环或平面）在$\Bbb R^2$中的标准嵌入。事实上，对于同伦浸入$f$，$g$，$S(f)-S(g)$和$T(e_o\bar f)-T(e_{o'}\bar g)$都归结为零同伦浸入$f\# g^*$到$M$的泛覆盖的提升的转折数。这里的“浸入”$S^1\to M$是光滑的或拓扑的;我们包括一个光滑定理，这表明没有区别。我们还分类浸入$M$图的正规同伦的不变量$S(f)$和$T(e_o\bar f)$浸入$S^1$的。证…
Simple loops on 2-bridge spheres in Heckoid orbifolds for 2-bridge links
在Riley的工作之后，对于每个斜率为$r\in\QQ$的2桥链$K(r)$和大于1的整数或半整数$n$，我们引入{ \it Heckoid orbifold $\orbs(r;n)$ }和{ \it Heckoid群$\Hecke(r;n)=π_1(\orbs(r;n))$，其指数为$K(r)$的$n$}。当$n$为整数时，$\orbs(r;n)$称为{ \it偶} Heckoid orbifold;在这种情况下，底层空间是$K(r)$的外部，奇异集是$K(r)$的下隧道，索引为$n$。本说明的主要目的是宣布以下问题的答案，甚至赫科德轨道。(1)对于$\orbs(r;n)$中由$K(r)$的2-桥球决定的4-穿孔球$\PConway$上的本质简单环，当它在$\orbs(r;n)$中是零同伦的？(2)对于$\PConway$上的两个不同的基本简单环，它们在$\orbs(r;n)$中什么时候是同伦的？我们还宣布应用这些结果的字符品种，McShane的身份，并epimorphisms从2桥链接群到Heckoid群。
Upper bounds for the Lagrangian cobordism relation on Legendrian links
本文证明了在紧接触3-流形中，具有公共旋转数的零调Legendrian链有限集合关于Lagrangian配边预序存在上界，并据此定义了极小Lagrangian亏格。
Deformations of curves with constant curvature
该研究证明Rⁿ（n≥3）中常曲率曲线满足参数化C¹-稠密相对h原理，据此得出R³中常曲率纽结同痕或同伦的充要条件，并借助凸积分技术完成证明。
Concordance invariance of Levine-Tristram signatures of links
我们确定对于单位圆上的哪些复数，Levine-Tristram签名和零性产生链接一致不变量。
The Group of Disjoint 2-Spheres in 4-Space
本文计算了两个2-球面到4-空间的链映射的链同伦类群。它原来是自由阿贝尔，产生的尺规作图法适用于芬-罗尔夫森链接地图和检测的两个自交不变量介绍了保罗柯克在此设置。作为推论，我们证明了任何一个拓扑嵌入组件的链接映射是链接同伦的unlink。我们的证明引入了一个新的基本链接同伦，我们称之为惠特尼同伦，缩小嵌入的惠特尼球构建从四个副本的惠特尼磁盘。Freedman的磁盘嵌入定理被应用到得到必要的嵌入Whitney磁盘，构造足够多的附属领域作为代数的嵌入Whitney磁盘。为了构造这些附属球和浸入的惠特尼圆盘，我们使用群环Z[Z]上的代谢形式的代数，并引入一些新的4维构造，包括涉及惠特尼圆盘的边界弧的机动。
Packing Meets Topology
该研究首次探索欧氏空间区域内链环在几何约束下的最大密度堆积问题，给出了仅适用于同伦本质链环的上界，且该上界偏大，为后续相关研究留出了充足空间。
HOMFLY-PT polynomial and normal rulings of Legendrian solid torus links
证明了对于$S^1$的$1$ -喷流空间中的任意Legendrian链$L$，$2$ -分次统治多项式$R^2_L(z)$由Thurston-Bennequin数和HOMFLY-PT多项式决定.具体来说，我们恢复$R^2_L(z)$作为一个系数的HOMFLY-PT多项式的一个特定的专业化。此外，我们表明，这种专业化可以解释为标准的内积的对称函数的代数，往往是确定的某个子代数的HOMFLY-PT绞模的固体环面。在对比的$2$ -分级的情况下，我们能够使用$0$ -分级统治多项式来区分许多同伦非平凡的Legendrian链接相同的经典不变量。
Concordance, crossing changes, and knots in homology spheres
$S^3$中的任何结都可以通过交叉变化减少为切片结。事实上，这个切片结可以被认为是解结。在本文中，我们研究的问题时，同样适用于同调球的结。我们证明了一个纽结在一个光滑的同调球是零同伦的当且仅当该纽结是光滑和谐的一个纽结是同伦的光滑切片结。因此，我们证明了由同调配边中的共包围浸入环给出的同调球面中的纽结上的等价关系是由同调配边中的协调与同调球面中的同伦一起生成的。
Minimum Number of Fox Colors for Small Primes
本文给出了行列式为非空的环的模r上的Fox染色的最少颜色数的精确结果。具体地说，我们证明了，每当最小的素除子的行列式，这样的链接和模r是2，3，5，或7，那么最小的颜色数是2，3，4，或4（分别），反之亦然。因此，我们推测，对于每个素数p，存在唯一的正整数m，具有以下性质。对于任意非空行列式的链L和任意模r，使得p是L的行列式和模r的最小素除子，L模r的最小颜色数为m。
Homotopy K3's with several symplectic structures
本文证明了，对任意整数n，存在一个光滑的4-流形，它与一个K3曲面同伦，它是通过将Fintushel-Stern的链手术方法应用于某个2-分支图链而定义的，其中包含n个不等价的辛结构。关键词：4-流形的辛拓扑; Seiberg-Witten理论
On the commutator of unit quaternions and the numbers 12 and 24
四元数是不可交换的。对交换性的偏离被封装在单位四元数的换位子中。已知交换子的k次幂是零同伦的当且仅当k能被12整除。本文的主要目的是构造一个具体的交换子的12次幂零同伦。随后，我们构造了S^7 × S^3上的自由S^3-作用，它的子空间是奇异的7-球面，并给出了稳定同伦群π_{n+3}（S^n）的阶的几何解释.中间结果可能是独立的兴趣是强调包含SU（3）\subset G_2的八元数的构造，杜兰测地边界映射构造的详细研究，以及丛G_2 \to S^6和Spin（7）\to S^7的特征映射的显式公式。
Lipschitz homotopy groups of the Heisenberg groups
从$n$维空间到$(2n+1)$维海森堡群$\H^n$的Lipschitz映射和水平映射是丰富的，而从高维空间的映射则受到更多的限制。DeJarnette-Hajmartasz-Lukyanenko-Tyson构造了从$S^k$到$\H^n$的水平映射，这些映射通过$n$ -球面进行因子分解，并表明这些映射没有平滑的水平填充。然而，在本文中，我们建立一个例子考夫曼表明，这些地图有时有Lipschitz填充。这表明空间的Lipschitz和光滑水平同伦群可以不同。相反，我们证明了任何Lipschitz映射$S^k\to \H^1$因子通过树，因此Lipschitz零同伦，如果$k\ge 2$。
The Self-Linking Number in Annulus and Pants Open Book Decompositions
对于切触流形中给定的零同调横链，我们找到了一个自环绕数公式，该公式与环或裤子的开卷分解相容。它扩展了Bennequin在标准接触$3$球中编织的自连接公式。
Gordian split links in the Gehring ropelength problem
该研究在允许分支间长度交换的宽松情形下，证明存在Gordian分裂链，还构造了无法通过粗同痕分裂的2分支Gordian平凡链，首次证实Gehring绳长存在局部极小值。
Rational Seifert Surfaces in Seifert Fibered Spaces
塞弗特纤维空间中的理性零同调链可以通过标记图组合地表示。我们引入了一个附加条件的标记链接图，并证明了它是等价于存在一个合理的塞弗特表面的链接。在这种情况下，当这个条件得到满足，我们推广塞弗特的算法，明确地构建一个合理的塞弗特表面的任何合理零同源结。作为本文技巧的应用，我们导出了切触塞弗特纤维空间中Legendrian纽结的有理Thurston-Bennequin数和旋转数的封闭公式.
On the Component Number of Links from Plane Graphs
本文给出了一个简单的证明：由中间图M（G）分解顶点所产生的链环的分支数等于图G的模2拉普拉斯矩阵的零度。
Linking, Legendrian linking and causality
整体双曲（d+1）维时空（M，g）的所有零测地线的集合N自然是光滑的（2d-1）维接触流形。一个事件的天空是N的子集，由所有通过该事件的零测地线定义，并且是N的嵌入勒让德子流形，它同构于一个（d-1）维球面。这是由低澄清，为d=2两个事件是因果关系的，如果他们的天空是联系在一起的（在一个适当的意义上）。我们使用的接触结构和结多项式计算证明了这一猜想在某些特定的情况下，并建议d=3光滑链接应取代勒让德链接。
Infinitely many Lagrangian fillings
证明了标准切触3-球中除（2，m），（3，3），（3，4）和（3，5）外的所有极大tb勒让德环面链（n，m）在标准辛4-球中允许无穷多拉格朗日填充.这是证明通过构建无限阶拉格朗日协调诱导的模群PSL（2，Z）和映射类群M（0，4）的忠实行动到坐标环的代数簇相关联的勒让德环节。我们的结果意味着存在具有指数增长子群的拉格朗日协调幺半群，并且产生Stein曲面同伦于具有无穷多个不同的高亏格的精确拉格朗日曲面的2-球面.我们还表明，存在无限多的卫星和双曲结与勒让德代表承认无限多的确切拉格朗日填充。
Stable knots and links in electromagnetic fields
在零电磁场中，电场线和磁场线像流体流动中牢不可破的弹性细丝一样演化。特别是，它们的拓扑结构一直保持不变。我们证明，对于每个环节$L$有这样一个电磁场，满足麦克斯韦方程组在自由空间中，并有封闭的电场和磁场线的形状$L$的所有时间。
Coherent band pathways between knots and links
我们分类相干带（又名无效）之间的结和2-组件链接的途径。此外，我们还计算了任意两个结或两个具有小交叉数的两分量链之间的最小相干带路径（有中间体）。我们展示了这些带手术结和链接与小交叉数。我们应用这些结果来放置分离DNA构型的重组事件的最小数目上的下界，限制重组途径并确定所得重组DNA分子的手性和/或取向。
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