到Calkin代数的渐近同态

不嵌入Calkin代数的C*-代数乘积

Products of C*-algebras that do not embed into the Calkin algebra

本文在Cohen模型下证明阿贝尔C*-代数$c_0(2^ω)$的无穷乘积$(c_0(2^ω))^{\mathbb{N}}$不嵌入Calkin代数，扩充了已知反例，且不依赖刚性现象。

A KK-like picture for E-theory of C*-algebras

Let $A$, $B$ be separable C*-algebras, $B$ stable. Elements of the E-theory group $E(A,B)$ are represented by asymptotic homomorphisms from the second suspension of $A$ to $B$. Our aim is to represent these elements by (families of) maps from $A$ itself to $B$. We have to pay for that by allowing these maps to be even further from $*$-homomorphisms. We prove that $E(A,B)$ can be represented by pairs $(φ^+,φ^-)$ of maps from $A$ to $B$ that are not necessarily asymptotic homomorphisms, but have the same deficiency from being ones. Not surprisingly, such pairs of maps can be viewed as pairs of a…

平移不变渐近同态：指标理论中两种方法的等价性

Translation invariant asymptotic homomorphisms: equivalence of two approaches in the index theory

紧流形上的零阶伪微分算子代数$Ψ(M)$定义了共球丛$S^*M\subset T^*M$上的连续函数代数$C(S^*M)$通过紧算子代数$\K$的著名的$C^*$ -扩张。在他的指数定理的证明中，希格森定义并使用了一个从$C_0(T^*M)$到$\K$的渐近同态$T$，它扮演着交换代数$C_0(T^*M)$变形的角色。类似的构造也存在于系数为$C^*$ -代数的算子和符号中。我们表明，上述扩展的Connes-Higson结构下的图像是$T$，这个扩展可以重建出$T$。这就解释了为什么指数理论的经典方法与基于渐近同态的方法一致。

渐近同伦提升性质

An asymptotic homotopy lifting property

本文提出了渐近同伦提升性质，并证明该性质对半射影$C^*$-代数的序列归纳极限等可分$C^*$-代数成立，且在商映射满足近似分解性质时对任意可分$C^*$-代数亦成立。

同伦提升、渐近同态与追踪

Homotopy lifting, asymptotic homomorphisms, and traces

本文证明了同伦提升定理，指出若两个*同态在模下同伦且一个可提升为渐近同态，则另一个也可提升。并探讨了C*-代数的重要性质及同伦提升在追踪理论中的应用。

渐近分裂扩张与E-理论

Asymptotically split extensions and E-theory

我们表明，E-理论的Connes和Higson可以制定的C*-扩展的方式非常相似的方式，其中KK理论的卡斯帕罗夫可以。本质的区别在于，分裂扩张所起的作用应该由渐近分裂扩张来承担。我们称C* 代数$A$被稳定C* 代数$B$扩张为渐近分裂的，如果存在由商映射的右逆组成的渐近同态.我们的主要结果是，从$SA$到$B$的渐近同态与$S^2A$由$B$构成的半可逆扩张的同伦类之间存在一一对应.

有限von Neumann Algebras包含的相对弱渐近同态性质

The Relative Weak Asymptotic Homomorphism Property for Inclusions of Finite von Neumann Algebras

有限vonNeumann代数$B\subseteq N\subseteq M$的三元组具有相对弱的渐近同态性质，如果存在$B\subseteq N\subseteq M$中的酉算子网$\{u_λ\}_{λ\in Λ}$使得对所有$x,y\in M$有$$\lim_λ|\mathbb{E}}_B(xu_λy)-{\mathbb{E}}_B({\mathbb{E}}_N(x)u_λ{\mathbb{E}}_N(y))\|_2=0$$.证明了有限vonNeumann代数$B\subseteq N\subseteq M$的三元组具有相对弱的渐近同态性质当且仅当$N$包含所有$x\in M$的集合使得对于$M$中的有限个元素$x_1,...,x_n$，$Bx\subseteq \sum_{i=1}^n x_iB$.这样的$x$称为$B$的单侧拟正规化子，并且由$B$的所有单侧拟正规化子生成的von Neumann代数称为$B$的单侧拟正规化子代数。我们刻画了群von Neumann代数包含的单侧拟正规化子代数，并利用这一刻画说明了单侧拟正规化子代数和拟正规化子代数一般是不相等的。我们也给出了由群的包含所产生的包含$L(H)\subseteq L(G)$的一些应用。例如，当$L(H)$是masa时，我们将酉正规化子代数确定为由$G$中的$H$的正规化子生成的von Neumann代数。

Connes-Higson构造是一个同构

The Connes-Higson construction is an isomorphism

设$A$是可分的$C^*$ -代数，$B$是含严格正元的稳定$C^*$ -代数.我们表明，$B$的$SA$的扩展的酉等价类的组$\Ext(SA,B)$，模的扩展是渐近分裂，符合这样的扩展的同伦类的组。这是通过证明Connes-Higson构造产生了$\Ext(SA,B)$和$E$之间的同构来完成的-从$S^2A$到$B$的渐进同态的同伦类的理论群$E(A,B)$。

关于强自吸收C* 代数的KK-理论

On the KK-theory of strongly self-absorbing C*-algebras

设$\Dh$和$A$是酉可分的$C^{*}$ -代数，$\Dh$是强自吸收的.已知从$\Dh$到$A \otimes \Dh$的任何两个有单位的$^*$ -同态是近似酉等价的.我们表明，如果$\Dh$也是$K_{1}$ -内射，他们甚至是渐近酉等价的。这特别意味着$\Dh$的任何单位自同态都是渐近内的。此外，$\Dh$的自同构空间是紧可收缩的（在点范数拓扑中），在这个意义上，对于任何紧Hausdorff空间$X$，同伦类的集合$[X,\Aut(\Dh)]$约化为一个点。相应的陈述适用于$\Dh$的酉自同态空间。作为应用，我们用$^*$ -同态和渐近酉等价刻画了Kasparov群$KK(\Dh, A\ot \Dh)$.一路上，我们证明了卡斯帕罗夫群$KK(\Dh, A\ot \Dh)$同构于$K_0(A\ot \Dh)$。

无提升性质的四维算子系统

Four-dimensional operator systems without the lifting property

构造了Calkin代数中无单位完全正提升的四维算子系统，推广到任意n≥2，并给出广义Smith-Ward问题的反例。

C* 代数qA \otimes K和S^2A \otimes K是渐近等价的

The C*-algebras qA\otimes K and S^2A\otimes K are asymptotically equivalent

设$A$是可分$C^*$ -代数.我们证明了它的稳定二阶悬挂$S^2A\otimes \mathcal K$与Cuntz在他的KK-理论图象框架下构造的$C^*$ -代数$qA\otimes \mathcal K$是渐近等价的。这意味着存在从一个到另一个的渐近态射，它们的合成同伦于恒等映射。这个结果给出了从KK理论到E理论的自然转换的简单描述。还有一个推论是：T. Loring（[3]）证明了从$\qC$到任何$C^*$ -代数$B$的任何渐近态射都同伦于一个$\ast$ -同态。我们证明了当$\C$被任意核$C^*$ -代数$A$所取代时，以及当$B$是稳定的时，同样成立。

$C^*$ -代数的渐近酉等价

Asymptotic unitary equivalence in $C^*$-algebras

设$C=C(X)$是有限CW复$X$上所有连续函数的单位$C^*$ -代数，$A$是迹秩至多为1的单位单$C^*$ -代数.我们证明了两个酉单态$ϕ, ψ: C\to A$是渐近酉等价的，即，存在幺正$\{u_t: t\in [0,1)\}\subset A$的连续路径，使得$$ \lim_{t\to 1} u_t^*ϕ(f)u_t=ψ(f) {\rm for all} \in C(X), $$当且仅当\beq [k]&=&[k] { \rm in} KK（C，A），τ \circ [k]&=&τ \circ [k]{ \rm for all} τ \in T（A），并且τ ^<$&=& τ ^<$，其中$T(A)$是$A$的迹态的单形，$ϕ^†, ψ^†: U(M_{\infty}(C))/DU(M_{\infty}(C))\to$ $U(M_{\infty}(A))/DU(M_{\infty}(A))$是诱导同态，并且其中$U(M_{\infty}(A))$和$U(M_{\infty}(C))$是对于所有整数$k\ge 1,$ $DU(M_{\infty}(A))$和$DU(M_{\infty}(C))$，$M_k(A)$和$M_k(C)$的酉群的并分别是$U(M_{\infty}(A))$和$U(M_{\infty}(C)),$的换位子群。我们实际上证明了一个更一般的情况下，…

关于MASA在II $_1$因子中的正规化代数

On the normalizing algebra of a MASA in a II$_1$ Factor

设$A$是\II 1因子$M$中的极大交换子代数（MASA）. Sorin Popa在$M$中引入了一个解析条件，可以用来确定$A$的正规化代数，我们称之为\emph{the relative weak asymptotic homomorphism property}。本文证明了在$M$中的$A$的正规化代数总是满足这一性质，从而得到了$\bar{\bigotimes}_{i\in I}(\mathcal{N}_{M_{i}}(A_{i})^{\prime\prime})= (\mathcal{N}_{\bar{\bigotimes}_{i\in I}M_{i}}(\bar{\otimes}%_{i\in I} A_{i}))^{\prime\prime}$ .

节与锥

Sections and cones

论文研究了C*-代数中连续节的存在性及锥C*-代数的性质，证明了存在规范为1的连续节，并应用于证明锥的quasidiagonal性和超线性迹的MF性。

分次K-理论、椭圆算子与谓词演算

On Graded K-theory, Elliptic Operators and the Functional Calculus

设$A$是分次C* 代数.我们通过证明分次Hilbert模上自伴正则算子的谓词演算定理的一般逆定理，用分次 *-同态刻画了Kasparov的K-理论群$\hat{K}_0(A)$.讨论了光滑闭流形上椭圆型微分算子的指数理论和渐近态射。

形理论与C* 代数的扩张

Shape theory and extensions of C*-algebras

设$A$，$A'$是可分的$C^*$ -代数，$B$是稳定的$σ$ -有单位的$C^*$ -代数.我们的主要结果是构造了一对$[[A',A]]\times\operatorname{Ext}^{-1/2}(A,B)\to\operatorname{Ext}^{-1/2}(A',B)$，其中$[[A',A]]$表示从$A'$到$A$的渐近同态的同伦类的集合，而$\operatorname{Ext}^{-1/2}(A,B)$是$A$被$B$的半可逆扩张群.假设所有由$B$对$A$的扩展都是半可逆的。然后，这种配对允许我们给出关于$A'$的条件，该条件提供$B$对$A'$的所有扩展的半可逆性。特别是，如果$A$和$A'$是形状等效的，则这成立。类似的条件意味着，如果$\operatorname{Ext}^{-1/2}$与$A$的$E$ -理论（通过Connes-Higson映射）一致，则同样适用于$A'$。

中心扩张与几乎表示

Central extensions and almost representations

本文利用 de la Harpe-Skandalis 预行列式构造酉群的典范中心扩张，将渐近群同态的阻碍类刻画为 2-上同调类，并由此得到包含绕数不变量在内的数值不变量，进而证明非零实 2-上同调会阻碍离散群全群 $C^*$-代数的 $C^*$-稳定性。