Some cyclic covers of complements of arrangements
Daniel C. Cohen, Peter Orlik
受中心排列的Milnor纤维的启发，我们研究了任意排列的补的循环覆盖族的上同调。我们给出了一个明确的证明多项式周期的贝蒂数的成员，这个家庭的循环覆盖。
Motivated by the Milnor fiber of a central arrangement, we study the cohomology of a family of cyclic covers of the complement of an arbitrary arrangement. We give an explicit proof of the polynomial periodicity of the Betti numbers of the members of this family of cyclic covers.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The homology groups of finite cyclic covering of line arrangement complement
本文研究复线排列补空间有限循环覆盖的第一整同调群，在类似 Cohen-Dimca-Orlik 的条件下证明其无挠，并将 Williams 关于复化线排列的结果推广到任意复线排列。
Cohomology of the complement to an elliptic arrangement
我们考虑了椭圆曲线的幂次超平面的补安排，并描述了它的上同调系数在一个非平凡的秩为1的局部系统。
We compute the cohomology of the complement of toric arrangements associated to root systems as representations of the corresponding Weyl groups. Specifically, we develop an algorithm for computing the cohomology of the complement of toric arrangements associated to general root systems and we carry out this computation for the exceptional root systems $G_2$, $F_4$, $E_6$ and $E_7$. We also compute the total cohomology of the complement of the toric arrangement associated to $A_n$ as a representation of the Weyl group and give a formula for its Poincaré polynomial.
The cohomology groups of finite cyclic covers of complexified real arrangement complements
本文研究复化实构形补空间有限循环覆盖的上同调群，利用Yoshinaga的室上链复形得到贝蒂数上界，引入类CDO组合条件证明此类覆盖整上同调无挠，部分推广了作者与Liu的相关结果。
On the cohomology of discriminantal arrangements and Orlik-Solomon algebras
我们将判别式排列的Orlik-Solomon代数的上同调与补集的局部系统上同调联系起来。这种安排的Orlik-Solomon代数（视为一个复杂的）被证明是一个线性逼近的复所产生的基本群的补充，其上同调是同构的补充系数在一个任意复杂的秩一个本地系统。我们还建立了判别式排列的补集的上同调支持位点与其Orlik-Solomon代数的共振变种之间的关系。
Étale cohomology of the complement of a linear subspace arrangement
证明了线性子空间排列的补的l-adic上同调的上积公式。
Motivic cohomology of the complement of hyperplane arrangements
本文给出了超平面排列的补的运动上同调环的一个表示，超平面排列被认为是基域的运动上同调环上的代数。
Higher homotopy groups of complements of complex hyperplane arrangements
我们将Hattori关于超平面排列的补集拓扑的结果从一般排列类推广到更广泛的超可解排列类。证明了补的高阶同伦群在一定的组合确定范围内为零，并给出了第一个非零高阶同伦群π p的Z π 1模表示.对于锥超可解的仿射线列，我们给出了π_2的一个极小分解，并研究了这个模的一些性质。对于不含3-圈的图，我们直接从图中得到π_2的信息。π_2的π_1-共不变量可以区分具有相同π_1和低次相同Betti数的同伦2-型排列补。
On the fundamental group of the complement of a complex hyperplane arrangement
在复射影平面上构造了两个组合等价的线排列，使得它们的补线的基本群不同构。该证明使用了给定组合类型的线排列的补的基本群的新不变量，该不变量相对于导致第一同调群的典范同构的同构。
Resonant local systems on complements of discriminantal arrangements and sl_2 representations
我们计算的反对称上同调的补充的判别超平面安排的系数在本地系统中产生的表示论的李代数SL_2的背景下。对于C^k中的判别排列，当定义补上局部系统的“主函数”具有非孤立的临界点时，斜对称上同调在k-1维上是非平凡的。在对称坐标系中，临界集是直线的并集。一般地，这个非平凡反对称上同调群的维数等于临界线的个数。
Tropicalization of curve arrangement complements and arroids
本文引入 arroid 公理体系刻画曲线排列的交集性质，证明补集的热带化由 arroid 决定，并给出用热带上同调计算补集上同调及判定补集为极大簇的条件。
Stratified Morse Theory in Arrangements
本文综述了我们在Goresky和MacPherson的分层莫尔斯理论基础上的工作。首先讨论按排列分层的欧几里得空间的莫尔斯理论。这是用来表明，一个复杂的超平面安排的补充承认一个最小的胞腔剖分。接下来，我们回顾建设的上链复形的上同调计算的局部系统上同调的补充复杂的超平面安排。然后，我们提出了一个固定的组合型的安排的模空间的秩一局部系统上同调的Gauss-Manin联系的结果。
Milnor-Witt motivic cohomology of complements of hyperplane arrangements
本文计算仿射空间中超平面排列补集的Milnor-Witt动机上同调，给出其代数结构，并通过实现到经典上同调获得推论。
Let $\mathcal A$ be a hyperplane arrangement in $\mathbb C^n$. We show that the number of decomposition factors as a perverse sheaf of the direct image $Rj_*\mathbb C_U $ of the constant sheaf on the complement $U$ to the arrangement is given by the Poincaré polynomial of the arrangement. Furthermore we describe the composition factors of $Rj_*\mathbb C_U $ as certain local cohomology sheaves and give their multiplicity.
Homotopy types of complements of 2-arrangements in R^4
本文研究了R^4中n个横截面排列的补的同伦类型，得到了n <= 6时的一个完全分类，以及一般情况下同伦类型个数的下界。进一步证明了R^4中2-排列的同伦类型不是由上同调环决定的，从而回答了Ziegler的一个问题。我们使用的不变量是从补语的特征变体中派生出来的。这些变体的性质说明了真实安排和复杂安排之间的区别。
Combinatorial Nonresonance Theorems for Hyperplane Arrangement Complements
本文研究超平面排列补集上复秩一局部系统的非共振现象，提出组合充分条件，并改进Bailet、Dimca和Yoshinaga的定理，同时发展限制与提升技术证明线排列的非共振定理。
Purity, formality, and arrangement complements
我们证明了一个“纯度意味着形式”的声明的上下文中的理性同伦理论的光滑复代数簇，并将其应用到补超曲面安排。特别是，我们证明了复曲面排列的补是形式的。这是类似于经典的形式定理补充超平面安排，由于Brieskorn，并推广了一个定理德Concini和Procesi。
Leray spectral sequence for complements of certain arrangements of smooth submanifolds
设Z是复紧代数流形X中子流形的排列。我们允许一些奇异的交叉点。本文研究了U=X-Z嵌入X的Leray谱序列，并给出了该谱序列在E_3表上退化的充分条件。
Homology of Local Systems on Real Line Arrangement Complements
研究复化实线排列补集的同调群，通过实图确定其维数，给出新的上界，并探讨包含锐对排列的情况，推进了Yoshinaga的猜想。
Nonresonance conditions for arrangements
证明了复局部系统中系数复超平面排列的补的上同调的一个消灭定理。这个结果与其他消灭定理进行了比较，并用于研究线排列和超曲面排列的Milnor纤维。
We prove that the mod $2$ Betti numbers of double coverings of a complex hyperplane arrangement complement are combinatorially determined. The proof is based on a relation between the mod $2$ Aomoto complex and the transfer long exact sequence. Applying the above result to the icosidodecahedral arrangement ($16$ planes in the three dimensional space related to the icosidodecahedron), we conclude that the first homology of the Milnor fiber has non-trivial $2$-torsion.
Complements of hypersurfaces, variation maps and minimal models of arrangements
利用Lefschetz束理论和超平面束内变差映射的结果，证明了$\mathbb C^n$中超平面排列的补的CW-复结构的极小性.这也提供了一种方法来计算贝蒂数的补充安排通过全球极不变量。
The Hodge filtration on complements of complex coordinate subspace arrangements and integral representations of holomorphic functions
计算了复坐标子空间排列的补的上同调群的Hodge滤子.利用这一结果，我们构造了全纯函数的整表示，使得这些表示的核在复坐标子空间排列上具有奇点。
A nonhausdorff model for the complement of a complexified arrangement
给定实向量空间中的一个超平面安排A，我们引入一个实代数预簇Z（A），并证明了A的复化的补空间是仿射丛的全空间，纤维是以周围向量空间的对偶空间为模型的.
Mixed Hodge structure on complements of complex coordinate subspace arrangements
本文计算了复坐标子空间排列补的上同调环上的混合Hodge结构。混合Hodge结构可以用复坐标子空间排列的补的上同调环上的特殊二阶化来描述。最初，这biregradation介绍了在设置环面拓扑的V.M. Buchstaber和T.E.帕诺夫
On the homotopy type of the complement of an arrangement that is a 2-generic section of the parallel connection of an arrangement and a pencil of lines
令$\mathcal{A} $是$\mathbb{C}^2.$中的线的复实排列。令$H$是$ \mathcal{A} $中的任何线。然后，形成新的复实排列$ \mathcal{B}_H = \mathcal{A} \cup \mathcal{C} $，其中$ \mathcal{C} \cup \{H\} $是具有重数$ m\geq 3 $的线的线束，线束中的交点不是$ \mathcal{A}, $中的重点，并且$ \mathcal{C} $中的每条线与$ \mathcal{A}\setminus \{H\} $中的每条线在重数为2的点处相交。在这篇文章中，我们表明，对于$ H_1, H_2 \in \mathcal{A} $，我们可以有$ \mathcal{B}_{H_1} $和$ \mathcal{B}_{H_2} $没有同伦补，但安排的补将始终同伦等价。
Lie algebras associated to fiber-type arrangements
给定n维复向量空间中的超平面排列，在k*n维复向量空间中存在余维k子空间的自然关联排列。这个子空间排列的补的拓扑不变量与原始超平面排列的补的拓扑不变量有关。特别地，如果超平面排列是纤维型的，那么除了分次之外，从超平面排列的补的基本群的降中心列得到的李代数同构于在相关子空间排列的补的闭路空间的同调中的本原元的李代数。此外，这最后一个李代数是由子空间排列的补的闭路空间的同伦群模挠给出的。循环进一步产生了一个相关的泊松代数，以及“泛无穷小泊松辫关系”的推广。"
Non-vanishing of homotopy groups of Manin--Schechtman arrangements
本文研究Manin-Schechtman排列的补集，证明其高维同调群非零，从而推翻其为K(π,1)空间的假设。
Hypersurface complements, Milnor fibers and minimality of arrangements
给出了超曲面补拓扑、Milnor纤维与梯度映射度之间的一种新的关系。主要工具是极曲线和H. Hamm和A.奈美蒂在超平面排列的特殊情况下，我们加强了Orlik和Terao（见Math.Ann.301（1995））的一些结果，得到了超平面排列极小性的一个独立证明（见Randell Math.AT/0011101）。
Complements and higher resonance varieties of hyperplane arrangements
超平面排列形成了组合对象（如拟阵）的几何对应。超平面排列的补数的贝蒂数序列的形状在组合学中特别令人感兴趣，在那里它们被称为第一类惠特尼数，并且作为色多项式或特征多项式的系数出现。我们证明了这些贝蒂数的某些非线性组合满足Schur正性。同时，我们还研究了这种结构的高次共振现象。利用同调代数的结果和向量丛技巧，我们得出了所有共振簇都是行列式的这一事实的一些结论。
We study geometric structures on the complement of a toric mirror arrangement associated with a root system. Inspired by those special hypergeometric functions found by Heckman-Opdam, as well as the work of Couwenberg-Heckman-Looijenga on geometric structures on projective arrangement complements, we consider a family of connections on a total space, namely, a $\mathbb{C}^{\times}$-bundle on the complement of a toric mirror arrangement (=finite union of hypertori, determined by a root system). We prove that these connections are torsion free and flat, and hence define a family of affine struct…
Let $\mathscr{A}$ be a real projective line arrangement and $M(\mathscr{A})$ its complement in $\mathbb{CP}^2$. We obtain an explicit expression in terms of Randell's generators of the meridians around the exceptional divisors in the blow-up $\bar{X}$ of $\mathbb{CP}^2$ in the singular points of $\mathscr{A}$. We use this to investigate the partial compactifications of $M(\mathscr{A})$ contained in $\bar{X}$ and give a counterexample to a statement suggested by A. Dimca and P. Eyssidieux to the effect that the fundamental group of such an algebraic variety is finite whenever its abelianization…
Cohomology of $\mathbb{Z}$-local systems on complex hyperplane arrangement complements
本文证明了复超平面排列补集上秩一 $\mathbb{Z}$-局部系的 Cohen-Dimca-Orlik 型定理，从而解决了 S. Sugawara 最近提出的猜想。
Homological Properties of Determinantal Arrangements
我们探讨了辫子安排的自然扩张的背景下，行列式安排。我们表明，这些行列式安排是自由因子。此外，我们证明了由$2\times n$矩阵的子式定义的自由行列式排列满足良好的组合性质。我们还研究了这些行列式排列的补集的拓扑，证明了它们的高阶同伦群与$S^3$的高阶同伦群同构。此外，我们发现，满足上述相同组合性质的安排的补充有庞加莱多项式的因素很好。
We compute the total cohomology of the complement of the toric arrangement associated to the root system $A_n$ as a representation of the corresponding Weyl group via fixed point theory of a "twisted" action of the group. We also provide several proofs of an explicit formula for the Poincaré polynomial of the complement of the toric arrangement associated with $A_n$.
Rational Homotopy Type of Complements of Submanifold Arrangements
本文通过构造cdga模型，研究了子流形排列补集的有理同调类型，并推广了多个关于排列补集的已知结果。
Toric and tropical compactifications of hyperplane complements
这些课堂笔记是根据作者在2012年6月“比利牛斯安排”暑期学校的讲座编写的。本文综述和比较了复超平面排列补的各种紧化。特别地，我们回顾了Gel的fand-MacPherson构造，Kapranov的可见轮廓紧化，以及De Concini和Procesi的精彩紧化。我们解释这些建设是如何统一的热带几何的现代起源的一些想法。该文件载有一些新的论点，旨在使介绍尽可能自成一体。
Combinatorial stratifications and minimality of 2-arrangements
证明了R^d中任意仿射2-排列的补是极小的，即它同伦等价于i-胞腔数与其第i个有理贝蒂数相等的胞腔复形.为了证明，我们提供了一个Lefschetz型超平面定理的补充2-安排，并介绍亚历山大对偶组合莫尔斯函数。我们的结果大大推广了以前的工作，由福尔克，迪姆卡-帕帕迪马，服部，兰德尔，和萨尔韦蒂-Settepanella和其他人，他们表明，在以前的调查相反，一个纯粹的组合方法足以显示极小和Lefschetz超平面定理的补充复杂的超平面安排。
Grothendieck classes and Chern classes of hyperplane arrangements
我们表明，一个超平面安排的特征多项式可以恢复类Grothendieck群的品种的补充安排。这给出了一个快速证明定理的Orlik和所罗门有关的特征多项式的秩的上同调的补充安排。我们还表明，特征多项式可以计算从总陈类的补充的安排，这也已观察到Huh。在自由安排的情况下，我们证明，这陈类同意陈类的对偶束的微分形式与对数极点沿超平面的安排，这是从工作Mustata和申克。我们猜想这个关系对所有的自由因子都成立。我们给出了一个明确的关系之间的特征多项式的安排和Segre类的奇点（雅可比）子计划。这给出了韦克菲尔德和吉永最近的结果的一个变体，并表明，塞格雷类的奇异子计划的安排连同程度的安排决定的秩的上同调的补充。我们还讨论了积极的陈类超平面安排：我们给出了一个组合的解释这一现象，我们讨论的情况下，通用和自由的安排。
Conjugation-free groups, lower central series and line arrangements
一个非对称群$G$的下中心序列的不变量$G_k/G_{k+1}$是这个群的一个重要的不变量。在这项工作中，我们调查的情况下，这些conjecent的某一类共轭-自由群，这是由$x_1,...,x_n$产生的群体，只有循环关系：$$ x_{i_t} x_{i_{t-1}} ... x_{i_1} = x_{i_{t-1}} ... x_{i_1} x_{i_t} = ... = x_{i_1} x_{i_t} ... x_{i_2}.$$使用工具从群论和理论的线安排，我们明确地找到这些职级，这只取决于这些循环关系的数量和长度。由此可见，对于这些群，相关的分次李代数$gr(G)$在任何程度上都分解为局部分量的直积。
Compactifications defined by arrangements I: the ball quotient case
定义了球商中排列补的自然紧化。我们表明，当这个补充有一个模空间的解释，那么这种紧化往往是一个自然出现的几何不变理论。我们用光滑四次曲线和有理椭圆曲面的模空间来说明这一点。
Hyperplane arrangements and Milnor fibrations
有几个拓扑空间与复超平面排列相关联：补集及其边界流形，以及Milnor纤维及其边界。所有这些空间都以各种方式联系在一起，主要是通过一系列连锁的纤维化。我们使用上同调系数秩1本地系统的补充安排，以获得信息的同源性的其他三个空间，和单值运营商的各种纤维化。
Arrangements of hypersurfaces and Bestvina-Brady groups
我们证明了准投射Bestvina-Brady群是超平面排列的补群的基本群。此外，我们还将直角Artin群的其他正规子群与超曲面的排列的补集联系起来。因此，我们得到的超曲面补的例子，其基本群满足各种有限性。
Hypersurface Arrangements with Generic Hypersurfaces Added
本文研究添加一般超曲面后超曲面排列补集的欧拉示性数，给出基于特征多项式系数、Milnor 数和一般超曲面次数的表达式，并据此提出实超平面排列区域高效采样方法及区域数目新上界。
Let $Ω$ be the complement of a connected, essential hyperplane arrangement. We prove that every dominant endomorphism of $Ω$ extends to an endomorphism of the tropical compactification $X$ of $Ω$ associated to the Bergman fan structure on the tropicalization of $Ω$. This generalizes a previous result by Rémy, Thuillier and the second author which states that every automorphism of Drinfeld's half-space over a finite field $\mathbb{F}_q$ extends to an automorphism of the successive blow-up of projective space at all $\mathbb{F}_q$-rational linear subspaces. This successive blow-up is in fact the…
The Orlik-Solomon model for hypersurface arrangements
我们开发了一个模型的超曲面安排内的光滑射影复品种的补的上同调。这推广了正规交叉因子的情况，该因子是由P. Deligne在光滑复簇的混合霍奇理论的背景下发现的。我们的模型是一个全球版本的Orlik-Solomon代数，它计算的补超平面的联盟在仿射空间的上同调。主要工具是沿着超曲面排列的对数形式的复合体及其权重过滤。研究了具有奇妙紧化的联络和曲线上点的位形空间。
Morse theory, Milnor fibers and minimality of hyperplane arrangements
通过对伴随Milnor纤维上的莫尔斯理论的研究，证明了复超平面排列补是极小的.也就是说，复超平面布置的补具有CW复形的同伦类型，其中p-单元的数目等于第p个贝蒂数。
A converse to a theorem of Oka and Sakamoto for complex line arrangements
设C_1和C_2是复平面上的代数平面曲线，使得曲线相交于d_1 \cdot d_2点，其中d_1、d_2分别是曲线的次数。Oka和Sakamoto证明了C_1的补\cup C_2的基本群同构于C_1的补的基本群与C_2的补的基本群的乘积的直联。本文证明了Oka和Sakamoto关于直线排列的结果的逆。设A_1和A_2是复平面上的非空直线排列，使得A_1 \cup A_2的补的基本群同构于A_1和A_2的补的直积。然后，A_1和A_2的交点由重数为2的|A_1| \cdot |A_2|点组成。
Boundary Manifolds of Line Arrangements
本文利用实直线排列的边界三维流形描述了复平面上实直线排列的补。证明了任意直线排列的边界流形是一个具有塞弗特纤维顶点流形的图流形，并且只依赖于该排列的关联图。当线的安排是定义在实数，我们表明，同伦类型的补充是由关联图连同从每个顶点发出的边缘上的排序。
Hyperplane arrangements, M-tame polynomials and twisted cohomology
A。Némethi和A. Zaharia和局部系统系数为秩1的仿射复超平面排列补的上同调群。这种方法特别给出了复仿射平面中直线排列补的扭曲上同调群维数的新的上界。
Hypersurface complements, Milnor fibers and higher homotopy groups of arrangements
给出了超曲面补拓扑、Milnor纤维与梯度映射度之间的一种新的关系。特别是，我们表明，任何射影超曲面的仿射部分，这是花束的领域。主要工具是H. Hamm，D.T. Lê和A.奈美蒂在超平面排列的特殊情况下，我们加强了Orlik和Terao（见Math.Ann.301（1995））的一些结果，并得到了超平面排列的极小性（见Randell math.AT/0011101，该结果的另一个证明）。这然后被用来计算一些更高的同伦群的超平面安排使用的想法，从帕帕迪马-苏丘，见数学AT/0002251。第二个版本包含了上述思想在极Cremona变换中的应用，并对Dolgachev猜想给出了肯定的回答（见Michigan Math.J.48（2000），专门为W. Fulton）。第三个版本纠正了一些错误，并提供了新的应用程序。
Geometric structures on the complement of a projective arrangement
考虑一个具有Fubini-Study度量的复射影空间。我们研究某些一个参数的变形，这个度量的补充安排（=一个有限的工会超平面）的Levi-Civita连接是Dunkl型-有趣的例子是从有限复杂的反射群定义的安排。我们确定一个参数区间的度量是局部的Fubini研究型，平坦，或复双曲。我们找到这个区间的一个有限子集，我们得到一个完整的orbifold或至少是一个Zebriki开子集，我们分析这些情况下的一些细节（例如，我们确定了它们的轨道基本群）。在这个设置中，主要结果Deligne-Mostow的劳里切拉超几何微分方程和工作的Barthel-Hirzebruch-Hoefer安排在一个射影平面出现的特殊情况。一路上，我们以几何方式产生所有具有同构判别式的复反射群对，从而为Orlik-Solomon的工作提供了统一的方法。
Cohomology of abelian arrangements
阿贝尔排列是复阿贝尔簇中余维为1的阿贝尔子簇（可能平移）的有限集。本文研究交换排列的补的上同调。对于幺模阿贝尔排列，我们给出了一个上同调同构于其补集的有理上同调的微分分次代数的组合表示。此外，这个DGA有一个双分级，使我们能够计算混合霍奇数。
Maximal Betti number for local system cohomology of hyperplane arrangement complements
本文证明实超平面排列补集的局部系统上同调达到最大Betti数当且仅当局部系统为常值层，利用胞腔描述给出证明。
Non-formality of Milnor fibers of line arrangements
复射影空间中超平面排列的补是形式的。我们证明了全球米尔诺纤维相关的齐次多项式定义的安排可能甚至不是1-正式的，通过给一个例子，在2维。
Compactifications defined by arrangements II: locally symmetric varieties of type IV
我们定义了一类新的局部对称品种的IV型之间的Baily-Borel紧化和芒福德的环面紧化插值完成。一个算术安排在一个局部对称品种的类型IV确定这样一个完成规范。这种完成允许一种自然的收缩，使这种安排的补集保持不变。由此得到的排列补的完备化非常像贝利-波莱尔紧化：它是亚纯自守形式代数的投影。当这个补有一个模空间解释时，那么我们得到的往往是一个通过几何不变量理论得到的紧化。我们用几个例子来说明这一点：极化$K3$和Enriques表面的模空间和三角形奇异性的半通用变形。我们还讨论了当IV型排列可由自守形式定义时的问题。
Multinets, parallel connections, and Milnor fibrations of arrangements
一个空间的特征簇是秩为1的局部系统的同调的跳跃轨迹。这些变种的几何形状可能随基域的特征而变化的方式反映在有限循环覆盖的同调中。我们利用这一现象来检测扭转的映射超曲面的Milnor纤维的同源性。我们使用的工具之一是解释的程度1的超平面安排补充的特征品种的orbifold纤维化和multichromosomes相应的拟阵。另一个工具是基于拟阵的并联运算的极化构造。我们的主要结果给出了一个组合机生产的安排，其Milnor纤维有扭转的同源性。
Chern classes of logarithmic derivations for some non-free arrangements
Paolo Schiffi证明了自由排列的补的陈-施瓦茨-麦克弗森类与沿着该排列的对数导子层的总陈类一致。我们描述了缺陷的平等的两个类的局部驯服安排孤立的非自由奇异轨迹。
Hyperbolicity of cyclic covers and complements
证明了光滑复射影簇的循环复盖是Brody双曲的，如果它的分支因子是Brody双曲无基点的充分因子的一个足够大的倍数的通有小变形.我们还证明了这些分支因子的补的双曲性。作为应用，我们在$\mathbb{P}^{n+1}$中找到了Brody双曲超曲面的新例子，它们是$\mathbb{P}^n$的循环覆盖.
Some projective wonderful models for the complement of a toric arrangement in a n-dimensional algebraic torus T were constructed in [3]. In this paper we describe their integer cohomology rings by generators and relations.
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