Stochastic PDEs, Regularity Structures, and Interacting Particle Systems
这些课堂笔记是由第二位作者在图卢兹、松本和达姆施塔特的短期课程中所作的一系列讲座发展而来的。主要目的是解释Hairer最近在arXiv：1303.5113中开发的“规则结构”理论的某些方面。这一理论为研究一类以前不能处理的随机偏微分方程的适定性提供了一种方法。突出的例子包括KPZ方程以及动态$Φ^4_3$模型。这样的方程可以展开成形式的微扰展开式。粗略地说，正则性结构理论提供了一种方法，可以在多项之后截断这种展开，并解决“余数”的不动点问题。关键的成分是一个新的概念“规律性”的基础上，这种扩展的条款。
2017-07-11 math-ph math.AP math.MP
Lectures on Quantum Mechanics for mathematicians
这些讲座的主要目的是--为有求知欲的读者介绍量子力学。第二个目标是讨论主要量子假设的数学解释：量子定态轨道之间的跃迁，波粒二象性和概率解释。我们基于非线性汉密尔顿偏微分方程吸引子的新猜想提出了对这些现象的动力学解释。这一猜想在一系列{ \it模型哈密顿非线性}偏微分方程中得到了证实，并得到了自1990年以来的一些结果（我们对这些结果作了粗略的综述）。然而，对于麦克斯韦-薛定谔方程，这个猜想仍然是一个{ \it公开问题}。本文用基尔霍夫近似计算了电子束散射的衍射振幅和Aharonov-Bohm位移。
2019-07-15 math-ph math.MP quant-ph
An introduction to singular stochastic PDEs: Allen-Cahn equations, metastability and regularity structures
这些笔记是为2019年1月28日至2月1日在萨拉热窝随机分析冬季学校举行的一系列讲座准备的。已经有几个关于这个主题的优秀讲义和评论，例如（Hairer 2009）关于（非奇异）随机偏微分方程，以及（Hairer 2015，Chandra和Weber 2017）关于奇异随机偏微分方程和正则性结构。本说明有两个主要特点。第一个是他们关注一个特定的例子，即艾伦-卡恩方程，该方程允许通过逐步增加空间维度，以渐进的方式引入该理论的几个困难。希望是，虽然这限制了所提出的理论的普遍性，但这种限制更多地是由清晰度的提高所弥补的。这些笔记的第二个具体方面是，他们超越了存在性和唯一性的解决方案，通过覆盖一些最近的结果收敛到平衡和亚稳定性在这些系统。
2019-09-12 math-ph math.HO math.MP
Twelve Tales in Mathematical Physics: An Expanded Heinemann Prize Lecture
本文以扩展版获奖讲座回顾作者在数学物理领域的主要贡献，涵盖非相对论量子力学、构造性量子场论与统计力学。
2021-05-05 math-ph math.MP
Lecture notes on Quantum Diffusion and Random Matrix Theory
本讲义介绍一种基于随机矩阵理论研究随机薛定谔方程扩散极限的新方法，内容源自作者与 Adam Black 和 Reuben Drogin 的合作工作，并在索邦大学暑期学校讲授。
2025-11-06 math-ph math.AP math.MP
31 Lectures on Geometric Mechanics
本讲义通过清晰定义和示例，融合纯数学应用与应用数学纯化，涵盖诺特定理、欧拉流体测地流及多物理多尺度波流相互作用等几何力学核心内容。
2024-09-19 math-ph math.DS math.MP
Lectures on the integrability of the 6-vertex model
这是对统计力学和相关模型中的6顶点模型的各个方面的概述。
2010-10-25 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Lecture Notes on Quantum Brownian Motion
爱因斯坦的布朗运动的动力学理论，基于轻的水分子不断轰击重的花粉，提供了一个从牛顿力学的扩散解释。自量子力学发现以来，验证薛定谔方程中扩散的出现一直是一个挑战。该程序的第一步是验证线性玻尔兹曼方程作为具有随机势的薛定谔方程的某一标度极限。在第二步中，我们考虑一个更长的时间尺度，对应于无限多个玻尔兹曼碰撞。直觉是，玻尔兹曼方程然后收敛到一个扩散方程类似的中心极限定理马尔可夫过程充分混合。在这些讲义（为2010年8月的Les Houches暑期学校准备的）中，我们提出了数学工具来严格证明这种直觉。新材料依赖于与H. T. Yau和M.萨姆霍夫
2010-09-04 math-ph math.MP
Entropic Fluctuations in Quantum Statistical Mechanics. An Introduction
这些课堂讲稿在有限量子系统的框架内，提供了熵涨落理论的最新发展的基本介绍。
2011-06-19 math-ph math.MP
Lecture Notes on Mathematical Methods of Classical Physics
这些说明成长的讲座课程的数学方法的经典物理学的学生数学和数学物理在硕士水平。此外，对数学有浓厚兴趣的物理学家可能会发现这本书作为现有经典物理学教科书的补充资源很有用。主题包括拉格朗日力学，哈密顿力学，哈密尔顿-雅可比理论，以及经典场论制定的语言喷束。后一个主题也涵盖了场论的重要例子，如西格玛模型，规范理论和爱因斯坦的广义相对论。
2017-05-24 hep-th math-ph math.DG
Statistical mechanics of integrable quantum spin systems
本脚本基于作者准备在2018年夏天在Les Houches学校举办的一套六场讲座“原子和凝聚态物理的可积性“的笔记。该学派的重点是应用基于可积性的方法来解决非平衡统计力学的问题。讲座的目的是补充这一主题的背景材料的平衡统计力学的量子自旋链从顶点模型的角度来看。作者被要求提供一个最低限度的介绍量子自旋系统，包括概念，如约化密度矩阵和关联函数的本地观测。他还被要求解释顶点模型的图形语言，并介绍特罗特分解和量子转移矩阵的概念。这基本上就是学校前四堂课的内容。在剩下的两个讲座中，这些概念充满了生命，通过使用基于非线性积分方程的技术导出海森堡-伊辛链（别名XXZ模型）每个晶格点的自由能的积分表示。
2020-06-06 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
PDE/statistical mechanics duality: relation between Guerra's interpolated $p$-spin ferromagnets and the Burgers hierarchy
我们研究了在有限大小的平均场$p$自旋铁磁体的平衡动力学的Guerra的插值方案和Burgers的层次的对偶。特别是，我们证明了-固定的$p$ -的期望值的序参量的第一侧w.r.t.广义配分函数满足上述非线性方程类中的第$p-1$个元素。根据这一对偶性，我们解释了相变的热力学极限的统计力学模型与发展的冲击波在偏微分方程侧。我们还获得了固定$N$的$p$自旋铁磁体的解决方案，使我们能够很容易地产生特定的解决方案，相应的方程在伯格斯层次。最后，在PDE方面，我们利用一些标准工具得到了$p=2$模型的有限$N$平衡动力学的有效描述.
2021-03-24 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Mathematical Foundations of Quantum Mechanics: An Advanced Short Course
本文收集并扩展了我在2015年8月31日至9月4日在萨拉戈萨（西班牙）举行的“第二十四届国际秋季几何与物理研讨会”上的演讲。在这些讲座中，我回顾了量子力学的制定，一般的量子理论，从数学先进的观点，基本上是基于基本命题的正交模格，讨论一些基本思想，数学工具和定理也涉及到物理对称性的表示。最后一步包括一个基本的介绍，即所谓的量子理论的（C*-）代数公式。
2016-07-04 hep-th math-ph math.MP
Selected aspects of the Korteweg-de Vries equation
该讲义基于作者过去五年在比利时安特卫普大学讲授可积偏微分方程及KdV方程课程的笔记整理而成，欢迎意见与建议。
2024-11-27 math-ph math.AP math.DS
Lectures on non-perturbative effects in large N gauge theories, matrix models and strings
在这些讲座中，我提出了非微扰瞬子效应在量子理论的审查，重点是大N规范理论和矩阵模型。我首先考虑的结构，这些影响的情况下，常微分方程，这提供了一个模型，更复杂的理论，我介绍了一些技术的教学方式从复苏的分析，如反级数和复苏版本的斯托克斯现象。在回顾了量子力学和量子场论中的瞬子效应之后，我讨论了大N瞬子的一般方面，然后详细回顾了矩阵模型中的非微扰效应。最后，我还考虑了这些技术在弦论中的两个应用
2014-01-31 hep-th math-ph math.MP
Differential Equations of Mathematical Physics
多伦多大学APM 351课程的这些课堂讲稿是针对数学家和物理学家的。它不是作为偏微分方程的入门课程，而是概述了如何查看和解决物理学中常见的微分方程。其中，我涵盖了汉密尔顿方程，变化的薛定谔方程，热方程，波动方程和麦克斯韦方程。
2015-08-16 math-ph math.MP
Differential Equations of Quantum Mechanics
我们非常简要地回顾了主要的数学结构和结果在量子力学的一些重要领域涉及偏微分方程和制定开放的问题。
2022-08-07 math-ph math.AP math.MP
Geometric Hydrodynamics: from Euler, to Poincaré, to Arnold
这些是在数学系短期冬季课程的讲义，科英布拉大学，葡萄牙，2018年12月6日至8日。该课程是第13届国际青年研究人员几何，力学和控制研讨会的一部分。在三个讲座中，我追溯了数学和力学的三位英雄的工作：欧拉，庞加莱和阿诺德。这导致了讲座的目的：解释阿诺德的发现，从1966年的解决方案，欧拉方程的运动的不可压缩流体对应测地线的无穷维黎曼流形的体积保持超同态。在许多方面，这一发现是几何流体动力学领域的基础，今天的几何流体动力学不仅仅包括欧拉方程，还与许多其他领域有着深刻的联系，如最佳运输，形状分析和信息论。
2019-10-08 math-ph math.DG math.MP
Gibbs measures as unique KMS equilibrium states of nonlinear Hamiltonian PDEs
经典Kubo-Martin-Schwinger（KMS）条件是统计力学的一个基本性质，用来描述无限大经典力学系统的平衡态。它是由G. Gallavotti和E. Verboven作为Dobrushin-Lanford-Ruelle（DLR）方程的替代。在这篇文章中，我们考虑这个概念的框架内的非线性哈密顿偏微分方程，并讨论其相关性。特别地，我们证明了Gibbs测度是这类系统唯一的KMS平衡态。我们的证明是基于Malliavin演算和Gross-索伯列夫空间。我们的工作的主要特点是我们的结果的白噪声，抽象的维纳空间和高斯概率空间的一般情况下，以及基本的例子，如非线性薛定谔，哈特里，和波（克莱因-戈登）方程的偏微分方程的适用性。
2021-02-24 math-ph math.AP math.DS
Lecture notes on stationary critical and super-critical SPDEs
本讲义介绍了超出 Regularity Structures 理论的临界与超临界非线性随机 PDEs 的大尺度行为，通过生成元方程、Wiener chaos 分解和 Replacement Lemma 等方法，以随机 Burgers 方程为核心揭示了其极限过程与扩散率。
2024-03-22 math-ph math.MP math.PR
Methods of modern mathematical physics: Uncertainty and exclusion principles in quantum mechanics
这些是2017年春季在斯德哥尔摩KTH开设的硕士课程的讲义，主要目的是使用多体量子力学中的现代数学方法从第一原理证明物质的稳定性。介绍了量子力学不相容原理和不确定性的一般定量表述，如Hardy，Sobolev和Poincaré函数不等式以及结合这两个原理的强大的Lieb-Thirring不等式.这些注释的目的是既相当独立，同时又补充现有的文献，还包括最近的发展，以证明Lieb-Thirring不等式和稳定性，从一般的，较弱的配方排除原则。
2018-05-08 math-ph math.FA math.MP
Mean field spin glasses treated with PDE techniques
根据F. Guerra，在这篇笔记中，我们从不同的角度分析了Sherrington-Kirkpatrick模型，所有这些都共享了一种基本方法，即将模型的统计力学的解决方案（例如求解自由能）与众所周知的偏微分方程（PDE）问题（在适当的空间中）联系起来。该计划是，然后解决相关的偏微分方程使用的技术涉及在其本国的领域，最后带回解决方案，在适当的统计力学框架。在这条链中，在Curie-Weiss模型上进行了简化的测试案例以突出方法而不是背后的物理学之后，我们在副本对称和1-RSB水平上求解SK，通过与傅立叶方程的类比获得自由能的正确表达式，并通过与Burger方程的类比获得自相关性，其冲击波正好在临界噪声水平上发展（触发相变）。我们的方法，除了作为一种新的替代方法，（相对于标准途径），将偏微分方程理论中的对称性与统计力学中的约束联系起来，从理论物理的角度，得到了一类新的多项式恒等式（即Aizenman-Contucci类型，但合并在Guerra的破碎复制品测量中），其兴趣在于通过最近的Panchenko突破，如何对Parisi预测的超度量树进行重叠组织。
2013-04-09 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech math-ph
Integrable Lattices: Random Matrices and Random Permutations
这些讲座提出了随机矩阵（有限和无限）和随机排列领域的最新发展的调查。这些概率问题提出了矩阵积分（或弗雷德霍姆行列式），它非常自然地出现在对称空间的切空间上的积分，群上的积分，最后是对称空间上的积分。这些讲座的一个重要部分是致力于表明，这些矩阵积分，在适当地添加时间参数，是自然的τ-功能的可积格，如户田，普法夫和Toeplitz格，但也可积偏微分方程的，如KdV方程。这些矩阵积分或弗雷德霍姆行列式也满足Virasoro约束，其与可积方程组合导致原始概率的（部分）微分方程。
2000-10-13 cond-mat math-ph math.CO
Statistical mechanics approach to some problems in conformal geometry
本文建立了一个弱大数定律，适用于N个经典点粒子系统，它们具有$\bbR^n$，或$\bbS^n$，$n\in \bbN$中的对数对势，它们按照构形微正则测度$δ(E-H)$分布，或者更确切地说是它们的某种正则化分布，其中H是构形哈密顿量，E是构形能量。当$N\to\infty$具有非广延能量标度$E=N^2 \vareps$时，粒子位置变为i.i.d.根据自洽玻尔兹曼分布，分别是这种分布的叠加。n维自洽条件是某个n阶非线性椭圆型偏微分方程（如果n是奇数，则为伪偏微分方程），具有指数非线性。当n=2时，这个偏微分方程在统计力学中被称为Poisson-Boltzmann方程，并应用于点涡、二维库仑和磁化等离子体以及引力系统。它在共形微分几何中也是已知的，在那里它是尼伦伯格的高斯曲率问题的中心方程。对于常高斯曲率，它变成刘维尔方程，这也出现在二维所谓的量子刘维尔引力中。n=4的偏微分方程是潘尼兹方程，虽然在统计力学中不为人知，但它起源于对麦克斯韦电磁学共形不变性的研究，并在最近的四维量子引力模型中出现。在微分几何中，Paneitz方程及其高阶n推广在n-流形的共形几何中有应用，但对于一般n还没有物理应用。有趣的是，所有的帕内茨方程都有一个统计力学的解释。
2000-02-22 math-ph math.AP math.DG
Lecture notes on Legendre polynomials: their origin and main properties
本讲义推导了球对称物理问题中 Legendre 微分方程的起源，介绍了 Legendre 多项式作为 Fourier-Legendre 级数展开基的性质，并展示了其在数论无理性证明中的应用。
2025-03-03 math-ph math.MP math.NT
Supersymmetric Quantum Mechanics
超对称量子力学（SUSY QM）是一个强有力的工具，可以用来产生新的势能，而这些新的势能的谱是已知的。在这些课堂讲稿中，我们将给出关于一维任意系统的一阶和二阶超对称量子力学的一些一般公式，并将通过三角Poschl-Teller势来说明该方法。一些内在相关的主题，如新的哈密顿量继承的代数结构和相应的相干态将被分析。该技术也将实施周期性的潜力，相应的频谱是由允许的带分开的能隙。
2009-10-01 hep-th math-ph math.MP
Partial Differential Equations of Mixed Type: Analysis and Applications
偏微分方程（PDE）是许多数学和科学进步的核心。在过去的80年里，标准型偏微分方程的理论研究取得了很大的进展，而混合型非线性偏微分方程的分析还处于起步阶段。本文的目的是通过流体力学、微分几何和其他领域中的几个长期存在的基本问题来说明，在这些领域中出现的许多非线性偏微分方程不再是标准类型，而是处于偏微分方程分类的边界，甚至超越了混合类型的分类。一些相互关联的连接，历史的观点，最近的发展，和当前的趋势，在混合型非线性偏微分方程的分析。
2022-08-14 math-ph math.AP math.DG
Multisymplectic geometry, variational integrators, and nonlinear PDEs
本文基于多辛几何与变分原理，提出统一框架以构造保持辛性与诺特对称性的连续及离散力学/场论模型，并给出非线性正弦-戈登方程的数值验证。
1998-07-15 cs.NA math-ph math.DG
Branes, Quivers and BPS Algebras
这些课堂讲稿涵盖了一些代数几何技巧的简要介绍，这些技巧用于BPS代数的构造。第一节介绍了凝聚层的导出范畴，它是复曲面Calabi-Yau三重中膜的一个有用的模型。这个模型允许一个相当简单的推导出描述各种膜系统的低能动力学的量子量子力学。这种量子力学的量子化可以用量子化表示的模空间的临界等变上同调来确定。这些通常通过各种晶体构型来计算。利用代数几何中的对应关系，人们可以构造出丰富的仿射杨格表示族。最后，我们探索自然出现在我们的故事中的不同代数结构。该材料涵盖在第二PIMS暑期学校的高能物理学代数几何的4个讲座的迷你课程。文本包含一些新的想法，例子和评论，将在与迪伦·布特森的联合工作中详细介绍。
2021-12-27 hep-th math-ph math.AG
Lectures on Symplectic Geometry, Poisson Geometry, Deformation Quantization and Quantum Field Theory
这些是作者在2020年秋季学期在苏黎世大学提供的课程“泊松几何和变形量子化”的讲义。第一章是微分几何的介绍，其中我们涵盖了流形、张量场、流形上的积分、斯托克斯定理、德拉姆定理和弗罗贝纽斯定理。第二章介绍了辛几何中最重要的概念，如拉格朗日子流形，Weinstein的管状邻域定理，哈密顿力学，矩映射和辛约化。第三章介绍了Poisson几何，包括Courant结构、Dirac结构、局部分裂定理、辛叶理和Poisson映射。第四章是形变量子化，主要讨论Moyal积，$L_\infty$ -代数，Kontsevich形式定理，Kontsevich星积的图构造，Kontsevich星积的全局化方法和形式的运算方法。第五章是关于Kontsevich形变量子化的量子场论方法，其中包括泛函积分方法，Moyal积作为路径积分量子化，规范理论的Faddeev-Popov和BRST方法，无限维扩展，Poisson西格玛模型，通过对Poisson西格玛模型的泛函积分量子化的微扰展开构造Kontsevich星积，仿射Poisson结构及其一般构造。
2020-12-29 hep-th math-ph math.DG
