Quantum integrability of quadratic Killing tensors
Christian Duval, Galliano Valent
研究了弯曲位形空间上由二次Killing张量给出的经典可积系统的量子可积性.本文证明了，对于一大类经典例子，使用“最小”量子化方案，量子可积性是可保证的。
Quantum integrability of classical integrable systems given by quadratic Killing tensors on curved configuration spaces is investigated. It is proven that, using a "minimal" quantization scheme, quantum integrability is insured for a large class of classic examples.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Killing spinor-valued forms and their integrability conditions
我们研究定义Killing向量值形式的偏微分方程的不变系统，然后专门研究Killing旋量值形式。我们给出了一个详细的治疗，其延长和可积性条件有关的逐点值的解决方案的曲率的基础流形。作为一个例子，我们完全求解常曲率模型空间上的方程，产生了全新的解，这些解不是来自Killing旋量和Killing-Yano形式的张量积。
Algebraic Integrability Conditions for Killing Tensors on Constant Sectional Curvature Manifolds
利用n维常截面曲率流形上的两个Killing张量的价空间与代数曲率张量的不可约GL（n+1）-表示空间之间的同构，将Killing张量的Nijenhuis可积条件转化为相应代数曲率张量的纯代数可积条件，得到两个简单的二次和三次代数方程.作为第一个应用程序，我们构建了一个新的家庭可积Killing张量。
Toric data, Killing forms and complete integrability of geodesics in Sasaki-Einstein spaces $Y^{p,q}$
本文证明了利用辛势和经典的Delzant构造可以得到5维Sasaki-Einstein空间$Y^{p,q}$上特殊Killing形式的完整列表.所得结果与直接计算所得结果一致，证明了该方法的可靠性，它实际上是复曲面Sasaki-Einstein流形的一种通用算法。最后讨论了测地线运动在$Y^{p,q}$空间中的可积性。
Integrability of geodesics and action-angle variables in Sasaki-Einstein space $T^{1,1}$
本文在不求解复杂的广义Killing方程的情况下，简要描述了复曲面Sasaki-Einstein流形上Stäkel-Killing和Killing-Yano张量的构造.测地运动的积分用齐次Sasaki-Einstein空间$T^{1,1}$的Killing向量和Killing Yano张量表示.我们讨论了测地线的可积性，并明确地构造了作用角变量。当系统受到扰动时，测地线运动的两对频率是共振的，从而导致系统的混沌行为。
On integrability of the Killing equation
由于Killing张量场与测地线方程的多项式第一积分一一对应，因此被认为是描述了空间（时间）的隐对称性。经典力学中的许多问题可以表述为弯曲空间和时空中的测地线问题，因此求解Killing张量场的定义方程（Killing方程）是积分运动方程的一种强有力的方法。在本文中，我们试图制定的Killing方程的可积性条件，这有助于把一个上限的数量线性无关的解决方案，也严格限制的可能形式的解决方案。为此，我们首先展示了使用Young对称化子的方式对Killing方程的扩展。然后，利用扩展方程，我们明确地给出了可积性条件。
Complete Integrability of Cohomogeneity-one strings in $\mathbb{R}^{n,1}$ and Canonical Form of Killing Vector Algebra
研究了平坦空间$\mathbb{R}^{n,1}$中同态一Nambu-Goto弦的运动方程.我们首先分类的Killing向量场在$\mathbb{R}^{n,1}$适当的行动后的庞加莱群的可能形式。然后，确定了相干度为1的Nambu-Goto弦的所有可能形式的哈密顿量。它已被证明，系统总是有最大数量的功能独立，成对交换的守恒量，即它是完全可积的。我们还确定了二维非交换李代数的Killing向量基的所有可能坐标形式。
Symplectic mechanics of relativistic spinning compact bodies. I. linear-in-spin integrability under Killing-Yano symmetry
研究中性大质量自旋测试体自旋线性阶次的哈密顿动力学，利用马蒂松 - 帕帕佩特鲁 - 图尔齐耶夫 - 狄克逊方程，在特定四维时空通过施加条件和约化相空间，确定五个对合的第一积分，表明基灵 - 矢野对称性是自旋线性可积性的唯一几何来源。
Complete integrability of geodesic motion in Sasaki-Einstein toric $Y^{p,q}$ spaces
本文明确地构造了$5$维Sasaki-Einstein空间$Y^{p,q}$中测地线的运动常数。为了完成这项任务，我们使用知识的完整集的Killing向量和Killing-Yano张量在这些空间。尽管事实上，我们产生了大量的运动常数，其中只有五个是功能上独立的，这意味着$Y^{p,q}$空间上的测地线流完全可积。在齐次Sasaki-Einstein流形$T^{1,1}$的特殊情况下，运动积分具有较简单的形式，并详细地描述了它们之间的关系。
Quantum integrability for the Beltrami-Laplace operators of projectively equivalent metrics of arbitrary signatures
我们将[Matveev-Topalov 2001]的结果推广到所有的签名：我们证明了在所有的签名中，由射影等价度量构造的Killing张量对应于交换微分算子
Carter's case [D] admits the 2nd Canonical Form of the Killing Tensor
本文在广义相对论框架下，利用Newman-Penrose Formalism同时求解Killing张量可积性条件与Einstein场方程，给出了真空中允许Killing张量第二和第三标准型的所有Petrov类型，并发现Carter的案例[D]的真空解。
(1+1)-dimensional separation of variables
本文研究了具有不定签名的二维流形上测地线流局部可分的一般条件。这等价于证明双曲平面上的二维自然哈密顿系统具有运动的第二积分，该积分是与二阶Killing张量相关的动量的二次多项式。我们研究的可能性，该积分是由一个给定的能量超曲面上的哈密顿流保存（弱可积性），并推导出额外的要求，必须有守恒在任意值的哈密顿量（强可积性）。利用零坐标，我们证明了在弱可积的情况下，不变量的首阶系数是单变量的任意函数。在强可积的情况下，这些函数在坐标系中是二次多项式。我们发现，对于$(1+1)$维系统有三种可能的类型的共形Killing张量，因此，三个不同的可分性结构相比，单一的标准Hamilton-Jacobi型分离在正定的情况下。新的分离结构之一是复/调和型，其特征在于复分离变量。另一种新的类型是线性/零分离时发生的共形Killing张量有一个零特征向量。
Integrability and Einstein's Equations
本文综述广义相对论中可积结构（如稳态轴对称时空、爱因斯坦-罗森波等）的一般形式、解生成技术及精确解，并讨论爱因斯坦-罗森波荷的泊松代数与量子化。
Conformal symmetries of spherical spacetimes
我们研究球对称时空的共形几何，一般不指定物质分布的形式。一般共形Killing对称性得到了一些可积性条件。以前的结果与静态时空被证明是我们的解决方案的一个特殊情况。将流线共形地映射到流线上，生成了一般的继承共形对称向量，并证明了可积性条件的满足。本文证明了在膨胀、加速和剪切的相对论性流体的爱因斯坦方程的精确解中存在一个超曲面正交共形Killing矢量。
A note on the integrability status of a 'mysterious' case of a quadratic Hamiltonian
该研究针对Sokolov与Wolf研究的二次哈密顿量“神秘”情形，采用基于微分伽罗瓦理论的Morales-Ramis方法，给出其亚纯不可积性的简单代数证明。
Second order Killing tensors related to symmetric spaces
本研究探讨n维独立对合运动积分空间中的二次运动积分对及其对应的哈密顿方程可积性，重点研究与欧氏空间旋转平移特殊组合相关的二阶Killing张量，补充了Eisenhart理论之外高阶动量积分的相关内容。
Integrability in the multistate Landau-Zener model with time-quadratic commuting operators
精确可解的多状态Landau-Zener（MLZ）模型与MLZ哈密顿算子可交换且线性依赖于时间的算子族相关联。也可以有满足MLZ哈密顿算子的可积性条件但二次依赖于时间的算子。我们发现，在MLZ系统中，这样的时间二次算子更常见。然后，我们证明，这样的运营商一般会导致约束的独立变量参数化的散射矩阵。我们展示了这样的约束如何导致渐近精确的表达式的过渡概率在绝热极限的三能级MLZ模型。新的完全可解MLZ系统也被发现。
On Integrability of Nonautonomous Nonlinear Schroedinger Equations
我们展示了，在一般情况下，如何转换的非自治非线性薛定谔方程的二次哈密顿到标准的自治形式，是完全可积的熟悉的逆散射方法在非线性科学。导出了相应的等效非等谱拉克斯对。讨论了几个简单的可积系统。
Conformal invariance and quantum integrability of sigma models on symmetric superspaces
本文研究了几个对称超空间上的二维非线性西格玛模型，这些对称超空间是陪集型的超群流形。对于其中一个圈β函数为零的空间，计算了两个圈β函数，并证明了其为零。对于零Killing形式的群超流形上的主手征模型，证明了在微扰论的所有阶中β函数为零。超群流形$G/H$上的对称（超）空间上的西格玛模型是经典可积的。研究了将非局部流守恒中不存在量子反常的论证从非超情形推广到在一个圈内渐近自由的超群流形情形的可能性。
Vortices, Painlevé integrability and projective geometry
论文的前半部分涉及Abel涡和Yang-Mills（YM）理论。本文证明了Manton最近提出的五类涡旋是四维流形上（A）SDYM方程在适当的规范群和对称群作用下的对称约化。因此，扭量的可积性结果，这样的涡可以导出。给出了它们的动能的自然定义，从而用Samols局部化方法计算了模空间的度规。然后，我们提出了一个修正的阿贝尔-希格斯模型，使得自发对称性破缺和Bogomolny论证仍然成立。Painlevé测试，当应用到它的孤子方程，揭示了一个完整的列表，其可积的情况。相应的解决方案给出的第三Painlevé超越，并可以解释为原始涡的表面上的圆锥奇点。最后两章给出了流体动力学型（HT）系统的射影微分几何和哈密顿量的一些结果。证明了由潘勒韦方程定义的射影结构是不可度量化的，除非相应的方程允许一阶导数的二次积分，或者它们定义了射影平坦结构.相应的第一积分可以从与解决可度量性问题的度量相关联的Killing向量导出。其次，给出了任意二维仿射联络局部存在0、1、2或3个Killing型的充分必要条件。这些条件是张量的，比以前文献中的条件简单。通过定义适当的仿射联络，证明了Killing型的存在性问题等价于两分量HT系统Hamilton结构存在的条件.
Geometrical Theory of Separation of Variables, a review of recent developments
哈密尔顿-雅可比方程的分离变量理论“根据定义”与使用特殊类型的坐标有关，例如椭圆体上的雅可比坐标或欧几里得空间中的Stäckel系统。然而，以一种与坐标无关的方式发展这个理论是可能的，也是有用的：这就是变量分离的几何理论。它涉及几何对象（如特殊子流形和叶理）以及特殊向量和张量场，如Killing向量和Killing两张量（即一阶和二阶等距），以及它们的保形扩张;二次第一积分与Killing两张量有关。近年来，可分系统提供了从不同角度研究的数学结构。我们在这里提出了一个简短的审查，这些结构和它们的应用，特别考虑到潜在的几何形状。讨论了Killing张量、二次一阶积分及其相关的二阶微分算子之间的代数关系以及可分系统逼近的某些方面。本文已作为海报在动力学日欧洲2008年，代尔夫特2008年8月25日至29日。
A geometric interpretation of integrable motions
本文以黎曼几何把牛顿运动解释为力学流形测地线，将可积性联系于非 Noether 型 Killing 张量场，并在 N=2 Toda 与修正 Henon-Heiles 模型中显式构造该张量、恢复第二守恒量。
Integrability of quantum dots
本研究确定了使带特定势函数的量子点哈密顿系统完全可积的频率比条件，关联了其与Eisenhart度量共形Killing张量的存在性，并证明该势下粒子轨迹非三维黎曼度量的非参数化测地线。
Integrability of Dynamical Systems: A Geometrical Viewpoint
物理现象由特定物理定律所关联的物理量来描述。在物理学理论的背景下，物理量和物理定律分别由适当的几何对象和这些对象之间的关系来描述。这些关系表示与系统（主要是二阶）微分方程。这些方程的解通常是一项艰巨的任务，因为动力学方程不能用标准方法积分，或者因为定义的动力系统是不可积的。因此，重要的是我们有一个系统的和可靠的方法来确定其可积性。这导致了几种（代数或几何）方法的发展，这些方法确定动力系统是否可积/超可积。这些方法中的大多数涉及第一积分（FI），即沿着系统演化的常数。FI是重要的，因为它们可以用来降低动力学方程系统的阶数，如果有“足够”的动力学方程，甚至可以通过求积来确定其解。在后一种情况下，动力系统被称为刘维尔可积的，它与一个正则拉格朗日量相关联，其动能定义了一个度量张量，称为动能度量。证明了该度量的几何对称性（直射变换和Killing张量）与定义FI的量之间有密切的关系。这种对应关系使微分几何的结果应用于动力系统可积性的研究成为可能。在这篇论文中，我们研究了这种对应关系，并通过发展一种新的几何方法来计算它们，从而将FI的确定几何化。
Stäckel problem for non-diagonal Killing tensors: Yano-Patterson lifts, algebra of strong symmetries and quadratic in momenta integrals
本文提出了一种非对角化Killing张量的Stäckel问题构造方法，通过Yano-Patterson提升和Nijenhuis几何，生成可积的哈密顿系统，并应用于流体类型PDE的可积性证明。
Systematic construction of separable systems with quadratic in momenta first integrals
考虑了具有二次动量首次积分的Liouville可积可分系统。特别注意的是由所谓的特殊共形Killing张量，即Benenti系统所产生的系统。然后，通过对Benenti类系统进行适当的变形，构造出无穷多类新的可分系统。
Symmetry, singularities and integrability in complex dynamics I: the reduction problem
使用杨巴克斯特方程生成的二次系统在某种意义上是可积的，但我们显示恶化拥有的Painlevé属性的方程的数量在每个“可积系统”的增加。某些中间系统的构建和测试的Painlevé属性。李对称性也计算的完整性。
The Study of the Canonical forms of Killing tensor in vacuum with Λ
该研究基于对称二阶张量几何分类引入Killing张量标准形式，将含Λ真空的爱因斯坦场方程等欠定系统转为超定系统，用零标架Newman-Penrose形式简化后得到多类Petrov型代数解，含部分新解。
Reducibility of Valence-3 Killing Tensors in Weyl's Class of Stationary and Axially Symmetric Space-Times
稳态和轴对称时空在天体物理学中扮演着重要的角色，特别是在中子星和黑洞理论中。这些时空的静态真空子类被称为外尔类，其中最突出的例子就是史瓦西时空。本文研究了Weyl类时空中三价Killing张量场空间。Killing张量场在物理学中起着至关重要的作用，因为它们对应于测地线运动的不变量（即运动常数）。证明了在静态轴对称真空时空中，三价Killing张量场空间是由Killing向量场和二次Killing张量场生成的.利用这个结果，证明了对于Zipoy-Voorhees度量族，三价Killing张量场总是由Killing向量场和度量生成的.
Quantum cylindrical integrability in magnetic fields
我们给出了量子力学中具有磁场的圆柱型二次可积系统的分类。遵循[F Fournier et al 2020 J. Phys. A：Math. Theor.为了便于比较，在先验不同的情况下，得到2个无修正的系统和2个有修正的系统，它们的磁场$B$与经典磁场一致，只有标量位$W$可能包含与$\hbar^2$相关的修正.其中两个系统都有二次矩的柱积分，因此是不可分的。这些结果形成了一个前瞻性的研究超可积性的基础。
How one can repair non-integrable Kahan discretizations
Kahan离散适用于具有二次向量场$\dot{x}=f(x)=Q(x)+Bx+c$的$\mathbb R^n$上的任何常微分方程组，并根据公式$(\widetilde{x}-x)/ε=Q(x,\widetilde{x})+B(x+\widetilde{x})/2+c$产生双有理映射$x\mapsto \widetilde{x}$，其中$Q(x,\widetilde{x})$是对应于二次形式$Q(x)$的对称双线性形式。当应用于可积系统时，Kahan离散化比人们预期的先验更频繁地保持可积性，但并非总是如此。我们表明，在某些情况下，原始配方未能保持可积性，可以调整系数的Kahan离散化，以确保其可积性。
Variational Contact Symmetries of Constraint Lagrangians
研究了有限自由度和速度平方的重参数化不变拉格朗日量的接触对称性。本文主要研究的是线性依赖于速度的对称生成元。一个自然的扩展的对称性发生器沿失效函数$N(t)$，适当的扩展的依赖$\dot{N}(t)$的规范函数，被假定;这一行动产生新的结果。中心的发现是，运动的积分是线性的或二次的速度和生成，分别由共形Killing矢量场和共形Killing张量的配置空间度量推导出的动力学部分的拉格朗日（适当的共形因子）。重新参数化的自由度允许人们适当地缩放$N(t)$，使得电势变为常数;在这种情况下，运动积分可以从缩放度量的Killing场和Killing张量构造。一个相当有趣的结果是，由于哈密顿约束的存在，Noether定理中的规范函数是不必要的
$f(R)$-gravity from Killing Tensors
我们考虑空间曲率为零的Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker时空中的$f\left(R\right) $ -引力。我们应用Killing张量的minisuperspace，以指定的功能形式的$f\left(R\right) $和场方程是不变的李-贝克隆变换是线性的动量（接触对称性）。从而证明了由Noether定理给出的场方程可以满足二次守恒律.我们发现三个新的可积的$f\left(R\right) $模型，其中与应用的守恒律，我们减少了两个一阶常微分方程的系统的场方程。对于每个模型，我们研究宇宙流体的演化。我们发现，对于一个可积模型的宇宙流体有一个状态方程参数，其中在后者有一个线性行为的比例因子，描述的Chevallier，Polarski和Linder（CPL）参数暗能量模型。
Integrable and superintegrable 3d Newtonian potentials using quadratic first integrals: A review
确定动力学系统的第一积分并系统地评价其可积性或超可积性是一个开放的课题。沿着这些路线为二阶自治动力系统开发的一种方法是所谓的直接方法。根据这种方法，假设FI I的一般函数形式，并且沿着动力学方程需要条件dI/dt=0。这导致一个系统的偏微分方程（PDE），其中一个增加了必要的可积条件所涉及的标量。我们发现最终的偏微分方程系统分裂成两个集合：a.一组只包含几何元素和b。第二组几何和动力学量。然后，提供的几何量是已知的或可以找到的，一个使用第二组计算FI，并相应地，评估的可积性的动力系统。二次FI（QFI）的偏微分方程系统的解已在最近的论文J. Math. Phys. 61，122701（2020）中给出。在目前的工作中，我们考虑这个解决方案的应用牛顿自治保守动力系统的三个自由度，并计算可积和超可积的潜力，其可积性是通过自治和时间依赖的QFI确定。这些系统的几何元素是已知的欧几里得空间的几何元素。设置各种值的参数确定的几何元素，我们确定在一个系统的方式所有已知的可积和超可积的潜力E3与新的。为了便于参考，结果收集在表中，使目前的工作可以作为一个更新的审查的主题上的二阶可积/超可积的潜力在E3。
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