On Covering a Graph Optimally with Induced Subgraphs
Shripad Thite
本文研究了用给定个数的导出子图覆盖一个图，使得每个子图的最大顶点数最小化的问题。我们证明了问题的NP-完全性，证明了下界，并给出了某些图类的近似算法。
We consider the problem of covering a graph with a given number of induced subgraphs so that the maximum number of vertices in each subgraph is minimized. We prove NP-completeness of the problem, prove lower bounds, and give approximation algorithms for certain graph classes.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Graph Homomorphisms, Circular Colouring, and Fractional Covering by H-cuts
图同态是一个顶点映射，它将源图中的边带到目标图中的边。加权最大H-COL子图问题（MAXH-COL）的例子是边加权图G，目标是找到G的一个具有最大总边权的子图，条件是该子图与H具有同态;注意，对于H=K_k，这个问题等价于MAXk-CUT。Farnqvist等人在图的空间上引入了一个参数，允许对MAX H-COL的可逼近性进行深入研究。具体地说，它可以用来将以前已知的（不）可逼近性结果扩展到更大的图类。在这里，我们研究了循环完全图K_{p/q}上这个参数的性质，其中2 <= p/q <= 3。将所得结果推广到无K_4-minor图和最大平均度有界的图。我们还考虑连接与萨马尔的工作分数覆盖削减：我们解决，并决定，两个apturtures关于立方色数。
On circular-arc graphs having a model with no three arcs covering the circle
区间图是直线上有限区间集的交图，圆弧图是圆上有限弧集的交图。虽然区间图的禁止诱导子图的刻画在50年前就被发现了，但圆弧图的类似刻画是一个长期存在的开放问题。在这项工作中，我们研究了交图的有限集的弧在一个圆上，其中没有三个覆盖的圆，被称为正常的Helly圆弧图。Lin，Soulignac，and Szwarcfiter确定了正规Helly圆弧图类的最小禁止诱导子图，他们还提出了确定剩余的最小禁止诱导子图的问题。在这项工作中，我们解决了他们的问题，获得了完整的列表的最小禁止诱导子图类的正常Helly圆弧图。
Neighborhood covering and independence on two superclasses of cographs
给定一个简单图$G$，一个集合$C \subseteq V(G)$是一个邻域覆盖集，如果$G$的每条边和每个顶点都属于某个具有$v \in C$的$G[v]$，其中$G[v]$表示由顶点$v$的闭邻域导出的$G$的子图.如果没有顶点$v\in V(G)$使得$E(G) \cup V(G)$的两个元素都在$G[v]$中，则这两个元素是邻域无关的。一个集合$S\subseteq V(G)\cup E(G)$是邻域无关的，如果$S$的每对元素都是邻域无关的。设$ρ_{\mathrm n}(G)$为最小邻域覆盖集的大小，$α_{\mathrm n}(G)$为最大邻域无关集的大小. Lehel和Tuza将邻域完美图$G$定义为其中等式$ρ_{\mathrm n}(G') = α_{\mathrm n}(G')$对$G$的每个导出子图$G'$成立的图。在这项工作中，我们证明了禁止诱导子图的邻域完美图类的特征，限制到两个超类的上图：$P_4$ -整洁图和树-上图。我们也给线性时间算法解决识别问题的邻域完美图和问题的最小邻域覆盖集和最大邻域独立集在这些相同的类。
Partial Star Products: A Local Covering Approach for the Recognition of Approximate Cartesian Product Graphs
本文讨论了图的近似积与笛卡尔积的关系。大多数图都是素图，尽管它们可以具有丰富的类似积的结构。所提出的算法是基于一个本地的方法，覆盖一个图形的小的子图，所谓的部分星产品，然后利用这些信息来获得的全球因素和嵌入的调查下的图形到笛卡尔积图。
Shortest cycle covers and cycle double covers with large 2-regular subgraphs
在本文中，我们表明，许多snark有最短的循环覆盖的长度$\frac{4}{3}m+c$为常数$c$，其中$m$是在图中的边的数量，在协议的猜想，所有的snark有最短的循环覆盖的长度$\frac{4}{3}m+o(m)$。特别地，我们证明了完美匹配指数不超过4的图的圈覆盖长度为$\frac{4}{3}m$，并且满足张的$(1,2)$ -覆盖猜想，而周长较大的图的圈覆盖长度接近于$\frac{4}{3}m$ .我们还证明了一些结果，图的低奇性和讨论的连接Jaeger的彼得森着色猜想。
Covering Many (or Few) Edges with k Vertices in Sparse Graphs
我们研究以下两个固定基数优化问题（最大化和最小化变体）。对于一个固定的$α$在0和1之间，我们给出了一个图和两个数字$k \in \mathbb{N}$和$t \in \mathbb{Q}$。该任务是找到一个顶点子集$S$正好$k$顶点，具有值至少（分别）。最多最小化）$t$。这里，顶点集的值计算为$α$乘以$S$中具有恰好一个端点的边的数量加上$1-α$乘以$S$中具有两个端点的边的数量。这两个问题推广了许多著名的图的问题，如Denmark $k$ -Subgraph，Sparmark $k$ -Subgraph，Partial Vertex Cover，Max（$k$，$n-k$）-Cut.在这项工作中，我们完成了几种类型的稀疏图的结构参数描述的参数化复杂性的图片。特别是，我们提供核化算法和核下界这些问题。我们的核化的一个有点令人惊讶的结果是，部分顶点覆盖和最大$(k,n-k)$ -切割不仅表现在相同的方式，但这两个问题的核可以通过相同的算法获得。
Partitions and Coverings of Trees by Bounded-Degree Subtrees
本文对给定的树$T$和整数$d\geq2$讨论了下列问题：（1）划分$E(T)$的最小度$d$子树个数是多少？(2)覆盖$E(T)$的最小度$d$子树数是多少？我们回答第一个问题，提供了一个明确的公式的最小数量的子树，我们描述了一个线性时间算法，找到相应的分区。对于第二个问题，我们提出了一个计算最小覆盖的多项式时间算法。然后，我们建立了一个严格的约束的子树的数量覆盖的树与给定的最大程度和路径宽度。我们的研究结果表明，路径宽度是正确的参数时，考虑研究覆盖树的度3子树。我们简要地考虑了一般图的有界度连通子图的覆盖。
Placing Green Bridges Optimally for Robust Habitat Reconnection
该研究探讨了如何在最小成本下通过最优放置绿色桥梁实现栖息地的鲁棒连接，分析了不同连通性要求下的计算复杂性及算法设计。
On the Relativized Alon Second Eigenvalue Conjecture VI: Sharp Bounds for Ramanujan Base Graphs
这是第六次在一系列的文章致力于表明，一个典型的覆盖地图的大程度上一个固定的，经常图有其新的邻接特征值范围内的阿隆所确定的随机正则图。本文证明了如果固定图是正则Ramanujan图，则随机覆盖图模型的{ \em代数幂}是$+\infty$ .这意味着许多有趣的结果，例如（1）对于随机覆盖映射在Alon界之外具有一些新的邻接特征值的概率，获得了上界和下界--在乘法常数内匹配，以及（2）概率小于覆盖映射的度的任何负幂，一些新的特征值未能在Alon界内，而覆盖映射不包含许多“缠结”中的一个作为子图（并且这种缠结包含事件具有低概率）。
Packing and covering induced subdivisions
一类图$\mathcal{F}$具有诱导Erdens-Pósa性质，如果存在一个函数$f$，使得对于每个图$G$和每个正整数$k$，$G$包含属于$\mathcal{F}$的$k$成对顶点不相交的诱导子图，或者包含一个至多$f(k)$的顶点集，该顶点集击中$\mathcal{F}$中所有的诱导图副本. Kim和Kwon（SODA '18）证明了对于长度为$\ell$的循环$C_{\ell}$，$C_{\ell}$-细分类具有诱导的Erdens-Pósa性质当且仅当$\ell\le 4$。本文研究了$H$-剖分类对其它图$H$是否具有诱导的Erdens-Pósa性质.我们完全解决了当$H$是一个森林或完全二部图的情况。关于一般情况下，我们确定的必要条件$H$类的$H$-细分有诱导Erdens-Pósa属性。为此，我们提供了三个基本的结构，这是有用的，以证明类的细分的一个图不具有诱导Erdens-Pósa性质。在其余的图中，我们证明了如果$H$是钻石，$1$-泛，或$2$-泛，则$H$-细分类具有诱导Erdens-Pósa性质.
Minimum $T$-Joins and Signed-Circuit Covering
设$G$是一个图，$T$是$G$的偶基数顶点子集. $G$的$T$ -连接是边的子集$J$，使得当且仅当$G$的顶点属于$T$时，该顶点与$J$中的奇数条边关联。最小$T$ -连接在组合优化中有许多应用。本文证明了连通图$G$的最小$T$ -联至多有$|E(G)|-\frac 1 2 |E(\widehat{\, G\,})|$条边，其中$\widehat{\,G\,}$是$G$的最大无二叉子图.进一步地，我们可以利用这个结果来证明每个流容许符号图$(G,σ)$都有一个长度至多为$\frac{19} 6 |E(G)|$的符号回路覆盖。特别地，具有偶数负性的2-边连通符号图$(G,σ)$具有长度至多为$\frac 8 3 |E(G)|$的符号回路覆盖。
Counting Small Induced Subgraphs with Hereditary Properties
研究了图$G$中满足图性质$Φ$的$k$ -顶点导出子图的计数问题$\#\text{IndSub}(Φ)$的计算复杂性.我们的主要结果建立了一个详尽的和明确的分类，所有的遗传属性，包括严格的条件下界下的指数时间假设（ETH）：-如果一个遗传属性$Φ$是真的所有的图，或者如果它是真的，只有对许多图，然后$\#\text{IndSub}(Φ)$是可解的多项式时间。- 否则，$\#\text{IndSub}(Φ)$在由$k$参数化时是$\#\mathsf{W[1]}$ -complete的，并且假设ETH，对于任何函数$f$，它都不能在时间$f(k)\cdot |G|^{o(k)}$中求解。这种分类具有广泛的性质，相应的检测问题（如Khot和Raman [TCS 02]所分类）是易于处理的，但计数是困难的。此外，即使是已经棘手的决策版本的属性，我们的结果产生显着更强的计数问题的下限。作为额外的结果，我们还提出了一个详尽的和明确的参数化的复杂性分类的所有属性是不变的同态等价。通过覆盖一个最自然的和一般的概念，关闭，即顶点删除（遗传）下，我们概括了一些早期的结果在这个问题上。例如，我们的结果完全支持并加强了Roth，Schmitt和Wellnitz [FOCS 20]对单调（子图封闭）属性的$\#\text{IndSub}(Φ)$的现有分类。
Product structure of graph classes with bounded treewidth
我们证明了许多有界树宽的图可以被描述为一个树宽较小的图和一个有界大小的完全图的强积的子图。为此，将图类$\mathcal{G}$的“底层树宽”定义为最小非负整数$c$，使得对于某个函数$f$，对于每个图${G \in \mathcal{G}}$，存在具有${\text{tw}(H) \leq c}$的图$H$，使得$G$同构于${H \boxtimes K_{f(\text{tw}(G))}}$的子图。我们介绍了不相交覆盖图，并表明他们确定任何图形类的底层树宽。利用这个结果，我们证明了平面图类的基础树宽为3; $K_{s,t}$ -minor-free图类的基础树宽为$s$（对于${t \geq \max\{s,3\}}$）; $K_t$ -minor-free图类的基础树宽为${t-2}$ .在一般情况下，我们证明了一个单调类有界底层树宽当且仅当它排除一些固定的拓扑子式。我们还研究了被排除子图或被排除诱导子图定义的图类的基本树宽。我们证明了不含$H$子图的图类具有有界底层树宽当且仅当$H$的每个分支都是一个细分星，不含导出$H$子图的图类具有有界底层树宽当且仅当$H$的每个分支都是一个星.
Covering minimal separators and potential maximal cliques in $P_t$-free graphs
一个图称为$P_t$ -free}，如果它不包含一个$t$ -顶点路作为导出子图。虽然$P_4$ -free图是严格的余图，但对于$t \geq 5$的$P_t$ -free图的结构仍然知之甚少.一方面，经典的计算问题，如最大权独立集（MWIS）和$3$ -着色是不知道是NP-困难的$P_t$ -自由图的任何固定的$t$。另一方面，尽管付出了巨大的努力，但直到最近才发现$P_6$ -free graphs~[SODA 2019]中MWIS的多项式时间算法和$P_7$ -free graphs~[Combinatorica 2018]中的$3$ -Coloring。在这两种情况下，算法都依赖于对所考虑的图类的深入结构洞察。在$P_5$自由图~[SODA 2014]和$P_6$自由图~[SODA 2019]中的MWIS算法中的主要工具之一是所谓的分离器覆盖引理，该引理断言图中的每个最小分离器都可以被恒定数量顶点的邻域的并集覆盖。本文证明了这样一个命题推广到$P_7$ -free图，而在$P_8$ -free图中是假的.我们还讨论了类似的这样一个声明覆盖潜在的最大集团工会的邻域。
Directed Capacity-Preserving Subgraphs: Hardness and Exact Polynomial Algorithms
针对计算机网络功耗降低需求，提出最小容量保持子图（MCPS）问题，证明其在受限DAG上NP难，同时为有向串并联图及推广的层状串并联图设计最优多项式时间算法。
Complexity Framework For Forbidden Subgraphs I: The Framework
本研究针对HH-子图自由图提出图问题复杂性的元分类框架，给出三个判定条件，可推导问题的复杂性二分性，适用于多类图问题，还解决了若干文献开放问题。
On the Relativized Alon Second Eigenvalue Conjecture V: Proof of the Relativized Alon Conjecture for Regular Base Graphs
这是第五次在一系列的文章致力于表明，一个典型的覆盖地图的大程度上一个固定的，经常图有其新的邻接特征值范围内的阿隆所确定的随机定期图。本文利用本系列第三、四篇的结果证明了：如果基图是正则的，则当覆盖映射的度$n$趋于无穷大时，某个新的邻接特征值绝对值在Alon界之外，且概率为$O(1/n)$ .此外，我们给出了这个概率的上界和下界，它们紧到一个乘法常数乘以覆盖映射的度。这些界依赖于随机覆盖映射模型的\emph{algebraic power}（也可以是$+\infty$）和\emph{tangle power}两个正整数。我们猜想我们所研究的模型的代数幂总是$+\infty$，并且在第六篇中我们证明了当基图是正则的并且是\emph{Ramanujan}时这一点。当模型的代数幂为$+\infty$时，本文的结果意味着更强的结果，例如（1）上述上界和下界在乘法常数内匹配，（2）概率小于度的任何负幂，只有当覆盖图包含许多“缠结”中的一个作为子图（并且这种事件的概率很低）时，某些新的特征值才不在Alon界之内。
Supports for Outerplanar and Bounded Treewidth Graphs
本文研究非穿刺子图导出超图的稀疏支撑，证明外可平面图存在外可平面支撑，并给出有界树宽图上原始、对偶与交超图的树宽界及多项式构造算法。
Bounding Clique-Width via Perfect Graphs
给定两个图$H_1$和$H_2$，一个图$G$是$(H_1,H_2)$ -free的，如果它不包含与$H_1$或$H_2$同构的子图.本文继续了最近对$(H_1,H_2)$ -free图的圈宽的研究，提出了三类新的有界圈宽和无界圈宽的$(H_1,H_2)$ -free图.这四个新的图类的共同点是它们的两个禁止导出子图之一是菱形图（从四个顶点上的团中删除一条边而得到的图）。为了证明前三种情况下的团宽度的有界性，我们开发了一种技术，结合结合减少完美图的子类的有界团覆盖数。我们扩展我们的无界性证明的第四种情况下，图同构是图同构完全相同的图形类。我们还表明，我们的结果的计算复杂性的着色问题限制在$(H_1,H_2)$ -自由图的影响。
Lower Bound for Independence Covering in $C_4$-Free Graphs
本文证明$C_4$-自由图（即$K_{2,2}$-自由图）不存在大小为$f(k)n^{k/4-ε}$的$k$-独立集覆盖族，从而否定了将退化图覆盖族结果推广到更一般图类的可能性。
The $k$-in-a-tree problem for graphs of girth at least~$k$
对于所有整数$k\geq 3$，我们给出了问题的$O(n^4)$时间算法，该问题的实例是周长至少为$k$和$k$顶点的图$G$，问题是“$G$是否包含一个包含$k$顶点的导出子图且同构于树？".对于$k=3$，这直接遵循Chudnovsky和Seymour的三叉树算法，对于$k=4$，这直接遵循Derhy、Picouleau和Trotignon的结果。这里我们解决了$k\geq 5$的问题。我们的算法依赖于周长至少$k$不包含一个诱导树覆盖$k$给定顶点（$k\geq 5$）的图的结构描述。
On Supports for graphs of bounded genus
本文针对有界亏格宿主图中由连通子图定义的超图，在子图满足交叉自由条件下，构造了有界亏格的支撑，推广了Raman和Ray的结果，并应用于超图着色。
An algebraic formulation of the graph reconstruction conjecture
图重构猜想断言，每个至少有三个顶点的有限简单图都可以从它的甲板（它的顶点删除子图的集合）重构到同构。Kocay引理是图重构中的一个重要工具。粗略地说，给定图$G$和任何有限图序列的甲板，它给出了$G$的每个重建必须满足的线性约束。令$ψ(n)$是$n$顶点上不同（相互不同构）图的数量，令$d(n)$是可以从这些图构造的不同甲板的数量。然后，差异$ψ(n) - d(n)$衡量有多少图形无法从其套牌中重建。特别地，图重构猜想对$n$ -顶点图成立当且仅当$ψ(n) = d(n)$ .我们给出了一个框架的基础上Kocay的引理来研究这种差异。证明了若$M$是图的序列覆盖数矩阵，则$d(n) \geq \mathsf{rank}_\mathbb{R}(M)$ .特别地，如果一个这样的矩阵具有秩$ψ(n)$，则所有$n$ -顶点图都是可重构的.为了补充这一结果，我们证明了可以选择一族图序列，使得对应的覆盖数矩阵$M$满足$d(n) = \mathsf{rank}_\mathbb{R}(M)$。
On Hypergraph Supports
本文研究超图支撑的存在性，针对宿主图满足亏格或树宽条件且超边满足交叉自由或非穿刺条件时，构造受限族的原始和对偶支撑，并应用于几何超图的打包、覆盖与着色问题。
Rooted Almost-binary Phylogenetic Networks for which the Maximum Covering Subtree Problem is Solvable in Linear Time
本文研究近二叉系统发育网络，利用规范分解和栅栏连接性质刻画了$δ^\ast(N)=η^\ast(N)$的条件，提出了一类可线性时间求解最大覆盖子树问题的新网络。
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