Partial Star Products：一种识别近似笛卡尔积图的局部覆盖方法

部分星积与拟笛卡尔积的快速识别

Fast Recognition of Partial Star Products and Quasi Cartesian Products

本文研究连通图边集上关系$\R$的快速计算，它在近似笛卡尔积的识别、笛卡尔积的弱重构以及具有三角形自由基的笛卡尔图丛的识别中起着决定性的作用. $\R$的一个特例是关系$δ^\ast$，其凸闭包产生乘积关系$σ$，该乘积关系导致连通图关于笛卡尔乘积的素因子分解。对于$\R$的构造，所谓的部分星积是特别感兴趣的。使用几种特殊的数据结构，允许在恒定时间内计算部分星积。这些计算被调谐到识别的近似图形产品，但也导致一个线性时间算法的计算$δ^\ast$的图形与最大有界度。此外，我们将\emph{quasi Cartesian products}定义为具有非平凡$δ^\ast$的图。我们提供了几个例子，并表明，拟笛卡尔积可以识别在线性时间的图有界的最大程度。最后，我们注意到，拟积可以识别在次线性时间与并行算法。

乘积图上的覆盖数组

Covering Arrays on Product Graphs

如果对于所有对$(a,b)\in \mathbb{Z}_g\times \mathbb{Z}_g$，存在$i\in \{1,2,\ldots,n\}$使得$(x_i,y_i)=(a,b)$，则$\mathbb{Z}_g^n$中的两个向量$x,y$是$ qualitatively$ $ independent$。图$G$上的覆盖数组，记作$CA(n,G,g)$，是$\mathbb{Z}_g$上的一个$|V(G)|\times n$数组，它具有这样的性质：$G$中相邻顶点对应的任意两行是定性独立的.这样的数组中的列数称为$size$。给定一个图$G$，$G$上具有最小尺寸的覆盖数组称为$optimal$。我们在本文中主要关注的是与建设，使最佳覆盖阵列的大型图，这些是从较小的图的产品。我们考虑了文献中研究最广泛的四种图积，并给出了图积上覆盖数组的大小的上界和下界。我们发现家庭的图的覆盖阵列的笛卡尔积的大小达到下界。最后，我们给出了一个多项式时间近似算法，该算法的近似比为$\log(\frac{V}{2^{k-1}})$，用于构造具有$k>1$素因子的图$G=(V,E)$上关于笛卡尔积的覆盖阵列。

矩阵与多面体的笛卡儿积的识别

Recognizing Cartesian products of matrices and polytopes

矩阵$S_1 \in \mathbb{R}^{m_1 \times n_1}$和$S_2 \in \mathbb{R}^{m_2 \times n_2}$的1-乘积是$\mathbb{R}^{(m_1+m_2) \times (n_1n_2)}$中的矩阵，其列是$S_1$的每一列与$S_2$的每一列的级联。我们的主要结果是一个多项式时间算法的以下问题：给定一个矩阵$S$，是$S$的1-产品，直到置换的行和列？我们的主要动机是通过松弛矩阵的概念将矩阵的1-乘积与多面体的笛卡尔乘积紧密联系起来。确定一个给定的矩阵是否是一个松弛矩阵是一个有趣的问题，其复杂性是未知的，我们的算法减少了问题的不可约的情况。我们的算法是基于最小化一个对称的次模函数，表示在信息论中的互信息。我们还给出了一个多项式时间算法来识别一个更复杂的矩阵乘积，称为2-乘积。最后，作为我们的1-乘积和2-乘积识别算法的推论，我们得到了一个多项式时间算法来识别$2$级拟阵基多面体的松弛矩阵。

Revisiting the Role of Coverings in Anonymous Networks: Spanning Tree Construction and Topology Recognition

This paper revisits two classical distributed problems in anonymous networks, namely spanning tree construction and topology recognition, from the point of view of graph covering theory. For both problems, we characterize necessary and sufficient conditions on the communication graph in terms of directed symmetric coverings. These characterizations answer along-standing open question posed by Yamashita and Kameda [YK96], and shed new light on the connection between coverings and the concepts of views and quotient graphs developed by the same authors. Characterizing conditions in terms of cover…

关于S-复合图和S-素图识别的复杂性

On the Complexity of Recognizing S-composite and S-prime Graphs

S-素图是不能表示为图的非平凡笛卡尔积的非平凡子图的图，即，当它是非平凡笛卡尔积图的子图时，它是因子之一的子图。一个图是S-复合的，如果它不是S-素数。虽然线性时间识别算法，用于确定是否一个图是素数或不相对于笛卡尔积是已知的，它仍然是未知的，如果一个类似的结果也适用于识别的S-素数和S-复合图。本文考虑了S-复合图和S-素图识别的计算复杂性。Klav{numerical}ar \emph{et al.} [ \emph{Discr.\ Math.} \textbf{244}：223-230（2002）]证明了一个图是S-复合的当且仅当它允许一个非平凡路- $k$ -染色。对于给定的图，判定是否存在路- $k$ -染色的问题是NP-完全的，即使对于$k=2$也是NP-完全的.这反过来又被用来表明，确定一个图是否是S-复合是NP-完全的，因此，确定一个图是否是S-素数是CoNP-完全的。许多其他问题被证明是NP难的，使用后者的结果。

两类上图的邻域覆盖与独立性

Neighborhood covering and independence on two superclasses of cographs

给定一个简单图$G$，一个集合$C \subseteq V(G)$是一个邻域覆盖集，如果$G$的每条边和每个顶点都属于某个具有$v \in C$的$G[v]$，其中$G[v]$表示由顶点$v$的闭邻域导出的$G$的子图.如果没有顶点$v\in V(G)$使得$E(G) \cup V(G)$的两个元素都在$G[v]$中，则这两个元素是邻域无关的。一个集合$S\subseteq V(G)\cup E(G)$是邻域无关的，如果$S$的每对元素都是邻域无关的。设$ρ_{\mathrm n}(G)$为最小邻域覆盖集的大小，$α_{\mathrm n}(G)$为最大邻域无关集的大小. Lehel和Tuza将邻域完美图$G$定义为其中等式$ρ_{\mathrm n}(G') = α_{\mathrm n}(G')$对$G$的每个导出子图$G'$成立的图。在这项工作中，我们证明了禁止诱导子图的邻域完美图类的特征，限制到两个超类的上图：$P_4$ -整洁图和树-上图。我们也给线性时间算法解决识别问题的邻域完美图和问题的最小邻域覆盖集和最大邻域独立集在这些相同的类。