Covering vertices by sequential stars
Hangzhou Dianzi University（杭州电子科技大学）；University of Alberta（阿尔伯塔大学）；Zhejiang University of Water Resources and Electric Power（浙江水利水电学院）；Beijing University of Technology（北京工业大学）
研究用顶点不相交的星形（每个星形的卫星数在区间[k,ℓ]内）覆盖图中最多顶点的问题，提出针对四种顺序设置的近似算法，并证明k=2时问题的APX-难性。
2026-05-23 cs.DM cs.DS
Approximating Sparse Covering Integer Programs Online
覆盖整数规划（CIP）是一种数学规划，其形式为：min {c^T x：Ax >= 1，0 <= x <= u，x integer}，其中A是一个m × n矩阵，c和u是n维向量，都有非负项。在在线设置中，约束（即，约束矩阵A）的行随时间到达，并且算法只能增加向量x的坐标以保持可行性。作为中间步骤，我们考虑在线求解覆盖线性规划（CLP），其中x上的完整性要求被丢弃。我们的主要结果是（a）O（log k）-竞争在线算法求解CLP，和（b）O（log k log L）-竞争随机在线算法求解CIP。这里，k<=n和L<=m分别表示约束矩阵A的任意行和列中的非零条目的最大数量。根据Feige和Korman的结果，这是多项式时间在线算法的最佳可能，即使在集合覆盖的特殊情况下也是如此。
2012-05-01 cs.DS
Covering Pairs in Directed Acyclic Graphs
有向无环图（DAG）上的最小路径覆盖问题是一个经典的问题，它为不同领域的应用提供了一个清晰而简单的数学公式，并有一个有效的算法解决方案。在本文中，我们研究的计算复杂性的最小路径覆盖的两个受约束的变种，最近推出的下一代测序技术在生物信息学的动机。第一个问题（MinPCRP），给定一个DAG和一组顶点对，要求“覆盖”所有顶点的路径的最小基数集，使得每对顶点的两个顶点属于同一条路径。对于这个问题，我们证明了，如果存在一个至多由三条路径组成的解，则它是NP难计算的，可以在多项式时间内判定是否存在由至多两条路径组成的解。第二个问题（MaxRPSP），给定一个DAG和一组顶点对，要求包含最大数量的给定顶点对的路径。我们证明了它的NP-硬度和W[1]-硬度，当参数化覆盖对的数量时。在积极的一面，我们给出了一个固定参数的算法时，参数是最大重叠度，一个自然的参数在生物信息学应用的问题。
2013-10-18 cs.CC cs.DS
Multi-way sparsest cut problem on trees with a control on the number of parts and outliers
给定一个图，稀疏割问题要求顶点的一个子集，其边扩展（由子集给出的归一化割）是最小的。在本文中，我们研究了这个问题的推广寻求$ k $不相交的顶点子集（集群）的所有边缘扩展是小的，此外，在外部的子集（离群点）的顶点数也很小。我们证明了，虽然这个问题是$ NP-$硬树，它可以解决在多项式时间的所有加权树，只要我们限制搜索空间的子集，诱导连通子图。该算法是基于动态规划和运行在最坏的情况下在$ O(k^2 n^3) $，当$ n $是顶点的数量和$ k $是簇的数量。当聚类数和离群值的数量由一个常数限制时，它也在线性时间内运行。
2017-02-18 cs.DS
Linear kernels for outbranching problems in sparse digraphs
在$k$ -叶子外分支和$k$ -内部外分支问题中，我们给出了一个有向图$D$，它有一个指定的根$r$和一个非负整数$k$ .问题是确定是否存在一个以$r$为根的分支，该分支分别至少有$k$叶或至少有$k$内部顶点。这两个问题进行了深入的研究，从参数化的复杂性和核化的角度来看，特别是他们的内核与$O(k^2)$顶点是已知的一般图。在这项工作中，我们表明，$k$ -叶外分支承认一个核心与$O(k)$顶点的$\mathcal{H}$ -小的自由图，对于任何固定的家庭图$\mathcal{H}$，而$k$ -内部外分支承认一个核心与$O(k)$顶点的任何图形类的有界扩展。
2015-09-05 cs.DS
Faster Algorithms for Finding Small Induced Patterns in Sparse Host Graphs
Indian Institute of Technology, Gandhinagar（印度技术学院甘地纳加尔分校）
本文提出基于(p,q)-宽度和模式多项式的算法，在稀疏宿主图中更快检测小规模诱导模式图，对部分模式达到最优，并优于现有算法。
2026-10-02 cs.DS
Finding Sparse Cuts Locally Using Evolving Sets
{ \em局部图分割算法}通过从指定顶点开始自适应地探索大图$G$的一部分来找到具有小传导性（即，稀疏切割）的顶点的集合。为了使算法是局部的，其复杂性必须以其输出的集合的大小为界，至多弱依赖于$G$中顶点的数目$n$。先前的局部分割算法使用随机游走和个性化PageRank来找到稀疏切割。在本文中，我们介绍了一个随机的局部分割算法，找到一个稀疏切割模拟{ \em体积偏置的进化集过程}，这是一个马尔可夫链的顶点集。我们证明，对于任何一组顶点$A$，具有电导在最$ϕ$，至少有一半的起始顶点在$A$我们的算法将输出（概率至少一半），一组电导$O(ϕ^{1/2} \log^{1/2} n)$。我们证明，对于一个给定的运行的算法，其计算复杂性和它输出的集合的体积之间的预期比率是$O(ϕ^{-1/2} polylog(n))$。相比之下，Andersen、Chung和Lang提出的最佳局部分割算法具有相同的近似保证，但复杂度和输出量之间的$O(ϕ^{-1} polylog(n))$比率更大。使用我们的局部分割算法作为一个子程序，我们构造了一个快速算法寻找平衡削减。给定$ϕ$的固定值，所得到的算法具有复杂度$O((m+nϕ^{-1/2}) polylog(n))$，并且返回具有电导$O(ϕ^{1/2} \log^{1/2} n)$和体积至少为$v_ϕ/2$的切割，其中$v_ϕ$是电导至多为$ϕ$的…
2008-11-23 cs.DS
Planar Induced Subgraphs of Sparse Graphs
我们证明了每个图都有至少$n-m/4.5$顶点的诱导伪森林，至少$n-m/5$顶点的诱导部分2-树，至少$n-m/5.2174$顶点的诱导平面子图。这些结果是建设性的，这意味着线性时间算法找到各自的诱导子图。我们还表明，在一个给定的图中，最大的$K_h$ -minor-free图的大小有时可以是最多$n-m/6+o(m)$。
2015-05-12 cs.CG cs.DS math.CO
Triangle packing in (sparse) tournaments: approximation and kernelization
给定竞赛图T和一个正整数k，C_3-Pakcing-T问题是问T中是否存在至少k个顶点不交的有向3-圈。这是经典的最小反馈点集问题的竞赛图中的对偶问题。令人惊讶的是，C_3-Pakcing-T在文献中没有得到很多关注。我们表明，它不承认一个PTAS，除非P = NP，即使我们限制所考虑的实例稀疏比赛，即比赛与反馈弧集（FAS）是一个匹配。针对稀疏竞赛图，我们提出了一个（1 + 6/（c-1））近似算法，用于稀疏竞赛图的线性表示，其中所有后向弧的"长度"至少为c。关于核化，我们证明了C_3-Pakcing-T允许一个O（m）顶点的核，其中m是给定反馈弧集的大小。特别地，我们得到了C_3-Pakcing-T在稀疏情况下的O（k）顶点核.在负的大小上，我们证明了C_3-Pakcing-T不允许（总比特）大小为O（k ^{2-ε}）的核，除非NP是coNP/Poly的子集. C_3-Pakcing-T的O（k）个顶点核的存在性仍然是一个悬而未决的问题。
2017-07-13 cs.DS
Push is Fast on Sparse Random Graphs
我们认为经典的推广播过程中的一大类稀疏随机多重图，包括随机幂律图和多重图。我们的分析表明，对于每一个$\varepsilon>0$，whp $O(\log n)$轮足以通知所有，但$\varepsilon$ -分数的顶点。不难看出，例如对于随机幂律图，推送过程需要whp $n^{Ω(1)}$舍入来通知所有顶点。Fountoulakis、Panagiotou和Sauerwald证明了对于具有幂律度序列的随机图，$β>3$，推拉协议需要$Ω(\log n)$来通知除了$\varepsilon n$之外的所有顶点whp。我们的结果表明，对于这样的随机图，拉机制并没有（渐近）提高运行时间。这是令人惊讶的，因为已知的是，在具有$2<β<3$的随机幂律图上，推挽比拉快。
2014-08-27 cs.DS math.CO
Representations of Sparse Distributed Networks: A Locality-Sensitive Approach
1999年，Brodal和Fagerberg（BF）给出了一个保持动态一致稀疏图的低出度定向的算法。具体地说，对于$n$ -顶点上的动态图，荫度始终由$α$限定，BF算法支持在$O(\log n)$摊销更新时间内的边更新，同时保持图中由$O(α)$限定的最大出度。这样的方向提供了一个基本的数据结构，均匀稀疏图，发现应用程序的动态图算法过多。BF算法的一个显著弱点是在边插入之后，最大出度可能出现\emph{temporary}爆破。虽然BF最终将所有的outdegrees减少到$O(α)$，但在分布式系统中作为重要质量度量的顶点处的本地存储器使用不能被限制。我们展示了如何修改BF算法，以保证所有顶点的出度是有界的$O(α)$在任何时候，而不损害其任何其他属性，并提出了一个有效的分布式实现的修改后的算法。这提供了分布式网络的\emph{first}表示，其中所有顶点处的本地内存使用由荫度（本质上是denatrium子图的平均度）而不是最大度来限制。对于没有本地内存约束的设置，我们将临时的outdegree blowup发挥到极致，并允许永久的outdegree blowup。这使我们能够解决BF算法的第二个显著弱点--其固有的\emph{global}性质：边$(u,v)$的插入可能会触发远离$u$和$v$的边的方向的变化。我们提出了一种替代的\emph{local}计划，它不保证任何…
2018-02-26 cs.DS
Parallel Minimum Spanning Forest Computation using Sparse Matrix Kernels
使用稀疏线性代数的图形算法的公式已经产生了高度可扩展的分布式算法的问题，如连接和最短路径计算。我们开发的第一个配方的Awerbuch-Shiloach并行最小生成森林（MSF）算法使用线性代数原语。我们引入了一个多线性核，它对一个邻接矩阵和两个向量进行操作。该内核通过同时使用来自相邻边和顶点的信息来更新图顶点。此外，我们探索优化，以加快Awerbuch-Shiloach算法中的捷径步骤。我们实现这个MSF算法与Cyclops，一个分布式存储库的广义稀疏张量代数。我们分析了我们的实现在Stampede 2超级计算机上的并行可扩展性。
2021-12-15 cs.DC cs.DS
Minimum sum vertex cover: kernelization and parameterized algorithms
本研究以单条边最大覆盖代价k为参数，提出最小和顶点覆盖问题的(k²+2k)顶点核与O(m+2ᵏk!k⁴)时间算法，结果也适用于以顶点覆盖数为参数的情形。
2024-04-14 cs.DS
On Approximating (Sparse) Covering Integer Programs
我们考虑覆盖整数规划的形式min $\langle c, x \rangle $在$x \in \mathbb{N}^n $受到$A x \geq b $和$x \leq d$的近似算法，其中$A \in \mathbb{R}_{\geq 0}^{m \times n}$，$b \in \mathbb{R}_{\geq 0}^m$，和$c, d \in \mathbb{R}_{\geq 0}^n$都有非负的条目。我们把这个问题称为$\operatorname{CIP}$，没有多重性约束的特殊情况称为$x \le d$，称为$\operatorname{CIP}_{\infty}$。这些问题是集覆盖问题的推广。我们做了两个算法上的贡献。首先，我们表明，一个简单的算法的基础上随机四舍五入与改变改善或匹配的最佳已知的近似算法$\operatorname{CIP}$和$\operatorname{CIP}_{\infty}$在广泛的参数设置，这些界限基本上是最佳的。作为变更算法和分析的简单性的副产品，我们可以去随机化算法，而不会在近似保证或效率方面有任何损失。Chen，Harris和Srinivasan [12]先前的工作获得了近紧边界，该工作基于基于分析复杂的基于重采样的随机算法。$\operatorname{CIP}$的非平凡近似算法基于求解用背包覆盖（KC）不等式加强的自然LP松弛[…
2018-11-18 cs.DS
Hitting and Harvesting Pumpkins
“c-pumpkin”是两个顶点由c>0条平行边连接的图。图G中的c-pumpkin-model是指图G的顶点的不相交子集对A，B，每个子集都导出图G的一个连通子图，使得图G中A和B之间至少有c条边。我们专注于在给定图中覆盖和包装c-pumpkin-models：一方面，我们提供了一个FPT算法，时间为2^O（k）n^O（1），决定对于任何固定的c>0，所有c-pumpkin-models是否可以被最多k个顶点覆盖。这推广了已知的点覆盖和反馈点集的单指数FPT算法，它们分别对应于c= 1，2的情况.另一方面，我们给出了一个O（log n）-近似算法，用于解决用最少的顶点数覆盖所有的c-pumpkin模型和填充最多的顶点不相交的c-pumpkin模型的问题.
2013-12-13 cs.DS
Finding All Bounded-Length Simple Cycles in a Directed Graph
本文提出了一种新的求有向图中所有满足长度约束的简单圈的有效算法。当顶点的数目是非平凡的，大多数圈发现问题的实际利益稀疏图。我们证明了对于一类顶点度几乎一致的稀疏图，我们的算法可以在$O((c+n)(k-1)d^k)$步骤中找到所有长度小于或等于$k$的圈，其中$n$是顶点数，$c$是发现的圈的总数，$d$是图的顶点的平均度，以及$k > 1$。虽然我们的分析的运行时间地址只有一类稀疏图，我们提供了经验和实验证据的效率，一般稀疏图的算法。这个算法是一个显着的改进，只有其他确定性算法，我们知道这个问题，它也适合于大规模并行。一些大型现实世界的图形上的串行实现的实验结果。
2021-05-26 cs.DS
Edge covering with budget constrains
我们研究两个相关的问题：找到一组k个顶点和最小边数（kmin），并找到一个具有至少m ′条边和最小顶点数（mvms）的图。Goldschallow和Hochbaum \cite{GH97}证明了mvms问题是NP困难的，并给出了该问题的3-近似算法.我们改进了\cite{GH97}，给出了2的比率。从Carnes和Shmoys \cite{CS08}的工作中得出了该问题的2（1+ε）-近似。我们将逼近比提高到2。问题的算法。我们证明了\kmin的自然LP具有2-o（1）的完整性间隙。我们通过证明除非已知的稠密k-子图的实例允许一个常数比，否则问题是APX-困难的，从而改进了\cite{GH97}的NP-完全性。对于稠密k-子图的这个实例，已知的最佳逼近保证是O（n^{2/9}）\cite{BCCFV}。我们证明了对于任何常数ρ>1，对\kmin问题的ρ的逼近保证意味着对\mwms的ρ（1+o（1））逼近.最后，我们定义我们给出了一个精确的算法的密度版本的kmin。
2013-11-04 cs.DS
Subexponential parameterized algorithms for planar and apex-minor-free graphs via low treewidth pattern covering
我们证明了下面的定理。给定平面图$G$和整数$k$，可以在多项式时间内随机采样具有以下性质的$G$的顶点的子集$A$：（i）$A$导出树宽为$\mathcal{O}(\sqrt{k}\log k)$的$G$的一个子图，（ii）对于$G$在至多$k$顶点上的每个连通子图$H$，$A$覆盖$H$的整个顶点集的概率至少为$(2^{\mathcal{O}(\sqrt{k}\log^2 k)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)})^{-1}$，其中$n$是$G$的顶点数。再加上标准的动态规划技术的图形有界树宽，这一结果给出了一个通用的技术，获得（随机）次指数参数化算法的问题，平面图，通常与运行时间界$2^{\mathcal{O}(\sqrt{k} \log^2 k)} n^{\mathcal{O}(1)}$。该技术可以应用于可表达为在大型宿主图中搜索具有规定属性的小的连通模式的问题，这样的问题的示例包括定向$k$ -路径、加权$k$ -路径、顶点覆盖局部搜索和子图同构等。到目前为止，这些问题是否可以在平面图上的次指数参数化时间内解决仍然是开放的，因为它们不适合经典的二维技术。此外，我们所有的结果，事实上，任何一类的图，不包括一个固定的顶点图作为一个未成年人，特别是在图嵌入在任何固定的表面。
2016-04-20 cs.DS
Online Weighted Degree-Bounded Steiner Networks via Novel Online Mixed Packing/Covering
针对边加权度有界Steiner森林问题及其推广问题，设计了第一个具有多对数竞争比的在线算法。我们得到我们的结果，演示了一个新的通用的方法来解决混合包装/覆盖整数规划的在线范例。在EW-DB-SF中，我们给出了一个边赋权图，每个顶点都有一个度界。预先给定一个根顶点，我们以在线方式接收一个终端顶点序列。在终端到达时，我们需要扩大我们的解子图，以将新终端连接到根。我们的目标是最小化解决方案的总权重，同时尊重顶点的度界限。在离线设置边加权度有界Steiner树（EW-DB-ST）和它的许多变种已被广泛研究，因为八十年代初。不幸的是，在线网络设计问题的最新进展本质上很难适应度有限的问题。与此相反，本文利用最优解的结构性质，将EW-DB-SF问题归结为一个指数规模的混合填充/覆盖整数规划，其中每个变量在覆盖约束中只出现一次，从而得到了我们的结果.然后，我们设计了一个通用的积分算法来解决这个限制家庭的IP。我们展示了一种新的技术解决混合包装/覆盖整数规划。定义一个程序的覆盖频率k为一个变量可以参与的覆盖约束的最大数目。令m表示包装约束的数量。针对混合填充/覆盖整数规划问题，设计了一个竞争比为O（klogm）的在线确定性积分算法.我们相信这种技术可以作为一个有趣的替代标准的原始对偶技术在解决在线问题。
2017-04-19 cs.DS
Quasi-polynomial time approximation schemes for packing and covering problems in planar graphs
我们考虑平面图中的两个优化问题。在最大权独立对象集中，我们给出了一个图$G$和一个对象族$\mathcal{D}$，每个对象都是$G$的一个具有指定权值的连通子图，任务是找到一个由成对不相交对象组成的$\mathcal{D}$的最大权子集。在最小权距离集覆盖中，我们给出了一个边权图$G$，$G$的两个顶点集$\mathcal{D},\mathcal{C}$，其中$\mathcal{D}$的顶点具有指定的权值和一个非负半径$r$.任务是找到$\mathcal{D}$的最小权子集，使得$\mathcal{C}$的每个顶点与某个选定顶点的距离至多为$r$。通过简单的约简，这两个问题推广了一些几何优化任务，特别是平面上多边形的最大权重独立集和单位圆盘和单位正方形的加权几何集覆盖。我们提出了准多项式时间近似计划（QPTASs）的平面图中的上述问题：给定一个精度参数$ε>0$，我们可以计算一个解决方案，其重量是在乘法因子$(1+ε)$从最佳的时间$2^{\mathrm{poly}(1/ε,\log |\mathcal{D}|)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$，其中$n$是输入图的顶点数。我们的主要技术贡献是转移的技术用于递归逼近计划的几何问题，由于Adamaszek，哈Peled，和Wiese的平面图的设置。特别是，这产生了一个纯粹的组合观点，这些方法。
2018-07-19 cs.DS
Finding large induced sparse subgraphs in $C_{>t}$-free graphs in quasipolynomial time
对于整数$t$，如果$G$在多于~ $t$的顶点上不包含任何诱导圈，则称图$G$为{ \em{$C_{>t}$-free} }。我们证明了以下陈述：对于每对整数$d$和$t$以及CMSO $_2$陈述~ $ϕ$，存在一个算法，该算法给定一个$n$ -顶点$C_{>t}$ -自由图$G$，其顶点具有权重，在时间上找到一个最大权重顶点子集$n^{O(\log^4 n)}$ $S$，使得$G[S]$在最多$d$处退化并满足$ϕ$。假设$G$是无$P_t$的，即$G$不包含$t$顶点上的诱导路径，则运行时间可以改进为$n^{O(\log^2 n)}$。这在两个方向上扩展了作者[将出现在FOCS 2020和SOSA 2021]关于无$P_t$图上的{ \sc{Maximum Weight Independent Set} }问题的最新结果：通过包含更一般的无$C_{>t}$图的设置，以及通过适用于更广泛的问题，例如{ \sc{Maximum Weight Induced Forest} }或{ \sc{Maximum Weight Induced Planar Graph} }。
2021-01-12 cs.DS
BBK: a simpler, faster algorithm for enumerating maximal bicliques in large sparse bipartite graphs
本文提出BBK算法，将Bron-Kerbosch扩展到二分图，用于快速枚举极大双团，理论分析复杂度并在大规模真实数据上验证其效率优于现有算法。
2024-05-24 cs.CC cs.DS cs.IR
Efficient Quantum Algorithms for Analyzing Large Sparse Electrical Networks
分析大型稀疏电网络是物理学、电气工程和计算机科学中的一项基本任务。我们提出了两类量子算法的这项任务。第一类是基于求解线性系统，第二类是基于使用量子行走。这些算法在时间$\operatorname{poly}(d, c, \operatorname{log}(N), 1/λ, 1/ε)$上计算各种电学量，包括电压、电流、耗散功率和有效电阻，其中$N$是网络中的顶点数，$d$是顶点的最大未加权度，$c$是最大边缘电阻与最小边缘电阻的比率，$λ$是网络的归一化拉普拉斯算子的谱间隙，并且$ε$是精度。此外，我们证明了多项式依赖于$1/λ$是必要的。这意味着我们的算法是最佳的多项式因子，不能显着改善。
2017-07-24 cs.DS quant-ph
Moving in temporal graphs with very sparse random availability of edges
在这项工作中，我们考虑时间图，即图形，其中的每个边缘被分配一组离散的时间标签从一组整数。边缘的标签指示边缘可用的离散时刻。我们还考虑时间图中的时间路径，即其边缘被分配严格递增的标签序列的路径。此外，我们假设统一的情况下（UNI-CASE），其中图的每一个边缘被分配恰好一个时间标签从一组整数和分配给图的边缘的时间标签是随机和独立地选择，与选择以下的均匀分布。我们称一致随机时态图为满足唯一情形的图。我们首先推导出均匀随机时间集团中给定长度的时间路径的预期数量。我们定义了两个顶点的时间距离，它是连接这些顶点的时间路径的到达时间，即最后一条边的时间标签，它在连接这些顶点的所有时间路径中具有最小的到达时间。然后，我们提出并研究了两个统计性质的时间图。一个是最大预期时间距离，如该术语所示，它是图中所有预期时间距离的最大值。另一个是时间直径，不严格地说，它是图中最大时间距离的期望。我们推导出均匀随机时间星图的最大期望时间距离以及均匀随机时间团的归一化版本的最大期望时间距离和时间直径的上界，其中最大的时间标签等于顶点的数量。最后，我们提供了一个算法，解决了一个特定类型的两个顶点的时间（多）图的优化问题。
2013-10-29 cs.DS
Polylogarithmic Approximation for Covering and Connecting Multi-Interface Networks
Gdańsk University of Technology（格但斯克理工大学）；Université Paris-Dauphine, PSL Research University, CNRS, UMR 7243, LAMSADE（巴黎第九大学，PSL研究大学，法国国家科学研究中心，联合研究单位7243，LAMSADE）
本文研究多接口网络中的连接问题，提出基于线性规划松弛的随机取整算法，为覆盖问题提供O(log m)近似算法，为连接问题提供O(log² m)近似算法。
2026-07-14 cs.DS cs.NI
Private Graphon Estimation for Sparse Graphs
我们设计了一个算法，用于将高维统计模型拟合到一个大型稀疏网络中，而不会泄露单个成员的敏感信息。给定一个稀疏输入图$G$，我们的算法输出一个节点差分私有非参数块模型近似。通过node-differentially-private，我们的意思是我们的输出隐藏了顶点及其所有邻边的插入或删除。如果$G$是从生成非参数模型中获得的网络的实例，该生成非参数模型根据图子$W$定义，则我们的模型保证一致性，在这个意义上，随着顶点数趋于无穷大，我们的算法的输出收敛到$L_2$范数的适当版本中的$W$。特别是，这意味着我们可以估计$G$中所有多路切割的大小。只要$W$是有界的，$G$的平均度至少像顶点数的对数一样增长，并且块数以适当的速率趋于无穷大，我们的结果就成立.我们给出了明确的误差界的参数的模型，在几个设置，我们的界限改善或匹配已知的非私有的结果。
2015-06-19 cs.CR cs.DS math.ST
