Non-Binary LDPC Codes with Large Alphabet Size
研究了输入端为${x}\in \mathbb{F}_q^m$，输出端为${y}={x}+{z}\in \mathbb{F}_q^m$的信道下的LDPC码。本文的目的是评估$q^m$元非二进制LDPC码在大$m$下的译码性能。给出了规则非二进制LDPC码和空间耦合（SC）码的密度演化和译码性能性能评估。我们表明，常规的代码没有达到的信道容量，而SC码。
2014-01-28 cs.IT math.IT
Bounds on the Rate of Linear Locally Repairable Codes over Small Alphabets
局部可修码由于其理论上的吸引力及其在分布式存储系统中的应用，近年来成为研究热点。在LRC中，码字的任何坐标可以通过仅访问少数其他坐标来恢复。对于小字母表（例如二进制）上的LRC，最佳速率-距离权衡是未知的。在本文中，我们提供了严格的已知的上界的速度线性LRC的一个给定的相对距离，一个改进的任何以前的结果，特别是\cite{cadambe2013upper}。
2016-07-28 cs.IT math.IT
Galois LCD codes over mixed alphabets
该研究针对有限链环生成的混合字母表上的伽罗瓦线性互补对偶码，刻画了其类型与伽罗瓦不变性条件，并通过研究特定参数下的$\mathbb{F}_p\mathbb{F}_p[θ]$-线性码格雷像，得到了$\mathbb{F}_p$-线性互补对偶码。
2022-02-06 cs.IT math.IT
About Optimal Prefix Codes over Countably Infinite Alphabets: Probabilistic Intervals for the Codeword Lengths Assignment
College of Electronic Engineering, National University of Defense Technology（国防科技大学电子工程学院）；Anhui Province Key Laboratory of Cyberspace Security Situation Awareness and Evaluation（安徽省网络安全态势感知与评估重点实验室）
本文研究了可数无限字母离散无记忆信源的最优前缀码问题，提出概率区间确定码字长度的方法，并为无限源提供判断最优码字长度分配模式的准则。
2026-04-19 cs.IT math.IT
Finite Alphabet Fast List Decoders for Polar Codes
本研究将极化码快速译码调度融入量化有限字母译码，利用特殊译码节点大幅减少查表数量，最多降低93%唯一查找表需求且纠错性能损失可忽略。
2024-06-20 cs.IT math.IT
Minimizing the alphabet size in codes with restricted error sets
本文重点介绍了纠错码，可以处理一组预定义的特定错误模式。在包括无线通信和闪存系统的许多实际感兴趣的设置中出现了对这种代码的需要。在许多这样的设置中，可以实现比MDS和其他标准码所提供的更小的字段大小。我们建立了一个连接的最小字母表的大小为这个广义的设置和组合性质的超图，代表了预先指定的错误模式的集合。我们还显示了错误和纠删码在这个专门的设置之间的连接。这使我们能够建立界限上的最小字母表的大小，并显示出优势的非线性代码的线性代码在一个广义的设置。我们还考虑了一个变化的问题，它允许一个小概率的解码错误，并将其与超图着色的近似版本。
2021-02-04 cs.IT math.IT
Efficient construction of subspace design codes over constant alphabet
University of Electronic Science and Technology of China（电子科技大学）
本工作构造了常字母集上高效的r维子空间设计码，编码复杂度低，且AG-重数码达到最优参数，解决了低复杂度编码的开放挑战。
2026-11-04 cs.IT math.IT
Multilevel Polarization of Polar Codes Over Arbitrary Discrete Memoryless Channels
结果表明，极化码实现了任意输入字母大小的离散无记忆信道的对称容量。它表明，在一般情况下，信道极化发生在几个，而不是只有两个级别，使合成的通道是无用的，完美的或“部分完美”。通道输入字母表的任何子集，这是关闭下，通过其移位诱导的陪集划分的字母表。对于输入字母表的任何这样的划分，存在对应的部分完美通道，其输出唯一地确定通道输入所属的陪集。通过对编码和解码规则的微小修改，证明了某些信息符号在部分完美信道上的完美传输是可能的。我们的结果是一般的基数和代数结构的信道输入字母表，即我们表明，对于任何信道输入字母表的大小和任何阿贝尔群结构的字母表，极化码是最佳的。还通过示例示出，当被认为是组/陪集码时，极化码不实现使用陪集码在任意信道上可实现的容量。
2012-06-01 cs.IT math.IT
On Multi-Channel Huffman Codes for Asymmetric-Alphabet Channels
零误差单通道信源编码在过去的几十年里得到了广泛的研究。然而，其自然的多通道推广没有得到很好的研究。虽然十年前研究了具有多个字母表信道的特殊情况，但是在这种设置中的码在数据压缩方面没有单信道码的优势，使得它们在大多数应用中毫无价值。在本文中，我们打破了僵局，表明它是可能的，以击败单通道源代码在压缩假设不对称字母表通道。本文对单通道信源编码中的几个经典结果进行了多通道模拟，如多通道Huffman码是最优树可译码码。我们还展示了一些证据，找到一个有效的多通道霍夫曼码的建设可能是困难的。然而，我们提出了一个次优的代码结构，其冗余度保证不大于最佳的单通道源代码。
2021-05-08 cs.IT math.IT
On LCP codes over a mixed ring alphabet
本文研究有限链环上混合字母表线性码，引入标准生成矩阵，证明LCP码对均为弱自由码，并证明混合字母表乘积群码可分离，从而得到LCP乘积群码对中一个码与另一个码的欧几里得对偶置换等价。
2023-09-25 cs.IT math.IT math.RA
Optimal repairing schemes for Reed-Solomon codes with alphabet sizes linear in lengths under the rack-aware model
在现代实际数据中心中，存储节点通常被组织成大小相等的组，这被称为机架。跨机架通信的成本比机架内通信的成本昂贵得多。用于该系统的代码被称为机架感知再生代码。与标准的最小存储再生（MSR）码类似，构造满足割集界的最小存储架感知再生（MSRR）码是一个具有挑战性的任务。实现割集界限的MSRR码的已知构造给出了具有字母表大小$q$与码长$n$呈指数关系的码，更准确地说，是$q=Ω(\exp(n^n))$。本文的主要贡献是给出了在$n$中实现割集有界且字母长度线性的MSRR码的显式构造。为了实现这一目标，我们首先提出了一个通用的框架来修复里德所罗门码。结果表明，在我们的一般框架下，可以实现已知的Reed-Solomon码的修复方案。在本文中使用了几种技术。特别地，我们使用度下降的方法来修复失效节点。这种技术使我们能够得到在$n$中字母长度线性的Reed-Solomon码。其他技术包括选择好的多项式。注意，在文献中，好的多项式被用于构造局部可修码。据我们所知，这是第一次在本文中使用好的多项式的再生码的建设。
2019-11-19 cs.IT math.IT
Lower Bounds on the Redundancy of Huffman Codes with Known and Unknown Probabilities
在本文中，我们提供了一种方法来获得严格的最小冗余度的霍夫曼码时，概率分布的字母表是唯一的部分已知的。特别是，我们解决的情况下，发生概率是未知的字母表中的一些符号。可以获得给定大小的字母表、给定大小以下的字母表以及任意大小的字母表的边界。该方法在计算机代数系统上运行，为所有结果产生封闭形式的数字。最后，我们展示了所提出的方法的潜力，揭示了一些结构的最小冗余实现的霍夫曼码。
2019-09-02 cs.IT math.IT
Synchronization Strings: Efficient and Fast Deterministic Constructions over Small Alphabets
最近，Haeupler和Shahrasbi（STOC 2017）在研究用于纠正插入和删除错误的代码（insdel代码）时引入了同步字符串。他们表明，对于任何参数$\varepsilon>0$，任意长度的同步字符串存在于其大小仅取决于$\varepsilon$的字母表上。具体来说，他们得到了一个字母表大小为$O(\varepsilon^{-4})$，这留下了一个悬而未决的问题，即这种字母表的最小大小在$Ω(\varepsilon^{-1})$和$O(\varepsilon^{-4})$之间的位置。在这项工作中，我们通过提供一个改进的下限$Ω(\varepsilon^{-3/2})$，和一个改进的上限$O(\varepsilon^{-2})$部分弥合这一差距。我们还提供了快速明确的结构，同步字符串在小字母表。此外，沿着以前的工作类似的组合对象的路线，我们研究的极值问题的最小可能的字母表的大小，同步字符串可以存在一些常数$\varepsilon < 1$。我们表明，可以构建$\varepsilon$同步字符串的大小为4的字母，而没有这样的字符串存在于二进制字母。这将极端问题减少到是否在三进制字母表上存在同步字符串。
2018-03-08 cs.DS cs.IT math.IT
Systematic Codes Correcting Two Deletions with Three Redundant Symbols over Large Alphabets
Tel-Hai University of Kiryat Shmona and the Galilee（特尔海基里亚特谢莫纳和加利利大学）；MIGAL–Galilee Research Institute（米加尔-加利利研究所）
本文提出大字母表上纠正两次删除的系统码，用三个冗余符号达到下界，支持多项式时间编解码，并给出相邻突发删除的闭式构造。
2026-10-22 cs.IT math.IT
Random Reed--Solomon Codes Correcting Permutations, Insertions, and Deletions over Polynomial-Size Alphabets
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Xidian University（西安电子科技大学）；Hefei National Laboratory, University of Science and Technology of China（合肥国家实验室，中国科学技术大学）；Capital Normal University（首都师范大学）
针对对抗性坐标排列后插入删除错误，随机Reed-Solomon码在多项式大小字母表上以高概率达到接近一半Singleton界的纠错能力，并给出显式二维码的O(n)时间解码器。
2026-06-23 cs.IT math.IT
On Optimal Locally Repairable Codes and Generalized Sector-Disk Codes
考虑了具有信息局部性的最优局部可修码。最佳码的构造，其长度也是顺序最佳的关于本文推导出的码长的一个新的界。所构造的码的长度在字母表大小上是超线性的，这改进了公知的金字塔码，其长度仅在字母表大小上是线性的。可恢复的擦除模式也分析了新的代码。基于可恢复的擦除模式，我们构造了广义扇区磁盘（GSD）码，它可以从磁盘擦除与扇区擦除混合在一个更一般的设置比已知的扇区磁盘（SD）码。此外，在所构造的GSD码中的扇区数是超线性的字母大小，与已知的SD码，其扇区数仅是线性的字母大小相比。
2020-02-05 cs.IT math.IT
Let's Have Both! Optimal List-Recoverability via Alphabet Permutation Codes
本文提出字母置换（AP）码，通过随机逐坐标置换构造结构化纠错码，首次以多项式级随机比特实现与完全随机码相匹配的最优列表可恢复性，且列表大小比线性码指数级更小。
2025-05-08 cs.IT math.IT
A Characterization of MDS Symbol-pair Codes over Two Types of Alphabets
符号对码是具有符号对度量的分组码，其设计用于防止可能发生在高密度数据存储系统中的对错误。MDS码元对码是最优的，因为它可以在相同的码长和码长下获得最高的码对纠错能力。MDS码元对码的构造是码元对码研究的主要课题之一。本文刻画了有限域和一类有限链环上任意长度常循环码的符号对距离。利用符号对距离的刻画，我们给出了几类MDS符号对常循环码，并证明了在这类常循环码中，除了我们给出的MDS符号对码之外，不存在其他MDS符号对码.此外，这些MDS符号对常循环码的有限链环上的一些不能通过以前的工作得到。
2021-11-25 cs.IT math.IT
Minimizing the alphabet size of erasure codes with restricted decoding sets
通过编码函数$C:F^k \rightarrow F^n$定义字母表上的最大距离可分离码$F$，该编码函数允许即使在擦除其符号中的任何$n-k$之后也从码字$C(m)$检索消息$m \in F^k$。对于给定的参数$n$和$k$，一般（非线性）MDS码的最小可能字母表大小是未知的，并且形成编码理论中的中心开放问题之一。本文开始研究的字母表大小的代码在一个广义的设置，其中的编码方案是需要处理一个预先指定的子集的所有可能的擦除模式，自然表示的$n$ -顶点$k$ -均匀超图。我们与这种代码的最小可能的字母大小的超图的强色数和分析的紧密性所获得的界限的线性和非线性设置。我们进一步考虑的问题，允许一个小概率的解码错误的变化。
2020-05-14 cs.IT math.CO math.IT
Explicit Constant-Alphabet Subspace Design Codes
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）
本文提出显式常字母子空间设计码构造方法，利用AEL框架，改进了列表恢复参数，并统一了随机线性码的局部性质。
2026-04-16 cs.CC cs.IT math.IT
Polynomial complexity of polar codes for non-binary alphabets, key agreement and Slepian-Wolf coding
我们考虑极性码的无记忆源与边信息，并表明，块长度，建设，编码和解码的复杂性是有界的压缩率和条件熵之间的差距的倒数的多项式。这将Guruswami和Xia最近的结果扩展到稍微更一般的设置，这反过来又可以应用于（1）具有非二进制字母表的源，（2）离散和高斯源的密钥生成，以及（3）Slepian-Wolf编码和多路访问。在这些情况中的每一种情况下，还控制相对于用户数量的复杂度缩放。特别是，我们构建这些多用户信息论问题，实现最佳速率与整体多项式复杂度的编码方案。
2014-05-05 cs.IT math.IT
Quantum Codes from additive constacyclic codes over a mixed alphabet and the MacWilliams identities
设$\mathbb{Z}_p$是模素数$p$的整数环，其中$p-1$是模$p$的二次剩余。本文研究了链环$\mathcal{R}=\frac{\mathbb{Z}_p[u]}{\langle u^2\rangle}$和$\mathcal{S}=\frac{\mathbb{Z}_p[u]}{\langle u^3\rangle}$上的常循环码.利用环$\mathcal{R}$和环$\mathcal{S},$上的生成多项式分别研究了环$\mathcal{R}\mathcal{S}$和环$\mathbb{Z}_p\mathcal{R}\mathcal{S}$上的加法常循环码.进一步，通过定义$\mathcal{R}$，$\mathcal{S}$和$\mathbb{Z}_p\mathcal{R}\mathcal{S},$上的Gray映射，得到了加性码的Gray象的一些结果.然后给出了$\mathbb{Z}_p\mathcal{R}\mathcal{S}$上加法码的重量计数和MacWilliams恒等式.最后，作为所得码的一个应用，我们给出了基于CSS构造的量子码。
2022-12-26 cs.IT math.IT
Implementation-Efficient Finite Alphabet Decoding of Polar Codes
本文提出一种实现高效的极化码有限字母表译码器，通过上分支最小和查找表与下分支计算域均匀量化压缩，在粗量化下最大化互信息，实现硬件友好且性能优异。
2023-05-26 cs.IT math.IT
On the Capacity of Abelian Group Codes Over Discrete Memoryless Channels
对于大多数离散无记忆信道，不存在用于使用信道的所有输入符号的信道的线性码。因此，这种信道的码的线性是一个非常严格的条件，并且码的代数结构应该放松到码可以允许任何信道输入字母表的程度。对于任何信道输入字母表大小，总是存在在字母表上定义的阿贝尔群结构。本文研究了离散无记忆信道上阿贝尔群码的容量，给出了容量的上下界。
2011-02-16 cs.IT math.IT
The Typical Non-Linear Code over Large Alphabets
我们考虑的问题，描述典型的（可能的）非线性代码的最小距离有界从下面超过一个大的字母表。我们专注于分组码的汉明度量和子空间码的注入度量。与线性分组码的行为形成鲜明对比，我们表明，在基数的汉明度量$q^{n-d+1}$中，典型的非线性码远没有最小距离$d$，即，变成MDS我们也给出了更精确的结果的渐近比例的分组码具有良好的距离性质的代码集具有一定的基数。然后，我们建立了类似的结果与注入度量的子空间码，也显示了应用程序的理论在有限几何的部分蔓延。
2021-11-22 cs.IT math.CO math.IT
Perfect $2$-codes over arbitrary alphabets
University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）
该研究证实了非素数幂q的字母表上不存在完美2-码的猜想，覆盖q=2^α p^β等多种情形，推进了完美码分类问题的解决。
2026-07-31 cs.IT math.IT math.NT
Decimation-Enhanced Finite Alphabet Iterative Decoders for LDPC codes on the BSC
有限字母表迭代译码器（FAID）的多级消息，可以超过BP的错误平层区域的LDPC码的BSC上先前提出的。在本文中，我们提出了抽取增强解码器。抽取技术被结合到消息更新规则中，涉及将代码的某些位固定为特定值。在适当选择的规则下，抽取可以显著减少纠正固定数量的错误所需的迭代次数，同时在错误平层区域中保持原始解码器的良好性能。同时，该算法更易于分析。我们将提供一个简单的抽取方案，一个特别好的7级FAID的列重量三个代码的BSC，这有助于纠正一个固定数量的错误，在较少的迭代，并提供见解的解码器的分析。我们还将研究在何种条件下，抽取增强的7级FAID的性能至少与7级FAID一样好。
2011-03-03 cs.IT math.IT
On the Finite Length Scaling of Ternary Polar Codes
研究了极化码在三进制字母表上的极化过程。最近已经表明，具有素数字母表大小的极化码的块长度的缩放相对于码率和信道容量之间的间隙的倒数多项式地缩放。然而，除了二进制的情况下，多项式的次数在界是非常大的。在这项工作中，它表明，一个低得多的次数多项式可以计算数值的三元情况。对于素数字母表大小的一般情况，也得到了类似的结果。
2015-02-10 cs.IT math.IT
Some new constructions of optimal linear codes and alphabet-optimal $(r,δ)$-locally repairable codes
本文通过推广射影子空间相交构造线性码的方法，给出了成为Griesmer码或距离最优码的条件，并构造了多类字母表最优的$(r,δ)$-局部可修复码。
2023-07-09 cs.IT math.IT
Finite Alphabet Iterative Decoders, Part I: Decoding Beyond Belief Propagation on BSC
本文提出了一种在二进制对称信道上对低密度奇偶校验码进行有限精度迭代译码的新方法。消息从有限字母表中取值，并且与作为置信传播（BP）解码器的量化版本的传统量化解码器不同，所提出的有限字母表迭代解码器（FAID）不传播量化概率或对数似然，并且变量节点更新函数不模仿BP解码器。相反，更新函数是使用可能存在于给定代码中的潜在有害子图的知识设计的映射，从而使得这些解码器能够在错误平层区域中优于BP。在某些列重三码的实际利益，我们表明，存在3位精度FAID，超过BP解码器的错误地板。因此，FAID能够以低得多的复杂度实现优异的性能。我们还提供了一种方法来选择FAID，这不是特定于代码，但给出了一组候选FAID包含潜在的好解码器在错误楼层区域中的任何列权重三代码。我们验证我们的方法的代码的通用性，提供特别好的三位精度FAID的各种代码具有不同的速率和长度。
2012-07-19 cs.IT math.IT
Construction of polar codes for arbitrary discrete memoryless channels
已知极化码可以针对二进制输入信道有效地构造。同时，现有的通用输入字母的算法由于复杂度高而不太实用。我们解决一般情况下的建设问题，并分析了一种算法，该算法是基于连续减少的输出字母大小的子信道在每个递归步骤。对于该过程，我们将近似误差估计为$O(μ^{-1/(q-1)}),$，其中$μ$是“量化参数”，即，算法允许的子信道输出字母表的最大大小。代码构造的复杂度按$O(Nμ^4),$缩放，其中$N$是代码的长度。我们还表明，如果极化操作依赖于模- $q$此外，它是可能的合并输出符号的子集，而没有任何损失的子信道容量。在每个近似步骤之前执行该过程导致代码构造的进一步加速，并且所得到的代码具有更小的容量间隙。我们表明，类似的加速可以达到极化码在有限域字母表。实验表明，所建议的构造算法可以用于构造长度为$q=16$和更大的字母的长极性码，对于各种偏振变换具有可接受的码率损失。
2017-09-29 cs.IT math.IT
Universal Lossless Compression with Unknown Alphabets - The Average Case
独立同分布序列模式的通用压缩研究具有未知的、可能较大的字母表的源。模式是一个索引序列，它包含所有连续的索引，这些索引按第一次出现的递增顺序排列。如果生成序列的源的字母表是未知的，则可以利用对未知字母表符号进行编码的不可避免的成本来创建序列的模式。这种模式本身又可以被压缩。它表明，如果字母表的大小$k$基本上是小的，那么平均极大极小和极大极小冗余以及几乎每个源的每个码的冗余，当压缩模式时，由每个未知概率参数至少0.5 log（n/k^3）比特组成，并且如果所有字母表字母都可能出现，存在这样的码，其冗余度对于每个未知概率参数至多为0.5log（n/k^2）比特，其中n是数据序列的长度。否则，如果字母表很大，则这些冗余基本上是每个符号至少O（n^{-2/3}）比特，并且存在实现每个符号基本上O（n^{-1/2}）比特的冗余的代码。提出了两种次优的低复杂度的模式压缩顺序算法，并分析了它们的描述长度，指出模式的平均通用描述长度可以减小到低于I.I.D.足够大的字母表的熵。
2006-03-17 cs.IT math.IT
New constructions of CSS codes obtained by moving to higher alphabets
我们推广了由于\cite{KHIS11a}而在$\F_{2^m}$上构造的非二进制量子LDPC码，并将其特别应用于环面码。我们用这种方法不仅获得了比复曲面码更好的码率，而且大大提高了标准迭代译码的性能。此外，以这种方式获得的新代码继承了基础复曲面代码的距离特性，因此具有最小距离，该最小距离随着固定$m$的代码长度的平方根而增长。
2012-02-15 cs.IT math.IT quant-ph
LDPC Codes for Quantitative Group Testing with a Non-Binary Alphabet
本文提出一种基于LDPC码的定量群组测试方案，通过在二分图中引入非二进制隐藏变量并按规模q将项目分组为束，利用传递上下界的消息传递译码器，在有限复杂度增加下显著超越二进制方案。
2024-09-29 cs.IT math.IT
Optimal alphabet for single text compression
Alikhanyan National Laboratory (Yerevan Physics Institute)（阿里哈尼扬国家实验室（埃里温物理研究所））；Envoy Media Group（Envoy传媒集团）
使用来自给定字母表的符号书写的文本可以使用霍夫曼代码压缩，这最小化了编码文本的长度。然而，有必要采用文本特定的码本，即符号-码字字典来解码原始文本。因此，压缩性能应该通过完整的码长来评估，即编码文本的长度加上码本的长度。我们研究了几种用于压缩文本的字母表--字母、字母的n-gram、音节、单词和短语。如果只保留足够短的文本，则字母表或两克字母是最佳的。对于大多数古腾堡计划文本，最佳字母表（最小化完整代码长度的字母表）由音节或单词给出，这取决于码本的表示。字母3和4-gram的平均长度与音节/单词相当，表现明显不如音节或单词。单词2-grams也从来都不是最好的字母表，因为它有一个非常大的密码本。我们还表明，码本表示是重要的-从一个天真的表示切换到一个紧凑的显着改善了大量的符号，最显着的话，字母表的事项。因此，语言中表达意义的元素（音节或单词）提供了最好的压缩字母表。
2022-07-31 cs.CL cs.IT math.IT
Finite Alphabet Iterative Decoders, Part II: Improved Guaranteed Error Correction of LDPC Codes via Iterative Decoder Diversity
最近，我们提出了一类新的有限字母迭代译码器（FAID）的低密度奇偶校验（LDPC）码。这些解码器能够以低得多的复杂度在二进制对称信道上超越错误平层区域中的置信传播。在本文中，我们介绍了一种新的方案，以进一步提高保证纠错能力，从什么是可实现的FAID列重量三LDPC码。所提出的方案使用多个FAID，这些FAID共同校正比给定代码上的单个FAID更多的错误模式。该方案所使用的FAID的集合被明智地选择，以确保各个解码器具有不同的解码动态并纠正不同的错误模式。因此，它们可以共同纠正一组不同的错误模式，这被称为解码器分集。我们提供了一个系统的方法来生成一组FAID解码器的多样性在一个给定的代码的基础上的知识，最有害的陷阱集存在于代码。以著名的列重3的$(155,64)$ Tanner码（$d_{min}$ = 20）为例，详细描述了该方法，并证明了在译码器分集的情况下，保证的纠错能力可以显著提高。
2012-07-19 cs.IT math.IT
Combinatorial Alphabet-Dependent Bounds for Locally Recoverable Codes
局部可恢复（LRC）码由于其理论上的吸引力和在分布式存储系统中的应用，近年来成为编码理论研究的热点。在LRC码中，码字的任何被擦除的符号可以通过仅访问少量的其他符号来恢复。对于小字母表（如二进制）上的LRC码，最佳速率-距离权衡是未知的。我们提出了几个新的LRC码的组合界，包括局部感知球填充和Plotkin界。我们还开发了一种方法，线性规划（LP）界的LRC码。由此产生的LP界给出了更好的估计比其他上界在文献中已知的例子。此外，我们提供了严格的已知上限的线性LRC码的速率与给定的相对距离，以前最好的已知的界限的改进。
2018-01-25 cs.DM cs.IT math.IT
Optimal Quasi-Gray Codes: The Alphabet Matters
在字母表$Σ$上的维度为$n$且长度为$\ell$的准格雷码是与$Σ^n$不同的字的序列$w_1,w_2,\dots,w_\ell$，使得对于某个固定常数$c>0$，任何两个连续字在至多$c$坐标上不同。在本文中，我们感兴趣的读和写的复杂性准格雷码的位探测模型，在那里我们测量的符号的数量读取和写入，以便将任何字$w_i$到它的继任者$w_{i+1}$。本文在三进制字母表$\{0,1,2\}$上构造了维数为$n$、长度为$3^n$的准格雷码，其最坏读复杂度为$O(\log n)$，写复杂度为$2$ .这推广到任意奇数大小的字母表。对于二进制字母表，我们提出了准格雷码的尺寸$n$和长度至少$2^n - 20n$与最坏情况下的读复杂度$6+\log n$和写复杂度$2$。这补充了Raskin [Raskin '17]最近的一个结果，他表明任何长度为$2^n$的二进制字母表上的准格雷码都具有读取复杂度$Ω(n)$。我们的研究结果显着改善以前已知的建设和奇数大小的字母表，我们打破了$Ω(n)$最坏情况下的障碍，空间最优（非冗余）的准格雷码与恒定数量的写入。我们通过代数工具的新应用以及催化计算的原理获得了我们的结果[Buhrman et al. '14，Ben-Or and Cleve '92，Barrington '89，Coppersmith and Grossman '75]。
2018-07-17 cs.CC cs.DS cs.IT
Enhancing the Error Correction of Finite Alphabet Iterative Decoders via Adaptive Decimation
LDPC码的有限字母表迭代译码器（FAID）最近被证明能够在二进制对称信道（BSC）上的错误平层区域中超过置信传播（BP）译码器。最近，针对FAID提出了涉及在解码期间固定某些比特的值的抽取技术，以便使它们更易于分析，同时保持它们的良好性能。在本文中，我们展示了如何抽取可以自适应地使用，以进一步提高FAID的保证纠错能力，已经很好的一个给定的代码。提出的新的自适应抽取方案略微增加了复杂度，但可以显着提高特定FAID的错误平层性能的斜率。我们描述的自适应抽取方案，特别是7级FAID传播只有3位的消息，并提供列重三个代码的数值结果。分析表明，新解码器的失败与代码的停止集有关。
2012-07-19 cs.IT math.IT
Multiple Spectrally Null Constrained Complete Complementary Codes of Various Lengths Over Small Alphabet
针对雷达与通信中谱零约束需求，本文利用现有完全互补码（CCCs）和互正交序列，构造出小字母表{-1,0,1}上参数灵活的多谱零约束完全互补码，实现集间零互相关区控制与低旁瓣特性。
2024-10-12 cs.IT math.IT
Linear Insertion Deletion Codes in the High-Noise and High-Rate Regimes
本文继续研究了线性纠错码抗插入删除错误的性能。以前，Cheng，Guruswami，Haeupler和Li \cite{CGHL21}的工作表明存在渐近良好的线性insdel码，可以在一些恒定大小的字母表上纠正任意接近$1$的错误分数，或者甚至在二进制字母表上实现任意接近$1/2$的速率。如\cite{CGHL21}中所示，这些边界也是最佳可能边界。然而，\cite{CGHL21}中已知的显式构造以及Con、Shpilka和Tamo \cite{9770830}的后续改进构造都不满足这些界限。在任何恒定大小的字母表上，它们只能实现速率$< 1/8$或正确的$< 1/4$错误分数;在二进制字母表上，它们只能实现速率$< 1/1216$或正确的$< 1/54$错误分数。显然，以前的技术面临着固有的障碍，以实现比$1/4$更好的速率或纠正超过$1/2$部分的错误。在这项工作中，我们给出了新的结构，这样的代码，满足这些界限，即，渐近良好的线性insdel码，可以纠正任意接近$1$分数的错误，在一些恒定大小的字母表，和二进制渐近良好的线性insdel码，可以实现率任意接近$1/2$。我们所有的构造都是有效的可编码和可解码的。我们的结构是基于一种新的方法的代码连接，它嵌入的索引信息隐式到码字。这与以前的技术有很大不同，可能是独立的兴趣。最后，我们还证明了参数与随机线性码匹配的线性级联insde…
2023-03-30 cs.IT math.IT
Geometric approach to the MacWilliams Extension Theorem for codes over modules
麦克威廉斯扩张定理指出，线性码的每个线性汉明等距都可以扩张到一个单项式映射。本文观察到模字母表上线性码的扩张定理的一个类似定理。描述了等距可拓性的几何方法。对于一个矩阵模字母表，我们找到了一个不可扩展的汉明等距存在的代码的最小长度。我们还证明了模字母表上MDS码的一个扩张定理。
2015-07-18 cs.IT math.CO math.IT
Alphabet-Dependent Bounds for Linear Locally Repairable Codes Based on Residual Codes
局部可修复码（LRC）已经获得了显着的兴趣，为大型分布式存储系统的设计，因为它们允许少量的擦除节点被恢复访问只有少数人。因此，已经进行了一些工作，以了解最佳的速率距离权衡，但最近的字母表的大小已被考虑在内。在本文中，提出了一种新的定义的局部性，以保持跟踪的精确数量的节点所需的局部修复时，修复集不产生MDS码。然后，一个新的依赖于字母的界限，它适用于新的定义和初始定义的局部性。新的界限是基于连续的剩余码，本质上使用Griesmer界。一个特殊的情况下，该界产生的Cadambe-Mazumdar界和Singleton型界的局部性$(r, δ)$的代码的扩展，这意味着新的界至少是一样好，这些边界。此外，上界的渐近速率距离权衡的LRC的推导，并产生已知的最严格的上限为大的相对最小距离。通过推导单纯形码族的局部性以及一些最优码的例子，也提供了可扩展性结果。
2019-06-06 cs.IT math.CO math.IT
How to Construct Polar Codes
提出并分析了一种高效构造极化码的方法。虽然明确定义了极化码，但由于所得到的极化比特信道具有随码长呈指数增长的输出字母表，因此直接构造是难以处理的。因此，需要解决的核心问题是，通过具有可管理的字母表大小的另一个信道来忠实地近似具有难以处理的大字母表的比特信道。我们设计了两种近似方法，“三明治”的原始位通道之间的降级和升级版本。这两种近似都可以有效地计算，并且在实践中非常接近。我们还提供了我们的构造算法的理论分析，证明了对于任何固定的$ε> 0$和所有足够大的码长$n$，极化码的速率是在$ε$的信道容量可以被构造在时间和空间都是线性的$n$。
2013-04-10 cs.IT math.IT
Random Reed-Solomon Codes Achieve the Half-Singleton Bound for Insertions and Deletions over Linear-Sized Alphabets
该研究证明随机Reed-Solomon码在线性规模字母表下以高概率逼近插入删除场景的半Singleton界，通过结合随机矩阵技术与最长公共子序列结构性质，大幅降低了达到该界所需的字母表规模。
2024-07-10 cs.DS cs.IT math.CO
A new construction of nonlinear codes via algebraic function fields
在编码理论中，构造具有良好参数的码是最重要和最基本的问题之一。虽然已经产生了许多好的代码，但它们中的大多数都是在大小等于素数幂的字母表上定义的。本文利用代数函数域给出了$(q+1)$元非线性码的一种新的显式构造，其中$q$是素数幂.我们的代码构造的有理函数的代数函数域的所有合理的地方的评价。与代数几何码相比，主要区别在于我们允许有理函数在极点处求值。通过对Riemann-Roch空间并上的有理函数求值，得到了一类字母表$\mathbb{F}_{q}\cup \{\infty\}$上的非线性码.结果表明，我们的码具有更好的参数比MDS码或良好的代数几何码通过代码字母扩展和限制。
2022-08-30 cs.IT math.IT
Alphabet-Dependent Bounds for Pure Quantum $(r,ρ)$-Locally Recoverable Codes
International Institute of Information Technology（印度信息技术国际学院）
本文针对纯量子$(r,ρ)$局部可恢复码，通过Hermitian CSS构造推导了三个字母相关的上界，确立了其渐近层级关系并明确了各界的最严格约束区域，解决了现有与字母无关的界在中小维度时宽松的问题。
2026-09-01 cs.IT math.IT quant-ph
Synchronization Strings: Efficient and Fast Deterministic Constructions over Small Alphabets
最近Haeupler和Shahrasbi [HS 17 a]在研究用于纠正插入和删除错误的代码（insdel代码）时引入了同步字符串。同步字符串是字符串中符号索引的编码，并且与适当的解码算法一起，它可以将插入和删除错误转换为标准符号擦除和损坏。这将构造insdel码的问题简化为构造标准纠错码的问题，这更容易理解。除此之外，同步字符串在其他应用中也很有用，例如同步序列和交互式编码方案。令人惊讶的是，[HS 17 a]表明，对于任何错误参数$\varepsilon>0$，在其大小仅取决于$\varepsilon$的字母表上存在任意长度的同步字符串。具体来说，他们获得了$O(\varepsilon^{-4})$的字母表大小，以及在预期时间$O(n^5)$内运行的随机结构。然而，它仍然是一个有趣的问题，找到确定性和更有效的结构。本文从三个方面对文献[HS 17 a]中的构造方法进行了改进：减小了字母表的长度，构造了一个确定性的结构，并给出了一个更快的算法。在此过程中，我们引入了一个新的组合对象，并建立了一个新的同步字符串和insdel码之间的联系-这样的代码可以用一种简单的方式来构造同步字符串。这个新的连接补充了[HS 17 a]中发现的连接，并且可能是独立的兴趣。在一个独立的工作[HS 17 c]中，Haeupler和Shahrasbi也给出了任意长度（甚至无限长）的同步弦的确定性结构。…
2017-10-29 cs.DS cs.IT math.IT
On the Reverse-Complement String-Duplication System
受生物体内DNA储存和已知生物突变过程的启发，我们研究了反向互补链复制系统。我们完全分类的条件下，系统具有充分的表现力，所有字母和所有固定的重复长度。然后，我们专注于二进制系统的重复长度$2$，并证明他们有充分的能力，但令人惊讶的是，有零熵率。最后，通过使用二进制单突发插入纠正码，我们构造的代码，纠正一个单一的反向互补重复的奇数长度，在任何字母表。所构造的代码的冗余度（以比特为单位）不依赖于字母表的大小。
2021-12-22 cs.IT math.IT
A new construction of nonlinear codes via rational function fields
构造具有良好参数的码是编码理论中最重要和最基本的问题之一。虽然已经产生了许多好的代码，但它们中的大多数都是在大小等于素数幂的字母表上定义的。本文利用有理函数域给出了一种新的（q+1）元非线性码的显式构造，其中q是素数幂。我们的代码构造的有理函数的所有合理的地方（包括“无穷大”的地方）的有理函数的评价。与有理代数几何代码相比，主要区别在于我们允许有理函数在极点处求值。通过对Riemann-Roch空间并上的有理函数的计算，得到了一类长度为q+1的非线性码族，其长度为$\mathbb{F}_{q}\cup \{\infty\}$ .因此，我们的代码具有合理的参数，因为它们非常接近Singleton界。此外，我们的代码有更好的参数比MDS码通过代码字母限制或扩展。
2019-12-20 cs.IT math.IT
Perfect codes over non-prime power alphabets: an approach based on Diophantine equations
本文利用广义拉马努金-纳格尔方程和计算数论方法，证明172个新非素数幂字母表上不存在完美2错误纠正码，并证明任意固定字母表大小上此类码至多有限个。
2024-05-24 cs.IT math.IT math.NT
Structure and Performance of Generalized Quasi-Cyclic Codes
广义准循环（GQC）码是准循环（QC）码的自然推广。它们在这里被看作是一个环字母表族上的混合字母码。通过中国剩余定理将这些环分解为局部环，得到GQC码分解为级联码之和。这种分解导致一个跟踪公式，最小距离界，并为GQC码是自对偶或线性互补对偶（LCD）的标准。显示了LCD但不是QC的显式长GQC代码。
2017-02-01 cs.IT math.IT
Near-Optimal Finite-Length Scaling for Polar Codes over Large Alphabets
对于任何素数幂$q$，Mori和Tanaka基于$q$ ~by~ $q$ Reed-Solomon极化核引入了一族$q$元极化码。对于通过$q$ ary擦除信道的传输，他们还推导出每个有效信道的擦除概率的闭合形式递归。在本文中，我们使用该表达式来分析这些代码的有限长度缩放的$q$元擦除信道上的擦除概率$ε\in(0,1)$。我们的主要结果是，对于任何$γ>0$和$δ>0$，存在一个$q_{0}$，使得对于所有$q\geq q_{0}$，擦除率最多为$N^{-γ}$的有效通道的分数至少为$1-ε-O(N^{-1/2+δ})$，其中$N=q^{n}$是块长度。由于该分数不能大于$1-ε-O(N^{-1/2})$，因此这为该代码族建立了接近最优的有限长度缩放。我们的方法可以被视为Hassani，Alishahi和Urbanke对二进制极化码的类似分析的扩展。对于具有$m$乘$m$极化矩阵的$q$元极化码也考虑类似的分析。这将字母表大小的影响与矩阵大小的影响分开。如果在每个阶段的极化矩阵是独立地和均匀地从一组可逆的$m$由$m$矩阵，然后与李雅普诺夫函数分析相关的线性算子可以写在封闭的形式。然而，为了证明随着$m$增加，具有固定$q$的极化码的接近最优缩放，仍然存在两个技术障碍。因此，我们通过陈述两个具体的数学公式得出结论，如果得到证明，这将意味着固定的~ $q$接近最佳的缩放。
2017-11-03 cs.IT math.IT
Optimal Prefix Codes for Infinite Alphabets with Nonlinear Costs
设$P = \{p(i)\}$是非负整数集上严格正概率的测度。虽然输入的可计数数目阻止了霍夫曼算法的使用，但是存在非平凡的$P$，对于这些非平凡的$P$，已知方法找到在最小化期望码字长度的意义上最优的源代码。然而，对于某些应用，源代码应该改为最小化非线性目标函数族中的一个，$β$ -指数平均值，形式为$\log_a \sum_i p(i) a^{n(i)}$的那些，其中$n(i)$是第$i$码字的长度，并且$a$是正常数。这种最小化的应用包括使单次通信（$a<1$）中消息接收的机会最大化的新问题和使缓冲器溢出的机会最小化的先前已知的问题（$a>1$）。本文介绍的方法，寻找最佳的指数平均值的代码。一种方法适用于几何分布，而另一种方法适用于尾部较轻的分布。后者的算法适用于泊松分布，都扩展到字母码，以及最大限度地减少逐点冗余。还考虑了最小化缓冲区溢出机会的上述应用。
2007-11-26 cs.DS cs.IT math.IT
