Bulk and soft-edge universality for singular values of products of Ginibre random matrices
Akemann、Ipsen和Kieburg已经证明，具有独立复高斯元素的$M$矩形随机矩阵的乘积的平方奇异值根据具有相关核的行列式点过程分布，该相关核允许用Meijer G函数表示。证明了平方奇异值的局部统计量的普适性，即由正弦核给出的体普适性和由Airy核给出的边普适性.证明是基于相关核的双围道整表示的渐近分析。我们的策略可以推广到处理最近介绍的随机矩阵乘积的其他模型，并建立类似的普遍结果。研究了另外两个例子，一个是Forrester研究的$M$ Gemibre矩阵与$K$ Gemibre矩阵的逆的积，另一个是Kuijlaars和Stivigny研究的$M-1$ Gemibre矩阵与一个截断的酉矩阵的积。
2015-06-06 math-ph math.CA math.MP
Spectral Densities of Singular Values of Products of Gaussian and Truncated Unitary Random Matrices
本文研究了由独立的复Gaussian（复Ginibre）矩阵和截断酉矩阵组成的高维矩阵乘积的奇异值平方极限分布的密度，这些矩阵乘积取自具有适当维数增长的Haar分布酉矩阵.在一般情况下，我们开发了一种新的方法来获得复杂的整表示的斯蒂尔切斯变换满足一定类型的代数方程的密度的措施。在特殊的情况下，其中最多的一个因素的产品是一个复杂的高斯，我们推导出的极限密度使用合适的参数化的谱变量的基本表达式。此外，在所有情况下，我们研究的行为的密度在边界的频谱。
2015-12-22 math-ph math.CA math.MP
On the Largest Singular Values of Random Matrices with Independent Cauchy Entries
利用行列式方法研究了具有独立柯西元的大型$ m \times n $实矩形随机矩阵的最大奇异值的分布。我们表明，统计性质（重新缩放的$ \frac{1}{m^2\*n^2}$的一个因素）最大的奇异值同意在极限与强度$ \frac{1}π x^{-3/2} $的非齐次泊松随机点过程的统计，因此，是不同的Tracy-Widom定律。在我们的方法的其他推论，我们显示了一个有趣的数学期望之间的联系复杂的矩形$ m \times n $标准Wishart合奏和真正的矩形$ 2m \times 2n $标准Wishart合奏的决定因素。
2004-04-27 math-ph math.MP math.PR
Singular values of products of random matrices and polynomial ensembles
Akemann，Ipsen和Kieburg最近证明了M个复Ginibre矩阵乘积的平方奇异值按行列式点过程分布。我们介绍了一个多项式系综的概念，并展示了他们的结果可以被解释为多项式系综的变换。我们还证明了M-1个复Ginibre矩阵与一个截断酉矩阵乘积的平方奇异值是一个多项式系综，并导出了与此系综相关的相关核的二重积分表示.我们用它来计算在硬边的缩放极限，这原来是相同的缩放极限Kuijlaars和张发现的平方奇异值的M个复杂的Ginibre矩阵的产品。我们的最终结果是，这些限制核也出现为参数θ> 0的Borodin的双正交系综的标度极限，如果θ或1/θ是一个整数。这进一步支持了猜想，这些内核有一个普遍的字符。
2014-04-23 math-ph math.CA math.MP
On the singularity probability of random circulant Bernoulli matrices
该研究针对所有概率参数取值，完整刻画了随机循环伯努利矩阵的渐近奇异性概率，填补了相关理论空白。
2024-11-26 math.CO math.PR
A note on the limiting mean distribution of singular values for products of two Wishart random matrices
M个复随机高斯矩阵的乘积最近由Akemann，Kieburg和Wei研究。他们证明，对于固定的M和N，乘积矩阵的平方奇异值的联合概率分布形成了一个决定性的点过程，其相关核由某些可以显式构造的双正交多项式确定。我们发现，在M=2的情况下，相关的双正交多项式实际上是与Macdonald函数（第二类修改的贝塞尔函数），这是由Van Assche和Yakubovich首先介绍了多重正交多项式的特殊情况。利用这些多项式的渐近零分布的已知结果和多个正交多项式系综的一般理论，可以很容易地得到两个复随机高斯矩阵乘积的奇异值平方分布的显式表达式。
2013-08-05 math-ph math.CA math.MP
Structured Singular values on some generalized stochastic matrices
本文给出了一类广义随机复矩阵的结构奇异值的精确值，并给出了其行（列）和为常数的表达式。
2021-03-01 math.PR math.RA
Universality of the least singular value for the sum of random matrices
本文研究了$M = R^* X T + U^* YV$的最小奇异值，其中$R,T,U,V$是独立的Haar分布酉矩阵，$X, Y$是确定的对角矩阵.在$X$和$Y$的弱条件下，我们证明了$M$的最小奇异值的极限分布，适当地重新缩放，是相同的极限分布的最小奇异值的矩阵i.i.d.高斯随机变量我们的证明是基于Che和Landon研究埃尔米特矩阵和的局部谱统计的动力学方法。
2020-08-25 math.PR
Universality of the least singular value for sparse random matrices
研究了稀疏随机矩阵系综的最小奇异值的分布。我们的激励示例是$N\times N$矩阵的集合，其条目独立于具有参数$p$的伯努利分布来选择。这些矩阵表示随机Erdens-Rényi有向图的邻接矩阵，当$p\ll 1$ .我们证明了在$pN\gg 1$体制下，最小奇异值的分布是普适的，即它与$p$无关，且等于高斯矩阵系综的最小奇异值的分布.我们还证明了多个小奇异值的联合分布的普适性。我们的方法扩展到矩阵合奏，其条目是从任意分布，可能是相关的，复杂的价值，并有不等的方差选择。
2019-01-24 math.PR
Singularity of random symmetric matrices -- simple proof
本文给出了随机$\pm 1$对称矩阵奇异概率的一个非平凡上界的简单、简短、完备的证明。
2020-06-12 math.CO math.PR
On the asymptotic distribution of singular values of products of large rectangular random matrices
我们考虑具有独立元素的独立大随机矩形矩阵的乘积。计算了这类产品的奇异值的期望经验分布的极限分布。该分布函数由其满足一定代数方程的斯蒂尔切斯变换来描述。在方阵的特殊情况下，我们得到了一个众所周知的分布，其矩是Fuss-Catalan数。
2011-04-26 math.PR
Non-asymptotic theory of random matrices: extreme singular values
经典的随机矩阵理论主要研究随机矩阵维数增长到无穷大时的渐近谱性质。与此同时，从凸几何到泛函分析再到信息论，许多最近的应用都是用固定维的随机矩阵来操作的。本文研究了独立元随机矩阵极值奇异值的非渐近理论。本文主要讨论了随机矩阵硬边（最小奇异值）的几何估计方法。
2010-04-07 math.FA math.PR
Intrinsic volumes of set of singular matrices
我们明确计算的固有体积的一组真正的（和真正的对称）矩阵的弗罗贝纽斯范数1和给定的corank（矩阵的情况下，零行列式作为一种特殊情况）。我们给我们的计算渐近公式，我们讨论了几个例子和应用。
2014-01-20 math.DG math.OC math.PR
Local Statistics of Singular Values for Products of Truncated Unitary Matrices
本文研究具有不变Haar测度的截断酉矩阵系综采样的独立大矩形矩阵乘积的奇异值局部谱统计，确立其普适三阶段相变，给出该场景下的完整刻画。
2025-06-17 math.PR
On the singularity of random matrices with independent entries
我们考虑n乘n实矩阵，其条目是独立但不一定同分布的非退化随机变量，并证明了这样的矩阵是奇异的概率是O（1/sqrt{n}）。本文的目的是利用任意非退化随机变量的伯努利分解对这一事实提供一个简短而初等的证明。
2008-01-08 math.PR
Smallest Singular Value for Perturbations of Random Permutation Matrices
我们采取了第一个小的步骤，扩展的有效性Rudelson-Vershynin型估计的一些稀疏的随机矩阵，这里的随机置换矩阵。本文给出了一个大的随机矩阵D+M的最小奇异值的上（下）界，这里M是一个均匀采样的随机置换矩阵，D是对角矩阵。当D本身是随机的且对角线上有独立同分布项时，利用负漂移随机游动的经典理论，得到了一个Rudelson-Vershynin型估计.
2014-04-15 math.PR
Extreme Singular Values of Random Time-Frequency Structured Matrices
本文研究了带随机窗$g$的Gabor框架$(g, Λ)$的分析矩阵的极端奇异值.这样的矩阵的列是$g$的时间和频率偏移，并且$Λ\subset \mathbb{Z}_M\times\mathbb{Z}_M$是时间-频率偏移索引的集合。我们的目的是获得的框架集$Λ$的各种选择，这样的随机时频结构矩阵的奇异值的界限，并调查其依赖于$Λ$的结构，以及它的基数。我们还比较了Gabor框架分析矩阵与独立同分布项矩阵的相应结果。
2019-02-04 math.FA math.PR
Singularity of random Bernoulli matrices
对于每个$n$，令$M_n$是具有独立$\pm 1$条目的$n\times n$随机矩阵。我们证明了${\mathbb P}\{\mbox{$ M_n $ is singular}\}=(1/2+o_n(1))^n$，解决了一个老问题.一些概括考虑。
2019-08-26 math.CO math.PR
Singular values of large non-central random matrices
本文研究了具有固定秩平均值$K$的大型随机矩阵的最大奇异值。我们的主要结果是一个极限定理行和列的数量接近无穷大，而他们的比率接近一个积极的常数。它将最大的$K$奇异值分解为确定性增长率、以矩阵项的明确线性组合形式给出的随机中心波动以及概率可忽略的项。我们使用这种表示法来建立具有块结构的随机矩阵的最大奇异值的渐近正态性。我们还推导出群体遗传学模型中出现的归一化协方差阵的最大特征值的渐近正态性。
2019-09-01 math.PR
Singularity of random symmetric matrices revisited
令$M_n$从所有$\pm 1$对称$n \times n$矩阵中均匀地画出。我们发现，概率$M_n$是奇异的是最多$\exp(-c(n\log n)^{1/2})$，这是一个自然的障碍，在最近的方法来解决这个问题。除了改进以前著名的Campos，Mattos，Morris和Morrison的$\exp(-c n^{1/2})$的奇异概率上的界限，我们的方法是不同的，相当简单。
2020-11-05 math.CO math.PR
Edge statistics for singular values of products of rectangular complex Ginibre matrices
研究矩形复Ginibre矩阵乘积奇异值的边缘统计，证明深度宽度比作为尖锐阈值，低DWR时高斯波动，高DWR时出现Airy核。
2025-07-10 math.PR
The singularity probability of random diagonally-dominant Hermitian matrices
本文描述了实数、复数和四元数上对角占优非负埃尔米特矩阵的奇异轨迹。这产生了明确的表达式的概率，这样的矩阵，随机选择，是奇异的。例如，在由对称的零对角$\{\pm 1/(n-1)\}$ -伯努利矩阵扰动的单位$n \times n$矩阵的情况下，该概率结果等于$2^{-(n-1)(n-2)/2}$。作为推论，我们发现$n\times n$对称$\{\pm 1\}$矩阵具有特征值$n$的概率为$2^{-(n^2-n+2)/2}$ .
2014-03-06 math.CO math.PR
Random symmetric matrices are almost surely non-singular
令$Q_n$表示由$n$矩阵表示的随机对称$n$，其上对角元素是i.i.d.。Bernoulli随机变量（取0和1的概率为1/2）。我们证明了$Q_n$是非奇异的概率$1-O(n^{-1/8+δ})$任何固定的$δ> 0$。证明使用二次版本的Littlewood-Offord型结果有关的浓度函数的随机变量，并可以扩展到更一般的模型的随机矩阵。
2005-05-09 math.PR
Singular values of Gaussian matrices and permanent estimators
给出了一类具有独立高斯元和非齐次方差分布的矩阵的小奇异值的估计，满足宽连通性条件。使用这些估计和浓度的测量谱的高斯矩阵的独立条目，我们证明了，对于一个大类的图满足适当的扩展属性，Barvinok-Godsil-Gutman估计永久实现次指数误差的概率很高。
2014-08-29 cs.DS math.PR
On random $\pm 1$ matrices: Singularity and Determinant
本文给出了随机$n \times n$ Bernoulli矩阵的两个结果。首先，我们证明了概率趋于1的行列式有绝对值$\sqrt {n!} \exp(O(\sqrt(n log n)))$。其次，我们证明了一个新的上界$.939^n$的概率矩阵是奇异的。我们还对其它随机矩阵模型进行了推广。
2008-06-30 math.CO math.PR
On the Largest and the Smallest Singular Value of Sparse Rectangular Random Matrices
我们推导出稀疏矩形$N\times n$随机矩阵的最大和最小奇异值的估计，假设$\lim_{N,n\to\infty}\frac nN=y\in(0,1)$。我们考虑一个模型，稀疏参数$p_N$，使得$Np_N\sim \log^{α}N$对于某些$α>1$，并假设矩阵元素的矩满足条件$\mathbf E|X_{jk}|^{4+δ}\le C<\infty$。我们还假设我们考虑的矩阵的项在$(Np_N)^{\frac12-\varkappa}$与$\varkappa:=\fracδ{2(4+δ)}$的水平上被截断。
2022-11-28 math.PR
CLT with explicit variance for products of random singular matrices related to Hill's equation
证明了Adams $\unicode{x2013}$ Bloch $\unicode{x2013}$ Lagarias研究的一类随机奇异矩阵乘积的中心极限定理. CLT的特点是在矩阵项的分布方面的方差的显式公式，这允许在某些示例中进行精确计算。我们的证明依赖于一个新的连接到理论的$m$依赖序列，这也导致了一个有趣的和精确的非简并条件。
2021-05-31 math.PR
Upper bound for intermediate singular values of random matrices
本文证明了具有独立中心次高斯元素的$n\times n$矩阵$A$至少以概率$1-\exp(-C_2tl)$满足\[ s_{n+1-l}(A) \le C_1t \frac{l}{\sqrt{n}} \].这产生与已知下界组合的$s_{n-l}(A) \sim \frac{cl}{\sqrt{n}}$。这些结果可以推广到矩形矩阵的情况。
2016-08-02 math.PR
The singular values and vectors of low rank perturbations of large rectangular random matrices
本文研究了大型矩形随机矩阵有限低秩扰动的奇异值和奇异向量。具体地说，我们证明了几乎必然收敛的极端奇异值和适当的投影相应的奇异向量的扰动矩阵。在前传中，我们认为问题的特征值方面，非随机极限值显式依赖于通过积分变换，线性化的矩形加法卷积在自由概率论的未扰动矩阵的极限奇异值分布。当且仅当扰动矩阵的奇异值高于某个临界阈值时，扰动矩阵的极值奇异值的大矩阵极限不同于原始矩阵的大矩阵极限，该临界阈值取决于上述相同的积分变换。我们研究的后果，这种奇异值相变的相关的左，右奇异本征向量，并讨论了有限的$n$波动以上这些非随机限制。
2012-01-26 math.PR
Singular vector distribution of sample covariance matrices
Department of Statistical Sciences, University of Toronto（多伦多大学统计科学系）
研究样本协方差矩阵奇异向量分布，证明其在特定矩条件下与高斯族集合一致。
2017-09-16 math.PR
Distribution of Linear Statistics of Singular Values of the Product of Random Matrices
本文考虑两个独立随机矩阵$\mathbb X^{(1)}$和$\mathbb X^{(2)}$的乘积。假设$X_{jk}^{(q)}, 1 \le j,k \le n, q = 1, 2,$是i.i.d.随机变量与$\mathbb E X_{jk}^{(q)} = 0, \mathbb E (X_{jk}^{(q)})^2 = 1$。用$s_1, ..., s_n$表示$\mathbb W: = \frac{1}{n} \mathbb X^{(1)} \mathbb X^{(2)}$的奇异值。本文证明了奇异值平方$s_1^2, ..., s_n^2$线性统计量的中心极限定理，证明了极限方差依赖于$κ_4: = \mathbb E (X_{11}^{1})^4 - 3$。
2015-11-22 math.PR
Universality of the least singular value and singular vector delocalisation for Lévy non-symmetric random matrices
本文研究a-稳定Lévy非对称随机矩阵，利用对称化、高斯微扰和三步策略证明最小奇异值的高斯普适性及小能量奇异向量完全离域。
2023-07-14 math.PR
Optimal Smoothed Analysis and Quantitative Universality for the Smallest Singular Value of Random Matrices
最小奇异值和条件数在数值线性代数和算法分析中起着重要的作用。在具有随机性的数值分析中，以往的许多工作都是做高斯假设，不够一般，不能反映输入的任意性。为了克服这一缺陷，我们证明了随机矩阵最小奇异值和条件数的第一个定量普适性。此外，受光滑分析中随机扰动使确定性矩阵良态化的研究启发，我们考虑了随机矩阵的一个类比。对于一个随机矩阵扰动独立高斯噪声，我们表明，这个矩阵很快成为近似高斯。特别是，我们推导出一个最佳的平滑分析随机矩阵的尖锐高斯近似。
2022-11-08 cs.DS cs.NA math.NA
Singular value decomposition of large random matrices (for two-way classification of microarrays)
研究了在Wigner噪声下爆破矩阵和标准化爆破列联表的奇异值分解的渐近行为，证明了这样一个m \times n矩阵几乎必然存在常数个大奇异值（\sqrt{mn}阶），而其余奇异值的阶为\sqrt{m+n}，如m，n \to \infty .将Alon等关于大型对称随机矩阵特征值的集中结果推广到矩形情形，并在此基础上证明了奇异值及相应的迷向子空间的几乎必然结果.一个算法，适用于微阵列的两种方式分组，也给出了发现的基本块结构。
2008-05-22 math.PR math.ST stat.TH
Smallest singular value of sparse random matrices
本文将独立元随机矩阵最小奇异值的概率估计推广到一类稀疏随机矩阵。我们表明，人们可以放松以前使用的条件的一致有界的方差从下面。这允许我们考虑具有空元素的矩阵，或者更一般地，具有小方差的元素。我们的结果不假设一个随机矩阵的条目的分布相同，并有助于澄清的作用的方差的条目。我们还表明，它是足够的，要求从上面的$r$ -th时刻，$r > 2$，相应的条目的有界性。
2012-12-20 math.FA math.PR
Singularity of random integer matrices with large entries
研究了随机整数矩阵的奇异概率。具体地说，随机$n \times n$矩阵，其中整数元素从$\{-m,\ldots,m\}$中均匀选择，是奇异的概率。这个问题已经在两种情况下得到了很好的研究：大的$n$和恒定的$m$ ;或大的$m$和恒定的$n$。在本文中，我们扩展了以前的技术来处理政权，其中两个$n,m$是大的。我们表明，这样的矩阵是奇异的概率是$m^{-cn}$的一些绝对常数$c>0$。我们还提供了我们的结果编码理论的一些连接。
2021-08-31 cs.CC cs.DM cs.IT
Distribution of singular values of random band matrices; Marchenko-Pastur law and more
本文研究了$\frac{1}{2b_{n}+1} (R + X)(R + X)^{*}$形式的矩阵的极限谱分布，其中$X$是带宽为$b_{n}$的$n\times n$带矩阵，$R$是带宽为$b_{n}$的非随机带矩阵.证明了这类矩阵的ESD的斯蒂尔切斯变换收敛于非随机测度的斯蒂尔切斯变换.极限斯蒂尔切斯变换满足一个积分方程。对于$R=0$，积分方程产生马琴科-帕斯托尔定律的斯蒂尔切斯变换。
2017-06-26 math.PR
Gaps between Singular Values of Sample Covariance Matrices
本文研究随机矩形矩阵相邻奇异值间隙，在 i.i.d. 元素与确定性正定变换下给出下界，证明样本协方差矩阵高概率单谱并解决 Vu 猜想，还应用于随机二部图邻接矩阵。
2025-10-04 math.PR
Lower bounds for the smallest singular value of structured random matrices
本文给出了独立非同分布随机矩阵最小奇异值的下尾估计。具体地说，我们考虑具有\[ M = A\circ X + B = (a_{ij}ξ_{ij} + b_{ij}) \]形式的复数项的$n\times n$矩阵，其中$X=(ξ_{ij})$具有单位方差的iid中心项，并且$A$和$B$是固定矩阵。在我们的主要结果中，我们得到多项式的最小奇异值的$M$的情况下，$A$有界（可能为零）的条目，和$B= Z\sqrt{n}$，其中$Z$是一个对角矩阵的条目有界远离零。作为我们的方法的副产品，我们也可以处理一般扰动$B$下的额外假设$A$，这转化为相关的图上的连接假设。特别是，我们扩展了Rudelson和Zeitouni的高斯矩阵的结果，使一般的入口分布满足一些时刻的假设。我们的证明利用工具（据我们所知）以前未利用的随机矩阵理论，特别是Szemerédi的正则引理，和一个版本的限制可逆定理由于斯皮尔曼和Srivastava。
2018-05-18 math.PR
Singularity of sparse Bernoulli matrices
令$M_n$是具有i.i.d.的$n\times n$随机矩阵。Bernoulli（p）entries.我们证明了存在一个普适常数$C\geq 1$，使得只要$p$和$n$满足$C\log n/n\leq p\leq C^{-1}$，\begin{align*} {\mathbb P}\big\{\mbox{$M_n$ is singular}\big\}&=(1+o_n(1)){\mathbb P}\big\{\mbox{$M_n$ contains a zero row or column}\big\}\\ &=(2+o_n(1))n\,(1-p)^n, \end{align*}，其中$o_n(1)$表示一个量，它收敛到零为$n\to\infty$。我们也给出了相应的$M_n$的最小奇异值的上下界。
2020-04-07 math.PR
Singularity of Random Matrices over Finite Fields
令$A$是$q$阶有限域上的具有iid元素的$n \times n$随机矩阵。假设对于某个固定的$0 < α< 1$，条目在字段的任何加性陪集中不取概率大于$1 - α$的值。我们表明，奇异概率收敛到一致的限制指数小的误差只依赖于$α$。我们还表明，分布的行列式$A$收敛到其极限分布的指数率。
2013-07-23 math.CO math.PR
On the Universality of the Non-singularity of General Ginibre and Wigner Random Matrices
本文证明了随机矩阵的广义Ginibre和Wigner系综的渐近几乎必然非奇异性，当元素的分布独立但不一定同分布且可能依赖于矩阵的大小时.这些模型包括随机图的邻接矩阵以及稀疏、广义、泛和带状随机矩阵。我们发现普遍的收敛速度和精确的估计奇异性的概率只取决于最大的跳跃的分布函数的大小，而不是在值域的随机条目的条目。此外，没有关于支配条目的分布的矩假设。我们的证明是基于浓度函数不等式由于Kolmogorov，罗戈津和Kesten，这使我们能够提高普遍的收敛速度的维格纳的情况下，当条目的分布不依赖于矩阵的大小。
2016-01-08 math.PR
Approximate Spielman-Teng theorems for the least singular value of random combinatorial matrices
随机$n\times n$方阵$M_n$的最小奇异值$s_n(M_n)$的近似Spielman-Teng定理是以下形式的陈述：存在常数$C,c >0$使得对所有$η\geq 0$，$\Pr(s_n(M_n) \leq η) \lesssim n^{C}η+ \exp(-n^{c})$。本文的目标是开发一个简单而新颖的框架来证明离散随机矩阵的结果。作为应用，我们证明了$\{0,1\}$值矩阵的一个近似Spielman-Teng定理，该矩阵的每一行是一个独立向量且恰有$n/2$零分量.这改善了以前的工作阮和武，是第一个这样的结果在一个“真正的组合”设置。
2019-04-24 math.CO math.PR
Inverse Littlewood-Offord problems and The Singularity of Random Symmetric Matrices
令$M_n$用$n$矩阵表示随机对称$n$，其上对角元素是iid Bernoulli随机变量（其以概率1/2取值-1和1）。改进了Costello，Tao和Vu的结果，证明了对于任意正的常数$C$，$M_n$是非奇异的，概率为$1-O(n^{-C})$.证明使用逆Littlewood-Offord结果的二次型，这是它自己的利益。
2012-12-31 math.CO math.PR
On Mixing Distributions Via Random Orthogonal Matrices and the Spectrum of the Singular Values of Multi-Z Shaped Graph Matrices
本文介绍并分析了一种新的运算$\circ_{R}$，它通过一个随机正交矩阵混合两个分布$Ω$和$Ω'$。特别地，我们将$Ω\circ_R Ω'$作为$DRD'$的奇异值分布的极限作为$n \to \infty$，其中$D$和$D'$是其对角项分别具有分布$Ω$和$Ω'$的$n \times n$对角矩阵，并且$R$是随机$n \times n$正交矩阵。我们发现，$\circ_R$有几个很好的性质。我们首先观察到$\circ_R$是可交换的和结合的，并根据$Ω$和$Ω'$的矩计算$Ω\circ_R Ω'$的矩。然后，我们表明，$\circ_R$互动非常好的Z形和多Z形图矩阵的奇异值的频谱。这使我们能够回答我们以前的论文提出的问题，如何描述的Z形和多Z形图矩阵的奇异值的谱时，输入分布不是$\{-1,1\}$。在我们的分析中，我们表明，我们的分布的时刻是紧密相连的非交叉分区，并证明了一些新的结果，非交叉分区可能是独立的利益。
2022-12-28 math.CO math.PR
On generic chaining and the smallest singular value of random matrices with heavy tails
我们提出了一个非常一般的链接方法，它允许一个控制的经验过程$\sup_{h \in H} |N^{-1}\sum_{i=1}^N h^2(X_i)-\E h^2|$的上确界在相当一般的情况下。我们使用这种方法建立两个主要结果。首先，一个定量（非渐近）版本的经典白音定理的奇异值的随机矩阵的i.i.d的项目，有沉重的尾巴，第二，尖锐的估计二次经验过程时，$H=\{\inr{t,\cdot} : t \in T\}$，$T \subset \R^n$和$μ$是一个各向同性的，无条件的，对数凹措施。
2011-08-19 math.PR
A remark on the smallest singular value of powers of Gaussian matrices
设$n,k\geq 1$和$G$是具有i.i.d.的$n\times n$随机矩阵。标准实高斯项我们表明，有常数$c_k,C_k>0$只依赖于$k$，使最小的奇异值的$G^k$满足$$ c_k\,t\leq {\mathbb P}\big\{s_{\min}(G^k)\leq t^k\,n^{-1/2}\big\}\leq C_k\,t,\quad t\in(0,1], $$，此外，$$ c_k/t\leq {\mathbb P}\big\{\|G^{-k}\|_{HS}\geq t^k\,n^{1/2}\big\}\leq C_k/t,\quad t\in[1,\infty), $$其中$\|\cdot\|_{HS}$表示希尔伯特-施密特范数。
2020-01-27 math.PR
Asymptotic Spectra of Matrix-Valued Functions of Independent Random Matrices and Free Probability
本文研究了独立随机矩阵的矩阵值函数的奇异值和特征值分布的普适性，并将这些一般性结果应用于几个例子。特别是我们确定的极限分布和证明的普遍性，在一般条件下的奇异值和特征值分布的产品，从球面系综的独立矩阵。
2014-08-16 math.PR
Triangular random matrices and biorthogonal ensembles
研究了一类三角随机矩阵的奇异值。当它们的元素是独立同分布时。标准复高斯随机变量，其奇异值的平方构成一个双正交系综，适当改变对角元的分布，得到双正交Laguerre系综.对于三角维格纳矩阵，我们给出了另一种证明，证明奇异特征值的适当缩放平方的经验分布收敛于支持$[0, e]$的分布，以及重新缩放的最大奇异特征值几乎必然收敛于$\sqrt{e}$在矩阵元素定律的平均值为零和有限四阶矩的附加假设下。
2014-04-18 math.PR math.ST stat.TH
The smallest singular value of deformed random rectangular matrices
证明了乘加变形随机矩形矩阵的最小奇异值的一个估计。假设对于某个常数$Λ\ge 1$，有$n\le N \le M \le ΛN$。设$X$是一个$M\times n$随机矩阵，其元素独立同分布，均值为零，方差为单位，矩为任意高。令$T$是$N\times M$确定性矩阵，对于某个常数$c>0$，具有可比奇异值$c\le s_{N}(T) \le s_{1}(T) \le c^{-1}$。令$A$是具有$\|A\|=O(\sqrt{N})$的$N\times n$确定性矩阵。然后证明了对于任意的$ε>0$，$TX-A$的最小奇异值以很高的概率大于$N^{-ε}(\sqrt{N}-\sqrt{n-1})$.如果我们进一步假设$X$的项具有亚高斯衰减，则$TX-A$的最小奇异值至少具有高概率的$\sqrt{N}-\sqrt{n-1}$阶，这是本质上最优的估计。
2018-10-16 math.PR
The smallest singular value of random rectangular matrices with no moment assumptions on entries
设$δ>1$和$β>0$为实数。证明了存在正的$u,v,N_0$只依赖于$β$和$δ$，且具有如下性质：对任意$N,n$，使得$N\ge \max(N_0,δn)$，任意$N\times n$随机矩阵$A=(a_{ij})$的i.i.d.项满足$\sup\limits_{λ\in {\mathbb R}}{\mathbb P}\bigl\{|a_{11}-λ|\le 1\bigr\}\le 1-β$和任意非随机$N\times n$矩阵$B$，$A+B$的最小奇异值$s_n$满足${\mathbb P}\bigl\{s_n(A+B)\le u\sqrt{N}\bigr\}\le \exp(-vN)$。结果保持没有任何矩的假设$A$的条目的分布。
2014-09-29 math.PR
Singular Values Distribution of Squares of Elliptic Random Matrices and Type B Narayana Polynomials
我们考虑具有参数$ρ$的大小为$N \times N$的高斯椭圆随机矩阵$X$，即，矩阵，其条目对$(X_{ij}, X_{ji})$是相互独立的高斯向量，$E X_{ij} = 0$、$E X^2_{ij} = 1$和$E X_{ij} X_{ji} = ρ$。我们感兴趣的是矩阵$W =\frac{1}{N^2} X^2 X^{*2}$特征值的渐近分布。我们已经表明，这个分布是由它的时刻，我们提供了一个经常性的关系，这些时刻。我们证明了（对称化的）渐近分布是由它的自由累积量决定的，它是B型Narayana多项式：$$c_{2n} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 ρ^{2k}.$$
2016-04-08 math.CO math.PR
On the singularity of random symmetric matrices
一个著名的猜想指出，一个随机对称的$n \times n$矩阵的元素在$\{-1,1\}$是奇异的概率为$Θ\big( n^2 2^{-n} \big)$。本文证明了该事件的概率至多为$\exp\big( - Ω( \sqrt{n} ) \big)$，改进了Ferber和Jain最近得到的$\exp\big( - Ω( n^{1/4} \sqrt{\log n} ) \big)$的最佳已知界.主要的新成分是一个逆Littlewood-Offord定理在$\mathbb{Z}_p^n$，适用于非常温和的条件下，其声明的灵感来自超图容器的方法。
2020-10-16 math.CO math.PR
On the monotonicity of average singular values of complex Gaussian random matrices
University of Toronto（多伦多大学）；Indian Institute of Science Education and Research Kolkata（印度科学教育研究所加尔各答分校）
针对复高斯随机矩阵平均奇异值随维度减小的性质，补充证明并将其单调性从非负整数形状参数α推广至实α≥0，完善了相关猜想的结论。
2026-10-06 math.PR
