交换环的小有限维数，III
The small finitistic dimensions of commutative rings, III
AI总结：
本文研究了交换环的小有限维数，证明了其与有限生成理想和Ext的零性之间的关系，并应用于多种环类。
摘要：
环R的小有限维数fPD(R)被定义为R-模的有限射影维数的上确界。在本文中，我们证明，一个交换环R满足fPD(R)≤d当且仅当对于任何有限生成的理想I，如果对于每个i=0,…,d，Ext_R^i(R/I,R)=0，则对于所有i≥0，Ext_R^i(R/I,R)=0。作为应用，我们得出，对于任何交换环R，fPD(R)≤自FP-内射维数FP-Id_RR。我们还把这些结果应用于(w)(n,d)-环、DW环和普鲁弗型环。
英文摘要：
The small finitistic dimension fPD$(R)$ of a ring $R$ is defined to be the supremum of projective dimensions of $R$-modules with finite projective resolutions. In this paper, we show that a commutative ring $R$ has fPD$(R)\leq d$ if and only if for any finitely generated ideal $I$ of $R$, if $Ext_R^i(R/I,R)=0$ for each $i=0,\dots,d$, then $Ext_R^i(R/I,R)=0$ for all $i\geq 0.$ As applications, we obtain that, for any commutative ring $R$, fPD$(R)\leq \mbox{FP-}Id_RR$, the self-FP-injective dimension of $R$. We also give some applications of these results to (weak) $(n,d)$-rings, DW-rings and rings of Prufer type.
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