高斯环的有限弱维数
The finitistic weak dimensions of Gaussian rings
- School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University（天水师范学院数学与统计学院）
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AI总结：
该论文证明每个交换高斯环的有限弱维数至多为二，通过构造矛盾论证，不假设弱整体维数有限，主要贡献是给出了这一维数上界的完整证明。
AI中文摘要：
我们证明每个交换高斯环的有限弱维数至多为二。证明过程使用一个有限平坦维数的固定模，并且不假设环的弱整体维数是有限的。对于局部高斯环 $A$，其幂零根为 $N$，映射 $A\to A_N$ 的核 $I$ 满足 $NI=I^2=0$。一个假设的平坦维数为三的模 $M$ 在赋值域 $A/N$ 上给出一个非零挠模 $H=\Tor_2^A(A/N,M)$，其中 $H\cong\Tor_1^A(I,M)$ 且 $I\otimes_{A/N}H=0$。两个精心控制的局部化、链环 $A/D$（其中 $D=\{x:x^2=0\}$）中的传播论证，以及循环模过滤系统中的零化子分解，共同产生矛盾。
英文摘要：
We prove that every commutative Gaussian ring has finitistic weak dimension at most two. The proof works with a fixed module of finite flat dimension and does not assume that the weak global dimension of the ring is finite. For a local Gaussian ring $A$, with nilradical $N$, the kernel $I$ of $A\to A_N$ satisfies $NI=I^2=0$. A hypothetical module $M$ of flat dimension three gives a nonzero torsion module $H=\Tor_2^A(A/N,M)$ over the valuation domain $A/N$, with $H\cong\Tor_1^A(I,M)$ and $I\otimes_{A/N}H=0$. Two carefully controlled localizations, a propagation argument in the chain ring $A/D$, where $D=\{x:x^2=0\}$, and an annihilator factorization in a filtered system of cyclic modules yield a contradiction.
