Persistent Homology of Filtered Covers
我们证明了一个扩展的单纯神经引理建立同构的持久同调群，在覆盖空间的情况下，过滤。持久同调群在拓扑数据分析中有着广泛的应用，但通常的神经引理并不能给出持久同调群的同构。我们的论证涉及到一些同调代数：关键点是，尽管神经引理的标准证明中产生的映射不作为链复形的映射可交换，但它们在同调上导出的映射可交换。
2012-02-28 math.AT
On the support of Betti tables of multiparameter persistent homology modules
University of Southampton（南安普顿大学）；University of Modena and Reggio Emilia（摩德纳和雷焦艾米利亚大学）
本文研究了多重参数持久同调模块的贝蒂表与多过滤单元复形之间的关系，揭示了单元在过滤中首次出现的等级决定了贝蒂表可能非零的位置，并结合离散Morse理论改进了贝蒂表支持的近似。
2026-03-23 math.AT
The coherent matching distance in 2D persistent homology
多维持久Betti数之间的比较通常基于多维匹配距离。虽然通过考虑与具有正斜率的线相关联的滤波函数的合适族来定义和计算该度量相当简单，但是它具有两个主要缺点。首先，它忘记了与彼此接近的线相关联的滤子的同调性质之间的自然联系。结果，部分有趣的同源信息丢失了。第二，它的本质上不连续的定义，使它难以研究其性质。在本文中，我们介绍了一个新的匹配距离的2D持久贝蒂数，称为相干匹配距离和匹配的变化与我们考虑的过滤相干。它的定义并不是微不足道的，因为它必须面对多维持久性中的单值性，即空间中参数化上述过滤的不同路径可以在相关持久图之间引起不同的匹配。在本文中，我们证明了相干的二维匹配距离是定义良好的和稳定的。
2016-03-12 cs.CG math.AT
Matroid Filtrations and Computational Persistent Homology
本技术报告介绍了一种新的方法，有效的计算同调代数的领域，特别强调计算的持久性的同源性过滤拓扑胞腔复形。这里提出的算法依赖于离散莫尔斯理论，拟阵理论，和经典的矩阵分解之间的一种新的关系。我们提供了背景，详细的算法，并在Eirene包中的软件实现基准。
2017-10-17 math.AT math.CO
Differentiability and Optimization of Multiparameter Persistent Homology
本文提出多参数持久同调描述子的可微性与优化通用框架，涵盖带符号条形码和多参数持久性景观等描述子，并通过实验证明多参数描述子优化可优于单参数方法。
2024-08-30 cs.CG math.AT math.OC
Persistent Homology in $\ell_{\infty}$ Metric
邻近复形和过滤是拓扑数据分析中的核心构造。使用距离函数或更一般的度量构建，它们通常用于从点云推断连接信息。在这里，我们研究的邻近复合物和过滤建立在切比雪夫度量，也被称为最大度量或$\ell_{\infty}$度量，而不是经典的欧几里德度量。有些令人惊讶的是，$\ell_{\infty}$案件没有得到彻底调查。在本文中，我们研究了一些经典的复合物在这个度量下，包括捷克，Vietoris-Rips，和阿尔法复合物。我们定义了两个新的家庭旗复合体，我们称之为阿尔法旗和Minibox复合体，并证明了他们的等价性，以捷克复同调度零和一。此外，我们提供了算法，找到Minibox边缘的两个，三个，和更高的维度点。最后，我们给出了随机点上的计算实验，实验结果表明Minibox过滤可以通过减少过滤中的单形数来加快同调度为0和1的持久同调计算.
2021-06-04 cs.CG math.AT
A Primer on Persistent Homology of Finite Metric Spaces
拓扑数据分析（TDA）是一个相对较新的研究领域，它将拓扑学中的经典思想引入数据分析领域。在TDA的保护伞下，特别是持久同源性的概念，它可以简单地描述为对数据集的尺度相关同源不变量的研究。在这些笔记中，我们提供了一个简洁的自我包含的描述背后的主要思想的建设持久的同源性作为一个不变的功能的数据集，其稳定性扰动。
2019-05-31 cs.CG math.AT
Homological Scaffold via Minimal Homology Bases
同源支架利用持久同源性来构建加权网络的拓扑合理摘要。然而，它对代表性周期选择的关键依赖阻碍了将全局特征追溯到单个网络组件的能力，除非提供一种原则性的方法来做出这样的选择。在本文中，我们应用最新的进展，在最小的同源基的计算引入一个准规范版本的支架，称为最小的，并采用它来分析数据的真实和在硅片。与此同时，我们验证了，在统计上，标准支架是一个很好的代理的最小的足够复杂的网络。
2021-01-01 cs.CG math.AT math.CO
Chunk Reduction for Multi-Parameter Persistent Homology
将持久同源性扩展到多参数设置是一个算法挑战。由于大多数计算任务的规模严重的输入复杂的大小，一个重要的预处理步骤包括简化输入，同时保持同调信息。我们提出了一个算法，大大减少了输入的大小。我们的方法是用于持久同源性的块算法的扩展（Bauer等人，数据分析和可视化中的拓扑方法III，2014）。我们表明，我们的建设产生最小的多过滤链复形之间的所有复杂的准同构的输入，提高了以前的工作中的离散莫尔斯理论的背景下的保证。我们的算法还提供了一个立即并行化计划在共享内存。它的顺序版本已经与现有的简化方案相比，我们所示的实验评估。
2019-03-18 math.AT
Persistent Homology, Matroids and Cobordisms
关于正实数偏序集上的过滤单纯复形的同调信息通常由描述相关贝蒂数演化的条形码表示。然而，有一个非常复杂的组合学与过滤复形的同调类相关，人们可以做的不仅仅是在索引偏序集上计数它们。在这里，我们表明，这种组合信息可以编码的过滤拟阵，甚至更好的是，有根森林。我们还表明，这些有根森林可以实现cobordisms。
2022-09-02 math.AT math.CO math.KT
Stable Volumes for Persistent Homology
本文提出了一个稳定的体积和稳定的体积变量，称为稳定的子体积，更可靠的数据分析使用持久的同源性。在先前的研究中，已经提出了一个最优循环和类似的想法来识别持久图中每个生灭对对应的同调结构。虽然这有助于使用持久同源性进行数据分析，但结果对噪声敏感。本文提出了稳定体和稳定子体的概念来解决这一问题。对于一个特殊的情况下，我们证明了一个稳定的音量是鲁棒的一部分，最佳音量对噪声。我们在HomCloud上实现了稳定卷和子卷，HomCloud是一个基于持久同源性的数据分析软件包，并展示了稳定卷和子卷的例子。
2022-01-22 cs.CG math.AT
On $C^0$-persistent homology and trees
在本文中，我们给出了一个度量结构的树，它正确地识别连接组件的超水平集的$\mathbb{R}$ -值连续函数$f$ $X$，并表明它是可能的检索$H_0$ -持久图从这棵树。本文重新讨论了Schweinhart以前提出的同调维数的概念，并给出了后者在$X$上盒维数方面的一些界限，从而部分回答了同一作者的一个问题.我们证明了一个定量版本的Wasserstein稳定性定理有效的正则足够的$X$和$α$ -Hölder功能和讨论这个理论的一些应用随机场和他们的超水平集的拓扑结构。
2022-04-08 cs.CG math.AT
Persistent Homology of Morse Decompositions in Combinatorial Dynamics
本文研究了单纯复形上的组合动力系统，它被认为是{ \em有限拓扑空间}。这样的系统以自然的方式从采样动态中产生，并且可以用于直接从样本重建动态的一些特征。我们研究的同调持久性{ \em莫尔斯分解}这样的系统，一个重要的描述符的动力学，作为一种工具，用于验证重建。我们的框架可以被看作是一个步骤，将经典的持久性理论扩展到“向量云”数据。我们提出了两个数值例子的实验结果。
2018-07-11 cs.CG math.AT math.DS
Persistent sheaf cohomology
通过将持久性的概念应用于层上同调，我们扩展了计算拓扑学中（上）同调方法的工具箱。由于层（模的层）结合了拓扑信息和代数信息，它们允许沿着代数维度和沿着拓扑维度的变化。因此，我们介绍了两种不同的结构层上同调（上）持久模。其中之一可以看作是单纯或奇异上同调上持久模的构造的自然推广。我们讨论了这两种结构是如何相互关联的，并表明，在某些情况下，我们可以减少他们中的一个。此外，我们表明，我们可以结合这两种结构，以获得二维（共）持久性模块的拓扑和代数维度。我们还证明了一些经典的结果和方法从持久性理论可以推广到层。我们的结果为研究单纯复形滤子的持久上同调性开辟了一个新的视角。
2022-04-28 math.AT
Interpretable Phase Detection and Classification with Persistent Homology
University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学）；University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
我们应用持久的同源性的任务，发现和表征相变，使用晶格自旋模型的统计物理工作的例子。持久性图像提供了用于进行统计任务的同调数据的有用表示。为了识别相变，对这些图像进行简单的逻辑回归对于我们考虑的模型是足够的，然后从回归的权重中读取可解释的序参量。磁化强度、阻挫和涡旋-反涡旋结构被确定为表征相变的相关特征。
2020-12-01 cond-mat.stat-mech cs.LG math.AT
Modules over posets: commutative and homological algebra
偏序集上模的交换和同调代数在有限表示、准素分解和分解的方向上与诺特交换环上的有限生成模的代数尽可能地平行发展。用亚解析可构造层的导出范畴的语言解释这种有限性，证明了Kashiwara和Schapira关于在给定锥中具有微支撑的层的两个命题。本文的出发点是任意滤子拓扑空间的持久同调，特别是多实参数的情形。代数理论产生计算上可行的，拓扑可解释的数据结构，在出生和死亡的同源类，持久的同源性索引的任意偏序集。论述集中在一个合适的有限性条件，以取代诺特假设的性质和后果。为此目的引入的驯服条件捕获有限性的变化在家庭的向量空间索引的偏序集的方式，其特征在于等价的不同的拓扑，代数，组合，和同调的表现。驯服服务于理论和计算的目的：它保证有限的准素分解，以及各种有限的表示和解决方案，所有相关的一个syzygy定理，因此产生的数据结构是可计算的，除了是可解释的。驯服条件和由此产生的理论是新的，即使在离散的情况下，驯服比诺特弱得多。
2020-08-12 math.AC math.AG math.AT
Persistence Images: A Stable Vector Representation of Persistent Homology
许多数据集可以被视为底层空间的噪声采样，拓扑数据分析工具可以表征这种结构，以实现知识发现的目的。一个这样的工具是持久同源性，它提供了一个数据集内的同源性特征的多尺度描述。这种同调信息的一个有用的表示是持久性图（PD）。已经努力将PD映射到具有对机器学习任务有价值的附加结构的空间中。我们将PD转换为一个有限维的向量表示，我们称之为持久性图像（PI），并证明了这种变换的稳定性，相对于小扰动的输入。PI的歧视性权力与现有的方法相比，表现出显着的性能增益。我们探索使用PI与基于向量的机器学习工具，如线性稀疏支持向量机，识别包含歧视拓扑信息的功能。最后，从离散动力系统的动态输出（链接扭曲映射）和偏微分方程（各向异性Kuramoto-Sivashinsky方程）的参数值的高精度推断提供了PI的鉴别能力的新应用。
2016-07-11 cs.CG math.AT stat.ML
Persistent homology of partially ordered spaces
本文揭示自然同调与持续同调在有向空间分类中的内在联系，证明自然同调可视为持续性对象并沿迹表示为余极限，为并发程序语义与拓扑数据分析的交叉研究开辟新方向。
2024-08-06 cs.DC cs.LO math.AT
Distributing Persistent Homology via Spectral Sequences
本文为分布式计算持久同调建立理论，发展了持久模线性代数与基，提出基于Mayer-Vietoris谱序列的高效同调计算方法，并解决了扩张问题，最后通过PerMaViss方法实现单纯形数据的分布式处理与同调信息合并。
2020-03-05 math.AT
The (homological) persistence of gerrymandering
我们应用持续同源，从拓扑数据分析领域的主导工具，研究选举选区重划。我们的方法结合了地理信息的政治选区规划与选举数据产生的持久性图。然后，我们能够可视化和分析计算机生成的分区计划的类型通常用于现代重新划分研究（和法院的挑战）的大型合奏。我们列出了三个应用程序：在每一个选区的规模划分一个州，比较选举，并寻求gerrymandering的信号。我们的案例研究集中在宾夕法尼亚州和北卡罗来纳州的选区重划，这两个州在过去几年中对已颁布的计划提出了法律挑战，引起了相当大的公众兴趣。为了解决这个问题的持久性图的扰动在投票数据和地区边界的鲁棒性，我们翻译的经典稳定性定理的科恩-施泰纳等人。到我们的设置，并发现它可以措辞的方式，是很容易解释。我们伴随着理论界的实证演示，以说明图在实践中的稳定性。
2020-07-05 math.AT physics.soc-ph
Universality in Random Persistent Homology and Scale-Invariant Functionals
本文证明了随机点过程几何滤过产生的持续图极限分布具有普适性，并提出尺度不变量泛函普适性的通用框架，同时给出随机几何复形中Morse理论的新结果。
2024-08-12 math.AT math.PR
Algebraic Wasserstein distances and stable homological invariants of data
本文基于代数Wasserstein距离引入了持久模间的参数化伪度量，定义了1-Lipschitz稳定的Wasserstein稳定秩不变量，并提出了高效计算这些不变量及其交错距离的算法，展示了其在数据分析中的实用性。
2024-08-22 math.AT
Persistent Homology and String Vacua
我们利用拓扑数据分析的方法研究了弦真空的某些分布的拓扑特征。拓扑数据分析是一种多尺度方法，用于通过识别在长尺度范围内持续存在的同源特征来分析数据集的拓扑特征。我们将这些技术应用于几个方面。我们分析了N=2真空，专注于某些分布的Calabi-Yau品种和Landau-Ginzburg模型。然后，我们转向通量紧化，并讨论如何使用拓扑数据分析来提取物理信息。最后，我们将这些技术应用于某些现象学上现实的杂种优势模型。我们讨论了利用弦真空分布的拓扑性质来刻画弦真空的可能性。
2015-12-03 hep-th math-ph math.AT
Homological Trimming and Regularity of Filtrations via Local Obstruction Modules
Chennai Mathematical Institute（金奈数学研究所）
提出用局部障碍模的同调证书替代链环锥形条件，实现HomTrim预处理，额外移除13%-41%边并加速1.55-4.61倍，同时提供正则性图与多尺度稳定性。
2026-09-24 cs.CG cs.DS math.AT
Central Limit Theorems for Persistent Betti Numbers
Mathematical Science Center for Co-Creative Society, Tohoku University（东北大学共创社会数学科学中心）
本文提出基于同调代数的方法，为泊松和吉布斯点过程构造的链复形推导持久Betti数的中心极限定理，并应用于多种同调情形。
2026-09-09 math.AT math.PR
Persistent Extension and Analogous Bars: Data-Induced Relations Between Persistence Barcodes
本文提出持久延拓和类比条形码两种计算同调代数方法，利用交叉不相似性度量与见证复形建立跨系统持久同调类之间的关系，用于比较样本间拓扑结构并判断聚类与降维是否保持拓扑。
2022-03-01 cs.CG math.AT
Change Action Derivatives in Persistent Homology
本文提出了一种适用于 tame 滤波器的持续图/条形码计算方法，基于有限差分算术的范畴版本。
2025-11-24 math.AT math.CT
On topological data analysis for SHM; an introduction to persistent homology
University of Sheffield（谢菲尔德大学）
本文旨在讨论一种方法，量化的“形状”的数据，通过一种方法称为拓扑数据分析。拓扑数据分析中的主要工具是持久同源性;这是一种从单纯复形的同源性测量数据形状的方法，在值域上计算。所需的背景理论和计算持久同源性的方法在这里，具体的结构健康监测的应用。这些结果允许拓扑推理和推断高维数据中的特征的能力，否则可能会被忽视。一个单纯复形的数据构造一个给定的距离参数。该复合体编码关于数据点的局部接近度的信息。奇异同调值可以从这个单纯复形中计算出来。扩展这一思想，距离参数的值的值域，并在此范围内计算的同源性。持续同源性是数据的同源特征如何在此区间内持续的表示。结果与数据相符。还讨论了一种方法，允许比较不同的数据集的持久性同源性。
2022-09-12 cs.LG cs.MS math.AT
Persistent Local Systems of Periodic Spaces
该研究基于双层与持久局部系统工具，解决了从周期胞腔复形的有限商空间恢复其持久同调的问题，分类了环面与非环面闭链，提出可行的周期空间持久同调框架及多项式时间算法。
2025-05-19 math.AT
Geometric Realizations of Capability Spaces of Large Models and Zigzag Persistent Homology
School of Mathematics and Statistics, Guizhou University（贵州大学数学与统计学院）；Institute of Automation, Chinese Academy of Sciences（中国科学院自动化研究所）；School of Computer Science and Technology, Guizhou University（贵州大学计算机科学与技术学院）
提出用CW复形与锯齿持久同调建模大模型训练中能力变化，证明单胞腔附加仅影响相邻同调类，并区分检查点、过渡与桥敏感类，经多重验证后识别候选能力涌现。
2026-10-06 math.AT
Persistent homology of the sum metric
给定有限度量空间$(X, d_X)$和$(Y, d_Y)$，研究了笛卡尔积$X \times Y$具有和度量$d_X + d_Y$的持久同调$PH_*(X \times Y)$.将持久同调解释为多项式环上的模，人们可能期望通常的Künneth短正合序列成立。我们证明了它适用于$PH_0$和$PH_1$，我们用汉明立方体$\{0,1\}^k$说明，它不适用于$PH_n,\,\, n \geq 2$。对于$n = 2$，从预期的Künneth短精确序列对$PH_2(X \times Y)$的预测具有到$PH_2(X \times Y)$的自然满射。我们计算这个满射的非平凡核的分裂的汉明立方体$\{0,1\}^k = \{0,1\}^{k-1} \times \{0,1\}$。对于所有的$n \geq 0$，预测的$PH_n(X \times Y)$和真正的持久同源性之间的交错距离由$X$和$Y$的直径的最小值限定。作为独立的兴趣的初步结果，我们建立了一个代数Künneth公式的单形模环$κ[\mathbb{R}_+]$的多项式与系数在一个领域$κ$和指数在$\mathbb{R}_+ = [0,\infty)$，以及Künneth公式的持久同源性的$\mathbb{R}_+$ -过滤单形集-这两个Künneth公式举行的所有同调尺寸$n \geq 0$。
2019-10-21 cs.CG math.AT
Computing Optimal Persistent Cycles for Levelset Zigzag on Manifold-like Complexes
针对PL函数诱导的持续同调，提出水平集持续环序列以刻画拓扑特征演化，并给出弱伪流形上计算最优环序列的多项式时间算法，实验证明其质量良好。
2025-02-27 cs.CG math.AT
Characterization of the computed homology and cohomology bases -- technical report
Aix Marseille Univ, CNRS, LIS（艾克斯马赛大学，法国国家科学研究中心，信息系统实验室）
本文提出了一种计算同调基的特征方法，利用同调离散向量场，改进了组合同调理论并提升了同调生成器计算的控制能力。
2025-09-11 cs.CG cs.DM math.AT
Representations of Energy Landscapes by Sublevelset Persistent Homology: An Example With n-Alkanes
对能量景观的复杂特征进行编码是一项具有挑战性的任务，化学家通常会沿着高度简化的空间（即二维或三维）追求最显著的特征（最小值和障碍）。尽管不连通图或合并树通过最低势垒路径总结了能量景观的局部最小值的连通性，但通过考虑不同能量阈值（或子水平集）下每个连通分量的拓扑结构，可以获得更多信息。我们建议sublevelset持续同源性作为一个适当的工具，用于此目的。我们的计算正构烷烃从丁烷到辛烷的配置相空间，让我们推测，然后证明，一个完整的表征sublevelset持久的同源性的烷烃$C_m H_{2m+2}$势能景观，所有$m$，并在所有的同调尺寸。我们进一步比较了解析构型势能景观和分子动力学模拟的采样数据，使用统一的和全原子的分子内相互作用的描述。反过来，这支持应用距离度量来量化采样保真度，并为未来关于量化高维能量景观拓扑特征之间差异的新度量的工作奠定了基础。
2021-03-19 math-ph math.AT math.MP
Matroids and Canonical Forms: Theory and Applications
本文提出了向量空间上幂零算子的组合推广。由此产生的对象是高度自然的，与纯粹数学、工程和科学中的各种领域有着基本的联系。为了论述的目的，我们集中讨论的应用同调代数和计算，在格理论，线性代数，和阿贝尔范畴的额外备注。对于动机，我们回顾，在过去的15年中，代数拓扑的方法在大型，嘈杂的数据体的定性研究中取得了显着的进展。拓扑数据分析[TDA]中的一个主要工具是同源持久性模块，它利用分类结构来比较多个测量尺度上的代数形状描述符。我们的原则应用计算是一种新的算法来计算持久的同源性，在某些情况下，提高了几个数量级的最先进的。包括离散，光谱和代数莫尔斯理论的新成果，并在强地图的拟阵理论。贯穿始终的定义主题是组合理论拟阵和范畴的代数理论之间的相互作用。这些相互作用的性质非常简单，但它们在同调代数、代数理论和组合优化中的结果代表了学科之间相互作用的新的和广泛开放的领域。
2020-04-19 math.AT math.CO math.CT
A fractal dimension for measures via persistent homology
我们使用持久的同源性，以定义一个家庭的分形维数，表示为$\mathrm{dim}_{\mathrm{PH}}^i(μ)$为每个同调维数$i\ge 0$，分配给一个概率测度$μ$的度量空间。$0$ -维同调（$i=0$）的情况与Michael J. Steele（1988）研究随机抽样点上的最小生成树的总长度的工作有关。事实上，如果$μ$是支持在一个紧凑的子集上的欧几里德空间$\mathbb{R}^m$的$m\ge2$，那么斯蒂尔的工作意味着，如果绝对连续部分的$μ$有积极的质量，$\mathrm{dim}_{\mathrm{PH}}^0(μ)=m$，否则$\mathrm{dim}_{\mathrm{PH}}^0(μ)<m$。实验表明，类似的结果可能是正确的高维同源$0<i<m$，虽然这是一个悬而未决的问题。我们的分形维数是通过考虑一个极限来定义的，当点$n$的数量趋于无穷大时，从i.i.d.中的$μ$中选择的$n$随机点的$i$维持久同源区间长度的总和。时尚.对于某些措施$μ,$，我们能够分配一个更精细的不变量，一条曲线测量的限制分布持久的同源区间长度的点的数量趋于无穷大。证明了当$μ$是单位区间上的均匀分布时，在$0$维同调的情形下，该极限曲线存在;并猜想当$μ$是欧氏空间中紧致集的重标度概率测度且Lebesgue测度为正时，该极限曲线存在.
2019-01-30 math.AT math.DS math.PR
The Chordal Distance Transform of Geometric Loops and its Persistent Homology
Cardiff University（卡迪夫大学）；Heilbronn Institute for Mathematical Research（希尔布龙数学研究所）；Center for Systems Biology Dresden（德累斯顿系统生物学中心）；Max Planck Institute of Molecular Cell Biology and Genetics（马克斯·普朗克分子细胞生物学与遗传学研究所）；Max Planck Institute for the Physics of Complex Systems（马克斯·普朗克复杂系统物理研究所）；Department of Statistics, University of Oxford（牛津大学统计系）
本文提出了一种具有等距和参数不变性的嵌入度量，通过莫比乌斯带上的函数表示嵌入圆上的点对距离，分析了弦距离变换的持续同调性质及其在不同嵌入情况下的行为。
2026-03-17 math.AT math.GT
Minimal Cycle Representatives in Persistent Homology using Linear Programming: an Empirical Study with User's Guide
持久同源类的循环代表可以用于提供数据中拓扑特征的描述。然而，这些代表的非唯一性造成了歧义，并可能导致对同一组类的许多不同解释。解决这个问题的一种方法是针对在数据上下文中有意义的一些度量来优化代表的选择。在这项工作中，我们提供了一个研究的有效性和计算成本的几个$\ell_1$ -最小化优化程序构造同调循环基地的持续同调有理系数在一维，包括均匀加权和长度加权的边缘损失算法，以及均匀加权和面积加权三角形损失算法。我们通过标准的线性规划方法进行这些优化，应用通用求解器优化单纯边界矩阵的列基。我们的主要发现是：（i）优化在减小循环代表的大小方面是有效的，（ii）优化循环代表的基的计算成本超过在我们考虑的大多数数据集中计算这样的基的成本，（iii）线性求解器的选择对于优化循环的计算时间很重要，（iv）对于大多数循环代表，使用Guesthouse线性求解器，求解整数规划的计算时间不显著长于求解线性规划的计算时间，（v）引人注目的是，无论是否需要整数解，我们几乎总是得到具有相同成本的解，并且几乎所有找到的解都具有{-1，0，1}中的条目，因此，也是限制性$\ell_0$最优化问题的解，并且（vi）我们得到Erdens-Rényi随机团复形中生成元的定性不同结果。
2021-10-18 cs.CG math.AT stat.ML
A spectral sequence for parallelized persistence
我们采用分而治之的策略来解决大数据集的持久同源性计算问题。将总空间划分为独立但重叠的组件，我们能够限制计算任何部分的总内存驻留，同时不会大大降低整体复杂性。本地计算的持久性信息，然后合并的组件和它们的交集使用频谱序列推广的迈耶-Vietoris长精确序列。我们描述了Mayer-Vietoris谱序列，并给出了如何使用它进行计算的细节，这使得我们能够将局部同调数据合并到全局持久同调中。此外，我们详细介绍了如何经典的拓扑结构中固有的谱序列适应持久性的角度来看，以及描述的技术，从计算交换代数必要的扩展。由此产生的计算方案提出了一个并行化方案，我们讨论了该计划中涉及的通信步骤。此外，计算方案还可以用作边界矩阵操作的哪些部分需要在任何给定时间共存于主存储器中的指南，从而允许单核计算中的分层存储器访问。谱序列的观点也提供了简单的证明，以及一个持续的同源神经引理的同源神经引理。此外，我们开发的代数工具，以接近持久的同源性提供了一个纯粹的代数公式的核，图像和上核持久性（D。Cohen-Steiner，H. Edelsbrunner，J. Harer，and D.莫罗佐夫核、映象和上核的持久同源性。在第二十届年度ACM-SIAM离散算法研讨会论文集，第1011 - 1020页。工业与应用数学学会，2009年。
2011-12-06 cs.CG cs.DC math.AT
Topological simplification guided by forbidden regions
本文提出基于禁止区域和组合动力学的新方法，通过重新排列和消除临界值来简化拓扑结构，保留本质特征。
2026-03-17 math.AT
Algebraic and Topological Persistence
本论文探讨了拓扑空间与持久性理论的基础，利用代数拓扑工具证明切除定理及单纯与奇异同调的等价性，并规范发展了可三角剖分拓扑空间的持久同调与上同调理论。
2024-10-10 math.AT
The Higher-Dimensional Skeletonization Problem
真实数据通常以点云的形式给出，即点之间具有成对距离的点的有限集。一个重要的问题是检测数据的拓扑形状-例如，用一个低维的非线性子空间（如嵌入图或单纯复形）来近似点云。经典的聚类方法和主成分分析工作时，给定的数据点分裂成良好分离的集群或位于附近的线性子空间的欧几里得空间。一般度量空间中的拓扑数据分析方法检测更复杂的模式，例如在与云相关联的1参数形状族中持续很长时间的孔和空隙。这些特征可以以一维同调持久骨架的形式可视化，该骨架将点云的最小生成树最优地扩展为具有圈的图。我们将这个骨架推广到更高的维度，并证明其最优性之间的所有复杂的，保持在任何规模的数据的拓扑特征。
2017-10-10 math.AT
A Subsequence Approach to Topological Data Analysis for Irregularly-Spaced Time Series
本文提出一种面向不规则间隔时间序列的子序列嵌入方法，结合时间延迟嵌入与拓扑数据分析，在保持原始状态空间拓扑的同时减少虚假同调特征，并通过理论分析和数值实验验证其稳定性与有效性。
2024-10-17 cs.CG math.AT stat.ME
New aspects of quantum topological data analysis: Betti number estimation, and testing and tracking of homology and cohomology classes
C. N. Yang Institute for Theoretical Physics, State University of New York at Stony Brook（纽约州立大学石溪分校杨振宁理论物理研究所）
本文提出新的量子算法用于估计 simplicial 复形的同调不变量，包括Betti数和持久Betti数，并展示了在稀疏和密集情形下多项对数复杂度的优势，同时引入基于同调跟踪和性质测试的新方法，实现指数级量子加速。
2026-04-27 cs.CC cs.CG cs.DS
Non-negative Matrix Factorisation with Topological Regularisation
Recursive Inc.（Recursive公司）；Graduate School of Science, Kyoto University（京都大学理学研究科）；Institute of Mathematics for Industry, Kyushu University（九州大学数理学研究院）
提出通过持久同调作为拓扑正则化项融入非负矩阵分解目标函数，以学习具有空间连贯性、周期结构或团状图信号的可解释基函数。
2026-09-30 cs.CG cs.LG math.AT
Stochastic Homology of Gaussian vs. non-Gaussian Random Fields: Graphs towards Betti Numbers and Persistence Diagrams
随机场的拓扑和几何--欧拉特征和闵可夫斯基泛函--在宇宙微波背景（CMB）的背景下受到了很多关注，因为原始非高斯性的检测将形成早期宇宙物理学的有价值的线索。欧拉特征线和Minkowski泛函的优点在于，对于高斯随机场，它们的期望值都存在封闭形式的表达式。而Euler特征线和Minkowski泛函则是拓扑学和几何学特征的总结。随机场的同调包含了相当多的拓扑信息，因为它完整地描述了超水平集过滤中拓扑特征的产生、合并和消失。在本研究中，我们扩展了二维高斯随机场的超水平集过滤的拓扑分析，通过分析统计特性的贝蒂数-计数的连接组件和循环的数量-和持久性图-描述创建和合并的同调功能。使用同源性和临界点的功能之间的联系-所示的莫尔斯-Smale复杂-我们推导出一个参数拟合公式的期望值的贝蒂数，并将这种形式主义的持久图。此外，我们用数值方法证明了Betti数和持久性图对非高斯性存在的敏感性。
2019-08-05 astro-ph.CO math.AT
MaxTDA: Robust Statistical Inference for Maximal Persistence in Topological Data Analysis
针对拓扑数据分析中稳健方法易削弱真实拓扑信号的问题，提出MaxTDA统计框架，结合核密度估计与拒绝采样生成最大持久性特征的一致估计量，在保持抗噪性的同时实现统计推断。
2025-04-04 math.AT stat.CO stat.ME
Flagifying the Dowker Complex
本文提出 Dowker 复形的旗化版本 Dowker-Rips 复形，以降低拓扑数据分析的计算成本，证明其在 0、1 维同调上保持弱化对偶性并推广到持续同调，且在肿瘤微环境分类中实现加速而不损失性能。
2025-08-19 cs.CG math.AT
