Homotopy Reconstruction via the Cech Complex and the Vietoris-Rips Complex
我们推导出的条件下，目标空间的重建是拓扑正确的，通过的Čech复杂或Vietoris-Rips复杂的从可能有噪声的点云数据。我们提供了两个新的理论结果。首先，我们描述了充分条件，在此条件下，任何非空交的n个欧几里德球n与一个积极的可达集是可收缩的，使神经定理适用于限制的捷克复形。其次，我们证明了一个积极的$μ$ -到达集和它的偏移同伦等价。将这些结果应用于限制的Čech复形，并利用与Čech复形（或Vietoris-Rips复形）的交织关系，我们用$μ$ -范围来表示保证目标空间同伦等价于Čech复形（或Vietoris-Rips复形）的条件。我们的研究结果强化了现有的结果。
2020-05-12 cs.CG math.AT
Dowker Duality for Relations of Categories
我们提出了一个分类的Dowker对偶定理的关系。道克定理指出集合$X$和$Y$的关系$R \subseteq X \times Y$的道克复形同伦等价于转置关系$R^T \subseteq Y \times X$的道克复形。给定小范畴$\mathcal{C}$和$\mathcal{D}$的关系$R$，即$R \colon \mathcal{R} \to \mathcal{C} \times \mathcal{D}$形式的函子，我们定义了双单纯矩形神经$ER$和Dowker神经$DR$ .双单纯集$ER$的对角$d(ER)$通过自然投影$d(π_R) \colon d(ER) \to DR$映射到单纯集$DR$。我们引入了一个标准的关系的类别，确保从对角线的双单纯矩形神经的Dowker神经的投影是一个弱等价。满足这个条件的关系称为Dowker关系。若范畴的关系$R$及其转置关系$R^T$都是Dowker关系，则Dowker神经$DR$和$DR^T$是弱等价单纯集.为了证明我们的分类所引入的抽象，我们给出两个应用。第一个应用是证明Quillen定理A可以被认为是Dowker对偶的一个例子。在第二个应用程序中，我们考虑了一个单纯复$K$与顶点集$V$和表明，几何实现的$K$自然同伦等价的几何实现的单纯集的一组$n$ -单纯的功能$\{0,1,\dots,n\}\to V$，其图像是一个单…
2023-03-28 math.AT
The Degree-Rips Complexes of an Annulus with Outliers
度-Rips双过滤是拓扑数据分析中最易计算的无参数、密度敏感的双过滤。众所周知，这种结构对输入数据的小扰动是稳定的，但其对离群值的鲁棒性还没有得到很好的理解。在最近的工作中，Blumberg-Lesnick使用Prokhorov距离和同伦交织证明了这个方向的结果。基于实验评估，他们认为，一个更精致的方法是可取的，并建议同源推理的框架。受这些实验的启发，我们考虑了一个概率测度，它在环上具有高密度，在环内的圆盘上具有低密度。我们使用Adamaszek-Adams计算圆的Vietoris-Rips复形，计算这个概率空间的度-Rips复形直到同伦类型。这些度-Rips复合体是Blumberg-Lesnick实验的极限对象。我们认为，在这种情况下，同调推理的方法具有很强的解释力，并建议研究的极限对象直接作为进一步工作的策略。
2022-03-16 cs.CG math.AT
The bifiltration of a relation and extended Dowker duality
本文提出一种将两个可复合关系的同伦信息组织为两个单纯范畴的方法，证明其弱等价性以扩展Dowker对偶定理，并引入整合行与列权重的双过滤构造，适用于数据分析中的同时研究矩阵行与列的需求。
2023-10-17 math.AT
Short, new proofs of Dowker duality
Wesleyan University（卫斯理安大学）；Swarthmore College（斯沃斯莫尔学院）
本文通过三种简短新方法证明Dowker对偶性，引入了关系连接和关系积复形，展示了 simplicial 复形与关系复形的同调在长正合列中相互关联。
2026-04-25 math.AT math.CO math.CT
SimBa: An Efficient Tool for Approximating Rips-filtration Persistence via Simplicial Batch-collapse
在拓扑数据分析中，从度量空间提取的点云数据P通常通过计算在由尺度参数索引的$P$上构建的RIP复合体序列的持久性图或条形码来分析。不幸的是，即使对于中等大小的输入，随着尺度参数的增加，Rips复合体的大小也可能变得过大。从Sheehy引入的稀疏裂缝过滤开始，一些现有的方法旨在减少复杂的大小，从而提高时间效率。然而，正如我们所证明的，现有的方法仍然达不到很好的扩展性，特别是对于高维数据。在本文中，我们调查现有方法的优点和局限性。基于从实验中获得的见解，我们提出了一个有效的新算法，称为SimBa，近似持久的同源性的RIP过滤质量保证。我们的新算法利用了一个批量折叠策略以及一个新的稀疏Rips过滤。我们实验各种低维和高维数据集。我们表明，我们的策略提出了一个显着的尺寸减小，我们的算法近似撕裂过滤持久性是数量级的速度比现有的方法在实践中。
2016-09-23 cs.CG math.AT
Improved Approximate Rips Filtrations with Shifted Integer Lattices and Cubical Complexes
Rip复形是分析度量空间拓扑特征的重要结构。不幸的是，产生这些复合物是昂贵的，因为在复杂的大小组合爆炸。对于$\mathbb{R}^d$中的$n$点，我们给出了一个构造$L_\infty$ -范数下的Rips复形的过滤的$2$ -逼近的方案，它扩展到了欧几里德情形下的$2d^{0.25}$ -逼近.结果近似的$k$ -骨架的总大小为$n2^{O(d\log k +d)}$。该方案是基于整数格和单纯复形的基础上的重心细分的$d$ -立方体。我们扩展我们的结果，使用三次复形的单纯复形的地方，通过引入立体复形之间的映射。我们得到与单纯情形相同的近似保证，同时将近似的总大小减小到仅$n2^{O(d)}$（立方体）单元。我们在本文中使用了两种新技术。第一个是使用非循环载波来证明我们的近似结果。在我们的应用程序中，这些映射以相对简单的方式将Rip复形和近似联系起来，并大大降低了显示近似保证的复杂性。第二种技术是我们所说的尺度平衡，这是一种在某些条件下提高近似比的简单技巧。
2021-05-11 cs.CG math.AT
Parameterized Vietoris-Rips Filtrations via Covers
计算拓扑学中的一个挑战是处理从点云数据构建的大型过滤几何复合体，例如Vietoris-Rips过滤。这导致了发展计划的并行计算和压缩限制单形躺在开集的覆盖的数据。我们扩展的方法，非循环载体的设置持久的同源性，给详细的界限之间的关系Vietoris-Rips过滤限制覆盖和完整的建设。我们展示了如何使用这些复杂的底空间研究数据，并使用我们的结果来指导数据的覆盖选择。我们证明了这些技术的各种封面，并显示这种建设的效用，在调查高阶的高维图像补丁模型的同源性。
2022-05-03 cs.CG math.AT
The Rectangle Complex of a Relation
我们构造了一个单纯复形，即关系R的矩形复形，并证明了它同伦等价于关系R的Dowker复形。这导致在拓扑数据分析中使用的Dowker定理的函子版本的一个简短的和概念性的证明。
2022-09-28 math.AT
On $\ell_p$-Vietoris-Rips complexes
Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications (BIMSA)（北京数学科学与工程研究院）
本文研究度量空间的$\ell_p$-Vietoris-Rips单纯集与复形，统一经典Vietoris-Rips复形、模糊幅值同调两类理论，证明了持续同调稳定性、小尺度下同伦等价于紧黎曼流形等系列推广结论。
2025-02-27 cs.CG math.AT math.MG
Sparse Nerves in Practice
拓扑数据分析将机器学习与代数拓扑方法相结合。持续同源性，一种方法来描述发生在多个尺度的数据的拓扑特征是特别感兴趣的。持久同源性广泛应用的一个主要障碍是它的计算复杂性。为了能够计算大型数据集的持久同源性，可以应用许多近似以降低其复杂性。我们提出的算法计算近似稀疏神经类Dowker相异，包括所有有限Dowker相异和Dowker相异的同源性是切赫持续同源性。我们所知道的所有其他稀疏化方法和软件包都使用加法或乘法交织来计算持久同源性。在dowker_homology中，我们允许任何非减交织函数$α$。我们分析了这些算法的计算复杂性，并给出了一些基准测试。对于大于3维的欧几里得数据，我们创建的单纯复形的大小通常比SimBa创建的小小于。特别是当在更高的同源性维度中计算持久同源性时，差异可能变得很大。
2019-04-23 math.AT
Homotopical decompositions of simplicial and Vietoris Rips complexes
受拓扑数据分析中应用的启发，我们考虑了由其顶点的覆盖引起的单纯复形的分解。我们研究如何同伦类型的这种分解近似同伦的单纯复形本身。单纯复形与这种近似之间的差异通过所谓的阻塞复形定量地测量。我们的通用机械则专门用于度量胶合的集团复合物、Vietoris-Rips复合物和Vietoris-Rips复合物。对于后者，我们给出度量条件，允许恢复的第一和第零同源的胶合从各自的同源性的组件。
2020-02-09 math.AT
Vietoris--Rips Shadow for Euclidean Graph Reconstruction
Tulane University（杜兰大学）；George Washington University（乔治华盛顿大学）；Montana Technological University（蒙大拿理工大学）
本文研究在路径度量下，通过 Vietoris–Rips 复形的阴影投影从 Hausdorff 接近的采样点恢复欧几里得图的同伦型和几何嵌入，并给出参数选择定量界。
2026-05-26 cs.CG math.AT
The Vietoris-Rips complexes of a circle
给定一个度量空间X和一个距离阈值r>0，Vietoris-Rips单纯复形有X的直径小于r的有限子集作为它的单纯形。Jean-Claude Hausmann的一个定理指出，如果X是一个黎曼流形且r足够小，则Vietoris-Rips复形同伦等价于原始流形。关于Vietoris-Rips复合物在较大r值下的行为知之甚少，即使这些复合物在使用持久同源性的应用中自然出现。我们证明了随着r的增加，圆的Vietoris-Rips复形得到圆的同伦类型，3-球面，5-球面，7-球面，...，直到最后它可以收缩。作为我们的主要工具，我们引入了一个有向图不变量，缠绕分数，这在某种意义上是对偶的循环色数。使用缠绕分数，我们分类的同伦类型的Vietoris-Rips复杂的任意（可能是无限的）子集的圆，我们研究的预期同伦类型的Vietoris-Rips复杂的均匀随机样本从圆。此外，我们还证明了随着距离参数的增加，圆的环境Cech复形也得到了圆的同伦类型，3-球面，5-球面，7-球面，.直到最后它可以收缩。
2017-02-05 cs.CG math.AT math.CO
The Topological Structures of the Orders of Hypergraphs
该研究从范畴论角度探索并完成了二元关系的三个基本视角（超图关联矩阵、概念格形式背景、单纯复形上的拓扑余层）之间的关系映射，提出整合性函子框架并给出三个新结果，通过例子说明概念及与以往结果的联系。
2025-04-18 math.AT math.CO math.CT
On Vietoris--Rips complexes of hypercube graphs
本文描述了超立方体图的Vietoris-Rips复形在小尺度参数下的同伦类型。更详细地，令$Q_n$是具有$2^n$顶点的超立方体图的顶点集，配备有最短路径度量。等价地，$Q_n$是长度为$n$的所有二进制字符串的集合，配备了汉明距离。$Q_n$在尺度参数为0时的Vietoris-Rips复形是$2^n$点，尺度参数为1时的$Q_n$的Vietoris-Rips复形是超立方体图，它同伦等价于一个楔形圆和.证明了$Q_n$的Vietoris-Rips复形在尺度参数为2时同伦等价于3-球的楔形和，并给出了3-球个数的计算公式.关于$Q_n$在较大尺度参数下的Vietoris-Rips复合体的许多问题仍然是开放的。
2021-10-19 math.AT math.CO
On homotopy types of Euclidean Rips complexes
度量空间中一组点X的尺度为r的Rips复形是抽象的单纯复形，其面由X的有限个直径小于r的子集确定。我们证明了，对于欧氏空间R^3中的X，从X的Rips复形到它在R^3中的阴影的自然投影映射诱导在基本群上的满射。这部分回答了钱伯斯、德·席尔瓦、埃里克森和格里斯特提出的一个问题，他们研究了R^2的子集的这种投影。我们进一步证明了R^n的有限子集的Rips复形是普适的，因为它们模拟了所有PL-可嵌入R^n的单纯复形的同伦类型。作为一个应用，我们得到了任意R^4的有限子集的Rips复形的基本群。我们进一步证明了如果R^2中一个有限点集的Rips复形是一个维数至少为2的正规伪流形，那么它一定是一个交叉多面体的边界。
2016-02-12 math.AT math.MG
Rips Complexes of Planar Point Sets
在欧几里得$n$ -空间$\euc^n$中固定一组有限的点，可以认为是某个域$D\subset\euc^n$的点云采样。Rips复形是一种基于近邻的组合单纯复形，它是一种易于计算但高维的$D$同伦类型的近似。有一个自然的"阴影“投影映射从裂缝复杂的$\euc^n$，其图像有一个更准确的$n$维近似同伦类型的$D$。我们证明了这个投影映射是1-连通的平面情况下$n=2$。也就是说，对于平面域，Rips复合体准确地捕获连接性和基本群数据。这意味着一个平点集的Rips复形的基本群是一个自由群。我们表明，相比之下，引入即使是少量的不确定性，邻近检测导致“准”-里普斯复合物几乎任意基本群。这种拓扑噪声可以通过检查一对准撕裂复合体和使用持久拓扑的想法来减轻。最后，我们表明，投影映射不保留平面集的高阶拓扑数据，也不保留大于3维的点集的基本群数据。
2007-12-03 math.AT math.GT
Statistical detection of format dialects using the weighted Dowker complex
本文提供了一个实验验证，概率模型的文件行为时，消费的一组预先存在的解析器。文件行为是通过读取文件时产生的一组标准化的布尔“消息”来衡量的。通过阈值的后验概率，表现出一组特定的消息的文件是从一个特定的方言，我们的模型产生了一个实用的分类算法为两种方言。我们证明，这两种方言的阈值算法可以从主要由一种方言组成的训练集引导。一种方言的文件行为的（参数）理论和（非参数）经验分布都产生良好的分类性能，并且优于基于简单计数消息的分类。我们的理论框架依赖于每种方言中消息的统计独立性。违反这一假设是可检测的，并允许格式分析师识别方言之间的“边界”。因此，格式分析师可以大大减少他们在制定方言检测的新标准时需要考虑的文件数量，因为他们只需要考虑显示模糊消息模式的文件。
2022-01-20 cs.CE math.AT
Graph Induced Complex on Point Data
从点数据中提取拓扑信息的效率在很大程度上取决于建立在数据点之上的复合体。从计算的角度来看，最受欢迎的复合物是Vietoris-Rip和见证复合物。虽然Vietoris-Rips复形计算简单，并且是提取采样空间拓扑的良好工具，但它的大小很大-特别是在高维中。另一方面，见证复合体由于二次采样而具有较小的尺寸，但除非施加额外的结构，否则无法捕获高维的拓扑。我们研究一个复杂的称为{ \em图诱导复杂}，在某种程度上，享有两者的优点。它可以在子样本上工作，但仍然保留了捕获拓扑结构作为Vietoris-Rips复合体的能力。它只需要一个连接原始样本点的图，从该图中可以在子样本上构建一个复合体，从而大大降低了大小。证明了利用图诱导复形可以（i）从一个非常稀疏的子样本中推断出流形的一维同调，（ii）从一个稀疏的子样本中重建一个三维曲面而不需要计算德洛内三角剖分，（iii）从一个足够稠密的样本中推断出紧致集的持久同调群.我们提供了实验证据来支持我们的理论。
2013-04-02 cs.CG math.AT
Persistent Homology via Ellipsoids
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；MIT（麻省理工学院）；University of Fribourg（弗里堡大学）
本文提出了一种基于椭球体的Rips型复形，用于改进拓扑数据分析中的持久同调计算，通过主成分分析估计切线空间并验证其在分类任务中的优越性。
2026-01-15 cs.LG math.AT
Reduction of Simplicial Complex by Relation and Dowker Complex
本文提出一种通过添加虚拟顶点构造单纯锥并利用关系与 Dowker 复形进行强坍缩的单纯复形约化方法，保持同伦等价，并给出算法及实验验证其效率。
2024-01-16 math.AT math.CO
Polynomial-Sized Topological Approximations Using The Permutahedron
经典的方法来建模点云的拓扑特性，如Vietoris-Rips复杂，遭受复杂的大小组合爆炸。我们提出了一种新的技术，以近似的多尺度过滤的RIP复杂的改进边界的大小：准确地说，$\mathbb{R}^d$中的$n$点，我们得到一个$O(d)$近似与最多$n2^{O(d \log k)}$的尺寸$k$或更低的简单。结合降维技术，我们的方法产生一个$O(\mathrm{polylog} (n))$ -近似的大小$n^{O(1)}$的RIP过滤任意度量空间。这一结果源于高维晶格几何和利用性质的permutahedral晶格，一个良好的研究结构在离散几何。建立在相同的几何概念，我们也提出了一个下界结果的大小近似过滤：我们构建了一个点集，每个$(1+ε)$ -近似的Čech过滤包含$n^{Ω(\log\log n)}$功能，只要$ε<\frac{1}{\log^{1+c} n}$为$c\in(0,1)$。
2016-04-01 cs.CG math.AT
On the Classification of Planar-Rips complexes and their corresponding unit disk graphs
本文对可实现为平面点集Vietoris-Rips复形的伪流形与弱伪流形进行单纯同构分类，并同伦分类二维纯闭平面Rips复形，进而刻画一类所有极大团基数相同的单位圆盘图。
2025-08-22 math.AT math.CO math.GT
Facets in the Vietoris--Rips complexes of hypercubes
论文利用 Hadamard 矩阵研究超立方体 Vietoris–Rips 复形中与维数无关的面，证明其维数种类随尺度超多项式增长，并导出高阶同调非平凡。
2024-08-05 math.AT
Vietoris-Rips Metric Thickenings of the Circle
Vietoris-Rips度量加厚以前被提出作为理解Vietoris-Rips单纯复形及其持久同源性的替代方法。最近的工作表明，对于完全有界的度量空间，Vietoris-Rips度量加厚具有与Vietoris-Rips单纯复形一致的持久同源条形码，忽略条的端点是开的还是闭的。结合已知的圆的Vietoris-Rips单纯复形的同伦类型和条码，可以导出圆的Vietoris-Rips度量加厚的条码，并对它们的同伦类型进行了说明.我们确认这些结构是正确的，证明了Vietoris-Rips度量加厚的圆同伦等价于奇数维球体在预期的尺度参数。我们的方法是找到度量增厚的同伦型的等价物，并证明了商空间可以被描述为CW复形。商映射相对于尺度参数也是自然的，因此提供了度量加厚的持久同调性的直接证明。
2022-06-07 math.AT math.GT math.MG
Approximate Cech Complexes in Low and High Dimensions
切赫复形揭示了关于任意维度上一定尺度的点集的有价值的拓扑信息，但这些复形的庞大规模限制了它们的实际影响。虽然最近的工作介绍了过滤（Vietoris-）Rips复合物，一个粗糙的版本的Čech复合物的近似技术，我们提出的近似直接的Čech过滤。对于固定维点集$S$，我们给出了$S$的Čech滤子的一个近似，它是由一列大小与点数成线性关系的复形构成的.我们将良好分离对分解（WSPD）推广到良好分离单纯分解（WSSD），其中定义在$S$上的每个单纯形都被WSSD的某个元素覆盖。我们给出了一个有效的算法来计算一个线性大小的WSSD在固定的维空间。利用WSSD，我们提出了一个线性尺寸的近似过滤的$S$的Čech复合物。我们还提出了一个推广的已知事实，即里普斯复杂的近似的Čech复杂的一个因素的$\sqrt{2}$。我们定义了一类复合物，插值之间的Čech和RIP复合物，并给予任何参数$\eps > 0$，近似的Čech复合物的一个因素$(1+\eps)$。我们的复形可以用大致的$O(n^{\lceil 1/2\eps\rceil})$单纯形来表示，而对点集的环境维数没有任何隐藏的依赖性。我们的结果是基于一个有趣的联系之间的Čech复杂和coresets的最小封闭球的高维点集。作为我们的分析的结果，我们改进的边界coresets近似的最小封闭球的半径。
2013-07-11 cs.CG math.AT
On the Connectivity of the Vietoris-Rips Complex of a Hypercube Graph
本文利用独立复形和全控制集技术，为任意 n 维超立方体图的 Vietoris-Rips 复形在所有尺度参数下建立连通性下界，并反驳了 Shukla 的 r 连通猜想。
2023-11-10 math.AT math.CO
Vietoris thickenings and complexes are weakly homotopy equivalent
本文解决了 Vietoris--Rips 复形与其度量加厚之间同伦类型的关系问题，证明了对于任意度量空间 $X$ 和阈值 $r>0$，两者间的自然双射构成弱同伦等价。
2023-09-12 math.AT math.GN math.MG
Vietoris--Rips complexes of ellipses at larger scales
本文研究较大尺度下椭圆的Vietoris--Rips复形同伦型，确定了作为偏心率$a$函数的尺度参数$r$，此时该复形同伦等价于3-球面、4-球面的楔和或5-球面。
2025-11-12 math.AT math.MG
Homology of Vietoris-Rips complexes of hypercube graphs via group actions
Cleveland State University（克利夫兰州立大学）；Arizona State University（亚利桑那州立大学）
利用超八面体群作用，完全描述了超立方体图在 Hamming 距离下 Vietoris-Rips 复形在尺度 r≤3 和 r=n-1 时的同调群分解为不可约表示。
2026-06-23 math.AC math.AT math.CO
A New Construction of the Vietoris-Rips Complex
本文利用$k$-骨架的组合结构提出归纳式Vietoris-Rips复形构造算法，减少单形识别中的比较，在稀疏Erdős-Rényi图和高维复形上较GUDHI v3.9.0实现5–10倍加速。
2024-06-18 cs.CG cs.DS math.AT
Cohomological properties of the Vietoris--Rips Complex of a Hypercube Graph
Hunter College, CUNY（亨特学院，纽约市立大学）；University of Southampton（南安普顿大学）
本文通过托利拓学框架研究超立方体图的维蒂里斯-里斯复形的上同调性质，利用总支配不变量和谱方法建立连通性的下界，推翻Shukla猜想并获得全局上界，引入鬼顶点工具检测和证明上同调类的线性无关性。
2026-07-20 math.AT math.CO
Stability and Machine Learning Applications of Persistent Homology Using the Delaunay-Rips Complex
在本文中，我们定义，实现，并调查单纯复杂的结构计算持久的同源性的欧几里得点云数据，我们称之为Delaunay-Rips复杂（DR）。通过将Vietoris-Rips权重转换为单纯形，DR通过仅考虑出现在点云的Delaunay三角剖分中的单纯形来体验持久性计算中的加速。我们的文档和比较的Python实现的DR与其他单纯复杂的结构生成持久性图。通过对点云数据施加充分条件，我们能够从理论上证明使用DR产生的持久性图的稳定性。当点云的Delaunay三角剖分在点的扰动下发生变化时，我们证明DR产生的持久性图表现出不稳定性。由于我们不能保证真实世界的数据将满足我们的稳定性条件，我们证明了持久同源性的DR的实际鲁棒性相比，其他单纯复杂的机器学习应用程序。我们发现，在我们的实验中，使用DR的ML-TDA管道执行比较好，使用其他单纯复杂的结构。
2023-03-02 math.AT stat.CO stat.ML
Asymmetrically Weighted Dowker Persistence and Applications in Dynamical Systems
University of Vermont（佛蒙特大学）；Warren Wilson College（沃伦威尔逊学院）；Michigan State University（密歇根州立大学）；California State University, Fullerton（加州州立大学富勒顿分校）；University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）
本文提出非对称加权Dowker持续性框架，用于区分高维动力系统中的周期与非周期循环，通过构建加权有向网络并分析持续性，增强对动态结构的敏感性。
2026-04-13 math.AT math.CO math.DS
Contractibility of the Rips complexes of Integer lattices via local domination
本文引入局部受支配顶点与局部压碎条件，证明整数格在大尺度下的 Rips 复形可缩，并验证低维最优界。
2025-07-26 math.AT math.CO math.MG
The connectivity of Vietoris-Rips complexes of spheres
本文综述球面 Vietoris-Rips 复形及其加厚的已知与未知，并利用球面与射影空间的覆盖关系，控制其同伦连通性，揭示了随尺度增加其同伦型发生无限次变化。
2024-08-27 math.AT math.MG
The Geometry of Cochains on Sampled Vietoris-Rips Complexes
University of Edinburgh（爱丁堡大学）；Max Planck Institute of Molecular Cell Biology and Genetics（马克斯·普朗克分子细胞生物学与遗传学研究所）；Center for Systems Biology（系统生物学中心）；Technische Universitat Dresden（德累斯顿工业大学）
该研究针对紧嵌入流形的独立同分布样本构建的 Vietoris-Rips 复形，定义上同调映射与核加权内积，证明相关量的收敛性并得到离散 Hodge 拉普拉斯算子谱上界等结果。
2026-08-13 math.AT math.DG math.ST
Topological Data Analysis with Bregman Divergences
给定度量空间中的有限集，拓扑分析使用1-参数族的同调群来量化所有维度中的连通性，从而将层次聚类推广。连接性由持久性图来描述。当前框架的一个局限性是依赖于度量距离，而在许多实际应用中，对象是通过非度量相异性度量进行比较的。例如Kullback-Leibler分歧，通常用于比较文本和图像，以及Itakura-Saito分歧，流行于语音和声音。这是布雷格曼分歧的两个成员。我们表明，拓扑数据分析的框架可以扩展到一般的Bregman分歧，拓宽了可能的应用范围。特别是，我们证明了适当的广义切赫和Delaunay（α）复合捕捉正确的同伦类型，即相应的联盟的Bregman球。因此，他们的过滤给出了正确的持久性图，即由均匀增长的Bregman球产生的持久性图。此外，我们表明，与度量设置，过滤的Vietoris-Rips复杂的可能无法近似持久性图。我们提出了算法来计算因此广义的切赫，Vietoris-Rips和Delaunay复合物和实验测试其效率。最后，我们解释了他们令人惊讶的良好表现，使离散莫尔斯理论的连接。
2016-07-21 cs.CG math.AT
On Vietoris--Rips complexes (with scale 3) of hypercube graphs
本文研究超立方体图的 Vietoris-Rips 复形，证明其非平凡约化同调仅出现在维度 4 和 7，并确定尺度 2 和 3 时的可坍缩数为 2^r，回答了 Adamaszek 与 Adams 的开放问题。
2023-05-15 math.AT math.CO
The Shadow of Vietoris--Rips Complexes in Limits
本文研究了Vietoris-Rips复形影子在极限下的同伦性质，利用逆系统技术证明极限映射在同伦理论中表现良好，为有限重建问题提供理论支持。
2026-01-04 math.AT math.GT
Vietoris-Rips complexes of torus grids
该研究探讨环面网格Vietoris-Rips复形的拓扑，给出不同尺度下的同伦等价结果，证明多组特例并提出关于3维球面同伦等价的猜想且验证一例。
2025-08-03 math.AT math.CO
The Dual Degree Cech Bifiltration
本文提出双重 Degree Cech 双过滤，一种度量空间点云的 Prohorov 稳定双复形，证明其与 Measure Dowker 双过滤同伦等价，并利用环境与内蕴构造的交织关系获得稳定性结果。
2024-11-19 math.AT
The rational homology of independence complexes of Kneser graphs on triples
Auburn University（奥本大学）
该研究针对三元组上的Kneser图独立复形，在有理数域上肯定回答了Feng和Wang提出的同调非平凡维度问题，确定了其非零Betti数，通过多种同调工具完成了证明。
2026-10-14 math.AT math.CO
Operations on Metric Thickenings
许多在实践中出现的单纯复形在顶点集上有一个相关的度量空间结构，但在复形上没有，例如应用拓扑学中的Vietoris-Rips复形。我们正式的补救措施，通过引入一类单纯度量加厚的对象有一个自然的实现为度量空间。这个范畴的性质使我们能够证明，对于包括Vietoris-Rips和Cech增厚在内的一大类增厚，度量增厚的乘积同伦等价于积空间的度量增厚，对于楔形和也是如此.
2021-01-26 math.AT math.CT math.MG
On the Vietoris-Rips Complexes of Integer Lattices
本文研究整数格上 Vietoris-Rips 复形的可缩性，证明了 Zaremsky 猜想在 n≤5 时成立，并确定了 r=2 时复形的同伦型。
2025-11-06 math.AT math.CO math.GT
Topological Data Analysis with $ε$-net Induced Lazy Witness Complex
拓扑数据分析通过构造和研究底层拓扑结构的简单表示来计算和分析点云的拓扑特征。拓扑数据分析最初取得成功之后的热情被构造这种单纯表示的计算成本所抑制。惰性见证复合体是点云的底层拓扑结构的计算上可行的近似。它是内置的参考点的一个子集，称为地标，而不是考虑所有的点，因为在捷克和Vietoris-Rips复合体。界标的选择和数量决定了近似的有效性和效率。我们采用$ε$ -覆盖的概念来定义$ε$ -网。我们证明了$ε$ -网作为地标的选择是点云的$ε$ -近似表示，而诱导的惰性见证复形是诱导的Vietoris-Rips复形的$3$ -近似.此外，我们提出了三个算法来构建$ε$ -net地标。我们建立了这些算法与现有的地标选择算法的关系。我们从经验上验证了我们的理论主张。我们的经验和比较评估的有效性，效率和稳定性的合成和真实的数据集上提出的算法。
2019-06-19 cs.CG math.AT math.ST
Demystifying Latschev's Theorem: Manifold Reconstruction from Noisy Data
本文证明了Latschev定理的一个更强且实用的版本，利用截面曲率和凸性半径作为采样参数，定量解决了从噪声数据重构黎曼流形和欧氏子流形的拓扑忠实性问题。
2024-03-22 math.AT math.MG
Metric thickenings of Euclidean submanifolds
给定一个样本$Y$，它来自一个嵌入在欧氏空间中的未知流形$X$，可以通过在顶点集$Y$上构造一个Vietoris-Rips或Čech单纯复形来恢复$X$的同调群.然而，这些单纯复形不需要继承流形的度量结构，特别是当$Y$是无限的时候。事实上，如果一个单纯复形不是局部有限的，它甚至不是可度量化的。相反，我们考虑度量加厚，称为\emph{Vietoris--Rips}和\emph{Čech thickenings}，这是配备了1-Wasserstein度量的地方的单纯复形拓扑。我们表明，欧几里德子集$X$与积极的影响，增厚满足度量类似的豪斯曼定理和神经引理（度量Vietoris-撕裂和Čech增厚$X$同伦等价于$X$的尺度参数小于达到）。据我们所知，这是第一个版本的豪斯曼定理欧几里德子流形（而不是黎曼流形），我们的结果也延伸到非流形形状（因为不是所有的集的积极达到流形）。与Hausmann的原证明相反，我们的同伦等价是一个形变收缩，是由两个方向上的正则映射实现的，而且可以通过从映射组合到相应的恒等映射的简单线性同伦证明是一个同伦等价.
2018-04-02 math.AT math.GT math.MG
Metric reconstruction via optimal transport
给定度量空间$M$和尺度$r>0$中的点$X$的样本，Vietoris-Rips单纯复形$\mathrm{VR}(X;r)$是试图从$X$恢复$M$直到同伦类型的标准构造。该方法的缺陷在于，如果$\mathrm{VR}(X;r)$不是局部有限的，则它是不可度量的，并且因此不能恢复关于$M$的度量信息。我们试图通过定义一个度量空间增厚的$X$，我们称之为\emph{Vietoris-Rips thickening} $\mathrm{VR}^m(X;r)$，通过最优输运的理论来弥补这一缺点。当$M$是一个完整的黎曼流形，或者是一个紧凑的Hadamard空间，我们证明了Vietoris-Rips增厚满足Hausmann定理（$\mathrm{VR}^m(M;r)\simeq M$ $r$足够小）与一个更简单的证明：同伦等价$\mathrm{VR}^m(M;r)\to M$是规范定义为质心映射，其同伦逆是（现在连续的）包含映射$M\hookrightarrow\mathrm{VR}^m(M;r)$。此外，我们描述了同伦类型的Vietoris-Rips增厚的$n$ -球在第一个正的尺度参数$r$同伦类型的变化。
2018-08-16 math.AT math.GT math.MG
Quantales, persistence, and magnitude homology
我们构建了一个神经函子参数化的Quantale的选择，表现出的Vietoris-Rips复杂的和幅度神经的实例，这种神经的monoidal结构$\mathbb{R}$的不同选择。此外，持续同源性如何处理Vietoris-Rips复合体和幅度同源性如何处理幅度神经之间的差异被视为是否在精确意义上沿着$\mathbb{R}$“定位”相应神经的选择。最后，我们提到一些面向应用的意见，自然建议上述观点。
2020-03-09 math.AT math.CT math.MG
Approximating persistent homology for a cloud of $n$ points in a subquadratic time
$n$ -点度量空间的Vietoris-Rips滤子是一个大单纯复形序列，它在不连通的空间上增加了一个拓扑结构。持续同源性是拓扑数据分析的重要工具，它研究在多尺度上持续存在的数据的拓扑特征。计算滤子的持久同调的最快算法有时间$O(M(u)+u^2\log^2 u)$，其中$u$是更新（单形的添加或删除）的数量，$M(u)=O(u^{2.376})$是$u\times u$矩阵相乘的时间。对于由两两距离给出的$n$点的空间，我们用一个由$u=o(n)$更新组成的锯齿形过滤来逼近Vietoris-Rips过滤，该过滤在$n$中是次线性的.常数取决于给定的近似误差和度量空间的双倍维数。然后，该次线性尺寸过滤的持久同调可以在时间$o(n^2)$中计算，其在$n$中是次二次的。
2017-09-16 cs.CG cs.CV math.AT
PETLS: PErsistent Topological Laplacian Software
Michigan State University（密歇根州立大学）
PETLS软件提供高效计算持久拓扑拉普拉斯算子的方法，支持多种拓扑数据分析复形，适用于机器学习中的数据处理。
2026-03-03 math.AT
Quantitative Simplification of Filtered Simplicial Complexes
我们引入了一个新的不变量定义在一个给定的过滤单纯复形的顶点，称为余密度，它控制的影响，删除顶点持久的同源性。我们实现这种控制，通过使用过滤的单纯复形之间的交错类型的距离。我们研究的特殊情况下，Vietoris-Rips过滤，并表明，我们的边界提供了显着的改善，立即从考虑有关的Gromov-Hausdorff距离的边界。基于这些思想，我们给出了一种滤除单纯复形实际化简的迭代法。作为我们的分析的副产品，我们确定了一个过滤的单纯复形的核心的概念，它承认作为一个最小的单纯过滤，保留所有持久的同源性信息的解释。
2018-01-09 math.AT
