Efficient Decomposition of Forman-Ricci Curvature on Vietoris-Rips Complexes and Data Applications
Basque Center for Applied Mathematics（巴斯克应用数学中心）；Universidade Federal de Pernambuco（伯南布哥联邦大学）；Dutch Institute for Emergent Phenomenal（荷兰涌现现象研究所）；School of Electronic Information and Electrical Engineering, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学电子信息与电气工程学院）；Inria, Montpellier（法国国家信息与自动化研究所（蒙彼利埃））；Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克科学数学研究所）；Center for Scalable Data Analytics and Artificial Intelligence, Leipzig University（莱比锡大学可扩展数据分析与人工智能中心）；Santa Fe Institute（圣塔菲研究所）
该研究针对Vietoris-Rips复形，提出支持局部计算的Forman-Ricci曲率分解及高效局部计算算法，为其几何计算开辟新途径，凸显统计模式支撑几何的重要性。
2026-08-12 cs.CG cs.DM cs.DS
On the Connectivity of the Vietoris-Rips Complex of a Hypercube Graph
本文利用独立复形和全控制集技术，为任意 n 维超立方体图的 Vietoris-Rips 复形在所有尺度参数下建立连通性下界，并反驳了 Shukla 的 r 连通猜想。
2023-11-10 math.AT math.CO
On the Vietoris-Rips Complexes of Integer Lattices
本文研究整数格上 Vietoris-Rips 复形的可缩性，证明了 Zaremsky 猜想在 n≤5 时成立，并确定了 r=2 时复形的同伦型。
2025-11-06 math.AT math.CO math.GT
Cohomological properties of the Vietoris--Rips Complex of a Hypercube Graph
Hunter College, CUNY（亨特学院，纽约市立大学）；University of Southampton（南安普顿大学）
本文通过托利拓学框架研究超立方体图的维蒂里斯-里斯复形的上同调性质，利用总支配不变量和谱方法建立连通性的下界，推翻Shukla猜想并获得全局上界，引入鬼顶点工具检测和证明上同调类的线性无关性。
2026-07-20 math.AT math.CO
Thresholds for vanishing of `Isolated' faces in random Čech and Vietoris-Rips complexes
研究了两种随机几何复形模型的组合连通性。这两个模型- Čech和Vietoris-Rips复合物-是建立在一个均匀的泊松点过程的强度$n$上的$d$维环面使用球的半径$r_n$。在前者中，$k$ -单形/面由$(k+1)$泊松点的子集形成，使得以这些点为中心的半径为$r_n$的球相互相交，而在后者中，我们只需要球的成对相交。给定一个（单纯）复形（即，所有$k \geq 1$的$k$ -单形的集合），我们可以通过$(k+1)$ -单形（“上连接”）或通过$(k-1)$ -单形（“下连接”）连接$k$ -单形。我们的兴趣是了解这两个组合概念的连接随机Čech和Vietoris-Rips复合物渐近为$n \to \infty$。特别是，我们详细分析了阈值半径消失的孤立$k$ -面对向上和向下连接的两种类型的随机几何复合物。虽然它是预期的阈值半径$r_n = Θ((\frac{\log n}{n})^{1/d})$在粗糙的规模，我们的结果给出了更严格的界限上的常数在对数尺度上，以及阐明可能的二阶校正因子。此外，他们还揭示了有趣的差异，在捷克和Vietoris-Rips情况下的相变。分析是有趣的，由于孤立的$k$ -面（作为半径的函数）的数量的非单调性，并导致人们考虑孤立的$k$ -面的“单调”消失。后者在粗略尺度上与上述消失阈值一致（即，$\log n$标度），但在上行连接情况下，Čech…
2018-02-22 math.CO math.PR
Complexes of Directed Trees and Independence Complexes
复形理论的有向树是由科兹洛夫开始回答一个问题的斯坦利，后来，结果从理论所使用的巴布森和科兹洛夫在其证明的洛瓦兹猜想。我们发展了这一理论，证明了有向无圈图上的复形是可壳的。一个相关的概念是独立复形：在一个图的顶点集上构造一个单纯复形，通过包含每个独立的顶点集作为一个单纯形。证明了两个定理用于破断和胶合这样的复合物，并应用于推广Kozlov的结果。一个富有成效的限制是反Rips复形：一个度量空间的子集P是复形的顶点集，我们把P的每个子集都作为一个单纯形，其中没有一对点在距离r内。对于\mathbb{R}的任意有限子集P，反Rips复形的同伦类型是确定的.
2005-08-08 math.AT math.CO
Alternative set-theoretical algorithms for efficient computations of cliques in Vietoris-Rips complexes
本研究针对密集网络中团识别这一NP完全问题，批判性评估经典算法以定位瓶颈，并提出新型集合论算法，经严格实现与Python方案基准测试，展现出优越性能，凸显集合论技术提升网络分析性能的潜力。
2025-02-26 math.CO
Homotopy types of Vietoris-Rips complexes of Hypercube Graphs
本文确定了尺度为 3 时超立方体图 Q_m 的 Vietoris-Rips 复形的同伦类型，证明其同伦等价于若干 7 维和 4 维球面的楔和，推广了尺度 2 的已知结果。
2023-05-11 math.CO
On Vietoris-Rips complexes of Finite Metric Spaces with Scale $2$
该研究针对尺度为$2$的若干有限度量空间，探究其Vietoris-Rips复形的同伦型，给出复形可缩或同伦于球面楔和的结论，并推导同伦型的递推公式，拓展了已有相关研究结果。
2023-12-17 math.CO
On Vietoris--Rips complexes (with scale 3) of hypercube graphs
本文研究超立方体图的 Vietoris-Rips 复形，证明其非平凡约化同调仅出现在维度 4 和 7，并确定尺度 2 和 3 时的可坍缩数为 2^r，回答了 Adamaszek 与 Adams 的开放问题。
2023-05-15 math.AT math.CO
Vietoris-Rips complexes of torus grids
该研究探讨环面网格Vietoris-Rips复形的拓扑，给出不同尺度下的同伦等价结果，证明多组特例并提出关于3维球面同伦等价的猜想且验证一例。
2025-08-03 math.AT math.CO
On the contractibility of random Vietoris-Rips complexes
本文证明随机Vietoris-Rips复形在适当半径下几乎必然可缩或与底空间同伦等价，并揭示与警察和强盗游戏的联系。
2021-11-02 math.CO math.PR
Lower bounds on the homology of Vietoris-Rips complexes of hypercube graphs
本文研究了超立方体图Vietoris-Rips复形的同调下界，利用交叉多面体生成元和同调传播机制，为各维度和尺度的同调群秩提供了新下界及紧下界。
2023-09-12 math.AT math.CO
Limit theorems for Betti numbers of random simplicial complexes
最近有几篇文章研究各种类型的随机单纯复形的同调。有几个定理涉及到同调消失的阈值，以及在某些情况下对贝蒂数的期望。然而，迄今为止，人们对随机贝蒂数的极限分布知之甚少。在这篇文章中，我们建立了不同类型的随机单纯复形的贝蒂数的Poisson和正规逼近定理：Erdens-Rényi随机团复形，随机Vietoris-Rips复形，和随机Čech复形。这些结果可能在拓扑数据分析中具有实际意义。
2011-01-18 math.AT math.CO math.PR
Stable components and layers
分量图$Γ_{0}(F)$被定义用于集合$F$的阵列，特别是用于Vietoris-Rips复合物和Lesnick复合物的路径分量的阵列。$Γ_{0}(F)$的路径分量是阵列$F$的{ \it稳定分量}。对于有限数据集$X$，Lesnick复形系统$\{ L_{s,k}(X) \}$的稳定分量分解成层，这些层本身是图的路径分量。组合评分函数定义层和稳定的组件。
2019-11-01 math.AT math.CO
A New Construction of the Vietoris-Rips Complex
本文利用$k$-骨架的组合结构提出归纳式Vietoris-Rips复形构造算法，减少单形识别中的比较，在稀疏Erdős-Rényi图和高维复形上较GUDHI v3.9.0实现5–10倍加速。
2024-06-18 cs.CG cs.DS math.AT
Covariance matrices of volume power functionals of random simplicial complexes -- an asymptotic analysis
Osnabrück University（奥斯纳布吕克大学）
本文研究随机Vietoris-Rips复形体积幂泛函协方差矩阵的渐近性质，推广随机图结论，在三个区域给出秩、正定性等代数结果并应用于随机向量。
2026-09-21 math.CO math.PR
Random Abstract Simplicial Complexes Reduction
随机抽象单纯复形表示提供了无线网络及其拓扑结构的数学描述。为了减少这种类型的网络中的能量消耗，我们打算在不修改网络的连接性和覆盖范围的情况下减少网络节点的数量。在本文中，我们提出了一个约简算法，降低了一个抽象的单纯复形的最佳顺序，同时保持其拓扑结构的点的数量。然后，我们研究了这样的算法的复杂性的二项式点过程模拟的网络和表示的Vietoris-Rips复杂。
2017-09-04 cs.NI math.CO math.PR
Tracks on planar complexes and soficity
本文证明由具有平面连通分量的局部有限Borel图生成的保测等价关系是sofic的，从而去除了先前工作中关于单模随机平面图sofic性的额外假设。
2026-06-06 math.CO math.DS math.GR
Nerve complexes of circular arcs
我们表明，神经复合体的n个圆弧在圆是同伦等价于一个点，一个奇数维的领域，或楔总和领域的相同的偶数维。时间复杂度为O（n log n）。对于特定的情况下，均匀间隔的弧的神经复合体的长度相同，我们确定的二面体群作用于同源性，我们涉及到一个循环多面体与n个顶点。我们给我们的知识的同伦类型的圆弧神经复合体的三个应用程序。首先，我们利用与循环多面体的联系，给出了齐次三角多项式连续根间距离的一个已知上界的新的拓扑证明。第二，我们证明了循环完全图的色数的Lovasz界要么是sharp的，要么是偏1的。第三，我们证明了圆上n个点的Vietoris-Rips单纯复形同伦等价于一个点，一个奇数维球面，或一个相同偶数维球面的楔形和，而且这种同伦类型可以在时间O（n log n）内计算。
2014-10-16 math.AT math.CO
Maximum Persistent Betti Numbers of Čech Complexes
ISTA (Institute of Science and Technology Austria)（奥地利科学技术研究所）；Ohio State University（俄亥俄州立大学）；Queen Mary University of London（伦敦大学玛丽女王学院）
本文证明了在特定条件下，Čech复形中持久的$p$-维洞数量与点数成线性关系，且该结果适用于多种复形类型。
2026-02-21 math.CO
Embedding simply connected 2-complexes in 3-space -- I. A Kuratowski-type characterisation
我们证明了3-空间中单连通局部3-连通2-维单纯复形的可嵌入性，其方法类似于Kuratowski的图平面性的刻画，即通过排除子式。这回答了洛瓦什、帕顿和瓦格纳的问题。
2019-09-04 math.CO math.GT
Dual matroids of 2-complexes -- revisited
证明了单连通局部二维单纯复形嵌入三维空间的充要条件是其对偶拟阵是图的。举例说明了简单连通性和局部性的假设是必要的。这可以被视为一个三维模拟惠特尼的平面性标准从1932年。
2022-10-27 math.CO math.GT
The rational homology of independence complexes of Kneser graphs on triples
Auburn University（奥本大学）
该研究针对三元组上的Kneser图独立复形，在有理数域上肯定回答了Feng和Wang提出的同调非平凡维度问题，确定了其非零Betti数，通过多种同调工具完成了证明。
2026-10-14 math.AT math.CO
Characterising planar Cayley graphs and Cayley complexes in terms of group presentations
我们证明了一个Cayley图可以嵌入到欧氏平面中而不需要顶点的聚点当且仅当它是一个Cayley复形的1-骨架，在去除多余的单形后可以嵌入到平面中。我们还给出了这些凯莱图的特征，根据组表示，并推断出它们可以有效地枚举。
2013-08-05 math.CO math.GR
Embedding simply connected 2-complexes in 3-space -- IV. Dual matroids
引入了二维单纯复形的对偶拟阵。在一定的必要条件下，利用拟阵来证明三维空间中的可嵌入性，类似于Whitney的平面性准则.我们进一步使用对偶拟阵扩展的3维模拟Kuratowski定理的类的2维单纯复形从简单连接的通过识别顶点或边缘。
2017-09-14 math.CO math.GT
Efficient set-theoretic algorithms for computing high-order Forman-Ricci curvature on abstract simplicial complexes
针对高阶 Forman-Ricci 曲率计算成本过高的问题，本文提出集合论表述以揭示瓶颈并加速单纯复形上的计算，同时给出伪代码、FastForman 实现和基准比较。
2024-05-09 cs.DM cs.PF math.CO
Matching Complexes of Outerplanar Graphs
University of Kansas（堪萨斯大学）；Maret School（马雷特学校）
本文证明外平面图的匹配复形要么可缩，要么同伦等价于球面的楔形，推广了树和多边形线铺砌的已知结果。
2026-09-24 math.CO
Random cyclic dynamical systems
设X是圆的有限子集，且0 < r <= 1固定，考虑函数f_r：X -> X，它将每个点映射到X的顺时针方向最远的元素，且角距离小于2 π r。研究了由f_r生成的X上的离散动力系统，特别是当X是一个大的随机集时，它的期望行为。证明了当|X| ->无穷大时，当r是无理数时，f_r的周期点的期望分数趋于0;当r = p/q是有理数且p和q互质时，f_r的期望分数趋于1/q.这些结果是通过更精细的统计f_r，我们计算明确的（广义）Catalan数。研究f_r的动机来自于Vietoris-Rips复形，一种用于计算拓扑学的尺规作图法。我们的结果确定了通过去除支配顶点可以期望简化圆的随机样本的Vietoris-Rips复形的程度。
2016-09-16 math.CO math.DS
Optimal Discrete Morse Theory Simplification (Expository Survey)
拓扑数据分析中的一个中心问题是计算给定单纯复形的同调。所述复形可以具有任意大量的单形，例如，如果空间是大型数据云的Rips-Vietoris或Cech复形，则可能发生这种情况。因此，对单纯复形进行预处理，得到一个具有相同同调群的较小复形，然后将同调算法应用于较小复形，是近年来的一个活跃的研究课题。在这篇综述中，我们讨论了最近的一些论文，这些论文通过离散莫尔斯理论来研究这种简化的复杂性。这项调查是作为俄亥俄州立大学计算拓扑学课程的期末项目而准备的。
2021-11-10 math.AT math.CO
$2$-complexes with unique embeddings in 3-space
Whitney的一个著名定理指出，一个3连通可平面图允许一个本质上唯一的嵌入到2-球面中。我们证明了一个3维的模拟：一个简单的连接$2$ -复杂的每个链接图是3-连通承认一个本质上唯一的局部平坦嵌入到3-球，如果它承认一个。这可以被认为是三维Schoenflies定理的推广。
2021-09-09 math.CO math.GT
Embedding simply connected 2-complexes in 3-space
本文用九个禁用子式刻画局部3-连通单连通2维单纯复形在3维空间中的可嵌入性，并将结果推广到所有单连通2维单纯复形。
2023-09-27 math.CO math.GT
The cubical matching complex revisited
Ebergborg指出，二分可平面图的所有平铺都是由它的三次匹配复形编码的，并声称这种复形是可折叠的。我们指出了他的证明中的一个疏忽，并解释了为什么这些复合物可以是可折叠复合物的工会。此外，我们证明了所有的链接，在这些复杂的悬挂同伦。此外，我们扩展了一个立方匹配复杂的定义，可平面图，不一定是二分的，并表明，这些复杂的可收缩或不相交的可收缩复合体的联合。对于可以用多米诺骨牌（$2\times 1$和$1\times 2$）和$2\times 2$方块平铺的简单连通区域，让$f_i$表示正好是$i$方块的平铺数。我们证明了$f_0-f_1+f_2-f_3+\cdots=1$（由Ebergborg建立）是数$f_i$的唯一线性关系。
2019-04-08 math.CO
Embedding dimensions of simplicial complexes on few vertices
该研究给出少顶点单纯复形可嵌入d-球面的充要条件，由此重获经典定理并推广相关结论，还证明这类复形的连续与线性嵌入等价。
2023-03-14 math.CO math.GT
Multi-triangulations as complexes of star polygons
平面凸点集上的极大$(k+1)$-无交叉图，即$k$-三角剖分，在最近的文献中受到了关注，其动机来自于对它们的几种解释。我们介绍了一种新的方式来看待$k$-三角剖分，即作为复杂的星形多边形。利用这个工具，我们给出了$k$-三角剖分的基本性质的新的、直接的证明，以及一些新的结果。这种解释也开辟了新的研究途径，我们在最后一节简要探讨。
2007-09-05 math.CO
Realizing abstract simplicial complexes with specified edge lengths
本文研究有限抽象单纯复形在欧氏空间中按指定边长无自交实现的问题，给出可计算验证的充分条件并提供配套软件。
2023-12-08 cs.CG math.CO math.GT
Dushnik-Miller dimension of d-dimensional tilings with boxes
平面图是Dushnik-Miller维数不超过3的图（W. Schnyder，Planar graphs and poset dimension，Order 5，323-343，1989）。考虑平面内轴不相交的平行矩形的交图。已知如果至多有三个矩形相交于一点，则这个相交图是平面的，即它的Dushnik-Miller维数至多为3。本文的目的是推广这从平面到$R^d$考虑平铺的$R^d$轴平行盒，其中最多$d+1$盒相交于一点。这样的平铺诱导单纯复形，我们将证明这些单纯复形的Dushnik-Miller维数至多为$d+1$。
2018-09-14 cs.DM math.CO
Exploring Homological Properties of Independent Complexes of Kneser Graphs
本文研究Kneser图独立复形的同调性质，通过射影平面和交叉多胞形构造同调生成元并给出同调秩下界，同时利用与Vietoris-Rips复形的等价性建立同调传播结果。
2024-04-16 math.CO
Graphs with convex balls
本文研究所有球均为凸集的CB-图与CB-群，给出其度量与局部到整体刻画，证明CB-图的平方可拆解、Rips复形可缩，并证明CB-群是双自动的。
2023-07-05 cs.DM math.CO math.GR
