Extremal Betti numbers of Rips complexes
Michael Goff
建立了Vietoris-Rips复形的拓扑贝蒂数的上界，并给出了具有高贝蒂数的复形的例子.
Upper bounds on the topological Betti numbers of Vietoris-Rips complexes are established, and examples of such complexes with high Betti numbers are given.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On Vietoris--Rips complexes of hypercube graphs
本文描述了超立方体图的Vietoris-Rips复形在小尺度参数下的同伦类型。更详细地，令$Q_n$是具有$2^n$顶点的超立方体图的顶点集，配备有最短路径度量。等价地，$Q_n$是长度为$n$的所有二进制字符串的集合，配备了汉明距离。$Q_n$在尺度参数为0时的Vietoris-Rips复形是$2^n$点，尺度参数为1时的$Q_n$的Vietoris-Rips复形是超立方体图，它同伦等价于一个楔形圆和.证明了$Q_n$的Vietoris-Rips复形在尺度参数为2时同伦等价于3-球的楔形和，并给出了3-球个数的计算公式.关于$Q_n$在较大尺度参数下的Vietoris-Rips复合体的许多问题仍然是开放的。
Vietoris-Rips complexes of Platonic solids
本文确定了柏拉图立体顶点集的 Vietoris-Rips 复形的同伦类型，发现当参数介于组合距离 3 和 4 之间时，十二面体的复形为九个 3-球面的楔。
Alternative set-theoretical algorithms for efficient computations of cliques in Vietoris-Rips complexes
本研究针对密集网络中团识别这一NP完全问题，批判性评估经典算法以定位瓶颈，并提出新型集合论算法，经严格实现与Python方案基准测试，展现出优越性能，凸显集合论技术提升网络分析性能的潜力。
On the Classification of Planar-Rips complexes and their corresponding unit disk graphs
本文对可实现为平面点集Vietoris-Rips复形的伪流形与弱伪流形进行单纯同构分类，并同伦分类二维纯闭平面Rips复形，进而刻画一类所有极大团基数相同的单位圆盘图。
Homotopy types of Vietoris-Rips complexes of Hypercube Graphs
本文确定了尺度为 3 时超立方体图 Q_m 的 Vietoris-Rips 复形的同伦类型，证明其同伦等价于若干 7 维和 4 维球面的楔和，推广了尺度 2 的已知结果。
On Vietoris-Rips complexes of Finite Metric Spaces with Scale $2$
该研究针对尺度为$2$的若干有限度量空间，探究其Vietoris-Rips复形的同伦型，给出复形可缩或同伦于球面楔和的结论，并推导同伦型的递推公式，拓展了已有相关研究结果。
Extremal problems related to Betti numbers of flag complexes
研究了单纯复形的最大贝蒂数问题。证明了任意n-顶点旗复形的贝蒂数和的上界为1.32 ^n，无三角形图的独立复形的上界为1.25 ^n.这些发现意味着上界的贝蒂数的各种相关类别的空间，包括一个图的邻域复。我们还提出了一些相关的意见。
Homology of Vietoris-Rips complexes of hypercube graphs via group actions
利用超八面体群作用，完全描述了超立方体图在 Hamming 距离下 Vietoris-Rips 复形在尺度 r≤3 和 r=n-1 时的同调群分解为不可约表示。
The Vietoris-Rips complexes of a circle
给定一个度量空间X和一个距离阈值r>0，Vietoris-Rips单纯复形有X的直径小于r的有限子集作为它的单纯形。Jean-Claude Hausmann的一个定理指出，如果X是一个黎曼流形且r足够小，则Vietoris-Rips复形同伦等价于原始流形。关于Vietoris-Rips复合物在较大r值下的行为知之甚少，即使这些复合物在使用持久同源性的应用中自然出现。我们证明了随着r的增加，圆的Vietoris-Rips复形得到圆的同伦类型，3-球面，5-球面，7-球面，...，直到最后它可以收缩。作为我们的主要工具，我们引入了一个有向图不变量，缠绕分数，这在某种意义上是对偶的循环色数。使用缠绕分数，我们分类的同伦类型的Vietoris-Rips复杂的任意（可能是无限的）子集的圆，我们研究的预期同伦类型的Vietoris-Rips复杂的均匀随机样本从圆。此外，我们还证明了随着距离参数的增加，圆的环境Cech复形也得到了圆的同伦类型，3-球面，5-球面，7-球面，.直到最后它可以收缩。
Betti numbers of complexes with highly Connected links
设X是k维单纯复形，使得X中所有j维单形的链环的（k-j-2）维同调为零.给出了X的第（k-1）个贝蒂数的一个上界.基于和复形的例子表明，对于所有固定的j<k，这个界是渐近尖锐的。
Thresholds for vanishing of `Isolated' faces in random Čech and Vietoris-Rips complexes
研究了两种随机几何复形模型的组合连通性。这两个模型- Čech和Vietoris-Rips复合物-是建立在一个均匀的泊松点过程的强度$n$上的$d$维环面使用球的半径$r_n$。在前者中，$k$ -单形/面由$(k+1)$泊松点的子集形成，使得以这些点为中心的半径为$r_n$的球相互相交，而在后者中，我们只需要球的成对相交。给定一个（单纯）复形（即，所有$k \geq 1$的$k$ -单形的集合），我们可以通过$(k+1)$ -单形（“上连接”）或通过$(k-1)$ -单形（“下连接”）连接$k$ -单形。我们的兴趣是了解这两个组合概念的连接随机Čech和Vietoris-Rips复合物渐近为$n \to \infty$。特别是，我们详细分析了阈值半径消失的孤立$k$ -面对向上和向下连接的两种类型的随机几何复合物。虽然它是预期的阈值半径$r_n = Θ((\frac{\log n}{n})^{1/d})$在粗糙的规模，我们的结果给出了更严格的界限上的常数在对数尺度上，以及阐明可能的二阶校正因子。此外，他们还揭示了有趣的差异，在捷克和Vietoris-Rips情况下的相变。分析是有趣的，由于孤立的$k$ -面（作为半径的函数）的数量的非单调性，并导致人们考虑孤立的$k$ -面的“单调”消失。后者在粗略尺度上与上述消失阈值一致（即，$\log n$标度），但在上行连接情况下，Čech…
Contractibility of the Rips complexes of Integer lattices via local domination
本文引入局部受支配顶点与局部压碎条件，证明整数格在大尺度下的 Rips 复形可缩，并验证低维最优界。
On Simplicial Complexes with Extremal Total Betti number and Total Bigraded Betti Number
本文研究了在每一维给定顶点数的情况下，确定哪些单纯复形的总Betti数和总双阶Betti数达到最大或最小值。
Maximizing the signless Laplacian spectral radius of simplicial 2-complexes with a prescribed second Betti number
本文研究了二维简单复形在给定第二贝蒂数下的无符号拉普拉斯谱半径的渐近公式及最大值复形的结构特征。
On the Connectivity of the Vietoris-Rips Complex of a Hypercube Graph
本文利用独立复形和全控制集技术，为任意 n 维超立方体图的 Vietoris-Rips 复形在所有尺度参数下建立连通性下界，并反驳了 Shukla 的 r 连通猜想。
Efficient Decomposition of Forman-Ricci Curvature on Vietoris-Rips Complexes and Data Applications
该研究针对Vietoris-Rips复形，提出支持局部计算的Forman-Ricci曲率分解及高效局部计算算法，为其几何计算开辟新途径，凸显统计模式支撑几何的重要性。
Cohomological properties of the Vietoris--Rips Complex of a Hypercube Graph
本文通过托利拓学框架研究超立方体图的维蒂里斯-里斯复形的上同调性质，利用总支配不变量和谱方法建立连通性的下界，推翻Shukla猜想并获得全局上界，引入鬼顶点工具检测和证明上同调类的线性无关性。
Maximum Betti numbers of Čech complexes
本文基于凸多面体上界定理研究了Čech复形Betti数的渐近紧确上界，并在偶数与奇数维度下构造点集证明该上界可达。
On Betti numbers of flag complexes with forbidden induced subgraphs
研究了不含固定禁止诱导子图H的n阶图的团复形的贝蒂数的渐近极值增长率。特别是，我们证明了一个定理的替代：对于任何H的增长率达到五个可能的指数之一，也就是说，独立的领域的系数，第n根的最大总贝蒂数在n-顶点图没有诱导副本的H有一个限制，因为n趋于无穷大，并在所有的H范围内，正好达到五个不同的限制。对于有趣的情况下，H是4-圈，上述限制是1，我们证明了一个略超多项式上界。
Erratum: Limit theorems for Betti numbers of random simplicial complexes
本文修正了“随机单纯复形贝蒂数的极限定理“中主要定理的证明。
Gröbner bases and Betti numbers of monoidal complexes
本文考虑幺半群复形及其相应的代数，称为复环面环。这些环推广了Stanley-Reisner环和仿射幺半群代数。计算复曲面环的表现理想的初始理想，并确定其分次贝蒂数.我们的结果推广了组合交换代数中著名的Hochster定理.
On the contractibility of random Vietoris-Rips complexes
本文证明随机Vietoris-Rips复形在适当半径下几乎必然可缩或与底空间同伦等价，并揭示与警察和强盗游戏的联系。
Flag complexes and homology
证明了旗复形的$f$ -向量与贝蒂数之间的几个关系。对于每个标志复形$Δ$，我们证明了存在一个平衡复形，它具有与$Δ$相同的$f$ -向量，并且它的顶维Betti数至少是$Δ$的顶维Betti数，从而推广了Frohmader的一个定理.我们得到了$Δ$的顶维贝蒂数的上界。我们还给出了一个定量的完善的Meshulam定理，通过建立下界的$f$ -向量的$Δ$，在$Δ$的顶维贝蒂数。这个结果有一个连续的类比：如果$Δ$是一个$(d-1)$维旗复形，其第$(d-1)$维约化同调群的维数为$a\geq 0$（在某个域上），则$Δ$的$f$ -多项式满足系数不等式$f_Δ(x) \geq (1 + (\sqrt[d]{a}+1)x)^d$ .
Maximum Persistent Betti Numbers of Čech Complexes
本文证明了在特定条件下，Čech复形中持久的$p$-维洞数量与点数成线性关系，且该结果适用于多种复形类型。
Face numbers of sequentially Cohen-Macaulay complexes and Betti numbers of componentwise linear ideals
给出了序列Cohen-Macaulay单纯复形的所谓h-三角形的一个数值刻画。这个结果刻画了在这样的复形中各种维数和余维的面的数目，将经典的Macaulay-Stanley定理推广到非纯的情况。此外，我们刻画了可能的Betti表的分量线性理想。在我们的研究中的一个关键工具是移位的度至多为d的多复形和移位的（d-1）维单纯复形之间的双射。
Unimodality of the Expectation of Betti Numbers for Bernoulli Random Quota Complexes
我们研究某些随机单纯复形复形，称为随机配额复形。如果顶点的权重之和低于给定的配额$q$，则通过添加$n$ -单纯形来构造$N+1$加权顶点上的配额复形.在本文中，顶点的权重被独立同分布地选择。分布为伯努利分布。本文的主要结果是，$m^{\textrm{th}}$贝蒂数的期望，即，$m^{\textrm{th}}$同调群的维数在$m$中是单峰的。
Limit theorems for Betti numbers of random simplicial complexes
最近有几篇文章研究各种类型的随机单纯复形的同调。有几个定理涉及到同调消失的阈值，以及在某些情况下对贝蒂数的期望。然而，迄今为止，人们对随机贝蒂数的极限分布知之甚少。在这篇文章中，我们建立了不同类型的随机单纯复形的贝蒂数的Poisson和正规逼近定理：Erdens-Rényi随机团复形，随机Vietoris-Rips复形，和随机Čech复形。这些结果可能在拓扑数据分析中具有实际意义。
Betti numbers of chordal graphs and $f$-vectors of simplicial complexes
设$G$是一个弦图，$I(G)$是它的边理想.令$β(I(G)) = (β_0, β_1, ..., β_p)$表示$I(G)$的Betti序列，其中$β_i$表示$I(G)$的$i$个总Betti数，并且其中$p$是$I(G)$的投影维数。证明了存在维数为$p$的单纯复$Δ$，其$f$ -向量$f (Δ) = (f_0, f_1, ..., f_p)$与$β(I(G))$重合.
A C*-algebra of geometric operators on self-similar CW-complexes. Novikov-Shubin and L^2-Betti numbers
引入了一类CW-复形，称为自相似复形，以及作用于平方可和胞腔j-链上的具有有限迹的算子的C* 代数Aj.由于Laplacian Delta_j属于A_j，因此我们定义了这类复形的L^2-贝蒂数和Novikov-Shubin数.特别是一个关系，涉及Euler-Poincare的特征证明。计算了由自相似分形产生的自相似复体的L^2-Betti数和Novikov-Shubin数。
Graded Betti numbers of balanced simplicial complexes
证明了平衡单纯复形的Stanley-Reisner环的分次贝蒂数的上界.一路上，我们显示的Cohen-Macaulay分次环$S/I$，其中$S$是一个多项式环和$I\subseteq S$是一个齐次理想包含一定数量的发电机在2度，包括平方的变量的界限。使用类似的技术，我们提供了上界的平衡正常的伪流形的斯坦利-Reisner的线性合冲数。此外，我们明确地计算了交叉多面体堆叠球的分次贝蒂数，并表明它们只依赖于维数和顶点数，而不是组合类型。
Composition of simplicial complexes, polytopes and multigraded Betti numbers
对于m个顶点上的单纯复形K和单纯复形K1，.，Km是复合单纯复形K（K1，.，Km）的。这种构造推广了A. Bahri，M. Bendersky，F. R. Cohen和S. Gitler，并允许描述多面体P（P1，...，Pm）由G.阿格纳森该复合定义了一组有限单纯复形上的操作数的结构。我们证明了以下内容：（1）一个合成复形K（K1，.，Km）是单形球当且仅当K是单形球，Ki是单形的边界;（2）一类球面神经复合体在复合运算下是闭的（3）最后，我们给出了K（K1，…，Km）表示为K，K1，.的多重贝蒂数，Km使用生成函数的组合。
Tilings, packings and expected Betti numbers in simplicial complexes
设$K$是有限单纯复形.证明了随机子复形在其$d$次重心重分$\text{Sd}^d (K)$中的归一化期望贝蒂数随着$d$增长到$+ \infty$而收敛到泛极限.在余维1中，我们利用$\text{Sd}^d (K)$的正则滤子来估计这些极限，并得到一个单调性定理，使得在$\text{Sd}^d (K)$中不相交单形的任何填充下，这些估计都有可能得到改进。然后，我们引入了一个概念，平铺的单纯复形具有的属性，即骨架和重心重分的平铺单纯复形是可平铺的。这使我们能够解决这个问题：有多少不相交的单形可以装在$\text{Sd}^d (K)$，$d \gg 0$？
Field independence of the first seven Betti numbers of flag complexes
本文证明旗复形第七个Betti数域独立，通过更强的拓扑结果τ(d)≥d+10，并推广到边理想的前七个Betti数。
Betti Numbers of Prodsimplicial Complexes for Directed Graphs with Applications to Word Reductions
本文提出乘积单纯复形分析有向图，研究贝蒂数与同调环，应用于双出现词约化及DNA重组过程，探讨词运算对同调的影响。
Random Complexes and l^2-Betti Numbers
有限图上的一致生成树及其在无限图上的类似物是一个很好的研究领域。在群的Cayley图上，我们证明了它们与群的第一个$\ell^2$ -贝蒂数有关.然而，我们的主要目的是提出一个高维模拟有限和无限CW-复合物，这涉及到更高的$\ell^2$ -贝蒂数的基本元素。一个后果是一个统一的等周不等式扩展工作的里昂，皮肖特，和Vassout。我们还提出了一个与Duval、Klivans和Martin最近的工作类似的枚举。
On Vietoris--Rips complexes (with scale 3) of hypercube graphs
本文研究超立方体图的 Vietoris-Rips 复形，证明其非平凡约化同调仅出现在维度 4 和 7，并确定尺度 2 和 3 时的可坍缩数为 2^r，回答了 Adamaszek 与 Adams 的开放问题。
Law of large numbers for Betti numbers of homogeneous and spatially independent random simplicial complexes
Linial-Meshulam复合模型是Erdens-Rényi图模型的自然高维模拟。近年来，Linial和Peled建立了Linial-Meshulam复形的贝蒂数的一个极限定理，该定理具有适当的参数尺度.本文旨在将这一结果推广到更一般的随机单纯复形模型。引入了一类齐次且空间独立的随机单纯复形，包括Linial-Meshulam复形模型和随机团复形模型，并研究了它们的贝蒂数的渐近性质.此外，我们还得到了它们的拉普拉斯算子的经验谱分布的收敛性。论证中的一个关键要素是单纯复形的局部弱收敛。受Linial和Peled工作的启发，我们建立了齐次空间独立随机单纯复形的局部弱极限定理。
Hamming weights and Betti numbers of Stanley-Reisner rings associated to matroids
对于有限域上的每个线性码，我们将其奇偶校验矩阵的拟阵联系起来。我们展示了在何种程度上可以确定广义汉明重量的代码（或定义为一般的拟阵）从各种各样的贝蒂数的斯坦利-Reisner环的单纯复形相关联的拟阵。
Vietoris-Rips complexes of torus grids
该研究探讨环面网格Vietoris-Rips复形的拓扑，给出不同尺度下的同伦等价结果，证明多组特例并提出关于3维球面同伦等价的猜想且验证一例。
On Stanley-Reisner Rings with Minimal Betti Numbers
研究具有给定顶点数的简单复形，其斯坦利-雷伊斯纳环具有最小可能的贝蒂数，发现其具有特殊的组合和拓扑结构，如贝蒂数由二项式系数给出，其全子复形同调等价于点或球面。
Dependence of Betti Numbers on Characteristic
研究了单项理想的分次贝蒂数对基域特征的依赖性.我们描述的例子包括二分理想，斯坦利-Reisner理想的顶点可分解的复合体和理想与组件的线性决议。我们给出了一个描述的二部图，并使用离散莫尔斯理论，提供了一种方式来看待通过二分理想的任意单纯复形的同源性。我们还证明了有理数域上的单项理想的Betti表可以由任意域上的Betti表通过一系列的连续消去得到。
Betti numbers are testable
证明了顶点度有界的单纯复形的贝蒂数在常数时间内是可检验的。
Lower bounds on the homology of Vietoris-Rips complexes of hypercube graphs
本文研究了超立方体图Vietoris-Rips复形的同调下界，利用交叉多面体生成元和同调传播机制，为各维度和尺度的同调群秩提供了新下界及紧下界。
Multigraded Betti numbers of Veronese embeddings
本文研究非常面嵌入的多格Betti数，利用Hochster公式和离散Morse理论推导其消失与非消失结果。
On the Vietoris-Rips Complexes of Integer Lattices
本文研究整数格上 Vietoris-Rips 复形的可缩性，证明了 Zaremsky 猜想在 n≤5 时成立，并确定了 r=2 时复形的同伦型。
Betti splitting from a topological point of view
单式理想$I$的Betti分裂$I=J+K$保证了从$J,K$和$J \cap K$的分次Betti数开始恢复$I$的分次Betti数。本文对单纯复形引入了这一条件，并利用Alexander对偶证明了它等价于某些顶点上链的递归分裂条件。所采用的观点，使有关的存在的Betti分裂的单纯复形$Δ$的拓扑性质的$Δ$。在其他结果中，我们证明了无边界流形的定向性等价于承认去除单个刻面引起的Betti分裂。利用这种拓扑方法，我们提供了文献中的第一个例子承认贝蒂分裂，但与特征相关的决议。此外，我们引入分裂概率的概念，有用的处理结果有关的存在Betti分裂。
The Graded Betti Numbers of the Skeletons of Simplicial Complexes
本文研究了一类平方自由单项理想，探讨其同调性质，并引入度数解析概念，推导出单纯复形与其骨架的分层Betti数关系。
The Asymptotics of the Expected Betti Numbers of Preferential Attachment Clique Complexes
本文研究优先连接随机图团复形的期望 Betti 数，确定其渐近增长率，证明一维为线性增长、高维为次线性增长，并以模拟验证理论结果。
Socles of Buchsbaum modules, complexes and posets
研究了分次Buchsbaum模的底基，并讨论了它的局部上同调模.这个代数结果然后被应用到Buchsbaum单纯复形和偏序集的面计数。特别地，建立了这类复形和偏序集的面数和贝蒂数的新的必要条件.这些条件被用来解决肯定的Kühnel猜想的最大值的欧拉示性数的$2k$维单纯流形上的$n$顶点以及卡莱猜想提供了下界的边缘数量的单纯流形在其维度，顶点数，和第一个贝蒂数。
Random geometric complexes in the thermodynamic regime
本文研究了具有随机点过程的顶点和由顶点间距离关系确定的面的单纯复形的拓扑。特别是，我们研究了这些复杂的贝蒂数的顶点数变得很大，得到的极限定理的手段，强法律，浓度不等式和中心极限定理。作为反对大多数以前的文件处理随机复合物，我们的工作限制是在所谓的“热力学”制度（其中包括渗流阈值），其中的复合物变得非常大和复杂，复杂的同源性，其特征在于由发散贝蒂数。证明结合概率参数的理论稳定的泛函点过程和拓扑参数利用Mayer-Vietoris确切序列的属性。迈耶-维托里斯的论证是至关重要的，因为一般的同调，特别是贝蒂数，是全局的而不是局部的现象，大多数标准的概率论证都是基于局部性的结果而产生的泛函的可加性。
Special cycles in independence complexes and superfrustration in some lattices
我们证明了某些网格的独立复形具有指数贝蒂数。这对应于统计物理学中核心模型中基态的数量，其中费米子位于网格的顶点。
Characteristic-independence of Betti numbers of graph ideals
本文研究了2次生成的Stanley-Reisner理想的贝蒂数.我们证明了前六个贝蒂数不依赖于基域的特性。我们还表明，如果变量$n$的数量是最多10，所有的贝蒂数是独立的基域。对于$n=11$，精确地存在4个例子，其中贝蒂数取决于基域。这等价于至多10个顶点的旗复形的同调是无挠的，且恰好存在4个11个顶点的非同构旗复形的同调有挠。在上面提到的4个例子中，第8个贝蒂数依赖于基域，因此我们得出结论，总是独立于基域的最高贝蒂数是6或7;如果前者为真，那么我们证明了一定存在一个12个顶点的图，其第7个贝蒂数依赖于基域。
Explicit Betti Numbers for Skeletons of Chordal Clique Complexes and Their Alexander Duals
研究Chordal Clique Complexes的同调性质，通过计算f向量和Hilbert级数，得到所有k-骨架的显式分层Betti数，并揭示其正则度和射影维数的性质，同时推导出对偶体的f向量、有理h多项式和分层Betti数。
Betti numbers of hypergraphs
本文研究超图的一些代数性质，特别是超图的贝蒂数.我们定义了一些不同类型的完全超图，据我们所知，以前没有考虑在文献中。同时，我们以一种自然的方式在超图上定义了一个积，它在某种意义上与单纯复形上的并运算是对偶的。对于这类乘积，我们给出了贝蒂数的一般公式，它在线性分解的情况下有很好的特殊性。
Random Abstract Simplicial Complexes Reduction
随机抽象单纯复形表示提供了无线网络及其拓扑结构的数学描述。为了减少这种类型的网络中的能量消耗，我们打算在不修改网络的连接性和覆盖范围的情况下减少网络节点的数量。在本文中，我们提出了一个约简算法，降低了一个抽象的单纯复形的最佳顺序，同时保持其拓扑结构的点的数量。然后，我们研究了这样的算法的复杂性的二项式点过程模拟的网络和表示的Vietoris-Rips复杂。
Random Simplicial Complexes, Duality and The Critical Dimension
本文讨论了随机单纯复形的两种一般模型，我们称之为上模型和下模型。我们表明，这些模型是对偶的组合亚历山大对偶。下模型中的贝蒂数的行为可以用临界维数的概念来描述。Costa和M.法伯：在较低的模型中，随机单纯复形复形同调近似于一个楔形的球，球的尺寸等于临界尺寸。本文研究了上模型中的贝蒂数，引入了临界维数和扩展的新概念。我们证明了（在一定条件下）一个上随机单纯复形是同调近似的楔形球的临界尺寸。
Frattini Geometry of Non-Generating Complexes: Symmetry, Homology and Betti Numbers
本文通过Frattini拓扑约化将有限群的非生成复形化为初等阿贝尔向量空间的非张成复形，从而确定其同构、自同构群、同调及Betti数，并给出完整Cohen-Macaulay分类。
Random Simplicial Complexes in the Medial Regime
我们描述拓扑结构的随机单纯复形体的下部和上部模型中的中间制度，即假设下的概率参数$p_σ$的方法既不$0$，也不$1$。我们发现，非平凡的贝蒂数的典型的下部和上部的随机单纯复形在中间制度在于在一个狭窄的尺寸范围。例如，在中间区域中的$n$顶点上的上随机单纯复形$Y$具有高概率，仅对于$k+c <n-j<k+\log_2 k +c'$具有非零Betti数$b_{j}(Y)$，其中$k=\log_2 \ln n$和$c, c' $是常数。在中间区域中，$n$顶点上的一个低随机单纯复形是以高概率$(k+a)$ -连通的，并且它的维数$d$满足$d\sim k+\log_2 k+ a'$，其中$a, \, a'$是常数.本文开发了一种新的技术，亚历山大对偶的基础上，它涉及到下，上模型。
Betti splitting via componentwise linear ideals
单名理想$I$允许Betti分裂$I=J+K$，如果$I$的贝蒂数可以由理想$J,K$和$J \cap K$的贝蒂数确定.给出了一个单项理想$I$，证明了$I=J+K$是$I$的Betti分裂，条件是$J$和$K$是分量线性的，推广了Francisco，Hà和Van Tuyl的结果.如果$I$具有线性分辨率，则相反也成立。我们将这个结果递归地应用于点可分解、可壳、可构造的单纯复形的Alexander对偶，并确定了射影空间中三个一般胖点的定义理想的分次贝蒂数.
Buchstaber numbers and classical invariants of simplicial complexes
Buchstaber不变量是一个单纯复形的数值特征，由矩角复形上的环面作用引起。本文研究了Buchstaber不变量与单纯复形的经典不变量如双分次贝蒂数和色不变量之间的关系。以下两个陈述得到证明。(1)存在一个具有不同的实和普通Buchstaber不变量的单纯复形U。(2)存在两个具有相等双阶Betti数和色数，但不同Buchstaber不变量的单纯复形.为了证明第一个定理，我们定义Buchstaber数作为广义色不变量。这种方法允许猜测所需的示例。然后，任务减少到有限的枚举的可能性，这是使用GAP计算系统完成。为了证明第二个陈述，我们使用面环的泰勒分解的性质。
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