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有限简单群中 nilpotent 子群的交集

On the intersections of nilpotent subgroups in simple groups

University of Bristol（布里斯托大学）；University of St Andrews（圣安德鲁斯大学）；Southern University of Science and Technology（南方科技大学）

Timothy C. Burness, Hong Yi Huang

备注：
36 pages; to appear in Proceedings of the London Mathematical Society
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AI总结：

本文通过概率方法证明了非交替简单群中 nilpotent 子群交集为平凡群的猜想，并加强了 Vdovin 的猜想。

摘要：

设 $G$ 为有限群，$H_p$ 为 $G$ 的 Sylow $p$-子群。Lisi 和 Sabatini 最近提出的一个猜想指出，存在一个元素 $x \in G$，使得对于每个素数 $p$，$H_p \cap H_p^x$ 在集合 $\{H_p \cap H_p^g \,:\, g \in G\}$ 中是包含最小的。对于简单群 $G$，根据 Mazurov 和 Zenkov 1996 年的定理，该猜想意味着存在一个元素 $x \in G$，使得对于所有 $p$，$H_p \cap H_p^x = 1$。反过来，这表明了 Vdovin 2002 年的猜想，即如果 $G$ 是简单群且 $H$ 是 nilpotent 子群，则存在 $x \in G$ 使得 $H \cap H^x = 1$。在本文中，我们采用概率方法证明了对于所有非交替简单群，Lisi-Sabatini 猜想成立。通过结合 Kurmazov 关于交替群中 nilpotent 子群的先前工作，我们完成了 Vdovin 猜想的证明。此外，通过结合我们的证明与 Zenkov 关于交替群的先前工作，我们能够建立 Vdovin 猜想的更强形式：如果 $G$ 是简单群且 $A,B$ 是 nilpotent 子群，则存在 $x \in G$ 使得 $A \cap B^x = 1$。为了得到这些结果，我们研究了简单群中 Lie 类型群中随机一对 Sylow $p$-子群相交为平凡群的概率，补充了 Diaconis 等人和 Eberhard 关于对称群和交替群的近期工作。

英文摘要：

Let $G$ be a finite group and let $H_p$ be a Sylow $p$-subgroup of $G$. A recent conjecture of Lisi and Sabatini asserts the existence of an element $x \in G$ such that $H_p \cap H_p^x$ is inclusion-minimal in the set $\{H_p \cap H_p^g \,:\, g \in G\}$ for every prime $p$. For a simple group $G$, in view of a theorem of Mazurov and Zenkov from 1996, the conjecture implies the existence of an element $x \in G$ with $H_p \cap H_p^x = 1$ for all $p$. In turn, this statement implies a conjecture of Vdovin from 2002, which asserts that if $G$ is simple and $H$ is a nilpotent subgroup, then $H \cap H^x = 1$ for some $x \in G$. In this paper, we adopt a probabilistic approach to prove the Lisi-Sabatini conjecture for all non-alternating simple groups. By combining this with earlier work of Kurmazov on nilpotent subgroups of alternating groups, we complete the proof of Vdovin's conjecture. Moreover, by combining our proof with earlier work of Zenkov on alternating groups, we are able to establish a stronger form of Vdovin's conjecture: if $G$ is simple and $A,B$ are nilpotent subgroups, then $A \cap B^x = 1$ for some $x \in G$. To obtain these results, we study the probability that a random pair of Sylow $p$-subgroups in a simple group of Lie type intersect trivially, complementing recent work of Diaconis et al. and Eberhard on symmetric and alternating groups.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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