Finding Independent Transversals Efficiently
我们给出了一个有效的算法，给定一个图$G$和它的顶点集的一个分区$V_1,\ldots,V_m$，找到一个独立的断面（一个独立集$\{v_1,\ldots,v_m\}$在$G$，使$v_i\in V_i$为每个$i$），或顶点类的子集$\mathcal B$，使由$\bigcup\mathcal B$诱导的$G$的子图有一个小的支配集。这个结果的非算法证明已经知道了很多年，并已被应用于解决许多其他问题。因此，我们能够给出许多这些应用程序的算法版本，其中一些我们在这里明确描述。
2020-02-27 cs.DM math.CO
On the Length of a Partial Independent Transversal in a Matroidal Latin Square
我们提出并探讨了关于拉丁方的Brualdi - Ryser猜想的拟阵形式.本文证明了任何$n\times n$矩阵，其行和列都是拟阵的基，都有一个独立的长度为$\lceil2n/3\rceil$的部分断面。我们证明了对于任何$n$，存在这样一个矩阵，其最大独立部分断面的长度至多为$n-1$。
2012-04-24 math.CO
Independent transversals in locally sparse graphs
设G是一个度为Δ的图，其顶点集被划分为V（G）= V_1 \cup. \cup V_r.断面是V（G）的一个子集，它只包含来自每个部分V_i的一个顶点.如果它也是一个独立集，那么我们称它为独立断面。G的局部度是顶点v在部分V_i中的邻居的最大数目，取V_i和v的所有选择\not \in V_i。证明了对任意固定的ε> 0，若G的局部度为o（Δ），且G的所有部分尺寸|V_i| >=（1+ε）Δ，则对充分大的Δ，G有独立断面.这扩展了以前的几个结果，并解决了（以更强的形式）Aharoni和Holzman的猜想。然后，我们将这个结果推广到不诱导大小为s的团的断面。(Note独立横截对应于s=2）。在这种情况下，我们证明了大小为|V_i| >=（1+ε）[Δ/（s-1）]和局部度为o（Δ）的部分保证了这样一个断面的存在性，并且我们提供了一个结构，表明这是渐近紧的。
2007-06-14 math.CO
A precise condition for independent transversals in bipartite covers
本文针对具有划分加细的二部图，证明了$D_A/k_B+D_B/k_A\le 1$是存在独立横截的精确充分条件，是对现有两个独立横截结论的二部改进。
2024-02-19 cs.DM math.CO
An Asymptotically Sharp Bound on the Maximum Number of Independent Transversals
该研究针对给定边密度的多部图，证明了独立横贯最大数的渐近紧上界，推进了图论中独立横贯计数问题的研究。
2024-01-31 math.CO
On factors of independent transversals in $k$-partite graphs
一个$[k,n,1]$-图是一个$k$-部图，它的部分的序为$n$，使得由任何一对部分导出的二部图是一个匹配.这样的图中的独立断面是与每个部分相交于单个顶点的独立集合。独立断面的因子是$n$成对不相交的独立断面的集合。设$f(k)$是最小整数$n_0$，使得每个$[k,n,1]$-图都有一个独立横截因子，假设$n \ge n_0$.几个已知的结构暗示，对于$k \ge 2$，如果$k$是偶数，则为$f(k)=k$，如果$k$是奇数，则为$f(k)=k+1$。虽然一个简单的贪婪算法的基础上迭代霍尔定理表明，$f(k) \le 2k-2$，没有更好的界限是已知的，事实上，有例子表明，界$2k-2$是紧的贪婪算法。在这里，我们显着提高贪婪算法的界限，并证明$f(k) \le 1.78k$的所有$k$足够大，回答了一个问题的MacKeigan。
2021-11-19 math.CO
Independent transversal domination number of a graph
设$G=(V, E)$是一个图。一个集合$S\subseteq V(G)$是$G$的{ \it支配集}，如果$V\setminus S$中的每个顶点都与$S$的一个顶点相邻。$G$的{ \it控制数}，记为$γ(G)$，是$G$的最小控制集的基数。此外，如果控制集$S$与$G$的每个最大独立集相交，则它是$G$的{ \it独立横截控制集}。$G$的{ \it独立横截控制数}记为$γ_{it}(G)$，是$G$的最小独立横截控制集的基数. 2012年，Hamid开创了图的独立横控制的研究，并提出了以下两个猜想：猜想1。若$G$是$n$上的非完全连通图，则有$γ_{it}(G)\leq\lceil\frac{n}{2}\rceil$ .猜想2.如果G是连通二部图，则$γ_{it}(G)$是$γ(G)$或$γ(G)+1$。我们证明了猜想1一般不成立。最近，猜想2被Ahangar，Samodivkin，Yero部分验证为真。在这里，我们证明了猜想2的全部陈述。此外，我们还给出了Hamid定理的一个正确的版本.最后，我们回答了Martínez，Almira和Yero提出的一个关于图的独立横截全控制的问题。
2017-04-20 math.CO
Graphs of low average degree without independent transversals
具有顶点划分$\mathcal P$的图$G$的独立横截是在单个顶点中与$\mathcal P$的每个块相交的$G$的独立集。Wanless和Wood证明了如果$\mathcal P$的每个块的大小至少为$t$，且每个块中顶点的平均度至多为$t/4$，则存在$\mathcal P$的独立断面.我们提出了一个结构，表明这一结果是最优的：对于任何$\varepsilon > 0$和足够大的$t$，有一个家庭的森林的顶点分区的块大小至少是$t$，在每个块中的顶点的平均度是最多$(\frac14+\varepsilon)t$，并没有独立的横截。这出乎意料地表明，与熵压缩相关的方法，如Rosenwell-Wanless-Wood方案或局部切割引理，对于这个问题是严格的。进一步的构造给出了问题的变体，包括超图版本。
2022-05-10 math.CO
An average degree condition for independent transversals
在1994年，Erdés，Gyárfás和Schluczak提出了以下问题：给定大小为~ $k$的不相交顶点集$V_1,\dots,V_n$，在任何一对$V_i,V_j$之间只有一条边，$n$能有多大使得总有一个独立断面？他们通过提供具有这些参数且没有独立横截的显式构造，证明了最大$n$至多为$(1+o(1))k^2$。他们还证明了一个下限，这是较小的一个$2e$ -因素。在本文中，我们解决了这个问题，表明他们的上限建设是最好的可能性：如果$n\le (1-o(1))k^2$，将始终有一个独立的断面。事实上，这一结果是一个非常特殊的情况下，一个更一般的定理，其中涉及独立的横截在任意分图是“局部稀疏”，这意味着每对部分之间的最大程度是相对较小的。在这种情况下，Loh和Sudakov提供了一个全局\emph{maximum}度条件来证明独立断面的存在。我们表明，这可以放宽到一个\emph{average}度的条件。我们也可以使用我们的新定理来建立更一般版本的Erdens-Gyárfás-Schuczak问题的紧边界，并解决Yuster在1997年提出的一个猜想。这利用了与完全二部图的图兰数的联系，这可能是独立的兴趣。
2022-01-28 math.CO
Tight constructions for reconfigurations of independent transversals
Institute of Discrete Mathematics, Graz University of Technology（格拉茨工业大学离散数学研究所）
本文研究了独立横截面重新配置图的连通性条件，证明了在特定条件下，通过单顶点修改可将任意独立横截面转换为其他横截面，且提供了例外情况的构造性描述。
2026-04-23 math.CO
Approximate packing of independent transversals in locally sparse graphs
本文研究局部稀疏多部图中独立横截集的分解猜想，证明可找到 $(1-\varepsilon)n$ 个两两不交的独立横截集，近似解决该猜想并应用于相关问题。
2025-07-27 math.CO
Reconfiguration of Independent Transversals
本文研究最大度为Δ的图中独立横贯的重构问题，证明当块大小t≥2Δ+1时所有独立横贯可通过单顶点修改互相变换，并刻画了t=2Δ时仅在完全二分图K_{Δ,Δ}副本的不交并上失效。
2024-07-05 cs.DS math.CO
Algorithms for weighted independent transversals and strong colouring
本文提出一种广泛适用的随机化算法，基于Graf-Haxell的确定性方法，为图的强色数相关两个问题提供高效解法，缩小了非构造性界与算法界之间的差距。
2021-08-21 cs.DM cs.DS math.CO
On Blockers and Transversals of Maximum Independent Sets in Co-Comparability Graphs
本文研究余可比图中删除阻断器与横贯问题，通过归约为顶点割问题，证明两者均为多项式时间可解，并推广了既有结果。
2023-11-13 cs.DM math.CO
Odd cycle transversals and independent sets in fullerene graphs
富勒烯图是一个立方无桥平面图，所有的面都是5和6。我们证明了任意n个顶点的富勒烯图都可以通过删除至多12 n/5个边而成为二部图，并且存在至少n/2- 3 n/5个顶点的独立集.这两个界限都是尖锐的，我们将其极端图。这证明了Doslic和Vukicevic和Daughnovich的作品。本文进一步给出了富勒烯图的独立数的两个定理，以及富勒烯图的最小特征值的一个新的上界。
2012-05-22 math.CO
Transversal Hamilton paths and cycles
本文研究图族中的横截哈密顿路径与圈问题，给出横截哈密顿路径存在的最小度条件，解决已有公开问题，并刻画最小度≥n/2-1时不含横截哈密顿圈（及路径）的所有图族，推动横截极值图论发展。
2024-06-20 math.CO
On the number of $A$-transversals in hypergraphs
该研究聚焦超图中$A$-横贯的最大数量问题，先给出强独立集与$A$-横贯的定义，证明3-均匀超图极大强独立集数量的精确结果，再针对不同类型的集合$A$展开系统研究。
2023-08-29 math.CO
Independent Feedback Vertex Set for $P_5$-free Graphs
反馈顶点集问题是一个NP完全问题，即对于给定的整数$k\geq 0$，是否可以从给定的图中删除最多$k$个顶点，使得剩下的是一个森林。删除顶点必须形成一个独立集的变体称为独立反馈顶点集，也是NP完全的。事实上，即使决定是否存在一个独立的反馈顶点集是NP-完全的，这个问题是密切相关的$3$ -着色问题，或等价地，决定是否有一个独立的奇圈横截，即一个独立集的顶点，其删除使图二分的问题。本文系统地研究了无$H$图的独立反馈点集的复杂性.证明了当$H$包含爪或圈时，它是NP-完全的. Tamura，Ito和Zhou证明了它对于无$P_4$的图是多项式时间可解的。我们发现，它仍然是多项式时间可解的$P_5$ -自由图。我们证明了类似的独立奇循环断面问题，它问是否有一个独立的奇循环断面的大小最多$k$为一个给定的整数$k\geq 0$。最后，结合我们的研究目的，我们将$H$ -free图的独立反馈顶点集的复杂性与$3$ -着色、独立奇圈transmitting等相关问题的复杂性进行了比较.
2017-07-28 cs.DM cs.DS math.CO
Independent transversals in bipartite correspondence-covers
本文研究二部图对应覆盖中的独立横截集，证明当各部分大小至少为 $(1+\varepsilon)D/\log D$ 且最大度 $D$ 充分大时存在独立横截集，并给出非对称变体。
2021-12-08 math.CO
Number of independent transversals in multipartite graphs
Department of Mathematics and Statistics, Georgia State University（佐治亚州立大学数学与统计系）
本文证明了多部图在特定最大度限制下存在大量独立横截，证实了Haxell和Szabó的猜想，并推广至每部分含s个顶点的独立集，部分回答了Erdős等人的问题。
2026-11-04 math.CO
On the Price of Independence for Vertex Cover, Feedback Vertex Set and Odd Cycle Transversal
用$vc(G)$、$fvs(G)$和$oct(G)$分别表示图$G$中最小点覆盖、最小反馈点集和最小奇圈断面的大小.人们可能会问，当在图中寻找这些集合时，如果我们要求它们是独立的，它们可能会大多少;也就是说，独立的代价是什么？若$G$有一个独立集的顶点覆盖、反馈顶点集或奇圈截线，则分别用$ivc(G)$、$ifvs(G)$或$ioct(G)$表示这类集的最小尺寸.类似于最近关于连通性代价的研究（Hartinger et al. EuJC 2016），我们研究了当图$G$属于无$H$图类时，对于哪些图$H$，$ivc(G)$、$ifvs(G)$和$ioct(G)$的值分别根据$vc(G)$、$fvs(G)$和$oct(G)$有界。我们发现完整的分类顶点覆盖和反馈顶点集和一个几乎完整的分类奇循环横截（受三个非等价的开放情况）。我们还研究了当图$G$属于$H$ -free图类时，对于哪些图$H$，$ivc(G)$，$ifvs(G)$和$ioct(G)$的值分别等于$vc(G)$，$fvs(G)$和$oct(G)$。我们发现一个完整的分类的顶点覆盖和几乎完全分类的反馈顶点集（受一个开放的情况下）和奇循环横截（受三个开放的情况下）。
2019-10-11 cs.DM cs.DS math.CO
Colourings, transversals and local sparsity
最近推出的列表着色形式和早期的工作独立的横截服从局部稀疏性条件的动机，我们使用半随机方法来证明以下结果。对于满足$μ(d)=o(d)$作为$d\to\infty$的任何函数$μ$，存在满足$λ(d)=d+o(d)$作为$d\to\infty$的函数$λ$，使得以下成立。对于任何图$H$和任何将其顶点划分为大小至少为$λ$的部分，使得（a）对于每个部分，其顶点到其他部分的度的平均值至多为$d$，并且（b）从顶点到某个其他部分的最大度至多为$μ$，保证存在形成$H$的独立集的部分的横截。这是对Loh和Sudakov（2007）以及Molloy和Thron（2012）的两个结果的共同加强，而这两个结果又各自暗示了Reed和Sudakov（2002）的早期结果。
2021-08-13 math.CO
Partial independent transversals in multipartite graphs
该研究针对多部图的部分独立横贯存在性问题，推导了不同奇偶性参数下保证$(r-d)$-IT存在的分部大小界，证明界的紧性并推广已有经典结果，还解决了6部图5-IT的相关公开问题。
2025-06-11 math.CO
Constructing graphs with no independent transversals
University of Waterloo（滑铁卢大学）
本文提出一种系统方法构造无独立交叉集的图，统一了先前构造，并给出了最大度为二的极小图及局部稀疏图的构造，同时反驳了多个猜想。
2026-04-23 math.CO
The Density Turán problem
令$H$是$n$顶点上的图，并令爆破图$G[H]$定义如下。如果$(v_i,v_j)$是图$H$的一条边，我们用一个簇$A_i$代替$H$的每个顶点$v_i$，并连接$A_i$和$A_j$的一些顶点对.通常，我们将$A_i$和$A_j$之间的边密度定义为$d(A_i,A_j)=\frac{e(A_i,A_j)}{|A_i||A_j|}.$。给定每条边的密度$γ_{ij}$ $(i,j)\in E(H)$。然后判定是否存在一个边密度至少为$γ_{ij}$的爆破图$G[H]$，使得不能从每个簇中选择一个顶点，从而使得到的图与$H$同构，即没有$H$作为横截出现在$G[H]$中.我们称$d_{crit}(H)$为存在边密度为$d(A_i,A_j)=d_{crit}(H)$ $((v_i,v_j)\in E(H))$且不含上述意义下的$H$的爆破图$G[H]$的最大值。我们的主要目标是确定临界边密度和极值图的特征。
2014-07-29 math.CO
Degree criteria and stability for independent transversals
本文完整刻画了图的最大度和最大平均块度共同保证独立横截存在的度准则对，并利用图的独立复形的拓扑连通性证明了该结果，同时给出了相关定理的稳定性版本。
2023-05-17 math.CO
Separating the online and offline DP-chromatic numbers
DP-着色问题是列表着色问题的推广，其目标是在图$G$的某个拓扑覆盖中找到一个独立断面。在在线DP-着色问题中，$G$的覆盖是一次一个分量地显示的，并且覆盖的独立断面必须基于不完全信息分块构造. Kim，Kostochka，Li，and Zhu问这两个图着色问题对应的色数是否可以在单个图中有任意大的差异。我们通过构造在线DP-色数和离线DP-色数之间的差距任意大的图来肯定地回答这个问题。
2022-09-19 math.CO
On the Turán number of the blow-up of the hexagon
图$F$的$r$ -blowup，记作$F[r]$，是通过分别用大小为$r$的独立集合和$K_{r,r}$的副本替换$F$的顶点和边而得到的图.对于二部图$F$，关于$F[r]$的图兰数的数量级知之甚少。在本文中，我们证明了$\mathrm{ex}(n,C_6[2])=O(n^{5/3})$，更一般地，对任何正整数$t$，$\mathrm{ex}(n,θ_{3,t}[2])=O(n^{5/3})$。当$t$足够大时，这是紧的。
2021-06-21 math.CO
Quantum walks on blow-up graphs
本文研究膨胀图上的量子态转移，建立强同谱性、周期性、完美态转移和相当好的态转移的充要条件，证明发生 PST 或 PGST 时复制数必须为 2，并给出无限族图的判定结果。
2024-01-14 math.CO quant-ph
Odd Cycle Transversal on $H$-free graphs
Chalmers University of Technology（查尔姆斯理工大学）；IT University of Copenhagen（哥本哈根信息技术大学）；Norwegian School of Economics（挪威经济学院）；University of Parma（帕尔马大学）
本文研究奇环横贯问题，在 $H$-free 图上给出拟多项式时间算法，通过引入 $H$-amiable 族实现复杂度二分法，并改进最大权重独立集归约开销。
2026-09-28 cs.DM cs.DS math.CO
Erdős-Ko-Rado Theorems for Paths in Graphs
Virginia Commonwealth University（弗吉尼亚联邦大学）
本文研究图中长度-r路径族的1-相交和s-相交性质，证明太阳图和theta图满足EKR性质，并给出Hilton-Milner型结果和横贯数结论。
2026-06-19 math.CO
Laplacian quantum walks on blow-up graphs
本文以拉普拉斯矩阵为哈密顿量，研究膨胀图上的量子行走，刻画相关谱性与态转移性质，给出构造并得到新无限族正则图，还解决了特定膨胀图添加匹配后的态转移问题。
2025-04-15 math.CO quant-ph
Universality for transversal Hamilton cycles in random graphs
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
该研究在稀疏随机图中证明了哈密顿回路的普遍性，通过结合McDiarmid耦合和Friedman-Pippenger树嵌入技术，展示了在特定概率条件下图元组的哈密顿-普遍性。
2026-02-25 math.CO
Rainbow Arborescence Conjecture
Department of Mathematical and Computing Science, School of Computing, Institute of Science Tokyo（数学与计算科学系，计算学院，东京科学研究所）
彩虹树猜想研究了由n-1个spanning arborescences组成的图中是否存在一个使用每个弧恰好一次的arborescence，并证明了相关计算问题的NP完全性及在特定情况下的成立性。
2025-12-09 cs.DM cs.DS math.CO
Tiling transitive tournaments and their blow-ups
令$TT_k$表示$k$顶点上的传递竞赛图。令$TT(h,k)$表示通过用大小为$h \geq 1$的独立集合替换每个顶点而从$TT_k$获得的图。证明了以下结果：设$c_2=1/2$，$c_3=5/6$和$c_k=1-2^{-k-\log k}$为$k \geq 4$ .对于每个$ε> 0$，存在$N=N(ε,h,k)$，使得对于每个具有$n > N$顶点和$δ(G) \geq c_kn$的无向图$G$，$G$的每个方向都包含$TT(h,k)$的顶点不相交副本，这些副本覆盖除最多$εn$顶点之外的所有顶点。在$k=2$和$k=3$的情况下，结果是渐近紧的。对于$k \geq 4$，$c_k$不能改善至小于$1-2^{-0.5k(1+o(1))}$。
2002-10-22 math.CO
Changes in the Seidel energy of blow-up graphs under edge deletion
School of Mathematical Sciences, Anhui University（安徽大学数学科学学院）
研究边删除下边膨胀图的Seidel能量变化，建立独立集膨胀图框架内的结构准则，给出Turán图和完全多部图边删除时Seidel能量变化情况，为Tian等人的问题提供肯定答案。
2026-07-08 math.CO
A constructive algorithm for the LLL on permutations
针对随机排列语境下LLL算法缺失的问题，提出一种构造性随机多项式时间算法，应用于拉丁横贯等组合问题，并保留Moser-Tardos算法的多数性质。
2016-12-08 cs.DS math.CO
