发表机构
Chalmers University of Technology; IT University of Copenhagen; Norwegian School of Economics; University of Parma（查尔姆斯理工大学; 哥本哈根信息技术大学; 挪威经济学院; 帕尔马大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究奇环横贯问题，在 $H$-free 图上给出拟多项式时间算法，通过引入 $H$-amiable 族实现复杂度二分法，并改进最大权重独立集归约开销。
AI 中文摘要
\textsc{Odd Cycle Transversal}（奇环横贯）是一个经典的 $\text{NP}$-难图优化问题，要求找到一个最小权重的顶点集合，使得删除这些顶点后输入图变为二分图，等价地，即找到一个最大权重的诱导二分子图。我们证明，对于每个固定的 $k \in \text{N}$，\textsc{Odd Cycle Transversal} 在 $kP_4$-free 图上可在拟多项式时间内求解。实际上，我们为更一般的 \textsc{Max-Weight List $2$-Colorable Induced Subgraph}（最大权重列表 $2$-可着色诱导子图）问题提供了一个 $n^{O_k(\text{log} n)}$ 时间的算法，其中记号 $O_{k}(\text{cdot})$ 隐藏了依赖于 $k$ 的因子。结合文献中已有的结果，这使得我们能够为这两个问题在 $H$-free 图上获得一个完整的复杂度二分法，分为拟多项式时间可解的情形和 $\text{NP}$-难的情形，特别地解决了 Agrawal、Lima、Lokshtanov、Saurabh 和 Sharma [SODA 2024] 提出的一个开放问题。我们的算法基于一个新的结构工具，该工具可能具有独立的研究兴趣。我们引入了 $H$-amiable 族的概念，并证明对于每个没有孤立顶点的固定图 $H$ 和每个固定的 $k\texteq 2$，每个 $kH$-free 图都允许一个拟多项式大小的 $H$-amiable 族，且该族可以在拟多项式时间内构造。除了产生上述算法外，这一结果还为每个固定的连通图 $H$ 和每个固定的 $k\texteq 2$ 提供了一个从 $kH$-free 图上的 \textsc{Max-Weight Independent Set}（最大权重独立集）问题到 $H$-free 图上同一问题的归约，其开销为 $n^{O_{H,k}(\text{log} n)}$。在此设置下，它改进了通过专门化 Gartland 和 Lokshtanov [FOCS 2020] 的一般归约所获得的 $n^{O_{H,k}(\text{log}^3 n)}$ 开销。
英文摘要
\textsc{Odd Cycle Transversal} is a classic $\mathsf{NP}$-hard graph optimization problem asking for a minimum-weight set of vertices whose deletion makes the input graph bipartite, or equivalently, a maximum-weight induced bipartite subgraph. We show that \textsc{Odd Cycle Transversal} is quasi-polynomial-time solvable on $kP_4$-free graphs, for every fixed $k \in \mathbb{N}$. In fact, we provide an $n^{O_k(\log n)}$-time algorithm for the more general \textsc{Max-Weight List $2$-Colorable Induced Subgraph}, where the notation $O_{k}(\cdot)$ hides factors depending on $k$. Paired with known results from the literature, this allows us to obtain a complete complexity dichotomy for these two problems on $H$-free graphs into cases solvable in quasi-polynomial time and cases which are $\mathsf{NP}$-hard, in particular resolving an open problem of Agrawal, Lima, Lokshtanov, Saurabh, and Sharma [SODA 2024]. Our algorithms are based on a new structural tool that may be of independent interest. We introduce the notion of $H$-amiable family and show that, for every fixed graph $H$ without isolated vertices and every fixed $k\ge2$, every $kH$-free graph admits an $H$-amiable family of quasi-polynomial size that can be constructed in quasi-polynomial time. Besides yielding the aforementioned algorithms, this result gives, for every fixed connected graph $H$ and every fixed $k\ge2$, a reduction from \textsc{Max-Weight Independent Set} on $kH$-free graphs to the same problem on $H$-free graphs with $n^{O_{H,k}(\log n)}$ overhead. In this setting, it improves the $n^{O_{H,k}(\log^3 n)}$ overhead obtained by specializing the general reduction of Gartland and Lokshtanov [FOCS 2020].
