关于 $\mathbb{Z}_m^n$ 上序列的 Ducci 周期的取值
Values of Ducci Periods for Sequences on $\mathbb{Z}_m^n$
AI总结：
本文研究 $\mathbb{Z}_m^n$ 上 Ducci 序列的周期取值问题，刻画了 $\text{Per}(\mathbf{u})$ 的可能取值，并给出了使周期小于最大周期的若干充分条件。
摘要：
设 $D: \mathbb{Z}_m^n \to \mathbb{Z}_m^n$ 定义为 \\[D(x_1, x_2, ..., x_n)=(x_1+x_2 \\; \text{mod} \\; m, x_2+x_3 \\; \text{mod} \\; m, ..., x_n+x_1 \\; \text{mod} \\; m).\\] 我们称 $D$ 为 Ducci 函数，并称序列 $\{D^α(\mathbf{u})\}_{α=0}^{\infty}$ 为 $\mathbf{u}$ 的 Ducci 序列，其中 $\mathbf{u} \in \mathbb{Z}_m^n$。每个 Ducci 序列都会进入一个循环，因此我们可以令 $\text{Per}(\mathbf{u})$ 表示 $\mathbf{u}$ 的 Ducci 循环中元组的个数，即 $\mathbf{u}$ 的周期。在本文中，我们将考察 $\text{Per}(\mathbf{u})$ 可能具有的不同取值，并给出一些条件：只要 $\mathbf{u}$ 满足其中至少一个条件，$\mathbf{u}$ 就会产生一个小于最大周期的周期。
英文摘要：
Let $D: \mathbb{Z}_m^n \to \mathbb{Z}_m^n$ be defined so that \[D(x_1, x_2, ..., x_n)=(x_1+x_2 \; \text{mod} \; m, x_2+x_3 \; \text{mod} \; m, ..., x_n+x_1 \; \text{mod} \; m).\] We call $D$ the Ducci function and the sequence $\{D^α(\mathbf{u})\}_{α=0}^{\infty}$ the Ducci sequence of $\mathbf{u}$ for $\mathbf{u} \in \mathbb{Z}_m^n$. Every Ducci sequence enters a cycle, so we can let $\text{Per}(\mathbf{u})$ be the number of tuples in the Ducci cycle of $\mathbf{u}$, or the period of $\mathbf{u}$. In this paper, we will look at what different possible values of $\text{Per}(\mathbf{u})$ we can have and some conditions that if $\mathbf{u}$ meets at least one of them, $\mathbf{u}$ will generate a period smaller than the maximum period.
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