考察 $\mathbb{Z}_m^n$ 上的 $H$-闭 Ducci 序列
Examining $H$-Closed Ducci Sequences on $\mathbb{Z}_m^n$
AI总结：
本文研究模整数环上Ducci序列在循环移位下的不变性，刻画u与H^β(u)具有相同Ducci循环的条件，并证明若干n,m情形下该性质对所有u成立。
摘要：
设 $D$ 是 $\mathbb{Z}_m^n$ 上的一个自同态，使得 \\[D(x_1, x_2, ..., x_n)=(x_1+x_2 \\; \text{mod} \\; m, x_2+x_3 \\; \text{mod} \\; m, ..., x_n+x_1 \\; \text{mod} \\; m).\\] 我们称序列 $\{D^α(\mathbf{u})\}_{α=0}^{\infty}$ 为 $\mathbf{u} \in \mathbb{Z}_m^n$ 的 Ducci 序列，该序列总会进入一个循环。现在设 $H$ 是 $\mathbb{Z}_m^n$ 上的一个自同态，使得 \\[H(x_1, x_2, ..., x_n)=(x_2, x_3, ..., x_n, x_1).\\] 在本文中，我们将讨论当 $β>0$ 时 $\mathbf{u}$ 与 $H^β(\mathbf{u})$ 具有相同 Ducci 循环的若干情形，并证明若干 $n,m$ 的情形，在这些情形下对每个 $\mathbf{u} \in \mathbb{Z}_m^n$ 该性质都成立。
英文摘要：
Let $D$ be an endomorphism on $\mathbb{Z}_m^n$ so that \[D(x_1, x_2, ..., x_n)=(x_1+x_2 \; \text{mod} \; m, x_2+x_3 \; \text{mod} \; m, ..., x_n+x_1 \; \text{mod} \; m).\] We call the sequence $\{D^α(\mathbf{u})\}_{α=0}^{\infty}$ the Ducci sequence of $\mathbf{u} \in \mathbb{Z}_m^n$, which always enters a cycle. Now let $H$ be an endomorphism on $\mathbb{Z}_m^n$ such that \[H(x_1, x_2, ..., x_n)=(x_2, x_3, ..., x_n, x_1).\] In this paper, we will talk about a few cases when $\mathbf{u}$ and $H^β(\mathbf{u})$ have the same Ducci cycle for $β> 0$, as well as prove a few cases of $n,m$ where this is guaranteed for every $\mathbf{u} \in \mathbb{Z}_m^n$.
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