Products of $p$-Adic Valuation Trees
本研究围绕数论中的素因子整除性问题，利用$p$-进赋值构建可视化的$p$-进赋值树，探究有理系数线性函数及多项式乘积生成树的节点分裂规律，明确了这类多项式树的无限分支与终止节点赋值特征。
2023-08-22 math.NT
The 2-adic valuation of the coefficients of a polynomial
本文计算了与定积分$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(x^4+2*a*x^2+1)^(m+1)}$有关的多项式的2-adic赋值
2003-08-07 math.CA math.NT
Conditional expanding bounds for two-variable functions over finite valuation rings
本文利用谱图理论的方法得到了$q^r$阶的有限赋值环$\mathcal{R}$上的和积问题的一些结果，推广了Hegyvári和Hennecart（2013）的结果.更精确地说，我们证明了，对于相关的二元函数$f(x,y)$和$g(x,y)$对，如果$A$和$B$是两个集在$\mathcal{R}^*$与$|A|=|B|=q^α$，那么\[\max\left\lbrace |f(A, B)|, |g(A, B)| \right\rbrace\gtrsim |A|^{1+Δ(α)},\]的一些$Δ(α)>0$。
2016-11-19 math.NT
On the Extensions of a Discrete Valuation in a Number Field
设$K$是由一元不可约多项式$F(X) \in \mathbb{Z}[X]$定义的数域，$p$是固定的有理素数，$ν_p$是与$p$相关联的离散赋值。假设$\overline{F}(X)$将模$p$因子化为$r$不同一元不可约多项式的幂的乘积。本文给出了一个比已知条件弱的条件，它保证了$K$扩展$ν_p$的$r$赋值的存在性.我们进一步指定的分歧指数和剩余度，这些扩展的估值在这样一种方式，推广已知的估计。给出了一些有用的注释和计算实例，以突出由于我们的结果的一些改进。
2018-02-17 math.NT
Defectless polynomials over henselian fields and inductive valuations
设$(K,v)$是一个Hensel值域.设$\mathbb{P}^{dless}\subset K[x]$是一元的、不可约多项式的集合，这些多项式是无缺陷的并且次数大于1。对于$\,\mathbb{P}^{dless}$上的某个等价关系$\,\approx\,$，我们建立了一个典型的双射$\mathbb{M}\to \mathbb{P}^{dless}/\!\!\approx$，其中$\mathbb{M}$是一个离散的MacLane空间，它是根据$v$在$K[x]$上的归纳赋值构造的.
2019-03-15 math.AG math.NT
Integral points on elliptic curves and explicit valuations of division polynomials
假定椭圆曲线上无挠点高度的Lang限制下界，证明了存在一个绝对常数C，使得对任意椭圆曲线E/Q和E（Q）中的无挠点P，至多存在一个整数倍[n]P，使得n > C.该证明是一个修改的证明英格拉姆给一个无条件的，但不统一的约束。新的成分是一个明确的公式集合的序列的估值的司多项式。对于非奇异约化的P，这样的序列在大多数情况下已经得到了很好的描述，但是对于奇异约化的P，我们定义了一类新的序列，称为椭圆troublemaker序列，它度量了Neron局部高是二次的失败。作为Lang和Hall猜想的一个推论，我们得到了具有两个大整数倍的整数点的h（P）/h（E）的一致上界.
2014-12-29 math.NT
Computation of residual polynomial operators of inductive valuations
设$(K,v)$是一个赋值域，$μ$是$v$在$K[x]$上的归纳赋值.设$G_μ$是$K[x]$上$μ$的分次代数，$κ$是$G_μ$的零次齐次元构成的子环的极大子域.本文给出了计算域$κ$和剩余多项式算子$R_μ: K[x]\toκ[y]$的一个算法，其中$y$是另一个不定式，而不需要在分次代数中进行任何计算.这导致了OM算法来计算可分离的无缺陷的多项式的因式分解在亨塞尔领域。
2020-04-30 math.AG math.NT
Common valuations of division polynomials
本文推导了除法多项式在不同赋值域下的消去指数公式，扩展了Yabuta-Voutier在有限扩张中的结果至非标准Kodaira类型和非完美余数域情况。
2024-03-19 math.AG math.NT
One half log discriminant and division polynomials
L. Szpiro和T. Tucker最近证明了在较弱的条件下，离散赋值环上半稳定约化椭圆曲线的最小判别式的赋值可以表示为n-挠和2-挠的交集，其中n趋于无穷大. Szpiro和Tucker的论证本质上是几何的。给出了一个基于除多项式算法的证明，并将结果推广到超椭圆曲线的情形。
2012-07-23 math.NT
Uniform existential definitions of valuations in function fields in one variable
本文研究基域为整体域或特定大域的一元函数域，利用二次型的局部-整体原则证明希尔伯特第十问题有否定答案，并给出赋值环与整闭子代数的可定义性结果。
2026-10-30 math.NT
On the generating polynomials for the distribution of generalized binomial coefficients in discrete valuation domains
对于具有极大理想$\mathfrak{m}$的离散赋值域$V$，使得剩余域$V/\mathfrak{m}$是有限的，存在定义在$V$的商域$K$上的多项式序列$(F_n(x))_{n \ge 0}$，其形成$V$ -模块$\text{Int}(V) = \{f \in K[x] | f(V)\subseteq V\}$的基础。这个多项式序列与经典的二项式多项式$(\binom{x}{n})_{n \ge 0}$有许多相似之处。在本文中，我们引入了一个生成多项式占的分布的$V$ -值的多项式$F_n(x)$模的最大理想$\mathfrak{m}$，并证明了一个结果，提供了一种方法，用于计数究竟有多少$V$ -值的多项式$(F_n(x))_{n \ge 0}$落入每个剩余类模$\mathfrak{m}$。本文的主要定理可以看作是经典的Garfield和Wilf定理在离散赋值域上的一个类似。
2020-06-12 math.AC math.CO math.NT
2-adic Valuations of Quadratic Sequences
由整系数二次整系数多项式的系数直接确定其2-adic赋值序列的性质。这些属性包括有界性或无界性、周期性和终止节点处的赋值。我们完全描述了有界情况下的周期序列。在整个过程中，我们用树和序列来构建结果。
2021-08-11 math.NT
Explicit valuation of elliptic nets for elliptic curves with complex multiplication
University of Warwick（华威大学）；Warwick Mathematics Institute（华威数学研究所）
针对具有复乘的椭圆曲线，给出了椭圆网多项式在点乘倍下的公共赋值公式，并应用于证明椭圆可除序列满足递推关系。
2026-06-29 math.NT
Integer-valued polynomials on discrete valuation rings of global fields with prescribed lengths of factorizations
该研究针对全局域赋值环上整值多项式的分解问题，证明对指定的分解长度序列，存在对应整值多项式，并将结果推广到满足条件的离散赋值环，解决了相关公开问题。
2023-08-24 math.AC math.NT
An upper bound for valuations of elliptic nets at primes of bad reduction
University of Warwick（华威大学）
针对短Weierstrass方程定义的椭圆曲线，研究人员给出了椭圆网多项式相关量在坏约化素处赋值的一致上界，该网多项式可用于椭圆曲线计数问题研究。
2026-10-14 math.NT
The greatest common valuation of $ϕ_{n}$ and $ψ_{n}^{2}$ at points on elliptic curves
给定椭圆曲线的极小模型$E/K$，在${\mathbb Q}_{p}$的有限扩张$K$上，对于任意有理素数$p$和任意无限阶点$P \in E(K)$，我们精确地确定了$\min \left( v \left( ϕ_{n}(P) \right), v \left( ψ_{n}^{2}(P) \right) \right)$，其中$v$是$K$上的归一化赋值，而$ϕ_{n}(P)$和$ψ_{n}(P)$是该曲线模型乘以$n$所产生的多项式。
2021-06-14 math.NT
On alternative definition of Lucas atoms and their $p$-adic valuations
本文提出 Lucas 原子更自然的替代定义，刻画其对任意素数 $p$ 的 $p$-进赋值，并证明该序列非完整。
2023-08-20 math.NT
Complexity of OM factorizations of polynomials over local fields
设$k$是关于离散赋值$v$的局部紧完备域.设$\oo$是赋值环，$\m$是极大理想，$F(x)\in\oo[x]$是$n$次的一元可分多项式.让$δ=v(\dsc(F))$。Montes算法计算$F$的OM分解。单因子提升算法从该数据导出$F \md{\m^ν}$的因子分解，以获得规定的精度$ν$。在本文中，我们发现一个新的估计的复杂性的蒙特斯算法，导致估计$O(n^{2+ε}+n^{1+ε}δ^{2+ε}+n^2ν^{1+ε})$字操作的复杂性的计算的一个分解的$F \md{\m^ν}$，假设剩余字段的$k$是小的。
2012-04-20 math.NT
On the additive structure of algebraic valuations of polynomial semirings
本文利用D。D.安德森，D。F. Anderson和M. 1990年的Zafrullah。一个可消交换么半群是原子幺半群，如果每个不可逆元素都分解为不可约元素。我们首先确定当$\mathbb{N}_0[α]$是原子的，我们给出了一个明确的描述，其不可约集。一个原子幺半群是一个有限分解幺半群（FFM），如果每个元素只有1000个分解（直到阶和相关），并且它是一个有界分解幺半群（BFM），如果对于每个元素，每个分解中的不可约数（计数重复）都有一个界。证明了对幺半群$\mathbb{N}_0[α]$，BFM的性质和FFM的性质等价于主理想上的升链条件条件（ACCP）.最后，我们给出了$\mathbb{N}_0[α]$是唯一分解么半群（UFM）的各种刻画，其中两个刻画是关于$α$的极小多项式的。同时，我们也研究了它的非线性生成、半阶乘和长度阶乘的性质。
2023-01-20 math.AC math.NT
Counting Tropically Degenerate Valuations and p-adic Approaches to the Hardness of the Permanent
舒布-斯梅尔-陶猜想是一个迄今为止尚未被证明的命题（关于多项式的整数根），它的真实性意味着$P\neq NP$的一个变体（对于C上的BSS模型）和永久式的硬度。我们给出了替代的命题，其中一些可能更容易证明，其真理性仍然暗示着恒常的硬度。一路上，我们讨论了新上界的数量$p$ -进估值的某些稀疏多项式系统的根，最终在定量p-进几何和复杂性理论之间的连接。
2013-09-02 cs.CC math.NT
Resultants and subresultants of p-adic polynomials
我们解决的问题的结果和子结果的多项式定义在完整的离散赋值环（例如Zp或k [t]]，其中k是一个字段）的计算的稳定性。我们证明，欧几里德算法是高度不稳定的平均，我们解释，在许多情况下，如何可以稳定它们而不增加复杂性。在此基础上，完全确定了两个同阶随机一元p-adic多项式主子结式赋值的分布。
2015-07-23 cs.SC math.NT
Estimating the $p$-adic valuation of the resultant
设$f$和$g$是两个具有整数系数和非零结果$r$的一元多项式。假设$v_p(f(n))\ge s_1$和$v_p(g(n))\ge s_2$对所有整数成立$n$对某些$s_1, s_2$固定非负整数成立.令$S$表示$v_p(gcd(f(n),g(n)))$在所有整数$n$上的最大值。本文建立了$v_p(r)$的多重下界.更具体地说，我们表明，$v_p(r)\ge S-\max{s_1,s_2}+ps_1s_2\frac{p-1}{p-p^{-k}}$，其中$k=\lfloor \log_p((p-1)\max\{s_1,s_2\}+1)\rfloor -1$。
2021-11-11 math.NT
Valuations of exponential sums and Artin-Schreier curves
令$p$表示奇素数。本文研究了特征为$p$的有限域上一元多项式的可加指数和的$p$ -整除性，以及确定某些Artin-Schreier曲线族的Newton多边形，即特征为$p$的射影线的$p$ -循环覆盖的问题.首先给出了固定次数多项式指数和的$p$ -整除性的一个下界。然后证明了定义在特征$p$的有限域上的Artin-Schreier曲线当其亏格$g$对于某些$1\leq i\leq p-1$和$n\geq 1$具有$(p-1)\left(i(p^n-1)-1\right)/2$形式使得$n(p-1)>2$时不可能是超奇异的.我们还确定了固定亏格的$p$ -秩$0$ Artin-Schreier曲线族的一般牛顿多边形的第一个顶点，以及相关的Hasse多项式。
2015-02-03 math.AG math.NT
On a factorization result of Ştefănescu
本文研究离散赋值域上多项式的因式分解性质，并借助 Newton 指数概念推广了 Ştefănescu 于2014年证明的主要结果。
2021-12-19 math.AG math.NT math.RA
Reciprocal Dynamics in Polynomial Congruence Jumping: Integral Orbits and Valuation Cones
The George Washington University（乔治华盛顿大学）
该研究针对固定次数n,m的多项式对，定义同余跳跃中的互反离散动力系统，通过SL₂(ℤ)矩阵演化常数项赋值，分类不同s=nm regime下的积分轨道，给出局部准则与周期轨道结果。
2026-10-21 math.DS math.NT
On a factorization result of Ştefănescu -- II
本文推广了 Ştefănescu 关于离散赋值环上多项式的因式分解结果，使其覆盖更大一类多项式，该结果有助于设计多项式因式分解算法。
2023-09-15 cs.NA math.AC math.NA
