有限赋值环上二元函数的条件扩张界
Conditional expanding bounds for two-variable functions over finite valuation rings
摘要：
本文利用谱图理论的方法得到了$q^r$阶的有限赋值环$\mathcal{R}$上的和积问题的一些结果，推广了Hegyvári和Hennecart（2013）的结果.更精确地说，我们证明了，对于相关的二元函数$f(x,y)$和$g(x,y)$对，如果$A$和$B$是两个集在$\mathcal{R}^*$与$|A|=|B|=q^α$，那么\[\max\left\lbrace |f(A, B)|, |g(A, B)| \right\rbrace\gtrsim |A|^{1+Δ(α)},\]的一些$Δ(α)>0$。
英文摘要：
In this paper, we use methods from spectral graph theory to obtain some results on the sum-product problem over finite valuation rings $\mathcal{R}$ of order $q^r$ which generalize recent results given by Hegyvári and Hennecart (2013). More precisely, we prove that, for related pairs of two-variable functions $f(x,y)$ and $g(x,y)$, if $A$ and $B$ are two sets in $\mathcal{R}^*$ with $|A|=|B|=q^α$, then \[\max\left\lbrace |f(A, B)|, |g(A, B)| \right\rbrace\gtrsim |A|^{1+Δ(α)},\] for some $Δ(α)>0$.
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