An arbitrary-order BGG-based discrete scheme for the Reissner--Mindlin plate problem on polygonal meshes
IMAG, Univ. Montpellier, CNRS（蒙彼利埃大学，法国国家科学研究中心）
本文提出并分析了一种基于离散BGG复形和$H_2$构造的任意阶无闭锁格式，用于多边形网格上的Reissner--Mindlin板问题，并通过数值实验验证了其收敛性和增强连续性的优势。
2026-09-16 cs.NA math.NA
A virtual element generalization on polygonal meshes of the Scott-Vogelius finite element method for the 2-D Stokes problem
虚元法是将有限元法推广到多面体网格的伽辽金近似方法。在本文中，我们提出了一个符合制定推广的Scott-Vogelius有限元方法的数值逼近的斯托克斯问题的多边形网格的框架中的虚元法。特别是，我们考虑一个简单的应用程序的标量椭圆问题的虚元近似空间的矢量情况下，通过不连续多项式近似的压力变量。我们评估的有效性的数值逼近通过调查的收敛性制造的解决方案的问题和一组有代表性的多边形网格。我们数值计算表明，除了最低阶的情况下，三角形网格，该方法符合$P_1-P_0$斯科特-Vogelius计划，并在方形网格，这是众所周知的是不稳定的情况下，该配方是收敛的最佳收敛速度。
2021-12-25 cs.NA math.NA
A priori and a posteriori error analysis of the lowest-order NCVEM for second-order linear indefinite elliptic problems
在约化椭圆正则性条件下，研究了多边形区域上一般线性二阶非自伴不定椭圆型偏微分方程弱解的逼近问题.先验误差分析中的主要工具是通过插值算子$I_h$的右逆$J$将插值虚元空间和Sobolev空间$H^1_0(Ω)$连接起来。离散解的稳定性允许证明存在唯一的离散解、离散inf-sup估计，因此，允许证明$H^1$和$L^2$范数中的最优误差估计。显式残差后验误差估计的NCVEM是可靠和有效的稳定和振荡项。不同类型的多边形网格上的数值实验说明了误差估计的鲁棒性，并支持改进的收敛速度的自适应网格加密相比，均匀网格加密。
2022-03-13 cs.NA math.NA
Error estimates of finite element methods for nonlocal problems using exact or approximated interaction neighborhoods
本文研究非局部模型有限元解在视域参数与网格尺寸同时趋于零时收敛到局部模型精确解的渐近误差，并分析精确与多边形近似相互作用邻域两种情形，辅以数值实验验证理论。
2024-09-14 cs.NA math.NA
Construction of scalar and vector finite element families on polygonal and polyhedral meshes
University of Arizona（亚利桑那大学）；CD-adapco；University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
本文结合多面体域网格化理论、广义重心坐标和有限元外算术，构造出适用于二维和三维通用凸多面体网格的标量和向量有限元基函数，扩展了Whitney形式到非单纯多边形和多面体。
2016-04-26 cs.NA math.NA
A Mixed Extended Virtual Element Method for Elliptic Interface Problems on Polygonal Meshes
Jinling Institute of Technology（金陵科技学院）；Nanjing Normal University（南京师范大学）；Jiangsu Second Normal University（江苏第二师范学院）
提出一种最低阶H(div)协调混合扩展虚拟元方法，用于界面非拟合多边形网格上的椭圆界面问题，通过子域扩展的H(div)-VEM空间和分片常数逼近通量与压力，并引入修正界面通量惩罚和局部散度鬼惩罚实现界面位置无关的稳定性，证明了最优一阶误差估计。
2026-06-07 cs.NA math.NA
Nonconforming virtual elements for the biharmonic equation with Morley degrees of freedom on polygonal meshes
最低阶的虚元将Morley三角形元推广到多边形元，用于逼近双调和方程的弱解$u\in V:=H^2_0(Ω)$.抽象的框架允许（甚至混合）两个例子的局部离散空间$V_h(P)$和平滑允许粗糙源项$F\in V^*=H^{-2}(Ω)$。本文中的先验和后验误差分析通过从虚元空间$V_h$中得到可计算的相容伴随算子$J:V_h\to V$来避开二阶导数的任何迹。算子$J$是插值算子的右逆算子，在不对$u\in V$作任何额外正则性假设的情况下，得到了分段Sobolev范数的最优误差估计.作为一个平滑的同伴经营者修改离散的右手边，然后允许准最佳逼近。一个显式的基于残差的后验误差估计是可靠和有效的数据振荡。数值算例显示了预测的经验收敛率均匀和最佳的自适应网格细化的收敛率。
2022-05-18 cs.NA math.NA
Virtual Element Methods for general second order elliptic problems on polygonal meshes
Università di Milano（米兰大学）；IMATI del CNR（CNR IMATI研究所）；IUSS（国际高等研究学院）；Università di Pavia（帕维亚大学）；Università di Milano-Bicocca（米兰比可卡大学）
本文提出一种虚拟元方法，用于求解具有光滑系数的通用线性二阶椭圆算子的边值问题，通过L²投影算子提升方法的准确性和鲁棒性，验证了其在变系数情况下的有效性。
2014-12-08 cs.NA math.NA
Lowest-order Nonstandard Finite Element Methods for Time-Fractional Biharmonic Problem
本文研究了时间分数阶双调和方程初边值问题，建立了适定性与正则性结果，提出涵盖 Morley、间断 Galerkin 和 $C^0$ 内部惩罚方法的最低阶空间半离散格式，并证明了最优阶误差界，数值实验验证了理论收敛性。
2024-07-26 cs.NA math.NA
Lowest order stabilization free Virtual Element Method for the 2D Poisson equation
Istituto Nazionale di Alta Matematica (INdAM)（意大利高等数学研究所）；Politecnico di Torino（都灵理工大学）
本文提出了一种无需稳定项的首次-order扩展增强虚拟元方法，通过高阶多项式投影和局部虚拟空间的扩展性质，实现最优前验误差估计和数值验证。
2023-02-01 cs.NA math.NA
Conforming virtual element approximations of the two-dimensional Stokes problem
虚元法是一种将有限元法推广到多面体网格的伽辽金近似方法。本文给出了多边形网格上Stokes问题数值逼近的两种不同的协调虚元列式，速度向量场在这两种列式的虚元空间中逼近，而压力变量则用间断多项式逼近。这两个公式都是inf-sup稳定的，并在$L^2$和能量范数下以最优收敛速度收敛。我们评估这些数值逼近的有效性，通过调查他们的行为上的一个代表性的基准问题。观测到的收敛速度与理论预期一致，并且在机器精度水平上满足弱形式的零发散约束。
2021-12-28 cs.NA math.NA
An Efficient Numerical Scheme for the Biharmonic Equation by Weak Galerkin Finite Element Methods on Polygonal or Polyhedral Meshes
Nanjing Normal University（南京师范大学）；Nanjing Normal University Taizhou College（南京师范大学泰州学院）
本文提出了一种基于弱伽辽金有限元方法的高效算法，用于求解生物谐方程，该方法在一般多边形或多面体网格上具有对称、正定和无参数特性，提供了最优阶误差估计和数值实验验证。
2013-09-22 cs.NA math.NA
A lowest-order locking-free nonconforming virtual element method based on the reduced integration technique for linear elasticity problems
本文发展了一种求解平面线弹性问题的最低阶非线性虚元法，它可以看作是Falk（1991）思想在虚元法（VEM）中的推广，其多边形网格族满足一个非常一般的几何假设。该方法被证明是一致收敛的几乎不可压缩的情况下，最佳的收敛速度。关键的一步是建立离散的Korn不等式，得到离散的双线性型的双线性性。我们还提供了一个统一的锁定自由计划，在最低阶的情况下，符合和CNOPVEM。数值结果验证了所提数值算法的可行性和有效性。
2021-12-30 cs.NA math-ph math.MP
A Lowest-Order Robust Mixed Finite Element Method with a Third-Order Tensor Variable for Strain Gradient Elasticity
Shanghai University of Finance and Economics（上海财经大学）
针对应变梯度弹性模型，开发最低阶混合有限元方法，以三阶双应力张量为主要变量，推导公式并近似相关量，建立多种误差估计，开发后处理和杂交公式，数值实验验证了理论结果。
2026-07-21 cs.NA math.NA
A virtual element method for the Steklov eigenvalue problem allowing small edges
本文的目的是分析在用最低阶虚元法计算Steklov本征值问题的谱时小边的影响。在较弱的假设下，多边形网格，它可以允许任意小的边缘相对于元素的直径，我们表明，该计划提供了一个正确的近似的频谱和证明最佳误差估计的特征函数和双阶的特征值。最后，我们报告了一些数值试验支持的理论结果。
2020-06-17 cs.NA math.NA
The Reduced Basis Multigrid scheme for the Virtual Element Method
Politecnico di Milano（米兰理工大学）；King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）
本文提出了一种基于降阶基方法的非嵌套W-cycle多网格方案，用于在多边形网格上实现最低阶虚拟元方法，以解决虚拟元空间隐式定义带来的计算问题。
2026-01-13 cs.NA math.NA
The Virtual Element Method in 50 lines of MATLAB
University of Leicester（莱斯特大学）
本文展示了一个50行MATLAB代码实现的最低阶虚拟元方法，用于解决二维泊松问题，旨在教育用途展示方法关键组件的编程实现。
2016-06-21 cs.NA math.NA
Mixed virtual volume methods for elliptic problems
在多边形/多面体网格上发展了一类求解椭圆问题的混合虚体积方法。与\cite{brezzi2014basic,da2016mixed}中引入的混合虚元方法不同，我们的方法被简化为主变量的对称正定问题，而不使用拉格朗日乘子。我们从通常的方法开始，使用达西定律，$\bu=-{\cal K} \nabla p$，将给定的方程变成混合制系统。通过整合方程组与一些明智地选择测试空间上的每个元素，我们定义了新的混合虚拟体积方法的所有订单。我们证明了这些新格式等价于原始变量为$p$的双虚元方法。一旦主变量被计算，求解对称正定系统，达西速度的所有自由度都被局部计算。此外，$L^2$ -投影到多项式空间是很容易计算的。因此，我们的工作开辟了一个简单的方法来计算达西速度的多边形/多面体网格。对于最低阶情形，给出了满足守恒律的Raviart-Thomas类空表示的计算公式.进行了最佳误差分析，并给出了支持理论的数值结果。
2021-09-17 cs.NA math.NA
Edge-averaged virtual element methods for convection-diffusion and convection-dominated problems
本文开发了边平均虚拟元（EAVE）方法解决对流占优的对流扩散问题，引入了确保单调性的变体及与泊松方程最低阶虚拟元刚度矩阵集成的综合框架，数值实验验证了其最优收敛率。
2024-02-20 cs.NA math.NA
Nodal auxiliary space preconditioners for mixed virtual element methods
本文提出针对最低阶面片和边虚拟元的节点辅助空间预条件子，通过离散正则分解推广Hiptmair-Xu方法，证明谱条件数有界且不依赖网格尺寸，并在数值实验中验证了其对高纵横比网格的鲁棒性。
2024-11-11 cs.NA math.NA
A Weak Galerkin Mixed Finite Element Method for second order elliptic equations on 2D Curved Domains
本文研究二维区域上二阶曲线边界椭圆型方程的弱Galerkin混合有限元法。考虑了Neumann边界条件，因为它在这种情况下成为本质边界条件。众所周知，弯曲物理域和折线逼近域之间的差异导致多项式阶数$α>1$离散化的精度损失。本文件有两个目的。首先，我们提出了一个详细的误差分析，原来的WG-MFEM解决问题的曲域，表现出$O(h^{1/2})$收敛的所有$α\ge 1$。令人惊讶的是，即使是最低阶的WG-MFEM（$α=1$）也会损失精度。这与有限元法（FEM）或混合FEM的已知结果不同，并且似乎是WG-MFEM设计和折线逼近域上的向外法向量不同于弯曲域上的向外法向量的事实的组合效应。其次，我们提出了一个补救措施，使近似率回到最佳采用两种技术。一种是专门设计的边界校正技术。二是充分利用弱Galerkin离散可以定义在多边形网格上的优点，使得曲线边界可以用多条短边更好地逼近，而不需要增加网格单元总数。严格的分析表明，上述两种技术的组合可以为所有$α$提供最佳收敛性。数值结果进一步证实了这一结论。
2022-04-03 cs.NA math.AP math.NA
Fully consistent lowest-order finite element methods for generalised Stokes flows with variable viscosity
针对变粘度流动低阶有限元残差粘性部分难近似、精度受损的问题，该研究基于粘度场稍高正则性构造完全一致稳定化方法，证明可解性并推导参数，数值验证其消除了伪压力边界层。
2024-11-04 cs.NA math.NA
The non-conforming virtual element method for the Stokes equations
University of Leicester（莱斯特大学）；Los Alamos National Laboratory（洛斯阿拉莫斯国家实验室）；Istituto di Matematica Applicata e Tecnologie Informatiche (IMATI) – CNR（应用数学与信息技术研究所（IMATI）- 意大利国家研究委员会）
本文提出非匹配虚拟元方法用于稳态斯托克斯问题的数值近似，通过不连续多项式近似压力，非匹配虚拟元空间近似速度，并建立稳定且最优的误差估计。
2016-09-06 cs.NA math.NA
A $C^0$-continuous nonconforming virtual element method for linear strain gradient elasticity
本文针对二维应变梯度弹性边值问题提出一种$C^0$连续非协调虚拟元方法，通过建立Korn型不等式等推导稳定性条件与无闭锁分析，并在最低阶情形实现关于微观参数和Lamé系数的尖锐一致误差估计。
2024-12-23 cs.NA math.NA
New analysis of Mixed finite element methods for incompressible Magnetohydrodynamics
本文研究了一类稳态不可压磁流体力学混合有限元方法的误差分析，该方法采用Navier-斯托克斯方程的标准inf-sup稳定速度-压力空间对和磁场的Nédélec棱边元。在过去的几十年中，该方法已被广泛应用于各种数值模拟中，但由于系统的强耦合性和低阶Nédélec边近似在分析中的污染，现有的分析方法并不是最优的。根据一个新的修改麦克斯韦投影，我们建立了新的和最佳的误差估计。特别地，我们证明了基于常用的Taylor-Hood/最低阶Nédélec边缘元的方法是有效的，并且该方法提供了二阶精度的数值速度。给出了凸多边形域和非凸多边形域中该问题的两个数值例子。数值结果证实了我们的理论分析。
2023-03-21 cs.NA math.NA
Convergence of an adaptive mixed finite element method for general second order linear elliptic problems
Indian Institute of Technology, Bombay（印度理工学院孟买分校）
本文研究了在简单连通有界多边形域上一般二阶线性椭圆问题的自适应混合有限元方法收敛性，通过后验误差估计器和近似正交性分析，验证了方法的可靠性与有效性。
2014-02-13 cs.NA math.NA
A new family of efficient conforming mixed finite elements on both rectangular and cuboid meshes for linear elasticity in the symmetric formulation
Peking University（北京大学）
本文提出了一种新的高效混合有限元族，用于求解线弹性对称问题，通过不同阶数的元素近似应力和位移场，降低了自由度，且证明了该族的well-posedness和误差估计。
2015-01-21 cs.NA math.NA
A new discretization for mth-Laplace equations with arbitrary polynomial degrees
Institut für Numerische Simulation, Universität Bonn（波恩大学数值模拟研究所）
本文提出新的混合公式和离散化方法，用于求解任意阶m的m阶拉普拉斯方程，通过新的亥姆霍兹型分解，允许任意多项式次数的近似空间，且最低阶方法与Crouzeix-Raviart和Morley方法一致。
2016-07-18 cs.NA math.NA
A weak Galerkin finite element scheme with boundary continuity for second-order elliptic problems
Jilin University（吉林大学）；University of Arkansas at Little Rock（阿肯色大学小石城分校）
本文提出一种新的弱伽辽金有限元方法，用于在多边形网格上求解二阶椭圆问题，通过使用具有边界连续性的多项式进行分析，建立了最优阶误差估计，并通过数值实验验证了方法的鲁棒性、可靠性和准确性。
2015-09-29 cs.NA math.NA
Local convergence of the boundary element method on polyhedral domains
Vienna University of Technology（维也纳工业大学）
本文研究了在准均匀网格下，边界元方法在对称积分方程和稳定超奇异积分方程在多边/多面Lipschitz域上的局部行为，证明了对称积分方程在$ L^2 $中的局部先验估计和超奇异方程在$ H^1 $中的局部先验估计，并分析了收敛率受限于所求解的局部正则性和双问题中由位移定理提供的全局正则性与附加正则性的总和。
2017-02-14 cs.NA math.NA
Symmetric-Tensor Distributional Mixed Method for Fourth-Order Elliptic Singular Perturbation Problem
Shanghai University of Finance and Economics（上海财经大学）
针对四阶椭圆奇异摄动问题，提出一种对称张量分布混合方法，采用法向-法向连续对称张量元逼近矩变量，并用H^1非协调虚拟元空间与余维二内部子单纯形上的多项式乘子表示标量变量，推导出最优参数一致误差估计，并建立与经典HHJ方法的联系。
2026-07-09 cs.NA math.NA
Virtual element approximation of two-dimensional parabolic variational inequalities
在非结构多边形网格上设计了一种数值处理二维抛物型变分不等式问题的虚元方法。由于精确解的期望低正则性，虚拟单元法基于最低阶虚拟单元空间，该最低阶虚拟单元空间包含在每个单元上定义的线性多项式的子空间。虚元函数的非负性和自由度的非负性之间的联系，即，通过应用最大和最小值原理定理来建立网格顶点处的值。质量矩阵是通过近似的L2多项式投影计算的，其性质进行了仔细研究的文件。我们证明了所得到的方案在两种不同的方式，揭示了压缩性质的VEM和它的连接与二次泛函的最小化的适定性。收敛性分析要求存在一个非负拟插值算子，并讨论了该算子的构造。由虚元素设置引入的变分犯罪产生五个误差项，我们通过估计一个合适的上界来控制。数值实验证实了理论上的收敛速度的空间和时间上的三个不同的网格家庭，包括扭曲的正方形，非凸元素，Voronoi细分细化。
2021-05-30 cs.NA math.NA
Convergence of a mixed method for a semi-stationary compressible Stokes system
Center for Biomedical Computing, Simula Research Laboratory（Simula研究实验室生物医学计算中心）
针对Navier滑移边界条件下的半定常可压缩Stokes系统，提出一种混合有限元方法并证明其收敛到弱解，关键步骤包括速度场的强空间紧致性和DG近似的强收敛性。
2009-04-04 cs.NA math.AP math.NA
