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分次理想整依赖的数值刻画

Numerical characterizations for integral dependence of graded ideals

Suprajo Das, Sudeshna Roy, Vijaylaxmi Trivedi

备注：
27 pages
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AI总结：

本文通过 Hilbert-Samuel 重数、epsilon 重数、混合重数及极重数等可计算不变量，给出分次理想整依赖的数值刻画，推广了 Rees 经典结果并避免局部化。

摘要：

设 $R=\oplus_{m\geq 0}R_m$ 是域 $R_0$ 上的标准分次等维环，$I\subseteq J$ 是 $R$ 中两个非幂零分次理想。我们利用某些重数给出 $I$ 与 $J$ 整依赖的一组数值刻画。该方法的一个新颖之处在于它不涉及局部化，只需检验可计算且已被充分研究的不变量。特别地，我们证明如下结果：设 $S=R[y]$，$\mathsf{I} = IS$，$\mathsf{J} = JS$，并设 $\bf d$ 为 $I$ 和 $J$ 的生成次数的最大值。设 $c>{\bf d}$ 为任意给定整数。则 $$\overline{I} = \overline{J}\iff e\big(S[\mathsf{I}t]_{\Delta_{(c,1)}}\big) = e\big(S[\mathsf{J}t]_{\Delta_{(c,1)}}\big),$$ 其中 $e\big(S[\mathsf{I}t]_{\Delta_{(c,1)}}\big)$ 表示标准分次整环 $S[\mathsf{I}t]_{\Delta_{(c,1)}} = \oplus_{n\geq 0}(\mathsf{I}^n)_{cn}t^n$ 的 Hilbert-Samuel 重数。进一步，若 $I$ 在 $R$ 中具有有限余长度，则 $e\big(S[\mathsf{I}t]_{\Delta_{(c,1)}}\big) = c^de(R) - e(I,R)$。若 $R$ 还是整环，则其他数值判据如下：\begin{align*} \overline{I} = \overline{J} & \iff \varepsilon(I)=\varepsilon(J)\\;\\;\mbox{且}\\;\\; e_i(R[It]) = e_i(R[Jt])\\;\\;\mbox{对所有}\\;\\; 0\leq i <\dim(R/I), \end{align*} 其中 $\varepsilon(I)$ 表示 $I$ 的 epsilon 重数，$e_i(R[It])$ 是 Rees 代数 $R[It]$ 的混合重数。$e_i(S[\mathsf{I}t])$ 与 $\mathsf{I}_{\geq {\bf d}}$ 的极重数之间的关系给出了用 $\mathsf{I}_{\geq {\bf d}}$ 的极重数表述的另一个判据。前两个刻画推广了 Rees 关于有限余长度理想的经典结果。除若干已被充分确立的结果外，这些结果的证明还使用了密度函数理论，该理论发展于 arXiv:2311.17679。

英文摘要：

Let $R=\oplus_{m\geq 0}R_m$ be a standard graded equidimensional ring over a field $R_0$, and $I\subseteq J$ be two non-nilpotent graded ideals in $R$. Then we give a set of numerical characterizations of the integral dependence of $I$ and $J$ in terms of certain multiplicities. A novelty of this approach is that it does not involve localization and only requires checking computable and well-studied invariants. In particular, we show the following: let $S=R[y]$, $\mathsf{I} = IS$ and $\mathsf{J} = JS$ and $\bf d$ be the maximum of the generating degrees of both $I$ and $J$. Let $c>{\bf d}$ be any given integer. Then $$\overline{I} = \overline{J}\iff e\big(S[\mathsf{I}t]_{Δ_{(c,1)}}\big) = e\big(S[\mathsf{J}t]_{Δ_{(c,1)}}\big),$$ where $e\big(S[\mathsf{I}t]_{Δ_{(c,1)}}\big)$ denotes the Hilbert-Samuel multiplicity of the standard graded domain $S[\mathsf{I}t]_{Δ_{(c,1)}} = \oplus_{n\geq 0}(\mathsf{I}^n)_{cn}t^n$. Further, if $I$ is of finite colength in $R$ then $e\big(S[\mathsf{I}t]_{Δ_{(c,1)}}\big) = c^de(R) - e(I,R)$. If $R$ is also a domain, then other numerical criteria are the following: \begin{align*} \overline{I} = \overline{J} & \iff \varepsilon(I)=\varepsilon(J)\;\;\mbox{and}\;\; e_i(R[It]) = e_i(R[Jt])\;\;\mbox{for all}\;\; 0\leq i <\dim(R/I), \end{align*} where $\varepsilon(I)$ denotes the epsilon multiplicity of $I$, and $e_i(R[It])$'s are the mixed multiplicities of the Rees algebra $R[It]$. The relation between $e_i(S[\mathsf{I}t])$ and the polar multiplicities of $\mathsf{I}_{\geq {\bf d}}$ provides another criterion in terms of polar multiplicities of $\mathsf{I}_{\geq {\bf d}}$. The first two characterizations generalize Rees's classical result for ideals of finite colengths. Apart from several well-established results, the proofs of these results use the theory of density functions, which was developed in arXiv:2311.17679.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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