Graded Betti numbers of ideals with linear quotients
Leila Sharifan, Matteo Varbaro
本文证明了所有具有线性导数的齐次理想都是分支线性的。此外，我们建立了分次贝蒂数的Eliahou-Kervaire公式的一个推广形式。
In the present paper we prove that all homogeneous ideals with linear quotients are componentwise linear. Moreover we establish an extended version of Eliahou-Kervaire formula for graded Betti numbers.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Graded Betti numbers of good filtrations
最近，研究了域上多项式环中齐次理想的幂的分次贝蒂数的渐近性质.将齐次理想的幂的分次贝蒂数的拟多项式性质推广到了Notherian局部环上的Z-分次代数.此外，我们的主要结果处理的Betti表的过滤，这是有限的或积分的Rees代数。
Graded Betti numbers of path ideals of cycles and lines
利用纯组合论的方法给出了计算线图和圈的路理想的所有分次贝蒂数的公式。从而对已知的线图的路理想的正则性和投射维数公式给出新的简短证明。
On Frobenius Betti numbers of graded rings of finite Cohen-Macaulay type
针对环的Frobenius Betti数显式计算场景极少的问题，本文聚焦于有限Cohen-Macaulay型Cohen-Macaulay分次环，开展其Frobenius Betti数的显式计算研究，拓展该奇异性不变量的计算范围。
GBNL: Graded Betti Number Learning of Complex Biological Data
GBNL首次将交换代数分次贝蒂数用于蛋白质-核酸结合预测，结合k-mer集合与Transformer嵌入，有效检测突变，建立比较序列分析新范式。
Graded Betti numbers of Cohen-Macaulay modules and the Multiplicity conjecture
本文给出了Cohen-Macaulay模与正有理数相乘的可能分次贝蒂数.其思想是贝蒂图应该是纯图的非负线性组合。在决议结构已知的情况下，即，余维为2的模，余维为3的Gorenstein代数和完全交。这些猜想的动机来自于Herzog，Huneke和Srinivasan的多重性猜想。
Betti numbers for connected sums of graded Gorenstein artinian algebras
本文确定了分次阿廷Gorenstein代数连通和的分次Betti数，并证明加倍代数的连通和等价于纤维积环的加倍，从而将连通和构造与加倍构造联系起来。
Sharp upper bounds of the Betti numbers for a given Hilbert polynomial
证明了在标准分次多项式环中存在一个饱和分次理想，该饱和分次理想的总贝蒂数在所有饱和分次理想中是最大的.
Graded Betti numbers and $h$-vectors of level modules
本文研究了$h$ -向量和分次贝蒂数的水平模乘上一个有理数.通过对Cohen-Macaulay模的可能分次贝蒂数的一个猜想，得到了直到与一个有理数相乘的水平模的可能的$h$ -向量的一个刻画.我们还确定，再次乘以有理数，可取消的$h$ -向量和$h$ -向量的水平模的弱Lefschetz性质。进一步证明了余维3的水平模满足Herzog，Huneke和Srinivasan的多重性猜想的上界，并且当模具有弱Lefschetz性质时，其下界成立.
Betti numbers of Z^n-graded modules
令S=K[X_1，...，X_n]是域K上的多项式环。对于Z^n以下有界分次S-模M和N，证明了若Tor^S_p（M，N）非零，则对0到p之间的任意i，K-向量空间Tor^S_i（M，N）的维数至少与二项式系数（p，i）一样大.特别地，我们得到了总贝蒂数的下界.这些结果与Buchsbaum和Eisenbud的一个猜想有关。
Graded Betti numbers of powers of ideals
利用向量分拆函数的概念，研究了域上多项式环中齐次理想的幂的分次贝蒂数的渐近性质.我们的主要结果表明，如果多项式环具有正的$\ZZ$ -分次，则理想的幂的贝蒂数是由多个多项式编码的.更确切地说，在$\ZZ$分级的情况下，$\ZZ^2$可以被分裂成有限数量的区域，使得每个区域对应于多项式，该多项式取决于$(μ, t)$的次数，$\dim_k \left(\tor_i^S(I^t, k)_μ \right)$等于$(μ, t)$中的这些多项式之一。这细化，在一个分级的情况下，Kodiyalam的结果贝蒂数的权力的理想。我们的主要声明对待的情况下，一个权力产品的齐次理想的$\ZZ^d$ -分次代数，为一个积极的评分。
Bounds for Betti numbers
本文证明了Herzog的一个猜想的一部分，该猜想给出了多项式环上分次$k$次合模的线性串中自由模的秩的下界.如果此外模块是$\mathbb{Z}^n$ -分级，我们表明，猜想持有充分的普遍性。进一步，我们给出了具有线性分解和固定生成元个数的分次理想的分次贝蒂数的上界.
The cone of Betti diagrams over a hypersurface ring of low embedding dimension
给出了标准分次超曲面环k[x，y]/上Betti图锥的完整刻画，<q>其中q是齐次二次曲面.我们还提供了一个有限的算法分解贝蒂图，包括图的无限投射维数，到纯图。Boij-Soederberg理论完全描述了锥的Betti图在一个标准的分次多项式环，我们的结果提供了第一个例子的另一个分次环锥的Betti图是完全理解的。
Graded Betti numbers of powers of path ideals of paths
本文研究多项式环中路的 $m$-路理想 $I_{n,m}$，给出其所有幂的全部分次 Betti 数的计算结果。
Extremal Betti numbers of graded modules
设$S$是特征为$0$的域$K$上的变量为$n$的多项式环.给出了一个广义生成分次自由$S$ -模的分次子模的所有可能极值贝蒂数的数值刻画.
Generic initial ideals, graded Betti numbers and $k$-Lefschetz properties
引入分次Artin $K$ -代数的$k$ -强Lefschetz性质（$k$ -SLP）和$k$ -弱Lefschetz性质（$k$ -WLP），它们是Lefschetz性质的推广.本文的主要研究结果如下：1.设$I$是$R=K[x_1, x_2, x_3]$的分次理想，其商环$R/I$具有SLP.则$I$的一般初始理想是唯一的几乎reverlex理想，其Hilbert函数与$R/I$相同。2.设$I$是$R=K[x_1, x_2, ..., x_n]$的分次理想，其商环$R/I$具有$n$ -SLP.假设$R/I$的希尔伯特函数的所有$k$阶差都是准对称的。则$I$的一般初始理想是唯一的几乎reverlex理想，其Hilbert函数与$R/I$相同。3.给出了具有$k$ -WLP和固定Hilbert函数的Artinian $K$ -代数的分次贝蒂数的一个精确上界.
Empty simplices of polytopes and graded Betti numbers
Kalai，Kleinschlaud和Lee关于单纯多胞形的空单形个数的猜想是通过将它与多胞形的第一分次贝蒂数联系起来而建立的。证明使我们能够获得明确的最佳界限的数量空单形的任何给定的尺寸。作为一个关键结果，我们证明了标准分次K-代数的分次贝蒂数关于其Hilbert函数的最优界。
Bounds for the degree and Betti sequences along a graded resolution
本文的主要目的是用生成度来度量齐次理想的最小分次自由分解。总的来说，这是一个过于雄心勃勃的目标。正如所理解的，规模扩大意味着密切关注两个可用参数：偏移和贝蒂数。因为，一般来说，移动的界限可以表现得相当陡峭，我们通过合朔的次可加性来过滤困难。我们所采用的方法是新的，并有希望进一步阐明最小自由分解的结构。我们使用Boij-Söderberg技术的贝蒂数得到多项式上界。可以预期的是，超曲面奇点的景观已经包含了任意情况下的大多数困难的角落。在这方面，我们对待这种情况下的一些方面，包括一个改进的基本结果之一，最近的工作由Busé-Dimca-申克-Sticlaru。
The graded Betti numbers are not tropical invariants
该研究证明分次Betti数不是齐次理想或赋值域上射影代数概形热带化的不变量，通过构造一组对应同一热带理想但Betti表不同的饱和理想完成论证。
Betti numbers of graded modules and the Multiplicity Conjecture in the non-Cohen-Macaulay case
利用Eisenbud和Schreyer的结果证明了标准分次多项式环上的分次模的任何Betti图都是具有纯分解的模的正线性组合Betti图.这意味着赫尔佐格、Huneke和Srinivasan的多重性猜想对于不一定是Cohen-Macaulay的模。给出了纯图所张成的单纯扇的凸性的组合证明。
A Structure Theorem and the Graded Betti Numbers for Almost Complete Intersections
给出了任意Noether局部环中深度为3的几乎完全交理想的结构定理。特别地，我们发现最小生成元是交错矩阵的适当子矩阵的乘积。利用上述结果的分次形式，刻画了P^r的所有3-余维几乎完全交格式的分次贝蒂数.
Minimal Betti Numbers
给出了无平方项理想的分次贝蒂数的极值性态的判定条件.对于非唯一极小的情况下，我们给出了几个条件，我们用来产生无限的家庭，指数增长的维数，Hilbert函数，没有最小的（分次）贝蒂数之间的squarefree单项理想和所有的理想。对于唯一极小值的情形，我们给出了两类Hilbert函数，一类函数随维数的增加而指数增长，一类函数随维数的增加而线性增长，这两类函数在无平方根的单项理想中具有唯一的极小贝蒂数.
Graded Betti numbers of graded Möbius algebras of uniform matroids
本文推导了任意均匀拟阵的分次默比乌斯代数定义理想的分次贝蒂数精确公式，并研究了任意拟阵的分次默比乌斯代数具有线性表示的条件。
Betti categories of graded modules and applications to monomial ideals and toric rings
对适当分次多项式环上的分次模引入Betti范畴的概念，并对某些小范畴上的模引入更一般的Betti范畴的概念.我们的分类方法使我们能够同时处理许多重要的情况下，如单项理想和复曲面环。我们证明，在这些情况下的贝蒂类别是一个有限的组合对象，完全确定的结构的最小自由分解。对于单项理想，Betti范畴与我们在前一篇文章中研究的Betti偏序集相同。我们详细地描述了理论如何适用于复曲面的情况下，并提供了一个类似的复曲面环的lcm格单项式理想。
Poset Embeddings of Hilbert functions and Betti numbers
本文研究域上标准分次代数中理想的分次贝蒂数与它们在嵌入映射下的象之间的不等式。274，（2013），no. 3-4，pp. 809-819; arXiv：1009.4488]。我们表明，如果分级贝蒂数不减少时，我们取代理想在代数中的嵌入版本，然后同样的行为进行到环扩展。作为一个推论，我们给出了Bigatti，Hulett，Pardue，Mermin Peeva Stillman和Murai的早期结果的替代归纳证明。我们将Herzog-Popescu的超曲面限制定理推广到嵌入的情形。我们证明，我们可以得到的Betti表的理想在扩张环的嵌入版本的Betti表的一系列连续取消。我们进一步证明了Evans的词加幂猜想归结为Artinian情形。
Graded Betti Numbers of the Logarithmic Derivation Module
令$Q\in \K[x_1,...,x_n] = S$为次数为$d$的齐次多项式。对数求导模块$D(Q)$及其自然推广的自由性已经被广泛研究。在自由情况下，为$D(Q) \simeq \bigoplus_{i=1}^n S(-d_i)$，其中$d_i$是模的指数;作为Saito-Ziegler准则的直接结果，公式$d = \sum_i d_i$成立。在本文中，我们给出了这个公式在非自由情况下的一个推广。此外，我们还证明了一个等价公式在拟齐次情形下也是成立的，并证明了它在多大程度上可以推广到任意多项式。
Optimal Betti numbers of forest ideals
证明了树和森林理想的贝蒂数的一个紧下界和无平方根单项式理想的分次贝蒂数的一个紧上界.
Combinatorial shifting and graded Betti numbers
这篇论文已经撤回，因为我们结合了这篇论文与数学。AC/0503685。论文的所有内容已移至数学。AC/0503685。
Graded Betti numbers of balanced simplicial complexes
证明了平衡单纯复形的Stanley-Reisner环的分次贝蒂数的上界.一路上，我们显示的Cohen-Macaulay分次环$S/I$，其中$S$是一个多项式环和$I\subseteq S$是一个齐次理想包含一定数量的发电机在2度，包括平方的变量的界限。使用类似的技术，我们提供了上界的平衡正常的伪流形的斯坦利-Reisner的线性合冲数。此外，我们明确地计算了交叉多面体堆叠球的分次贝蒂数，并表明它们只依赖于维数和顶点数，而不是组合类型。
Graded Betti numbers of cycle graphs and standard Young tableaux
本文给出了一个双射证明，证明了圈图（视为一维单纯复形）的Stanley-Reisner环的最小自由分解的贝蒂数是由给定形状的标准Young tableaux数给出的.
Betti cones over fibre products
本文研究域上标准分次代数的纤维积$R$上有限生成分次模的合冲结构，证明了正则度有限且投射维数无限的模的存在性蕴含$R$是Koszul代数，并刻画了depth为1时Betti锥极射线由纯模Betti表张成的等价条件。
Upper bounds for graded betti numbers of projective schemes in the first nontrivial strand
本文利用Boij-Söderberg理论，为射影概形在第一个非平凡链上的分次贝蒂数上界提供了新证明方法，简化了已有结果。
Path ideals of rooted trees and their graded Betti numbers
设$Γ$是一棵有根树，$t$是一个正整数。本文研究了$Γ$中由长为$(t-1)$的路径所对应的单项式生成的路径理想的代数不变式及其性质。特别地，我们给出了计算分次贝蒂数的递归公式，给出了正则性的一般界，给出了线性链的显式计算，并刻画了这条路理想的线性分解.
Asymptotic stabilization of Betti diagrams of generic initial systems
几个作者调查的贝蒂图的渐近行为的分级系统所获得的权力的一个理想表明，形状的非零项目的图稳定时，$I$是一个齐次理想与发电机的相同程度。本文研究了以幂的初始理想或一般初始理想构成的分次理想系的Betti图，并讨论了Betti图的附加集合的稳定性.我们的主要结果表明，当I具有相同次数的生成元时，逆字典序类属初始系统的Betti图中的元素由多项式渐近给出，并且图的形状稳定.
Socle degrees, Resolutions, and Frobenius powers
我们首先描述了一种情况，其中每个分级贝蒂数在尾部的决议$\frac RJ$可以读取从基座度的$\frac RJ$。然后将上述结果应用于理想$J$和$J^{[q]}$，从而描述了$R/J^{[q]}$分解尾部的分次贝蒂数等于$R/J$分解移位尾部的分次贝蒂数的情形.
Graded Expectations: Betti numbers and anti-lecture hall compositions of random threshold graphs
本文研究了多项式环的门限图、多项式环的$2$ -线性理想的乘积的贝蒂数和反讲堂合成之间的一一对应关系。特别是，我们建立新的明确的组合映射这些类的对象之间的期望值的贝蒂数和反讲堂组成对应的随机阈值图计算。
On the Associated Graded ring of Semigroup Algebras
利用Gröbner基给出了单纯仿射半群的伴随分次环为Cohen-Macaulay的充要条件.将齐次数值半群的概念推广到单纯仿射半群，并证明了相应的半群环的Betti数与相应的分次环的贝蒂数相匹配.我们还定义了单纯仿射半群的好的扩展，由数值半群的好的扩展的概念的动机。
Minimal free resolutions and Betti diagrams of the algebras of $SL_2$-invariants
对于同调维数小的$SL_2$ -不变量代数，计算了它们的最小自由分次分解和分次Betti图.
Graded Betti numbers of the Jacobian algebra and total Tjurina numbers of plane curves
本文通过Jacobian代数的分层Betti数计算平面曲线的总Tjurina数，并提出新的上界视角及必要条件。
Algebraic shifting and graded Betti numbers
令$S = K[x_1, ..., x_n]$表示域$K$上的$n$变量中的多项式环，其中每个$°x_i = 1$。设$Δ$是$[n] = \{1, ..., n \}$上的单纯复形，且$I_Δ\subset S$是其Stanley-Reisner理想.我们写$Δ^e$为$Δ$和$Δ^c$为$Δ$的组合移位复形的外部代数移位复形。令$β_{ii+j}(I_Δ) = \dim_K \Tor_i(K, I_Δ)_{i+j}$表示$I_Δ$的分次贝蒂数。本文证明了：（i）对于所有的$i$和$j$，当基域为无限时，有$β_{ii+j}(I_{Δ^e}) \leq β_{ii+j}(I_{Δ^c})$;（ii）对于所有的$i$和$j$，当基域为任意时，有$β_{ii+j}(I_Δ) \leq β_{ii+j}(I_{Δ^c})$.因此，特别地，对于所有的$i$和$j$都有$β_{ii+j}(I_Δ) \leq β_{ii+j}(I_{Δ^{lex}})$，其中$Δ^{lex}$是唯一的lexsegment单纯复形，具有与$Δ$相同的$f$ -向量，并且其中基域是任意的。
On the n-th row of the graded Betti table of an n-dimensional toric variety
我们证明了一个显式公式的第一个非零项在第n行的分次Betti表的n维投射环面品种相关联的正常多面体至少有一个内部格点。这适用于Veronese嵌入的射影空间，我们证明了一个特殊情况下的猜想艾因和Lazarsfeld。我们还证明了一个明确的公式为整个第n行时，内部的多面体是一维的。所有结果在任意域k上都是有效的。
Large lower bounds for the betti numbers of graded modules with low regularity
假设$M$是多项式环上余维$c\geq 3$的有限生成分次模，并且$M$的正则性最多为$2a-2$，其中$a\geq 2$是$M$的第一合合的最小次数。证明了$M$的贝蒂数之和至少为$β_0(M)(2^c + 2^{c-1})$ .此外，如果$c \geq 9$，则对于每个$1\leq i\leq \lceil c/2\rceil$，我们显示$β_i(M)\geq 2β_0(M){c \choose i}$。
Positivity and nonstandard graded Betti numbers
本文研究几何正性条件对Betti数消失的原理在非标准分次情形下的推广，引入新正则性概念并结合外代数技术，发现合取度数同时受正则性与深度控制，并应用于Toric簇上模的多重分次Betti数。
Betti numbers and shifts in minimal graded free resolutions
设S是一个多项式环，R=S/I，其中I是S的一个分次理想.最近用Boij-Soederberg理论证明的Herzog、Huneke和Srinivasan的多重数猜想指出，R的多重数上界是R在S上的最小分次自由分解中的最大移位的函数，下界是R在S上的最小移位的函数，如果R是Cohen-Macaulay。本文研究了相关问题，证明了当R是Cohen-Macaulay时，R的全Betti数也由R的最小分次自由分解中的位移的函数上有界，也由另一个位移的函数下有界.我们还讨论了当这些边界是尖锐的情况下。
Minimal free resolution of a graded ideal with linear quotients
设$I$是$d$的一个分次理想，它由一个同次数的齐次多项式生成，并假定$I$有线性幂次.本文利用马蹄引理给出了$I$的最小自由分解的一个较直接的归纳构造，称之为$d$ -线性分解.
Non-vanishingness of Betti numbers of edge ideals
给定有限个单图，可以把边理想联系起来.本文讨论了边理想的分次贝蒂数关于原图的非零性。特别地，我们给出了弦图的分次贝蒂数不为零的一个充要条件，并刻画了森林的分次贝蒂数.此外，我们还刻画了弦图的投射维数。
The cone of Betti tables over three non-collinear points in the plane
本文描述了射影平面上三个非共线点的齐次坐标环上所有n-生成分次模的Betti表的锥。我们还描述了所有有限长模的Betti表的锥。
Generic Initial Ideals of Artinian Ideals Having Lefschetz Properties or The Strong Stanley Property
对于标准的Artinian $k$ -代数$A=R/I$，利用$I$的广义初始理想$\mathrm{gin}(I)$的生成元的极小系，给出了$A$具有弱（或强）Lefschetz性质或强Stanley性质的等价条件.利用弱Lefschetz性质的等价条件，证明了当$A$具有弱Lefschetz性质时，$\mathrm{gin}(I)$的某些分次贝蒂数仅由$I$的Hilbert函数确定.进一步，当$A$是余维为3的标准Artinian $k$ -代数时，证明了当$A$具有弱Lefschetz性质时，$\mathrm{gin}(I)$的分次贝蒂数由$I$的分次贝蒂数决定.如果$A$具有强Lefschetz（resp. Stanley）性质，然后证明了$\mathrm{gin}(I)$的极小生成元系由分次贝蒂数（分别为.通过希尔伯特函数）的$I$。
Picard-graded Betti numbers and the defining ideals of Cox rings
设X是一个光滑射影簇，其Picard群是挠自由的.我们引进复合向量空间的同源性决定的结构的最小自由分解的Cox环的X在多项式环，并显示如何这些复合物的同源性可以研究纯粹的几何方法。作为这些技巧的一个应用，我们给出了Batyrev和Popov所证明的Del Pezzo曲面（次数>1）的Cox环的一个简单的新的特征证明。
Betti Numbers of Graded Modules and Cohomology of Vector Bundles
Mats Boij和Jonas Soederberg（math.AC/0611081）证明了多项式环上Cohen-Macaulay模的Betti表可以按某种方式分解为具有纯分解的模的Betti表的正线性组合.我们证明，在任何领域，加强形式的猜想。应用程序包括证明的多重性猜想的Huneke和Srinivasan和证明的凸性风扇自然相关的年轻格。利用超自然丛的上同调表刻画了射影空间上向量丛的上同调表的有理锥。在某种意义上，这个特征与我们对贝蒂表的特征是双重的。
Linear normality of general linear sections and some graded Betti numbers of 3-regular projective schemes
本文研究了射影空间$\mathbb P^{n}$中任意非退化3-正则代数集$X$的分次贝蒂数.更具体地说，通过Generic initial ideals（Gins）方法，我们主要考虑“拖尾”贝蒂数，其同调指数不小于$\mathrm{codim}(X,\mathbb P^{n})$。为此，我们首先引入了一个关键的定义“$\mathrm{ND(1)}$性质”，它提供了一个合适的基础，可以推广的概念，如“非退化”或“的最小程度”的情况下，从品种更一般的闭子概形，并给出了一个明确的解释，拖尾贝蒂数。接下来，我们回顾了金斯理论的基本概念和事实，我们分析了生成结构的反向字典序（rlex）金斯的3-定期$\mathrm{ND(1)}$子计划。因此，我们提出了这些拖尾贝蒂数的精确公式，它将它们与$X\cap Λ$的一般线性截面的线性正规性联系起来，该$X\cap Λ$具有至少$\mathrm{codim}(X,\mathbb P^{n})$维的线性子空间$Λ$。最后，我们考虑一些应用程序和相关的例子。
Squarefree monomial modules and extremal Betti numbers
设K是域，S是K上有限个变元的多项式环.设F是n-生成的分次自由S-模。本文研究了F的几类无平方单项式子模。因此，我们集中我们的注意力在Betti表，这样的类，以分析其极值贝蒂数的行为。
Powers of complete intersections: graded Betti numbers and applications
设I =（F_1，...，F_r）是R = k[x_0，…，x_n]由类型正则序列（d_1，...，d_r）。给出了对任意s \geq 1，I^s的分次贝蒂数的显式描述的初等证明.这些数字只取决于类型和。然后，我们使用这个描述：（1）用H_{R/I}写出R/I^s的希尔伯特函数H_{R/I^s};（2）验证k-代数R/I^s满足Herzog-Huneke-Srinivasan的猜想;（3）获得与P^n中的胖点集相关的数值不变量的信息，这些胖点集的支撑是完全交或完全交减去一个点。
The eventual shape of Betti tables of powers of ideals
设$G$是交换环$A$上的可分次生成阿贝尔群，$S = A[x_1, ..., x_n]$是交换环上的$G$ -分次多项式环.设$I_1, ..., I_s$是$S$中的$G$ -齐次理想，$M$是一个可生成的$G$ -分次$S$ -模.证明了当$A$是Noether时，$MI_1^{t_1} ... I_s^{t_s}$的非零$G$分次Betti数随着$t_i$的增大而呈现渐近线性行为.
Graded Betti numbers of the Jacobian algebra of surfaces in $\mathbb P^3$
本文基于雅可比代数的分层贝蒂数，推导了三维空间中曲面的希尔伯特多项式闭合公式，并讨论了孤立奇点曲面的分层贝蒂数必要条件及平面曲线与节点曲面的比较。
The eventual shape of the Betti table of $\mathfrak{m}^kM$
本文研究了域上多项式环中 $\mathfrak{m}^kM$ 的 Betti 表在 $k$ 较大时的模式，证明了在特征为零且 $M$ 为自由模子模时描述其形状，并证明单项式理想 $I$ 的 $\mathfrak{m}^kI$ 具有线性商。
Multigraded Betti numbers of some path ideals
确定了线图和星图的路理想的（多）分次贝蒂数.
Monomial ideals, edge ideals of hypergraphs, and their graded Betti numbers
利用超图与其相应的边理想之间的对应关系，研究了无平方单项式理想的最小分次自由分解。本文的主题是理解超图H的组合结构如何在其边理想I（H）的分解下出现。讨论了计算I（H）的分次贝蒂数的递归公式何时可以得到，这些结果推广了我们以前关于单图的边理想的工作.我们引入了一类超图，我们称之为适当连接的，自然地推广了单图的角度来看，相交的边缘之间的距离是“良好的”。对于这样的超图H（从而对于任何单图），我们利用描述H的组合信息给出了I（H）的正则性的下界，以及当H = G是单图时，给出了I（H）的正则性的上界.我们还介绍了三角超图，一个适当的连接超图，这是弦图的推广。当H是一个三角超图时，我们明确地计算了I（H）的正则性，并证明了I（H）的分次贝蒂数与基域无关.因此，许多已知的森林的分次贝蒂数的结果现在可以推广到弦图。
The Regularity of Tor and Graded Betti Numbers
令S=K[x_1，...，x_n]，设A，B是分次生成S-模，m=（x_1，.，x_n）。在Tor_1（A，B）的克鲁尔维数至多为1的假设下，给出了Tor_1（A，B）的局部上同调的Castelnuovo-Mumford正则性的界.我们将结果应用于合偶，Groebner基地，产品和权力的理想，和关系的Rees和对称代数。例如，我们证明了任何齐次线性表示的m-准素理想都有某个幂等于m的幂;如果I的分解的前（大致）（n-1）/2步是线性的，则I^2是m的幂。
A Gorenstein numerical semi-group ring having a transcendental series of Betti numbers
特别证明了由（36，48，50，52，56，60，66，67，107，121，129，135）生成的Gorenstein数值半群环具有贝蒂数的超越级数.证明方法是Golod同态理论和无穷正分次李代数理论。本文的篇幅是1212.0720的两倍多，增加了两位作者，并在新的第4节中得到了关于分次李代数分解的新的一般性结果（定理2，3，4）。
Betti numbers of normal edge rings (II)
本文利用诱导子图方法计算多路径图边环的Betti数，并证明其所有多重分次Betti数均可由某些诱导子图的最高多重分次Betti数给出。
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