Stable Takens' Embedding Theorem for Non-Uniformly-Sampled Linear Systems
University of Washington（华盛顿大学）；Autodesk Research（欧特克研究）
本文将稳定线性Takens嵌入定理扩展至非均匀采样线性系统场景，提出广义范德蒙德矩阵秩的猜想，证明若猜想成立，嵌入质量可收敛至相同渐近界，结果获数值模拟支持。
2026-08-17 math.DS
Delay Embedding of Periodic Orbits Using a Fixed Observation Function
延迟坐标是从动力系统的观测值传递到动力系统的表示作为欧几里得空间中的嵌入的广泛使用的技术。当前的证明表明，给定动力系统的延迟坐标导致一般在观测空间上的嵌入（Sauer，Yorke，Casdagli，J. Stat.物理、第65卷（1991），第579-616页）。受嵌入理论应用的启发，我们考虑了观测函数固定的情况。例如，观测函数可以简单地是状态向量的某个固定坐标。对于一个固定的观测函数（任何非零的线性组合的坐标）和周期解的特殊情况下，我们证明了延迟坐标导致嵌入一般的$C^{r}$拓扑与$r\geq2$的流的空间。
2018-06-20 math.DS nlin.CD
Prevalence of Delay Embeddings with a Fixed Observation Function
设$x_{j+1}=ϕ(x_{j})$，$x_{j}\in\mathbb{R}^{d}$是一个动力系统，其中$ϕ$是一个自同构.虽然状态向量$x_{j}$通常是不可观测的，但动态可以从延迟向量$\left(o(x_{1}),\ldots,o(x_{D})\right)$恢复，其中$o$是标量值观测函数，$D$是嵌入维数。延迟映射是通用$o$的嵌入，并且更强烈地，嵌入属性是普遍的。我们考虑观测函数固定在$o=π_{1}$的情况，其中$π_{1}$是到第一坐标的投影。然而，我们允许多项式扰动直接应用于非同构$ϕ$，从而模仿动力系统的参数化方式。我们证明了延迟映射是关于扰动的概率为1的嵌入。我们的证明引入了一种新的技术，证明流行使用勒贝格点的概念。
2018-06-20 math.DS nlin.CD
A First Analysis of the Stability of Takens' Embedding
Takens嵌入定理认为，当一个隐藏的动力系统的状态被限制在一个低维吸引子中时，通过延迟坐标映射可以在观测的时间序列输出中保留关于状态的完整信息。然而，该定理成立的条件忽略了噪声的影响，并且实际上时间序列分析需要仔细地根据经验确定采样时间和延迟数，从而导致延迟坐标数大于Takens定理规定的最小值。在本文中，我们使用压缩感知的工具和思想，提供了第一个理论上的理由，在嘈杂的条件下的延迟数的选择。特别地，我们证明了在动力系统、测量函数、延迟数和采样时间的一定条件下，延迟坐标映射可以是动力系统吸引子的稳定嵌入。
2014-06-15 math.DS
Selecting embedding delays: An overview of embedding techniques and a new method using persistent homology
本文提出SToPS方法，利用持续同调构造特征时间谱来选择嵌入滞后，在快慢时间序列预测中优于现有嵌入方法。
2023-02-07 math.DS nlin.CD
DelayDiffEq: Generating Delay Differential Equation Solvers via Recursive Embedding of Ordinary Differential Equation Solvers
传统的延迟微分方程（DDE）求解器仅围绕单一方法设计，并且没有有效地使用其更发达的常微分方程（ODE）对应物的基础设施。在这项工作中，我们提出了DelayDiffEq，数值求解延迟微分方程（DDE）的Julia软件包，它利用了OrdinaryDiffEq中的众多数值算法来解决刚性和非刚性常微分方程，并设法解决具有挑战性的刚性DDE。我们描述了如何编译的ODE积分器本身，并占不连续传播，导致一个设计，是有效的DDE，同时使用所有的ODE内部。我们强调一些困难，数值DDE求解器必须解决，并解释如何DelayDiffEq处理这些问题。我们展示了如何DelayDiffEq是能够解决困难的方程，它的刚性DDE求解器如何在时间尺度分离的问题上提供效率，以及如何设计允许的通用性和灵活性，如被重新用于生成随机延迟微分方程的求解器。
2022-08-26 cs.MS cs.NA math.DS
On the regularity of time-delayed embeddings with self-intersections
本文研究时滞嵌入在允许零测集自交的概率情形下的正则性，证明在维数条件下典型观测函数可使时滞映射在满测集上单射且具有逐点 Lipschitz 逆，并应用于 Lyapunov 指数逼近与预测误差估计。
2025-05-10 math.DG math.DS nlin.CD
Data-driven network analysis using local delay embeddings
针对多数数据驱动动力学建模方法需获取系统完整状态的局限，提出利用延迟嵌入技术，在系统满足可局部化条件下从局部观测学习全局动力学特征。
2024-06-20 math.DS
On the Shroer-Sauer-Ott-Yorke predictability conjecture for time-delay embeddings
Shroer，Sauer，Ott和Yorke在1998年证明了Takens延迟嵌入定理可以在概率上下文中得到改进。更确切地说，他们的猜想指出，如果$μ$是黎曼流形的光滑复同态的自然测度，并且$k$大于$μ$的信息维数，则一维可观测$μ$的$k$时延测度一般足以用于$μ$的可预测重建-几乎原始系统的每个初始点点。与标准（确定性）设置相比，这减少了一半的所需测量数量。我们证明了遍历测度的猜想，并表明，它持有的一般光滑同态，如果信息维被替换的Hausdorff之一。为此，我们证明了紧集上内射Lipschitz映射和任意Borel概率测度的可预测嵌入定理的一般形式。我们还构造了一个例子的$C^\infty$ -光滑的同态与自然的措施，其中猜想不成立，在其原来的配方。
2022-02-03 math-ph math.DS math.MP
On the Structure of Time-delay Embedding in Linear Models of Non-linear Dynamical Systems
这项工作解决了有关的结构和条件的非线性动力学的吸引子的线性时滞模型的基本问题。虽然这种方法已经在渐近意义上得到了很好的研究（例如，对于无限数量的延迟），但非渐近设置还没有得到很好的理解。首先，我们证明了完美的信号恢复所需的最小时间延迟完全由标量系统的傅立叶谱中的稀疏性决定。对于向量情形，我们给出了精确线性时滞模型存在的充要条件的秩检验和几何解释。此外，我们证明了输出可控指数的线性系引起的傅立叶谱作为一个严格的上界的最小数量的时间延迟。给出了谱域精确线性模型的显式表达式。从数值的角度来看，采样率和数值条件的时间延迟的数量的影响进行检查。推导出上界的条件数，其含义是，条件可以改善额外的时间延迟和/或降低采样率。此外，它明确地表明，基本的动态可以准确地恢复仅使用部分周期的吸引子。我们的分析首先在简单的周期和准周期系统中得到验证，并对噪声的敏感性进行了研究。最后，讨论了大规模混沌系统中时滞的选择问题和实用策略，并以三维湍流Rayleigh-Bénard对流为例进行了演示。
2020-07-16 math.DS
Universal set of Observables for Forecasting Physical Systems through Causal Embedding
University of Pretoria（比勒陀利亚大学）
提出因果嵌入方法，利用驱动动力系统派生的元素对学习函数，实现与底层系统拓扑共轭及通用可计算的动力学预测，克服现有储备池计算和Takens延迟嵌入的缺陷。
2026-10-14 cs.LG math.DS
Stabilizing Embedology: Geometry-Preserving Delay-Coordinate Maps
延迟坐标映射是一种有效的和广泛使用的技术，用于重建和分析基于时间序列输出的非线性系统的动力学。延迟坐标映射的有效性长期以来一直得到Takens嵌入定理的支持，该定理保证延迟坐标映射使用时间序列输出来提供隐藏状态空间的重构，即系统吸引子的一对一嵌入。虽然这种拓扑保证确保重建中的不同点对应于原始状态空间中的不同点，但它并不表征这种嵌入的质量或说明特定参数如何影响重建。在本文中，我们扩展Takens的结果，建立条件下，延迟坐标映射是保证提供一个稳定的嵌入系统的吸引子。除了仅保留吸引子拓扑结构之外，稳定嵌入通过确保状态空间中的点之间的距离近似地保留来保留吸引子几何结构。特别是，我们发现，延迟坐标映射稳定嵌入一个动力系统的吸引子，如果系统的稳定秩是足够大的吸引子的维数成正比。稳定秩反映了延迟坐标映射中采样间隔与延迟数之间的关系。我们的理论研究结果提供指导，选择系统参数，呼应无关性和冗余之间的权衡，已在文献中进行了实证研究。我们的初步结果是说明吸引子是光滑的子流形的欧氏空间，与扩展的情况下提供的奇异吸引子。
2017-08-10 math.DS math.ST nlin.CD
Linear Recurrent Neural Networks as Time-Delay Embeddings
University of Washington（华盛顿大学）；Autodesk Research（欧特克研究）
利用Takens嵌入定理，研究线性循环神经网络（LRNN）如何通过延迟坐标向量忠实表示动力系统，并给出延迟矩阵满秩条件及嵌入稳定性界限。
2026-05-26 math.DS
A graph-theoretic condition for delay stability of reaction systems
延迟质量作用系统提供了一个化学动力学模型，当过去的状态影响当前的动态。在这项工作中，我们提供了一个图论条件的延迟稳定性，即，线性稳定性与速率常数和延迟参数无关。特别地，当系统没有时滞时，该结果也适用，这意味着常微分方程系统是渐近稳定性。图论条件是关于网络的有向物种反应图中的循环，它编码了系统中不同物种如何相互作用。
2021-05-16 math.DS
Model reduction for nonlinearizable dynamics via delay-embedded spectral submanifolds
延迟嵌入是动力系统数据驱动的模型降阶法中的一种常用技术，包括动态模式分解（DMD）、Koopman分解的Hankel替代视图（HAVOK）、最近邻预测和谱子流形降阶（SSM）。在开发这些应用程序时，多位作者观察到延迟嵌入似乎将数据分离为模式，其方向仅取决于采样系统的频谱。在这项工作中，我们证明了延迟嵌入线性化系统在不动点的特征向量仅由相应的特征值确定，即使是多维观测值，使这一观测精确。这意味着延迟嵌入的不变流形的切空间可以使用特征值的估计来先验地预测。我们将我们的结果应用到三个数据集，以确定多模态SSM和分析其非线性模态相互作用。虽然SSM是我们研究的重点，这些结果推广到任何延迟嵌入的不变流形正切的一组特征向量在一个不动点。因此，我们希望这个理论可以应用到一些数据驱动的模型降阶法。
2023-01-11 math.DS
The spatiotemporal coupling in delay-coordinates dynamic mode decomposition
动力学模态分解（DMD）是一种用于从观测数据分析高维动力系统的无方程分析的主要工具。在这项工作中，我们专注于延迟坐标嵌入和DMD的组合，即，延迟坐标DMD，它适应了一个广泛的家庭的观察分析。DMD的一个重要用途是根据DMD特征值和模式对观测值进行紧凑和降阶的谱表示，其中时间信息与空间信息分离。从时空的角度来看，我们表明，当DMD应用于延迟坐标嵌入，时间信息交织在一起的空间信息，诱导DMD组件上的特定的频谱结构。我们制定和分析这种结构，我们称之为时空耦合的延迟坐标DMD。基于这种时空耦合，我们提出了一种新的DMD器件选择方法。当使用包含冗余模式的延迟坐标DMD时，这种选择是获得观测的紧凑和降阶表示的必要步骤。我们证明了我们的方法在嘈杂的模拟信号和各种动力系统，并显示优越的组件选择相比，一个常用的方法，依赖于模式的振幅。
2022-09-21 math.DS
Lyapunov exponents and Oseledets decomposition in random dynamical systems generated by systems of delay differential equations
在连续函数空间和$p$ -可和函数空间上考虑了由时滞微分方程随机系统生成的线性斜积半离散系统。主要结果表明，在这两种情况下，李雅普诺夫指数是相同的，和Oseledets分解是相关的自然嵌入。
2018-09-17 math.CA math.DS
Embedding Information onto a Dynamical System
University of Pretoria（比勒陀利亚大学）；Department of Mathematics & Applied Mathematics, University of Pretoria（比勒陀利亚大学数学与应用数学系）
著名的Takens嵌入定理涉及通过一般的延迟观测映射将动力系统的吸引子嵌入到适当维数的欧几里得空间中。嵌入也建立了拓扑共轭。在这篇文章中，我们证明了一个任意序列如何可以映射到另一个空间作为一个非自治动力系统的吸引解。这样的映射也需要一个拓扑共轭和嵌入之间的序列和吸引的解决方案空间。这个结果不是Takens嵌入定理的推广，但有助于我们理解离散时间状态空间模型在将外部刺激嵌入其解空间中的应用中广泛使用的确切要求。我们的结果解决了关于自治动力系统扰动的另一个基本问题。我们描述了当外源噪声连续扰动离散自治动力系统的一个局部不可约吸引集（如稳定不动点）时，动力学究竟发生了什么。
2021-12-31 cs.LG math.DS
Delay-coordinate maps, coherence, and approximate spectra of evolution operators
利用核积分算子技术研究了保测遍历动力系统相干观测量的数据驱动辨识问题。提出了一种方法，即复值观测与近似周期性行为的构造从一对本征函数的积分算子从延迟坐标映射的数据。结果表明，这些可观的$ε$ -近似的Koopman系统的演化算子的本征函数，与限制$ε$控制的延迟嵌入窗口的长度，演化时间，和适当的谱隙参数。特别地，$ ε$可以随着嵌入窗口的增加而任意小，只要相应的本征值在积分算子的谱中保持充分隔离。它还表明，这种观测量的时间自相关函数是$ε$ -近似Koopman特征值，表现出一个定义良好的特征振荡频率（估计使用Koopman发电机）和缓慢衰减的调制包络。这些结果适用于任意谱特征的保测遍历动力系统，包括具有连续谱和$L^2$中没有非常数Koopman本征函数的混合系统.数值例子揭示了一个相干的观测的Lorenz 63系统的自相关函数保持在0.5以上的模超过约10李雅普诺夫时间尺度。
2020-10-27 math.DS nlin.CD physics.data-an
Stability and bifurcations in Wilson-Cowan systems with distributed delays, and an application to basal ganglia interactions
神经元群体中兴奋性和抑制性平均场相互作用的传统Wilson-Cowan模型在处理输入时考虑了弱Γ分布的时间延迟，并且通过平均群体响应的时间粗粒化技术获得。以前的威尔逊-考恩模型的稳定性分析集中在更简化的情况下，其中的延迟要么不存在，常数或特定类型。由于这些简化可能会显着改变模型的行为，我们专注于了解系统的行为之前，时间过程粒度，并为更广泛的延迟分布。对于这些广义延迟方程，我们进行稳定性和分歧的参数，捕获耦合配置文件，和时间延迟分析。调查是通过检查系统的相关特征方程。在较弱的假设下，对一般时滞分布的模型给出了理论结果的完整数学证明，并在推广的背景下证明了可能的Hopf分支的横截性条件.理论上描述了几种延迟核在此参数空间中的稳定区域，并给出了数值模拟来证实理论结果。我们说明这些理论原则的应用程序中的基底神经节电路，其中$β$带振荡已与帕金森氏病。
2021-07-03 math.DS
Prediction in Projection: A new paradigm in delay-coordinate reconstruction
延迟坐标嵌入是一个强大的，经过时间考验的数学框架，用于从一系列标量观测重建系统的动态。然而，大多数相关的理论和算法对于真实世界的数据都过于严格，并且由于正确使用这些算法需要专家的直觉，因此实时使用是不可能的。在这篇论文中概述的方法代表了一个范式的转变，从传统的方法。我认为，完美的重建不仅是不必要的延迟坐标为基础的预测的目的，但它们往往不如那些相同的模型的降阶版本有效。我使用一系列低维和高维动力系统来证明这一点，表明预测模型采用不完美的动态重建-即，那些不一定是真实嵌入的模型，可以对这些系统的未来状态做出令人惊讶的准确预测。我开发了一个理论框架来理解为什么会这样。这个框架，结合了信息论和计算拓扑，还允许一个量化的预测结构在一个给定的时间序列的数量，甚至选择哪种预测方法将是最有效的这些数据。
2018-05-18 cs.IT math.AT math.DS
Dynamical behavior and bifurcation analysis for a theoretical model of dengue fever transmission with incubation period and delayed recovery
本文构建了同时考虑内外潜伏期和恢复期时间延迟的登革热传播数学模型，通过稳定性与分岔分析揭示了恢复延迟对传播动力学的显著影响。
2025-03-10 math.DS q-bio.PE
Using Curvature to Select the Time Lag for Delay Reconstruction
我们提出了一种基于曲率的方法来选择延迟重建中的时间延迟参数$τ$的好值。这个想法是基于延迟对重建的几何形状的影响。如果延迟选择得太小，重构的动态沿着嵌入空间的主对角线变平;另一方面，太大的延迟会使动态重叠。计算二维延迟重建的曲率是识别这些极端并找到它们之间的中间地带的有效方法：在未充分展开的重建的末端处的急剧反转和过度折叠的重建中的折叠都在曲率中产生尖峰。我们通过计算不同时间延迟的2D重建的门格尔曲率的平均值来实现这一观察。我们表明，这些值的平均值给出了一个有效的启发式选择的时间延迟。此外，我们表明，即使在使用平均互信息的传统方法失败的情况下，这种基于曲率的启发式也是有用的-例如，噪声或过滤数据。
2020-03-07 math.DS nlin.CD physics.data-an
Time-delay systems with delayed impulses: A unified criterion on asymptotic stability
本文利用Lyapunov-Krasovskii方法研究了一般非线性时滞脉冲时滞系统的全局渐近稳定性。我们得到了一个统一的稳定性判据，它可以应用于各种脉冲系统。当每个连续动态和脉冲分量是稳定或不稳定的情况下进行了研究。无论是理论上还是数值上，我们都证明了所得到的结果比文献中已有的结果更一般。
2022-06-08 math.DS
Hopf bifurcation in a dynamic IS-LM model with time delay
本文研究了税收延迟对财政政策效果的影响。选择时滞作为分支参数，研究了分支周期解的方向和稳定性。对于时滞，我们证明了系统何时是稳定的。最后给出了一些数值例子来验证理论结果。
2005-11-12 math.DS
Stable Takens' Embeddings for Linear Dynamical Systems
School of Electrical and Computer Engineering at the Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院电气与计算机工程学院）
针对线性动力系统和观测函数，提出确定性、显式且非渐近的充分条件，使延迟坐标映射形成稳定嵌入，并证明其与状态空间维数无关，但存在嵌入条件数基本极限。
2011-06-18 cs.IT cs.SY eess.SY
Stability Analysis of Quaternion-valued Neural Networks with Leakage Delay and Additive Time-varying Delays
研究了同时具有泄漏时滞和附加时变时滞的四元数神经网络的稳定性。利用Lyapunov-Krasovskii泛函方法，充分考虑时变时滞与时滞上界之间的关系，基于凸性方法和几种不等式技巧，得到了一些充分性准则.稳定性判据以两种形式建立：四元数线性矩阵不等式（QVLMIs）和复值线性矩阵不等式（CVLMIs），其中的CVLMIs可直接用MATLAB中的Yalmip工具箱求解.最后，通过一个算例验证了理论结果的有效性.
2020-10-31 math.DS
Takens' embedding theorem with a continuous observable
设$(X,T)$是一个动力系统，其中$X$是紧度量空间，$T:X\rightarrow X$是连续可逆的.假设$X$的Lebesgue覆盖维数为$d$。我们证明了对于一般的连续映射$h:X\rightarrow[0,1]$，$(2d+1)$ -延迟观测映射$x\mapsto\big(h(x),h(Tx),\ldots,h(T^{2d}x)\big)$是$X$在$[0,1]^{2d+1}$中的嵌入.这是著名的Takens嵌入定理的离散版本的推广，正如由Sauer，Yorke和Casdagli证明的连续可观察的设置。特别地，没有关于$X$的（较低的）盒计数维度的假设，其可以是无限的。
2016-05-13 math-ph math.DS math.MP
Predicting dynamical systems with too few time-delay measurements: error estimates
该研究针对时滞测量不足的动力系统重构预测问题，证明概率框架下不变测度的Hausdorff维数是最小时滞嵌入维数的精确阈值，还修正并确立了经典预测误差猜想的下界，证明了条件测度维数的一般性定理。
2024-01-28 math-ph math.DS math.MP
A new method for choosing parameters in delay reconstruction-based forecast strategies
延迟坐标重构是一种行之有效的建模策略，用于建立非线性时间序列的有效预测。这个过程的第一步是估计两个参数的好值，即时间延迟和嵌入维数。在文献中已经提出了许多方法和策略来估计这些值。然而，这些方法中很少有（如果有的话）是在考虑预测的情况下开发的，它们的结果对于这一目的来说并不是最佳的。即便如此，这些用于其他应用程序的预测学在建立基于延迟坐标重建的预测模型时经常使用。在本文中，我们提出了一种新的策略，选择最佳的参数值的预测方法，是基于延迟坐标重建。基本的计算涉及最大化每个延迟向量和系统的未来状态之间的共享信息。我们说明了这种方法在几个合成和实验系统的有效性，表明这种度量可以快速，可靠地计算从一个相对较短的时间序列，它提供了一个直接的指示，以及如何基于近邻的预测方法将工作在一个给定的延迟重建的时间序列。这允许从业者选择避免任何病理的重建参数，而不管潜在的机制如何，并且最大化重建中包含的预测信息。
2015-10-15 cs.IT math.DS math.IT
