A priori and a posteriori error estimates for the Deep Ritz method applied to the Laplace and Stokes problem
我们分析了神经网络解决方案的偏微分方程获得物理知情的神经网络。特别是，我们应用经典的有限元误差分析的工具，以获得的结论适用于拉普拉斯和斯托克斯方程的深里兹方法的错误。进一步，我们发展了神经网络逼近偏微分方程的后验误差估计器。所提出的方法是基于双加权残差估计。它注定要作为一个停止标准，保证独立的神经网络训练的设计的解决方案的准确性。最后给出了Laplace和Stokes问题的计算实例。
2022-09-12 cs.NA math.NA
Neural numerical homogenization based on Deep Ritz corrections
Institute for Applied and Numerical Mathematics, Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院应用与数值数学研究所）
本文提出基于深度Ritz方法的神经数值均质化方法，用于处理具有时间变化或不确定性的高振荡系数问题。
2026-11-03 cs.NA math.NA
A Ritz-based Finite Element Method for a Fractional-Order Boundary Value Problem of Nonlocal Elasticity
给出了分数阶非局部连续介质Euler-Bernoulli梁模型的解析表达式和有限元解。采用一致的分数阶运动学关系的定义，控制方程和相关的边界条件推导的基础上变分原理。值得注意的是，分数阶非局部模型产生了一个自伴和正定系统接受一个独特的解决方案。此外，由于很难获得解析解的边值问题，一个有限元模型的分数阶控制方程。在对基准问题进行充分验证之后，采用分数阶有限元模型（f-FEM）研究了Euler-Bernoulli梁在各种载荷和边界条件下的非局部响应。分数阶正定系统将在这里使用，以解决一些矛盾的结果，通过经典的积分方法，非局部梁的非局部弹性。虽然在一维欧拉-伯努利梁的上下文中，f-FEM制定是非常普遍的，可以扩展到任何一般的分数阶边值问题的解决方案。
2020-06-02 cs.NA math.AP math.NA
Error Analysis of Three-Layer Neural Network Trained with PGD for Deep Ritz Method
The Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）
本文在深度Ritz方法中用PDG训练三层tanh网络求解三类边界条件的二阶椭圆方程，证明全局收敛并统一给出近似、泛化与优化误差界。
2024-05-19 cs.AI cs.NA math.AP
A comparison study of deep Galerkin method and deep Ritz method for elliptic problems with different boundary conditions
近年来，人们对利用深度神经网络求解偏微分方程的兴趣越来越大，特别是在高维情况下。与经典的数值方法，如有限差分法和有限元法不同，深度神经网络中边界条件的强制执行是高度非平凡的。一个通用的策略是使用惩罚方法。在工作中，我们进行了比较研究的椭圆问题的四种不同的边界条件，即，Dirichlet，Neumann，Robin，和周期边界条件，采用了两种有代表性的方法：深度Galerkin方法和深度Ritz方法。在前者中，PDE残差在最小二乘意义下最小化，而相应的变分问题在后者中最小化。因此，可以合理地预期，深层伽辽金方法更适合光滑解，而深层里兹方法更适合低正则性解。然而，通过大量的例子，我们观察到，即使对于光滑解，深度Ritz方法也可以优于深度Galerkin方法，并且具有明显的维数依赖性;对于低正则性解，深度Galerkin方法也可以优于深度Ritz方法。此外，在某些情况下，当边界条件可以以精确的方式实现时，我们发现这样的策略不仅提供了更好的近似解，而且便于训练过程。
2020-07-27 cs.NA math.NA
Efficient Shallow Ritz Method: 1D Semi-Linear Diffusion-Reaction and Allen-Cahn Equations
Great Bay University（大湾区大学）；Purdue University（普渡大学）
本文将高效浅里兹方法扩展至非线性扩散-反应方程，开发约化块牛顿方法与时间步进神经网络方法求解Allen-Cahn方程，其性能优于有限元方法。
2026-10-14 cs.NA math.NA
A Discontinuous Ritz Method for a Class of Calculus of Variations Problems
The University of Tennessee（田纳西大学）；University of Oklahoma（俄克拉荷马大学）
本文提出了一种不连续Ritz方法，用于近似一类变分问题，通过在不连续Galerkin空间上最小化离散能量，结合新的DG有限元导数，证明了方法的收敛性，并通过p-拉普拉斯问题验证了其性能。
2018-01-17 cs.NA math.NA
Filtered Rayleigh-Ritz is all you need
本研究指出Lanczos算法等效于Krylov子空间上的Rayleigh-Ritz方法，发现伪态滤波可保留噪声下的最优性，证明多种谱提取方法同属Prony-Ritz等价类，可简化Lanczos分析并提升数值稳定性。
2025-03-21 cs.NA hep-lat math.NA
Error Estimates for the Deep Ritz Method with Boundary Penalty
Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克数学研究所）；Simula Research Laboratory（西穆拉研究实验室）
本文对线性椭圆型方程的Deep Ritz方法进行了误差估计。对于Dirichlet边界条件，我们估计了边界值通过边界罚方法施加时的误差。我们的研究结果适用于任意集的anastomic函数和估计的误差依赖的优化精度，近似能力的anastomic类和-在Dirichlet边界值的情况下-惩罚强度$λ$。据我们所知，我们的结果是目前文献中唯一的处理Dirichlet边界条件的情况下，在充分的一般性，即，而没有导致所有$H^1(Ω)$上的双折射率的低阶项。此外，我们还讨论了我们的结果对通过ReLU网络给出的animals类的影响以及与现有有限元函数估计的关系。对于高维问题，我们的结果表明，良好的逼近能力的光滑函数的神经网络继承了深里兹方法。
2022-09-05 cs.LG cs.NA math.NA
N-Adaptive Ritz Method: A Neural Network Enriched Partition of Unity for Boundary Value Problems
University of California, San Diego（加州大学圣迭戈分校）；Coreform, LLC（Coreform有限责任公司）
提出神经网络增强单位分解法（NN-PU），结合预训练特征编码与Ritz能量最小化，实现边值问题的高效自适应求解，降低计算成本。
2024-01-16 cs.LG cs.NA math.NA
Deep Ritz revisited
Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克数学研究所）；University of Freiburg（弗莱堡大学）
近年来，神经网络在偏微分方程数值分析中的应用取得了一定的进展。在后者的变分制定的泊松问题是为了获得一个目标函数-一个正则狄利克雷能量-这是用于优化的一些神经网络。在本文中，我们使用$Γ$ -收敛的概念来证明，相对于适当正则化的Dirichlet能量进行训练的增长架构的ReLU网络收敛到泊松问题的真实解。我们讨论了这种方法如何推广到任意变分问题的神经网络的某些普遍性假设下，看到这包括一些非线性平稳偏微分方程一样的$p$ -拉普拉斯。
2020-01-10 cs.LG cs.NA cs.NE
A Deep Ritz Method for High-Dimensional Steady States of the Cahn-Hilliard Equation
School of Artificial Intelligence, Shenzhen Technology University（深圳职业技术大学人工智能学院）
提出一种增强增广拉格朗日形式的深度Ritz方法，结合可分离傅里叶特征映射，高效计算Cahn-Hilliard方程高维稳态解，并识别多解。
2026-05-24 cs.NA math.NA
Element-wise Convergence Behavior of Subspace Iteration
本文研究子空间迭代的逐元素收敛行为，针对对角矩阵情形推导了迭代矩阵和Ritz向量各元素模的精确渐近衰减速率，并推广至实对称或复正规矩阵。
2026-11-05 cs.NA math.NA
Energy-norm error estimates for finite element discretization of parabolic problems
TU Darmstadt（达姆施塔特工业大学）
本文基于有限元方法和Runge-Kutta时间步进方案，推导出抛物型初始边界值问题的最优a-先验误差估计，通过精心处理H(-1)-范数中的时间导数和L2投影，避免了人工正则性条件，提高了估计的适用性。
2015-07-18 cs.NA math.NA
A Sparse Grid Discretization with Variable Coefficient in High Dimensions
本文提出了一种基于预小波的稀疏网格Ritz-Galerkin离散化方法，用于求解高维变系数椭圆偏微分方程，通过多线性有限元实现，并展示了数值模拟结果及收敛性分析。
2016-03-09 cs.NA math.NA
A Shallow Ritz Method for Elliptic Problems with Singular Sources
National Yang Ming Chiao Tung University（国立阳明交通大学）；National Central University（国立中央大学）；National Center for Theoretical Sciences（国家理论科学研究中心）；National Taiwan University（国立台湾大学）
针对带界面delta函数奇异源的椭圆问题，提出仅含单隐藏层、以水平集为特征输入的浅Ritz型神经网络，通过将奇异源转化为界面曲面积分消除奇异性，经能量离散损失训练，提升了求解效率与精度，可处理不规则域及高维问题。
2022-07-01 cs.LG cs.NA math.NA
High-order evolving surface finite element method for parabolic problems on evolving surfaces
本文研究了在演化曲面上抛物型偏微分方程的高阶空间离散和全离散方法，证明了高阶演化表面有限元方法的收敛性，并分析了隐式龙格-库塔方法的收敛性。
2016-06-23 cs.NA math.NA
Finite Element Convergence Analysis For Wave Equations With Time-Dependent Coefficients
University of Basel（巴塞尔大学）
本文研究了具有时空依赖系数的二阶超几何偏微分方程的有限元近似误差估计，证明了半离散伽辽金有限元解在能量范数下的最优收敛率，并通过数值实验验证了收敛率及时间调制子波长谐振器中的局部波场增强现象。
2026-03-14 cs.NA math.NA
Resolvent sampling based Rayleigh-Ritz method for large-scale nonlinear eigenvalue problems
Northwestern Polytechnical University（西北工业大学）；University of Siegen（锡根大学）；Hefei University of Technology（合肥工业大学）
本文提出RSRR算法，通过解析采样构造近似本征空间，提升求解大规模非线性本征值问题的鲁棒性和可靠性，适用于边界元方法等高计算成本场景。
2016-05-11 cs.NA math.NA
Goal oriented error estimation for adaptive sampling of PINNS
Otto-von Guericke University（奥托·冯·格里克大学）
本文研究了利用经典PINN和变分方法Deep Ritz求解拉普拉斯方程，提出面向目标的重要性采样策略以加速功能误差收敛和目标功能最小化。
2026-04-02 cs.NA math.NA
Analyticity, maximal regularity and maximum-norm stability of semi-discrete finite element solutions of parabolic equations in nonconvex polyhedra
The Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学）
研究非凸多面体中抛物方程半离散有限元解的解析性、最大正则性及最大范数稳定性，将有限元抛物投影的最大范数稳定性问题转化为Ritz投影的最大范数稳定性问题。
2017-05-12 cs.NA math.NA
Weak discrete maximum principle of finite element methods in convex polyhedra
我们证明了拉普拉斯方程的Galerkin有限元解$u_h$在凸多面体$\varOmega$中，具有准均匀四面体分区的域和多项式次数的有限元$r\ge 1$，满足以下弱最大值原理：\begin{align*} \left\|u_{h}\right\|_{L^{\infty}(\varOmega)} \le C\left\|u_{h}\right\|_{L^{\infty}(\partial \varOmega)} , \end{align*}具有与网格尺寸$h$无关的常数$C$。利用这一结果，我们证明了Ritz投影算子$R_h$在$L^\infty$范数下是稳定的，并且对于$r\geq 2$在$h$范数下是一致稳定的，即\begin{align*} \|R_hu\|_{L^{\infty}(\varOmega)} \le C\|u\|_{L^{\infty}(\varOmega)} . \end{align*}.
2020-05-11 cs.NA math.NA
Semi and fully-discrete analysis of lowest-order nonstandard finite element methods for the biharmonic wave problem
本文针对固定边界双调和波方程，提出最低阶非标准有限元空间离散与显隐式时间离散方法，利用修正Ritz投影算子证明了半离散和全离散格式的稳定性与最优阶误差估计，并通过数值实验验证了理论结果。
2025-07-15 cs.NA math.NA
Explicit Bound for Quadratic Lagrange Interpolation Constant on Triangular Finite Elements
Graduate School of Science and Technology, Niigata University（新潟大学科学技术研究生院）；LSEC, ICMSEC, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院 LSEC、ICMSEC）
本文提出算法以提供二次拉格朗日插值误差常数的显式界，通过求解特征值问题得到上界，并利用瑞利-里兹方法获得下界，通过数值计算验证不同形状三角形上的界有效性。
2017-04-26 cs.NA math.NA
Finite element error estimates in $L^2$ for regularized discrete approximations to the obstacle problem
Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）
本文研究了在$L^2$范数下障碍问题的有限元误差估计，通过正则化问题的有限元离散化引入离散近似，并利用局部化技术估计全局$L^2$误差，同时通过数值例子验证了结果。
2018-11-22 cs.NA math.NA
A novel energy-conservation Crank-Nicolson finite element method for generalized Klein-Gordon-Zakharov equations
China University of Petroleum（中国石油大学）；Qingdao University（青岛大学）；Laboratório Nacional de Computação Científica（巴西国家科学计算实验室）
本文提出一种能量守恒的 Galerkin 有限元方法，结合双线性有限元方法和 Crank-Nicolson 方案，实现能量守恒，建立 H^1 范数下的超收敛性和误差界。
2026-05-12 cs.NA math.NA
Neural enrichment finite element method: A hybrid framework for problems with strong oscillations or interface problems
Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg（马格德堡奥托·冯·格里克大学）
本文提出神经增强有限元法（NEFEM），通过神经网络作为适应性富集函数，减少自由度并提升精度，适用于强振荡或弱不连续界面问题。
2026-05-10 cs.NA math.NA
A rational approximation method for solving acoustic nonlinear eigenvalue problems
提出两种近似方法（基于柯西积分公式的有理逼近和切比雪夫插值）计算三维声学BEM非线性特征值问题的特征频率与模态，结合适合并行化的Rayleigh-Ritz过程，在自由度达两百万的基准及工业应用中验证了有效性。
2019-06-07 cs.NA math.NA
Finite Element Analysis of Time Fractional Integro-differential Equations of Kirchhoff type for Non-homogeneous Materials
本文研究了非均匀介质中一类带记忆项的时间分数阶Kirchhoff型初边值问题。的能量参数被施加到推导所考虑的问题的解决方案的先验界。因此，我们证明了所考虑的问题的弱解的存在唯一性。我们保持时间变量连续和离散的空间域使用协调有限元获得半离散的提法的问题。通过对标准Ritz-Volterra投影算子的修正，进行了半离散误差分析。为了有效地获得问题的数值解，我们发展了一种新的线性化L1 Galerkin有限元法。该数值格式的收敛速度为$O(h+k^{2-α})$，其中$α~ (0<α<1)$为分数阶导数指数，$h$和$k$分别为空间和时间方向的离散参数.此外，通过提出一种新的线性化L2-1 $_σ$ Galerkin有限元法，在时间方向上提高了收敛速度。我们证明了该数值格式的精度为$O(h+k^{2})$。最后，数值实验验证了我们的理论主张。
2022-12-18 cs.NA math.NA
GLENN: Neural network-enhanced computation of Ginzburg-Landau energy minimizers
Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）；University of Bonn（波恩大学）
本文提出基于无监督深度Ritz策略的神经网络增强有限元策略，用于计算吉辛堡-兰道能量的极小值。通过将参数κ作为变量输入，获得广泛κ值范围内的极小值解，并通过神经网络作为独立求解器或作为经典迭代最小化过程的起始值，提升可靠性。
2026-04-30 cs.NA math.NA
Global stabilization and finite element analysis of the viscous Burgers' equation with memory subject to Neumann boundary feedback control
Rajiv Gandhi Institute of Petroleum Technology（拉吉夫·甘地石油技术学院）
本文研究了带有记忆项的粘性Burgers方程的全局稳定性，采用Neumann边界反馈控制并结合有限元方法进行分析，验证了稳定性及误差估计。
2026-02-01 cs.NA math.NA math.OC
Optimal $L^2$ error analysis of a loosely coupled finite element scheme for thin-structure interactions
针对不可压缩 FSI 薄结构模型，提出稳定的全离散运动学耦合格式，并借助耦合非定常 Ritz 投影证明其在 $L^2$ 范数下的最优阶收敛。
2023-12-12 cs.NA math.NA
An Approximation Theorist's View on Solving Operator Equations
Institut für Numerische und Angewandte Mathematik, Universität Göttingen（哥廷根大学应用数学与数值计算研究所）
本文从近似理论角度探讨求解偏微分方程和算子方程的问题，分析有限元、雷利-里茨等方法的本质，并展示如何利用近似理论解决稳定性问题。
2018-06-19 cs.NA math.NA
$L^{\infty}$-error estimates for Neumann boundary value problems on graded meshes
Universität der Bundeswehr München（联邦国防军慕尼黑大学）；Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）；Chemnitz University of Technology（开姆尼茨工业大学）
本文研究了在多边形域中Neumann边界条件下的有限元解的先验点估计，探讨了通过局部网格细化来提高收敛率，并利用加权Sobolev空间的正则性结果获得精确收敛阶。
2018-04-29 cs.NA math.NA
PINN-DG: Residual neural network methods trained with Finite Elements
本文提出PINN-DG，一种使用间断伽辽金有限元方法训练的物理信息神经网络，通过有限元插值和积分计算损失，避免逐点导数计算，提高椭圆型PDE求解的效率与鲁棒性，并给出收敛性分析和数值验证。
2025-07-09 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Variable-order fractional wave equation: Analysis, numerical approximation, and fast algorithm
School of Mathematics and Statistics, Shandong Normal University（山东师范大学数学与统计学院）；School of Mathematics and Statistics, Wuhan University（武汉大学数学与统计学院）；School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）
本文研究变阶分数阶波动方程的局部修正模型，证明其适定性与高阶正则性，提出Ritz-Volterra有限元全离散格式及基于平移不变性的快速分治算法，将复杂度从$O(MN^2)$降至$O(MN\log^2 N)$，并通过数值实验验证了理论结果。
2025-11-08 cs.NA math.NA
An $r$-adaptive finite element method using neural networks for parametric self-adjoint elliptic problem
Faculty of Engineering, Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教大学工程学院）；Institute for Mathematical and Computational Engineering (IMC), Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教大学数学与计算工程研究所）；University of the Basque Country (UPV/EHU)（巴斯克地区大学）；Basque Center for Applied Mathematics (BCAM)（巴斯克应用数学中心）
本文提出一种基于神经网络的r-自适应有限元方法，以Ritz能量泛函为损失函数优化网格节点位置，用于求解参数化自伴随椭圆问题，并在参数化Poisson问题上验证了有效性。
2025-06-29 cs.NA math.NA
Preconditioning of GMRES for Helmholtz problems with quasimodes
Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）；POEMS, CNRS, INRIA, ENSTA, Institut Polytechnique de Paris（POEMS, 法国国家科学研究中心, 法国国家信息与自动化研究所, ENSTA巴黎理工学院, 巴黎理工学院）
本文针对 Helmholtz 问题中准模导致 GMRES 收敛困难的现象，推导了基于调和 Ritz 值的收敛界，并结合区域分解与特征向量紧缩技术改善共振条件下的求解性能。
2025-11-06 cs.NA math.NA
A mass conservative generalized multiscale finite element method applied to two-phase flow in heterogeneous porous media
University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）；Universidad Nacional de Colombia（哥伦比亚国立大学）
本文提出了一种改进的广义多尺度有限元方法，用于构建局部守恒的通量场，通过引入拉格朗日乘子实现质量守恒约束，并通过数值实验验证了该方法在高变异性和不连续的渗透系数下的有效性。
2015-04-08 cs.NA math.AP math.NA
Convergence of Arbitrary Lagrangian-Eulerian Second-order Projection Method for the Stokes Equations on an Evolving Domain
本文提出并分析了演化域上Stokes方程的任意拉格朗日-欧拉二阶投影方法，证明了半离散和全离散误差界，并通过数值算例验证了理论结果。
2023-10-12 cs.NA math.NA
Stochastic Quadrature Rules for Solving PDEs using Neural Networks
CUNEF Universidad（CUNEF大学）；University of the Basque Country (UPV/EHU)（巴斯克大学）；Basque Center for Applied Mathematics (BCAM)（巴斯克应用数学中心）
本文针对神经网络求解PDE时的积分误差问题，提出在低维网格上使用高阶无偏随机求积规则，并为三角形和四面体单元设计新方法，证明其能以与蒙特卡洛相当的计算成本显著提升收敛速度，同时指出梯度精确积分是优化收敛的关键。
2026-10-05 cs.NA math.NA
A Fully Discrete Surface Finite Element Method for the Navier--Stokes equations on Evolving Surfaces with prescribed Normal Velocity
University of Warwick（华威大学）
本文提出了一种用于在演化的表面上求解纳维-斯托克斯方程的完全离散曲面有限元方法，通过弱化法向速度约束和改进的离散化技术，实现了最优误差界和稳定性分析。
2025-12-12 cs.NA math.NA
De Rham compatible Deep Neural Network FEM
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Universität Heidelberg（海德堡大学）
本文提出兼容离散 de Rham 复形的 FE-Nets，用 ReLU/BiSU 深度网络精确表示最低阶有限元空间，且无需几何限制，可支撑保持结构的电磁深度学习仿真。
2023-06-02 cs.LG cs.NA math.NA
Solving Partial Differential Equations Using Artificial Neural Networks
本论文研究人工神经网络在偏微分方程数值求解中的近似行为，提出了网格细化参数求解、基于Ritz方法的残差最小化方案及内存策略，以解决传统方法难以处理的框架问题。
2024-11-12 cs.NA math.NA
DNN Approximation of Nonlinear Finite Element Equations
我们研究了应用（D）NN（（深度）神经网络）来逼近非线性偏微分方程（偏微分方程）的有限元离散化中产生的非线性映射的潜力。作为一个应用，我们应用训练好的DNN来代替粗非线性算子，从而避免了为了评估真正的粗非线性算子的行为而访问精细级离散化的需要。研究方法的可行性证明在两个层次的FAS（全近似方案）用于解决非线性扩散反应偏微分方程。
2019-11-13 cs.NA math.NA
Point-Cloud-based Deep Learning Models for Finite Element Analysis
在本文中，我们探索基于点云的深度学习模型来分析有限元分析产生的数值模拟。我们的目标是自动分类的模拟结果，而无需繁琐的人工干预。本文提出了两种模型：点网分类模型和动态图卷积神经网络模型。这两种训练的点云深度学习模型在汽车行业的有限元分析实验中表现良好。所提出的模型在自动化的分析过程中的有限元模拟的承诺。点网模型和动态图卷积神经网络模型的预测精度分别为79.17%和94.5%。
2022-11-18 cs.NA math.NA
Two continuous extensions of the Neural Approximated Virtual Element Method
Politecnico di Torino（都灵理工大学）；Sorbonne Université（索邦大学）；Inria（法国国家数字科学研究所）
本文提出两种基于神经网络的连续扩展方法，用于提升虚拟元方法在连续性和精度上的性能。
2026-01-14 cs.NA math.NA
A variational physics-informed graph neural network for heterogeneous solid mechanics
Indian Institute of Technology Madras（印度理工学院马德拉斯分校）
提出变分物理信息图神经网络，通过离散化承载非均质性，最小化离散势能，实现无惩罚界面表示，在刚度对比扫描中精度优于强形式PINN，适用于参数化代理和逆识别。
2026-09-11 cs.LG cs.NA math.NA
Evaluating the Quality of Finite Element Meshes with Machine Learning
Mercedes-Benz AG（梅赛德斯-奔驰股份公司）
本文讨论了结构力学模拟中有限元网格质量的评价问题。它提出了一个机器学习模型的应用程序，从专家评估收集的数据进行训练。该任务的特点是作为一个分类问题，在一个网格中的每个单独的元素的质量是由它自己的属性和邻接结构。提出了一种特定于域的但简单的表示，使得可以应用现成的机器学习方法。来自工业实践的实验数据表明了有希望的结果。
2021-07-22 cs.LG cs.NA math.NA
Finite element interpolated neural networks for solving forward and inverse problems
本研究提出将神经网络插值到有限元空间的通用框架，解决偏微分方程约束的正反问题相关挑战，实验验证其泛化性优于有限元解，还提出带初始拟合的单循环反问题求解器。
2023-10-10 cs.NA math.NA
Finite element analysis of a nonlinear heat Equation with damping and pumping effects
研究了带阻尼和抽运效应的非线性热方程的弱解存在唯一性与正则性，并采用协调、非协调及间断Galerkin有限元方法推导了半离散和全离散格式的先验误差估计。
2025-10-11 cs.NA math.NA
Quasi-optimal $hp$-finite element refinements towards singularities via deep neural network prediction
Jagiellonian University（雅盖隆大学）；AGH University of Science and Technology（AGH科技大学）；Pontificia Universidad Católica de Valparaíso（瓦尔帕莱索天主教大学）
我们展示了如何构建深度神经网络（DNN）专家来预测给定计算问题的准最优$hp$ -细化。其主要思想是在执行自适应$hp$ -有限元法（$hp$ -FEM）算法期间训练DNN专家，并在以后使用它来预测进一步的$hp$细化。对于训练，我们使用两个网格范例自适应$hp$ -FEM算法。它采用细网格为粗网格单元提供最佳的$hp$细化。我们的目标是构建DNN专家来识别粗网格元素的准最优$hp$细化。在训练阶段，我们使用直接求解器来获得细网格的解决方案，以指导粗网格单元的最佳细化。训练结束后，我们关闭自适应$hp$ -FEM算法，并继续进行DNN专家训练后提出的准最优优化。我们测试我们的方法对三维Fichera和二维L形域的问题。我们验证了收敛的数值精度相对于网格步长。我们表明，指数收敛提供的自适应$hp$ -FEM可以保留，如果我们继续细化与适当训练的DNN专家。因此，在本文中，我们表明，从自适应$hp$ -FEM，它是可能的训练DNN专家的奇异点的位置，并继续选择准最佳的$hp$细化，保持指数收敛的方法。
2022-09-13 cs.AI cs.NA math.NA
Implementation of Hyperelastic Physics-Augmented Neural Networks in the Explicit Finite Element Codes Simcenter Radioss and OpenRadioss with Applications to Impact Events
Otto von Guericke University（奥托·冯·格里克大学）
提出将物理增强神经网络（PANNs）集成到显式有限元求解器的方法，通过自动生成Fortran用户材料子程序实现高效计算，并验证其在超弹性材料冲击模拟中的准确性。
2026-06-29 cs.LG cs.NA math.NA
Numerical Neural Operator: Connection Between Numerical Analysis and the Operator Learning and Building Discretized Neural Operators from Finite Element Methods
University of Notre Dame（圣母大学）
本研究探究数值分析与神经算子的关联，从有限元等数值格式推导神经算子架构，建立收敛误差估计，其网络规模与近似误差呈多项式依赖，实验验证了该方法的低误差与高参数效率。
2026-10-09 cs.NA math.NA
