Double fast algorithm for solving time-space fractional diffusion problems with spectral fractional Laplacian
针对含谱分数阶拉普拉斯算子的高维时空分数阶扩散问题，提出结合空间半离散格式与快速时间步进L1格式的双快速算法，证明其稳定性与最优时间收敛阶，并通过数值算例验证有效性。
2024-04-15 cs.NA math.NA
A modified EM method and its fast implementation for multi-term Riemann-Liouville stochastic fractional differential equations
对一类多项Riemann-Liouville随机分数阶微分方程构造了一种改进的Euler-Maruyama（EM）方法，并证明了当Riemann-Liouville分数阶导数的阶数为0<α 1 <α 2 <α m时，该方法的强收敛阶为min{1-α m，0.5}. <α_m <1。然后，基于指数和近似，提出了一种改进的EM方法的快速实现，称为快速EM方法，大大提高了计算效率。最后，通过数值算例验证了理论分析的正确性，并展示了快速EM方法的强大计算性能。
2022-05-07 cs.NA math.NA
Fast Fourier-like Mapped Chebyshev Spectral-Galerkin Methods for PDEs with Integral Fractional Laplacian in Unbounded Domains
在本文中，我们提出了一个快速的谱Galerkin方法求解含整数分数拉普拉斯算子的偏微分方程$\mathbb{R}^d$，这是建立在两个基本组成部分：（i）Dunford-Taylor公式的分数拉普拉斯算子;和（ii）Fourier-like双正交映射Chebyshev函数（MCF）作为基函数。因此，分数拉普拉斯算子可以完全对角化，并且求解椭圆分数PDE的复杂度是准最优的，即，$O((N\log_2N)^d)$，其中$N$是每个空间方向上的模式的数量。对各种衰减精确解的充分数值试验表明，快速求解器的收敛性与理论误差估计的阶数完全匹配。通过适当的时间离散，快速求解器可以直接应用于一个大类的非线性分数阶偏微分方程。作为一个例子，我们用四阶时间分裂方法和MCF-spectral-Galerkin方法求解了分数阶非线性Schr{<$}dinger方程.
2019-08-27 cs.NA math.NA
A semi-analytical collocation method for solving multi-term variable-order time fractional partial differential equations
提出了一种求解多项变阶时间分数阶偏微分方程（VOTFPDE）的新的半解析配置法。该方法采用傅里叶级数展开进行空间离散，将原始的多项VOTFPDE变换为一系列多项变阶时间分数阶常微分方程（VOTFODE）。然后，这些VOTFODE可以解决使用最近发展的向后替代方法。数值算例验证了所提出的数值方法在求解多项VOTFPDE时的准确性和有效性。
2020-07-18 cs.NA math.NA
A simple and fast finite difference method for the integral fractional Laplacian of variable order
本文针对多维变阶分数阶 Laplace 算子提出一种易实现的二阶有限差分格式及拟线性复杂度快速求解器，并通过数值算例验证其精度、效率与理论结论。
2024-06-15 cs.NA math.NA
Numerical approximations for the variable coefficient fractional diffusion equations with non-smooth data
University of South Carolina（南卡罗来纳大学）；Clemson University（克莱姆森大学）
本文研究了变系数分数扩散方程的数值近似问题，通过变量替换将变系数方程转换为常系数方程，提出并分析了谱近似方案，推导了误差估计，并通过数值实验验证了理论结果。
2019-02-26 cs.NA math.NA
Optimal order finite element approximations for variable-order time-fractional diffusion equations
University of South Carolina（南卡罗来纳大学）；National University of Singapore（新加坡国立大学）
本文研究了可变阶时间分数扩散方程的全离散有限元方法，证明了在无完整正则性假设下，使用均匀或分层时间网格时，时间方向上的一阶精度和空间方向上二阶精度的最优收敛性，并通过数值实验验证了分析结果。
2019-05-14 cs.NA math.NA
Wellposedness of the two-sided variable coefficient Caputo flux fractional diffusion equation and error estimate of its spectral approximation
University of South Carolina（南卡罗来纳大学）；Clemson University（克莱姆森大学）
本文研究了二边可变系数分数扩散方程的适定性及其谱近似误差，通过合适变换将可变系数方程转换为常系数方程，利用Jacobi多项式谱分解方法证明了模型的适定性和解的正则性，并提出了一种谱近似方案并研究了其精度，通过两个数值实验验证了导出的误差估计。
2018-11-01 cs.NA math.NA
Numerical approximation for a nonlinear variable-order fractional differential equation via an integral equation method
利用积分方程方法研究了一类非线性变阶分数阶微分方程的数值逼近。由于标准近似格式中变阶分数阶导数离散系数的单调性不足，现有的数值分析技术不能直接应用。通过近似反演技术，将该模型转化为第二类Volterra积分方程，并在此基础上提出了均匀网格和梯度网格下的配置法，并进行了分析。特别是，误差估计改善了现有的结果，通过证明一个一致的和尖锐的网格分级参数和表征的收敛速度的变量阶的初始值，这表明其关键作用，在确定的解决方案的光滑性，从而数值精度。
2021-10-10 cs.NA math.NA
Efficient and fast predictor-corrector method for solving nonlinear fractional differential equations with non-singular kernel
针对非线性Caputo-Fabrizio分数阶微分方程，提出了一种快速有效的预估校正法，其中Caputo-Fabrizio算子是一种新提出的具有光滑核的分数阶导数.所提出的方法实现了统一的精度顺序与二阶计划的线性插值和三阶计划的二次插值。利用离散的Gronwall不等式证明了算法的收敛性。此外，应用记忆项的递归关系，它减少了所提出的方法执行的CPU时间。所提出的快速算法需要近似的$O(N)$算术运算，而在常规预测校正方案的情况下需要$O(N^2)$，其中$N$是时间步的总数。以下数值例子证明了所提出的方法的精度以及效率;非线性分数阶微分方程，时间分数阶子扩散，时间分数阶对流-扩散方程。数值实验也验证了理论上的收敛速度。
2020-10-06 cs.NA math.NA
Fast implicit difference schemes for time-space fractional diffusion equations with the integral fractional Laplacian
本文对一类具有分数阶积分Laplacian算子的变系数时-空分数阶扩散方程提出了两种快速隐式差分格式。该格式利用Caputo分数阶导数的分次$L1$公式和IFL的特殊有限差分离散，分次网格可以捕获初始时刻具有弱奇异性的模型问题。通过对IFL空间离散矩阵的$M$ -矩阵分析，严格证明了算法的稳定性和收敛性。此外，所提出的计划使用快速指数和近似和Toeplitz矩阵算法，以减少时间和空间分数阶导数的非局部性的计算成本，分别。该快速格式大大减少了从$\mathcal{O}(MN^3 + M^2N)$到$\mathcal{O}(MN(\log N + N_{exp}))$的直接求解的计算工作量，并减少了从$O(MN^2)$到$O(NN_{exp})$的存储需求，其中$N$和$(N_{exp} \ll)~M$是空间和时间网格节点的数目.为了保证循环预条件子的加速效益，给出了预条件矩阵的谱。最后，数值结果显示所提出的方法的实用性。
2020-07-05 cs.NA math.NA
A high-order and fast scheme with variable time steps for the time-fractional Black-Scholes equation
研究了时间分数阶Black-Scholes方程的一种高阶快速数值方法。为了处理解的典型弱初始奇异性，我们构造了一个变时间步长的有限差分格式，其中分数阶导数由非一致Alikhanov公式和指数和（SOE）技术近似.在空间方向上，采用了四阶精度的平均近似。利用能量方法，证明了该格式的稳定性和时间上的二阶收敛性，空间上的四阶收敛性。最后通过数值例子验证了理论的正确性.
2021-09-08 cs.NA math.NA
Analysis of a fast fully discrete finite element method for fractional viscoelastic wave propagation
本文对推广的分数阶粘弹性波传播模型进行数值分析，将其转化为速度型积分微分方程并证明解的性质，提出基于指数和逼近的快速全离散有限元格式并导出误差估计，最后通过数值算例验证理论结果。
2025-07-16 cs.NA math.NA
On a second order scheme for space fractional diffusion equations with variable coefficients
University of Macau（澳门大学）
本文研究了带有变量系数的空间分数微分方程的二级方案，证明了在满足一定条件的扩散系数下方案的二级收敛性，通过数值测试验证了理论结果。
2017-08-17 cs.NA math.NA
A computational approach to exponential-type variable-order fractional differential equations
针对Laplace域表征的指数型变阶微分算子，提出一种计算程序求解该新型变阶分数阶微分方程，并通过数值实验验证了方法的有效性。
2023-09-18 cs.NA math.NA
A fast convolution method for the fractional Laplacian in $\mathbb{R}$
在这篇文章中，我们发展了一种新的方法来数值逼近定义在$\mathbb R$上的函数的分数拉普拉斯算子，以及一些更一般的奇异积分。在将$\mathbb R$映射到有限区间后，我们使用修改的中点规则离散积分算子。该过程的结果可以被转换为离散卷积，其可以使用快速傅里叶变换（FFT）来有效地评估。该方法提供了一个有效的，二阶精度，近似的分数拉普拉斯算子，而不需要截断域。首先证明了该方法对分数阶Laplacian和其他相关的奇异积分具有二阶近似，然后详细介绍了该方法的快速卷积实现，并给出了数值例子证明了该方法的有效性和效率;最后，作为其适用于进化问题的一个例子，我们采用的方法的非局部部分的一维立方分数薛定谔方程的聚焦情况下的离散化。
2022-12-09 cs.NA math.NA
Fractional calculus via variable-transform-based spectral approximations
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
提出一种基于移植切比雪夫多项式的统一框架来构造分数阶积分算子的谱逼近，通过代数变换和指数变换分别得到雅可比分数阶多项式和通用谱逼近，实现数值稳定且复杂度最优的分数阶微积分谱方法。
2026-06-02 cs.NA math.NA
Variable-order fractional Laplacian and its accurate and efficient computations with meshfree methods
本文首次提出基于径向基函数的无网格方法求解变阶分数阶拉普拉斯算子，结合伪微分与超奇异积分形式，以较少点数实现高精度，并应用于研究变阶分数阶偏微分方程的解行为。
2024-02-03 cs.NA math.NA
Numerical Analysis of a Variable-Order Time-Fractional Incompressible Magnetohydrodynamics System
Institute of Information and Computational Technologies（信息与计算技术研究所）；Abai Kazakh National Pedagogical University（阿拜哈萨克国立师范大学）；Sarsen Amanzholov East Kazakhstan University（萨尔森·阿曼佐洛夫东哈萨克斯坦大学）
本文研究了将经典一阶时间导数替换为可变阶Caputo时间分数导数的不可压缩磁流体动力学模型，通过有限元空间离散与L1型时间离散结合，证明了稳定性与收敛性，并通过数值实验探讨了可变阶分数项对非线性演化的影响。
2026-04-27 cs.NA math.NA
Fast and accurate approximations to fractional powers of operators
本文提出基于Gauss-Laguerre规则的有理近似方法，用于自伴正算子分数幂，并给出误差估计以先验选择Laguerre点数，数值实验验证了方法的有效性和估计的可靠性。
2020-04-21 cs.NA math.NA
A fast linearized finite difference method for the nonlinear multi-term time-fractional wave equation
Southwestern University of Finance and Economics（西南财经大学）；Guangdong University of Technology（广东工业大学）
本文提出了一种快速线性化有限差分方法，用于求解具有多分数阶的非线性时间分数波方程，通过引入快速L2-1σ公式和加权方法对多项Caputo导数进行离散化，并构建了完全快速线性化离散方案，该方法仅需求解线性系统即可获得数值解，具有二阶无条件收敛性。
2019-02-21 cs.NA math.NA
Numerical solution of variable order fractional differential equations
National Technical University Athens（雅典国立技术大学）
本文提出了一种求解可变阶分数微分方程的数值方法，适用于线性和非线性方程，通过近似可变阶分数导数建立简单表达式，并通过示例验证了方法的有效性和准确性。
2018-05-06 cs.NA math.NA
Fast predictor-corrector approach for the tempered fractional ordinary differential equations
School of Mathematics and Computer Science, Northwest University for Nationalities（西北民族大学数学与计算机科学学院）
本文提出一种基于'极短记忆'原理的快速预测-校正方法，用于求解温控分数阶常微分方程，通过等分布思想设计算法，验证其有效性及线性增长的计算成本。
2015-02-13 cs.NA math.NA
Efficient multistep methods for tempered fractional calculus: Algorithms and Simulations
Shanghai Normal University（上海师范大学）；Queensland University of Technology（昆士兰科技大学）；University of Oxford（牛津大学）；Brown University（布朗大学）
本文扩展了Lubich在1986年提出的分数阶线性多步方法，应用于 tempered 分数阶积分和导数算子，提出两种高效算法，通过数值实验验证了其在精度、效率和编程复杂性方面的优越性。
2018-12-08 cs.NA math.NA
Fast and accurate high-order method for high dimensional space-fractional reaction-diffusion equation with general boundary conditions
为了实现高效率和高精度的长时间积分，我们提出了一种快速、高精度和稳定的高阶数值方法来求解分数维空间反应扩散方程。所提出的方法是明确的性质，并利用四阶紧致有限差分格式和矩阵转移技术（MTT）在空间与基于FFT的实现。时间积分采用精确的四阶修正指数时间差分Runge-Kutta格式。线性稳定性分析和各种数值实验，包括二维（2D）Fitzhugh-Nagumo，Gierer-Meinhardt，Gray-Scott和三维（3D）Schnakenberg模型，以证明所提出的方法的精度，效率和稳定性。
2020-03-30 cs.NA math.NA
A Fully Discrete Energy-Based Discontinuous Galerkin Method for Variable-Order Time-Fractional Wave Equations
Rice University（莱斯大学）；Ken Kennedy Institute, Rice University（肯·肯尼迪学院，莱斯大学）
针对变阶时间分数阶波动方程，提出并分析了一种全离散基于能量的间断Galerkin方法，通过累积权重变差估计建立了能量稳定性和二阶时间收敛性。
2026-05-25 cs.NA math.NA
On the finite element approximation for fractional fast diffusion equations
考虑$\mathbb{R}^N$中有界开多面体区域上的分数阶快速扩散方程，利用$C^0$ --空间上的分段线性有限元和时间上的向后Euler离散，给出了解的完全Galerkin逼近，证明了近似解的先验估计和收敛速度，推广了\emph{Carsten Ebmeyer and Wen Bin Liu, SIAM J. Numer. Anal., 46(2008), pp. 2393--2410}的结果.在\emph{Qiang Du, Max Gunzburger, Richaed B. Lehoucq and Kun Zhou, SIAM Rev., 54 (2012), no. 4, pp. 667--696.}的框架下，我们将先验估计和收敛速度推广到抛物型积分方程
2019-12-17 cs.NA math.NA
On a collocation method for the time-fractional convection-diffusion equation with variable coefficients
Northwestern Polytechnical University（西北工业大学）
本文提出了一种结合小波运算矩阵方法和指数样条插值的新型格点方法，用于求解具有变量系数的时间分数对流-扩散方程，通过小波运算矩阵和指数样条方法验证了方法的有效性和适用性。
2016-09-26 cs.NA math.NA
A fast method for variable-order space-fractional diffusion equations
对于变阶空间分数阶扩散方程齐次Dirichlet边值问题，提出了一种快速分治间接配置法.由于空间因变量阶数的影响，得到的刚度矩阵的数值逼近不具有Toeplitz型结构。本文利用Toeplitz矩阵与对角矩阵相乘的和，给出了系数矩阵的一种快速逼近。我们证明了该逼近与原始问题渐进一致，原始问题需要$O(kN\log^2 N)$内存和$O(k N\log^3 N)$计算复杂性，其中$N$和$k$分别是未知数和逼近数的数量。数值实验证明了该方法的有效性和效率。
2019-07-08 cs.NA math.NA
Fast Solution Methods for Fractional Differential Equations in the Modeling of Viscoelastic Materials
分数阶模型已被证明是一个非常有用的工具，粘弹性材料的力学行为的建模。由于分数阶微分算子的非局部性，传统的数值解方法表现出各种不期望的性质，特别是关于高计算复杂性和高存储器要求。无限状态表示法是一种方法，人们可以基于它的数值方法，克服这些障碍。这样的算法包含许多参数，这些参数以非平凡的方式影响最终结果。基于数值实验，我们开始了一项研究，导致这些参数的良好选择。
2021-11-22 cs.NA math.NA
Energy stability of variable-step L1-type schemes for time-fractional Cahn-Hilliard model
本文提出一种新技术估计分数阶Caputo导数L1型公式离散卷积核的最小特征值，为时间分数阶Cahn-Hilliard模型建立了变步长L1型格式的变分能量耗散定律，并证明其渐近相容性。
2022-01-04 cs.NA math.NA
A fast and spectrally convergent algorithm for rational-order fractional integral and differential equations
Stellenbosch University（斯泰伦博斯大学）；Imperial College（帝国理工学院）
本文提出一种线性于自由度的快速算法，用于求解线性变系数有理阶分数积分和微分方程，通过构造两个基底实现谱收敛。
2017-12-01 cs.NA math.NA
Fast IMEX Time Integration of Nonlinear Stiff Fractional Differential Equations
分数阶非线性微分方程的积分-微分性质决定了其长时间有效积分的难度。此外，由逆幂律核引入的固有的非光滑性降低了许多现有数值方法的精度和效率。我们发展了两个有效的一阶和二阶隐式显式（IMEX）方法，用于求解具有分数阶$α\in (0,1]$的刚性/非线性分数阶微分方程的精确时间积分，并证明了它们的收敛性和线性稳定性。所开发的方法是基于线性多步分数亚当斯-莫尔顿方法（FAMM），其次是外推的非线性力项。为了处理初始时刻附近的奇异性，我们采用Lubich样的修正得到的分数算子。所得到的线性稳定区域的开发IMEX方法是大于现有的IMEX方法在文献中。此外，稳定区域的大小随着分数阶值的减小而增大，这适用于刚性问题。我们还重写了IMEX方法的语言中的非线性Toeplitz系统，在那里我们采用了快速反演方案，以实现计算复杂度为$\mathcal{O}(N \log N)$，其中$N$表示的时间步长的数量。我们的计算结果表明，所开发的格式可以实现全球一阶和二阶精度的高振荡刚性/非线性问题的奇异性。
2019-09-09 cs.NA math.NA
Asymptotically compatible energy of variable-step fractional BDF2 formula for time-fractional Cahn-Hilliard model
针对时间分数阶Cahn-Hilliard模型，提出基于局部-非局部分裂技术的变步长分数阶BDF2格式，建立了新的离散能量耗散定律，并在$\alpha\to1^-$极限下与经典模型渐近相容，数值实验验证了其准确性和有效性。
2022-10-22 cs.NA math.NA
Structure-preserving scheme for fractional nonlinear diffusion equations
本文提出并分析了一种求解分数阶非线性扩散方程 Cauchy-Dirichlet 问题的保结构数值格式，严格证明了其能保持代数衰减和熄灭现象等连续方程性质，并提出了一种精确计算熄灭时间的新方法。
2024-09-27 cs.NA math.NA
Wellposedness and regularity of steady-state two-sided variable-coefficient conservative space-fractional diffusion equations
East China Normal University（华东师范大学）；University of South Carolina（南卡罗来纳大学）
研究稳态双侧变系数守恒空间分数扩散方程的狄利克雷边界值问题，通过伽辽金弱形式的正则性分析，推导出Petrov-Galerkin公式并证明问题的适定性，同时获得高阶正则性估计。
2016-06-15 cs.NA math.NA
Two methods addressing variable-exponent fractional initial and boundary value problems and Abel integral equation
School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）
本文提出两种方法研究变指数分数模型，包括卷积法分析变指数扩散的适定性及数值近似，以及扰动法证明变指数分数边界值问题的适定性，并应用于变指数阿贝尔积分方程的证明。
2024-05-12 cs.NA math.AP math.NA
A fast fractional block-centered finite difference method for two-sided space-fractional diffusion equations on general nonuniform grids
本文针对一般非均匀网格上的双边变系数空间分数阶扩散方程，提出分数阶块中心有限差分法，并结合指数和近似与Krylov子空间方法设计快速算法，显著降低计算复杂度和内存需求，同时保持精度。
2024-10-04 cs.NA math.AP math.NA
Some Aspects of the Numerical Analysis of a Fractional Duffing Oscillator with a Fractional Variable Order Derivative of the Riemann-Liouville Type
本文考虑了具有Riemann-Liouville型变分数阶导数的分数Duffing数学模型的数值分析的某些方面。使用数值方法：基于Grunwald-Letnikov和Adams-Bashford-Moulton（预估-校正）近似的显式差分格式，建立了数值模型，并通过算例验证了方法的有效性。结果表明，预估校正法比显式差分法具有更快的收敛性。对于这些方案，使用龙格规则，计算精度的估计，这往往与计算的网格节点的数量的增加统一。
2021-06-12 cs.NA math.DS math.NA
A New Fast Finite Difference Scheme for Tempered Time Fractional Advection-Dispersion Equation with a Weak Singularity at Initial Time
School of Mathematics, Beihang University(BUAA)（北京航空航天大学数学学院）
本文提出了一种新的快速有限差分格式，用于求解具有初始时间弱奇异性的 tempered 时间分数阶输运-扩散方程，并证明了其在时间和空间上的二阶收敛性。
2026-10-07 cs.NA math.AP math.NA
Caputo derivatives of fractional variable order: numerical approximations
Polytechnic Institute of Leiria（莱里亚理工学院）；University of Aveiro（阿威罗大学）
本文提出一种新工具用于求解包含分数变量阶Caputo导数的偏微分方程，通过三种Caputo型分数算子得到仅含整数阶导数的近似公式，并提供误差估计，通过测试函数验证数值近似与精确分数导数的一致性。
2015-11-06 cs.NA math.AP math.CA
An expansion formula with higher-order derivatives for fractional operators of variable order
Center for Research and Development in Mathematics and Applications (CIDMA) Department of Mathematics, University of Aveiro（阿威罗大学数学中心数学研发与应用中心）
本文提出了一种用于变量阶Riemann-Liouville和Marchaud型分数积分和导数的近似公式，仅涉及整数阶导数，并给出了误差估计，通过实例展示了方法的效率，同时应用于求解依赖于Marchaud型分数导数的微分方程和变分问题。
2013-09-19 cs.NA math.CA math.NA
