Regularity of the Solution to 1-D Fractional Order Diffusion Equations
Clemson University（克莱姆森大学）；Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教 Pontificia 大学）；North Carolina A & T State University（北卡罗来纳农业与州立大学）
本文研究了一维有界域上稳态分数阶扩散方程解的正则性，推翻传统分数阶微分算子假设，推导出分数阶扩散算子核的闭式表达式，并提出基于雅可比多项式的谱近似方法。
2016-07-30 cs.NA math.NA
Numerical approximation for fractional diffusion equation forced by a tempered fractional Gaussian noise
本文讨论了受回火分数阶高斯噪声强迫的分数阶扩散方程。分数阶扩散方程决定了从属的killed布朗运动的密度函数。回火分数阶高斯噪声具有局部化特性，起着脉动外源的作用。首先建立了回火分数布朗运动的无穷维随机积分的正则性，然后建立了分数随机扩散方程的温和解的正则性.在空间上采用谱伽辽金方法进行近似，然后将系统转化为在时间上比原系统具有更好的正则性的等价形式。然后用半隐式欧拉格式离散时间导数。利用时空误差分裂技术，得到了全离散格式在均方$L^2$ -范数意义下的误差估计。大量的数值实验证实了理论估计。
2019-12-15 cs.NA math.NA
An efficient spectral-Galerkin method for fractional reaction-diffusion equations in unbounded domains
在这项工作中，我们应用一个快速和准确的数值方法求解分数阶反应扩散方程在无界区域。该方法利用空间上的类傅里叶谱方法，有效地处理了分数阶拉普拉斯算子，得到了分数阶拉普拉斯算子的全对角表示。为了完全离散底层的非线性反应扩散系统，我们建议使用一个精确的时间推进计划的基础上ETDRK4。数值例子说明了所提出的方法的有效性。
2020-10-22 cs.NA math.NA
A unified convergence analysis for the fractional diffusion equation driven by fractional Gaussion noise with Hurst index $H\in(0,1)$
在这里，我们提供了一个统一的框架，数值分析的分数阶高斯噪声驱动的随机非线性分数阶扩散方程的赫斯特指数$H\in(0,1)$。构造了分数布朗运动随机积分二阶矩的一种新估计，这对分析$H\in(0,1)$解在时间和空间上的正则性有重要贡献。然后分别采用谱Galerkin方法和后向Euler卷积求积法对分数阶Laplacian和Riemann-Liouville分数阶导数进行离散。对所建立的数值格式进行了精确的误差估计。最后，大量的数值实验验证了理论结果。
2021-04-28 cs.NA math.NA
Symmetric fractional order reduction method with $L1$ scheme on graded mesh for time fractional nonlocal diffusion-wave equation of Kirchhoff type
在这篇文章中，我们提出了一个线性化全离散格式来求解基尔霍夫型时间分数非局部扩散波方程。该格式在空间上采用有限元法，在时间上采用$L1$格式。在$L^{\infty}\big(H^1_0(Ω)\big)$范数下得到了全离散解的$α$ -鲁棒\textit{a priori}界和\textit{a priori}误差估计，其中$α\in (1,2)$是时间分数阶导数的阶数.最后，我们进行了一些数值实验来验证理论结果。
2023-01-04 cs.NA math.NA
On Rational Krylov and Reduced Basis Methods for Fractional Diffusion
建立了求解分数阶扩散问题的两类方法之间的等价性，即缩减基方法（RBM）和有理Krylov方法（RKM）。特别是，我们证明了最近提出的几个RBM分数扩散可以被解释为RKM。这种改变的观点使我们能够为一些以前没有的方法提供收敛性证明。我们还提出了一个新的RKM的分数阶扩散问题的极点选择使用的最佳有理逼近的功能$x^{-s}$在频谱间隔的空间离散矩阵。我们证明了这种方法的收敛速度，并证明了数值计算，它是竞争力或优于许多方法从减少的基础上，理性Krylov，直接有理逼近类。我们提供了一些椭圆分数阶扩散模型问题的数值试验。
2021-02-26 cs.NA math.NA
A fractional spline collocation-Galerkin method for the time-fractional diffusion equation
本文提出了一种基于分数样条的collocation-Galerkin方法，用于求解具有分数阶时间导数的扩散微分问题，通过闭式表达式简化了分数阶导数的计算，提高了数值方法的准确性和效率。
2018-03-11 cs.NA math.NA
Dirichlet-Neumann Waveform Relaxation Algorithm for Time Fractional Diffusion Equation in Heterogeneous Media
本文研究了时间分数阶子扩散和扩散波方程的Dirichlet-Neumann波形松弛算法在一维和二维正则区域上的收敛性，其中无量纲扩散系数在不同的子域上取不同的常数值.从数值实验中，我们首先捕获的最佳松弛因子。使用这些最佳的松弛因子，我们的分析估计的变化率的收敛行为对分数阶和时间。我们已经在1D \& 2D中的多个子域案例中进行了分析。
2023-01-30 cs.NA math.NA
Implementation of high-order, discontinuous Galerkin time stepping for fractional diffusion problems
间断Galerkin dG方法为分数阶扩散问题的时间积分提供了一种稳健而灵活的方法。然而，实际的实施方式使用由不容易评估的积分定义的系数。我们描述了专门的正交技术，有效地保持整体精度的dG方法。此外，我们观察到在数值实验中，已知的dG时间步进经典扩散问题的超收敛性质进行了修改形式的分数阶设置。
2020-03-22 cs.NA math.NA
A Fourth-Order Compact ADI Scheme for Two-Dimensional Riesz Space Fractional Nonlinear Reaction-Diffusion Equation
本文提出了一个二阶向后差分公式（简称后差分公式）。BDF 2）逼近一阶时间偏导数，Riesz分数阶导数用四阶紧算子逼近，提出了一类新的交替方向隐式差分格式（简称BDF）。ADI），构造了二维Riesz空间分数阶非线性反应扩散方程的差分格式.分析了该数值方法的稳定性和收敛性。数值实验表明该方法是有效的。
2019-09-05 cs.NA math.NA
Analysis and Petrov-Galerkin numerical approximation for variable coefficient two-sided fractional diffusion, advection, reaction equations
本文研究了有界区间上的变系数双边分数阶扩散、平流、反应方程。众所周知，分数阶扩散算子由于系数的可变性而可能失去连续性，这使得数学和数值分析都具有挑战性。为了解决这个问题，我们设计了合适的测试函数和测试函数，在合适的函数空间中证明了变系数分数扩散、平流、反应算子的inf-sup条件.基于这一性质，我们证明了该模型解的适定性和正则性，并分析了该模型的Petrov-Galerkin逼近格式。数值实验证实了理论研究结果，并比较不同模型的行为。
2022-03-22 cs.NA math.NA
A fully discrete local discontinuous Galerkin method with the generalized numerical flux to solve the tempered fractional reaction-diffusion equation
回火分数阶扩散方程可以看作是经典分数阶扩散方程的推广，截断效应包含在有界区域内.针对回火分数阶扩散方程，设计了基于广义交替数值通量的高阶全离散局部间断Galerkin（LDG）方法.从实际应用的角度来看，广义交变数值通量不同于纯交变数值通量，具有更广泛的应用范围。我们首先设计了一个有效的有限差分格式来逼近回火分数阶导数，然后设计了一个全离散的LDG方法来求解回火分数阶扩散方程。我们证明了该格式是无条件稳定的，并以$O(h^{k+1}+τ^{2-α})$阶收敛，其中$h, τ$和$k$分别是空间步长、时间步长和分段多项式的次数.最后通过数值实验验证了该方法的有效性和精度。
2020-01-01 cs.NA math.NA
High Order Numerical Scheme for Generalized Fractional Diffusion Equations
本文对广义分数阶扩散方程提出了一个高阶有限差分格式。分数阶扩散方程被认为是广义分数阶导数（GFD），它使用的尺度和权函数的定义。在特定情况下，GFD可化为Riemann-Liouville导数、Caputo导数和其他分数阶导数。由于尺度和权函数在描述实际物理系统行为中的重要性，我们通过考虑各种尺度和权函数给出了GFDE的解。通过对有限差分格式（FDS）的收敛性和稳定性分析，验证了该方法的有效性。我们考虑FDS的数值模拟的测试例子来证明所提出的数值方法。
2022-06-07 cs.NA math.NA
Boundary Conditions for Fractional Diffusion
University of Otago（奥塔哥大学）；Chalmers University of Technology（查尔姆斯理工大学）；Michigan State University（密歇根州立大学）
本文推导了分数扩散方程的物理意义边界条件，通过质量平衡方法分析，并讨论了吸收和反射边界条件的理论性质与数值解。
2017-06-24 cs.NA math.AP math.NA
Analysis of Anisotropic Nonlocal Diffusion Models: Well-posedness of Fractional Problems for Anomalous Transport
研究了一类各向异性非局部扩散方程的适定性。在统一的非局部向量微积分中建立了加权和非加权各向异性非局部扩散算子之间的等价关系，将我们的分析应用于一类分数阶算子，并给出了相应的各向异性反常扩散方程解的严格估计.进一步，我们将我们的分析推广到各向异性扩散-平流方程，并证明了[0.5，1）中分数阶s的适定性.我们还提出了对流-扩散方程的应用异常传输的溶质。
2021-01-12 cs.NA math.AP math.NA
An inverse random source problem for the time-space fractional diffusion equation driven by fractional Brownian motion
研究了由分数阶布朗运动驱动的具有Hurst指标$H\in(0,1)$的时空分数阶扩散方程的随机源反问题.借助于一个新的估计，通过使用运营商的方法，我们提出的正问题的正则性分析。然后，我们提供了一个重建方案的源项$f$和$g$的符号。其次，结合Mittag-Leffler函数的性质，给出了完全唯一性和不稳定性分析。值得一提的是，所有的分析是统一的$H\in(0,1)$。
2021-06-02 cs.NA math.NA math.PR
Recovering Multiple Fractional Orders in Time-Fractional Diffusion in an Unknown Medium
在这项工作中，我们研究了一个时间分数阶扩散模型中的多阶反问题，从边界上一个单点的观测数据中恢复。我们证明了订单及其权重的唯一恢复，这不需要完全了解域或介质属性，例如，模型中的扩散系数和势系数、初始条件和源。证明是基于拉普拉斯变换和渐近展开。此外，受分析的启发，我们提出了一个数值方法，用于恢复这些参数的基础上的非线性最小二乘拟合与分数多项式或有理逼近作为模型函数，并提供数值实验来说明小时间$t$的方法。
2021-08-16 cs.NA math.AP math.NA
On numerical methods and error estimates for degenerate fractional convection-diffusion equations
Norwegian University of Science and Technology (NTNU)（挪威科技大学）
针对一大类非线性非局部可能退化的对流扩散方程，提出了一种收敛的数值方法，并开发了新的Kuznetsov型理论，得到了主导数阶数在1到2之间的最优误差估计。
2012-01-29 cs.NA math.AP math.NA
A weighted finite difference method for the fractional diffusion equation based on the Riemann-Liouville derivative
University of Coimbra（科英布拉大学）；Lanzhou University（兰州大学）
针对Riemann-Liouville分数阶导数的一维分数阶扩散模型，提出二阶离散格式并推导无条件稳定的加权平均有限差分方法，通过von Neumann分析证明稳定性，数值实验验证了方法的有效性和收敛性。
2011-09-11 cs.NA math.NA physics.comp-ph
On an explicit finite difference method for fractional diffusion equations
本文提出一种结合FTCS方法与Grunwald-Letnikov分数阶导数定义的显式格式，用于求解分数阶扩散方程，并通过稳定性分析和数值测试验证了其有效性。
2003-11-10 cond-mat.stat-mech cs.CE cs.NA
