Robin Pre-Training for the Deep Ritz Method
我们比较了不同的训练策略的深Ritz方法的椭圆型方程的Dirichlet边界条件和突出的问题所产生的边界值。我们区分边界值的精确分辨率通过引入距离函数和近似通过罗宾边值问题。然而，距离函数是很难获得复杂的域。因此，求解近似于Dirichlet边值问题的Robin边值问题是更可行的，但是对于大的惩罚，这个问题的简单方法变得不稳定。提出了一种新的方法来补偿这个问题，在对目标惩罚强度进行主训练之前，使用较小的惩罚强度对模型进行预训练。我们提出的数值和理论证据表明，该方法是有益的。
2021-06-11 cs.NA math.NA
Deep Nitsche Method: Deep Ritz Method with Essential Boundary Conditions
我们提出了一种新的方法来处理基于深度学习的偏微分方程数值求解器中遇到的本质边界条件。由深度神经网络表示的测试函数是非插值的，这使得本质边界条件的强制执行成为一个重要的问题。我们的方法诉诸Nitsche的变分公式来处理这个困难，这是一致的，并不需要显着的额外计算成本。我们证明了能量范数下的误差估计，并对最多100维的几个典型问题给出了该方法。
2021-01-12 cs.NA math.NA
An Iterative Deep Ritz Method for Monotone Elliptic Problems
The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）
提出迭代深度 Ritz 方法（IDRM）求解单调椭圆问题，通过编码函数空间几何并引入凸惩罚提升性能，在收敛性理论上有所突破，且在精度上优于现有神经 PDE 求解器。
2025-01-25 cs.LG cs.NA math.NA
A Deep Uzawa-Lagrange Multiplier Approach for Boundary Conditions in PINNs and Deep Ritz Methods
本文提出一种基于深度学习的Deep Uzawa算法，通过引入Lagrange乘子在PINNs和Deep Ritz方法中弱执行偏微分方程边界条件，在仅需微小计算调整下显著提升收敛性，并在高维、奇异摄动及非凸域等问题上验证了其准确性和有效性。
2024-11-14 cs.NA math.NA
Solving Elliptic Problems with Singular Sources using Singularity Splitting Deep Ritz Method
Jilin University（吉林大学）；The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；The Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学）
本文提出奇性分离深度Ritz方法，将解分解为基于Laplace基本解的奇异部分和由深度Ritz方法求解的正则部分，并引入路径跟踪策略选择惩罚参数，高效求解含点源、线源及其组合的变系数二阶椭圆方程。
2023-04-17 cs.LG cs.NA math.NA
N-Adaptive Ritz Method: A Neural Network Enriched Partition of Unity for Boundary Value Problems
University of California, San Diego（加州大学圣迭戈分校）；Coreform, LLC（Coreform有限责任公司）
提出神经网络增强单位分解法（NN-PU），结合预训练特征编码与Ritz能量最小化，实现边值问题的高效自适应求解，降低计算成本。
2024-01-16 cs.LG cs.NA math.NA
Uniform Convergence Guarantees for the Deep Ritz Method for Nonlinear Problems
我们提供了收敛保证的深度里兹方法的抽象变分能量。我们的结果涵盖了非线性变分问题，如$p$ -拉普拉斯方程或Modica Mortola能源本质或自然边界条件。在额外的假设下，我们证明了在%有界的右端族上是一致收敛的。
2021-11-10 cs.NA math.NA
The Ritz method with Lagrange multipliers
Smith Bits, A Schlumberger Co.（施伦伯格公司旗下 Smith Bits）；University of Houston-Downtown（休斯顿大学市中心分校）
本文提出一种广义里兹方法，通过拉格朗日乘子处理不满足本质边界条件的试探函数，证明收敛性并讨论实现问题。
2013-03-06 cs.NA math.NA
Refined generalization analysis of the Deep Ritz Method and Physics-Informed Neural Networks
本文推导了Deep Ritz方法（DRM）和物理信息神经网络（PINNs）的精细化泛化界，基于局部化技术、局部Rademacher复杂度及Barron空间假设，为多种椭圆偏微分方程提供了更尖锐的泛化分析与过参数化误差讨论。
2025-06-02 cs.NA math.NA
Error Analysis of Deep Ritz Methods for Elliptic Equations
使用深度神经网络来解决偏微分方程最近引起了很多关注。然而，深度学习方法的成功原因远远落后于它的经验成功。本文对二阶椭圆型方程的深Ritz方法（DRM）\cite{Weinan2017The}分别在Drichilet、Neumann和Robin边界条件下进行了严格的数值分析.我们使用深度网络建立了DRM的$H^1$范数下的第一个非渐近收敛速度，其中光滑激活函数包括logistic和双曲正切函数。我们的研究结果表明，如何设置深度和宽度的超参数，以达到所需的收敛速度方面的训练样本的数量。
2021-09-05 cs.NA math.NA
A Ritz-based Finite Element Method for a Fractional-Order Boundary Value Problem of Nonlocal Elasticity
给出了分数阶非局部连续介质Euler-Bernoulli梁模型的解析表达式和有限元解。采用一致的分数阶运动学关系的定义，控制方程和相关的边界条件推导的基础上变分原理。值得注意的是，分数阶非局部模型产生了一个自伴和正定系统接受一个独特的解决方案。此外，由于很难获得解析解的边值问题，一个有限元模型的分数阶控制方程。在对基准问题进行充分验证之后，采用分数阶有限元模型（f-FEM）研究了Euler-Bernoulli梁在各种载荷和边界条件下的非局部响应。分数阶正定系统将在这里使用，以解决一些矛盾的结果，通过经典的积分方法，非局部梁的非局部弹性。虽然在一维欧拉-伯努利梁的上下文中，f-FEM制定是非常普遍的，可以扩展到任何一般的分数阶边值问题的解决方案。
2020-06-02 cs.NA math.AP math.NA
Kernel Methods in the Deep Ritz framework: Theory and practice
University of Graz（格拉茨大学）；Ludwig Maximilian University of Munich（慕尼黑大学）；Munich Center for Machine Learning（慕尼黑机器学习中心）
本文在Deep Ritz方法中采用核近似作为试探函数，结合Nitsche方法弱施加边界条件，求解椭圆型偏微分方程的弱解，并证明了先验误差估计。
2026-06-01 cs.NA math.NA
Convergence Rate Analysis for Deep Ritz Method
使用深度神经网络来解决偏微分方程最近引起了很多关注。然而，深度学习方法的成功原因远远落后于它的经验成功。本文对求解二阶椭圆型方程的Deep Ritz方法（DRM）\cite{wan11}进行了严格的数值分析.我们使用具有$\mathrm{ReLU}^2$激活函数的深度网络建立DRM的$H^1$范数的第一非渐近收敛速度。除了提供DRM的理论依据外，我们的研究还揭示了如何设置深度和宽度的超参数，以实现所需的收敛速度方面的训练样本的数量。在技术上，我们得到了深度$\mathrm{ReLU}^2$网络在$H^1$范数下的逼近误差的界以及梯度范数和$\mathrm{ReLU}^2$网络的非Lipschitz合成的Rademacher复杂度的界，这两个界都是独立的.
2021-03-29 cs.NA math.NA
A Shallow Ritz Method for Elliptic Problems with Singular Sources
National Yang Ming Chiao Tung University（国立阳明交通大学）；National Central University（国立中央大学）；National Center for Theoretical Sciences（国家理论科学研究中心）；National Taiwan University（国立台湾大学）
针对带界面delta函数奇异源的椭圆问题，提出仅含单隐藏层、以水平集为特征输入的浅Ritz型神经网络，通过将奇异源转化为界面曲面积分消除奇异性，经能量离散损失训练，提升了求解效率与精度，可处理不规则域及高维问题。
2022-07-01 cs.LG cs.NA math.NA
A Chebyshev--Ritz Spectral Framework for Nonlinear Vibration of CNT-Reinforced Composite Beams
本研究提出了一种Chebyshev-Ritz谱方法用于碳纳米管增强复合材料梁的非线性振动分析，通过边界自适应基函数和降阶模型实现了高精度与高效率，并系统揭示了CNT分布与体积分数对基频的影响。
2025-09-15 cs.NA math.DS math.NA
Deep Ritz Method with Adaptive Quadrature for Linear Elasticity
本文研究求解线性弹性方程的深度Ritz方法，引入基于$H^{1/2}(Γ_D)$范数的修正变分形式处理Dirichlet边界条件，证明其能量范数下的最佳逼近性，并提出基于自适应求积的数值积分技术以控制积分误差，有效提升了方法求解各类弹性问题的精度与效率。
2023-05-24 cs.NA math-ph math.MP
An adaptive Deep Ritz framework for second-order fully nonlinear partial differential equations
Geneva School of Business Administration (HEG-Genève), University of Applied Sciences and Arts Western Switzerland (HES-SO)（日内瓦商业管理学院（HEG-Genève），瑞士西部应用科学和艺术大学（HES-SO））；Institute of Mathematics, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院数学研究所）
本文提出了一种替代PINNs的Deep Ritz框架，通过最小二乘法分离非线性项与变分特征，结合分裂方法迭代求解局部非线性问题和线性变分问题，采用自适应采样策略提升效率，通过数值实验验证了该方法在处理全非线性方程中的灵活性和准确性。
2026-09-30 cs.NA math.NA
Nonlinear elliptic homogenization with the parametric Deep Ritz method
Smead Aerospace Engineering Sciences（斯米德航空航天工程科学学院）；University of Colorado Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
本文提出参数化深度Ritz方法求解非线性椭圆均匀化中的参数化单元问题，提供连续可微的单元响应表示，显著加速宏观尺度求解。
2026-09-09 cs.LG cs.NA math.NA
PFNN: A Penalty-Free Neural Network Method for Solving a Class of Second-Order Boundary-Value Problems on Complex Geometries
Institute of Software, Chinese Academy of Sciences（中国科学院软件研究所）；University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）；Peking University（北京大学）
提出了一种无惩罚的神经网络方法PFNN，用于求解一类复杂几何条件下的二阶边值问题。为了降低光滑性要求，将原问题转化为弱形式，从而避免了高阶导数的计算。两个神经网络，而不是只有一个，被用来构造近似解，与一个网络满足本质边界条件和其他处理域的其余部分。用这种方式，一个无约束的最优化问题，而不是一个有约束的，解决了没有添加任何惩罚条款。两个网络的纠缠被消除的长度因子函数的帮助下，是规模不变的，可以适应复杂的几何形状。我们证明了PFNN方法的收敛性，并对一系列线性和非线性二阶边值问题进行了数值实验，以证明PFNN在精度、灵活性和鲁棒性方面优于现有的几种方法。
2020-12-17 cs.LG cs.NA math.NA
A Deep Ritz Method for High-Dimensional Steady States of the Cahn-Hilliard Equation
School of Artificial Intelligence, Shenzhen Technology University（深圳职业技术大学人工智能学院）
提出一种增强增广拉格朗日形式的深度Ritz方法，结合可分离傅里叶特征映射，高效计算Cahn-Hilliard方程高维稳态解，并识别多解。
2026-05-24 cs.NA math.NA
A semigroup method for high dimensional elliptic PDEs and eigenvalue problems based on neural networks
Department of Mathematics, Stanford University（斯坦福大学数学系）；Department of Mathematics and ICME, Stanford University（斯坦福大学数学系与计算与数学工程研究所）
本文提出了一种基于神经网络的求解高维椭圆型偏微分方程及其本征值问题的半群方法。对于偏微分方程问题，我们利用半群算子将原方程转化为变分问题，然后用神经网络参数化求解变分问题。其主要优点是在随机梯度下降训练过程中不需要混合二阶导数计算，并且半群算子自动考虑边界条件。不像流行的方法，如PINN \cite{raissi2019physics}和深Ritz \cite{weinan2018deep}的Dirichlet边界条件是通过罚函数，从而改变了真正的解决方案，所提出的方法是能够解决边界条件没有罚函数，它给出了正确的真正的解决方案，即使当罚函数被添加，由于半群运算符。对于本征值问题，提出了一种原始-对偶方法，该方法利用简单的标量对偶变量有效地解决了约束问题，并在某些问题（如与线性薛定谔算子相关的本征值问题）中得到了比Bundle求解器\cite{han2020solving}更快的算法.数值结果证明了所提出的方法的性能。
2022-01-10 cs.LG cs.NA math.NA
Elliptic Regularity Theory in Barron Spaces and Applications to the Deep Ritz Method
University of Pittsburgh（匹兹堡大学）
研究巴伦空间中调和函数正则性，证明其通常非利普希茨连续且不在$H^2$等类中，但可被低范数巴伦函数近似。在简单区域成立该结果，并将其应用于深度里兹神经偏微分方程求解器，获先验误差估计。
2026-07-29 cs.NA math.AP math.NA
On $C^{0}$ Interior Penalty Method for Fourth Order Dirichlet Boundary Control Problem and a New Error Analysis for Fourth Order Elliptic Equation with Cahn-Hilliard Boundary Condition
本文重新讨论了双调和算子控制Dirichlet边界控制问题$C^0$ -内罚分析的$L_2$ -模误差估计.在这项工作中，我们将域的内角条件从$120$度放宽到$180$度，因此可以对任何凸域进行这种分析。数值实验结果说明了理论研究结果。在极小正则性假设下，给出了具有Cahn-Hilliard型边界条件的双调和方程的误差估计.
2021-11-05 cs.NA math.NA
Babuška-Osborn techniques in discontinuous Galerkin methods: $L^2$-norm error estimates for unstructured meshes
University of Leicester（莱斯特大学）；National Technical University of Athens（雅典国立技术大学）；Institute for Applied and Computational Mathematics-FORTH（应用计算数学研究所-FORTH）；DMAM University of Crete（克里特大学DMAM）；University of Sussex（萨塞克斯大学）；University of Reading（雷丁大学）
本文研究了不连续Galerkin方法中Babuška-Osborn技巧在无结构网格上的L²范数误差估计，证明了内部惩罚法在不平衡网格依赖范数下的inf-sup稳定性，并首次提出了L²范数下的近似最优解，从而得到不依赖全局最大网格尺寸的先验误差估计。
2018-10-24 cs.NA math.NA
A penalty free non-symmetric Nitsche type method for the weak imposition of boundary conditions
University of Sussex（萨塞克斯大学）
本文提出一种无惩罚项的非对称Nitsche方法用于弱施加边界条件，并证明了最优H1误差估计和次优半阶L2误差估计，适用于纯扩散和对流扩散问题。
2011-11-04 cs.NA math.NA
Fictitious domain method with boundary value correction using penalty-free Nitsche method
本文提出一种无惩罚Nitsche方法的虚域方法，通过边界值修正和鬼惩罚稳定化，实现高阶近似并证明H1范数最优误差估计及L2范数次优误差估计。
2016-10-14 cs.NA math.NA
A penalty-free Shifted Boundary Method of arbitrary order
本文提出并分析了一种无罚项的移位边界方法，证明其任意阶稳定收敛且精确一致，并通过数值实验验证性能。
2023-06-22 cs.NA math.NA
A novel iterative penalty method to enforce boundary conditions in Finite Volume POD-Galerkin reduced order models for fluid dynamics problems
针对流体动力学问题，提出了一种基于离散体积的POD-Galerkin降阶模型，该模型采用两种不同的边界控制策略来控制（时间相关）边界条件：提升函数法，其目的是获得降阶基空间的齐次基函数;通过使用迭代求解器来确定惩罚因子而不是通过灵敏度分析或数值实验来调整因子，改进了惩罚方法。对两种情况下的边界控制方法进行了比较和测试：经典的盖驱动空腔基准问题和具有两个入口通道和一个出口通道的Y形接头流动情况。结果表明，采用边界控制方法可以对降阶模型的边界进行控制，对速度场和压力场的控制精度达到了相同的量级。最后，对于盖驱动腔测试情况，降阶模型比全阶模型快270-308倍，对于Y结测试情况，降阶模型快13-24倍。
2021-04-12 cs.NA math.NA
A penalty free Nitsche type method for the weak imposition of boundary conditions in compressible and incompressible elasticity
University College London（伦敦大学学院）
本文研究了无惩罚非对称Nitsche方法在压缩性和不可压缩弹性中的稳定性，证明了压缩情况下的H¹和L²范数误差收敛性，以及不可压缩情况下的速度H¹范数和压力L²范数收敛性。
2015-07-26 cs.NA math.NA
Penalty method with P1/P1 finite element approximation for the Stokes equations under slip boundary condition
Tokyo Institute of Technology（东京工业大学）；Waseda University（早稻田大学）；The University of Tokyo（东京大学）
本文研究了在滑移边界条件下使用P1/P1或P1b/P1有限元近似解斯托克斯方程的罚函数法，给出了速度和压力在能量范数下的误差估计，并通过数值实验验证了理论结果。
2015-05-25 cs.NA math.NA
$Γ$-convergence of Nonlocal Dirichlet Energies With Penalty Formulations of Dirichlet Boundary Data
本文研究有界域上非局部扩散模型的非局部 Dirichlet 能量，提出将 Dirichlet 边界条件表述为惩罚项的通用框架，并利用 $\varGamma$-收敛理论证明惩罚项满足温和条件即可正确施加边界条件，为近似边界条件提供理论基础。
2024-09-27 cs.NA math.AP math.NA
Scott-Vogelius element and iterated penalty method for inhomogeneous Dirichlet boundary conditions
Technische Universität Darmstadt（达姆施塔特工业大学）；The University of Chicago（芝加哥大学）
针对非齐次Dirichlet边界条件的Stokes问题，提出混合有限元方法的拟最优先验误差估计，并分析迭代罚方法的收敛性与压力鲁棒性。
2026-06-26 cs.NA math.NA
Error Analysis of Three-Layer Neural Network Trained with PGD for Deep Ritz Method
The Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）
本文在深度Ritz方法中用PDG训练三层tanh网络求解三类边界条件的二阶椭圆方程，证明全局收敛并统一给出近似、泛化与优化误差界。
2024-05-19 cs.AI cs.NA math.AP
Modified C0 interior penalty analysis for fourth order Dirichlet boundary control problem and a posteriori error estimate
重新讨论了四阶Dirichlet边界控制问题C0内部罚分析的L2模误差估计.在约化正则性假设下，导出了最优控制的L2模估计，并且该分析可在任意凸多边形区域上进行。基于残差的后验误差界推导出最优控制，状态和伴随状态变量下的最小规律性假设。估计被证明是可靠的和局部有效的。数值实验结果说明了理论研究结果。
2022-10-17 cs.NA math.NA math.OC
A spectral penalty method for two-sided fractional differential equations with general boundary conditions
Huazhong University of Science and Technology（华中科技大学）；Brown University（布朗大学）
本文提出了一种谱惩罚法，用于求解具有非齐次狄利克雷和诺伊曼边界条件的双侧分数微分方程，通过多项式逼近和雅可比多项式逼近分别处理R-L和Caputo分数微分方程，验证了方法的准确性和有效性。
2018-07-12 cs.NA math.NA
A high-order deferred correction method for the solution of free boundary problems using penalty iteration, with an application to American option pricing
本文采用四阶有限差分法，提出了一种结合罚迭代的高阶延迟校正算法，用于求解自由边界和动边界问题。通常，当在固定计算网格上求解自由边界问题时，由于解在自由边界处的不连续性，即使使用高阶方法，解的阶数也是低的。使用详细的误差分析，我们观察到的解决方案的收敛顺序可以增加到四阶通过解决连续校正的有限差分系统，其中的校正来自先前计算的低阶解决方案。在给出一个好的初始猜测的情况下，惩罚迭代收敛得很快。我们证明了我们的算法的准确性和效率，使用几个例子。数值结果表明，我们的算法给出了四阶收敛的解和自由边界的位置。我们还测试我们的算法上具有挑战性的美式看跌期权定价问题。我们的算法给出了预期的高阶收敛。
2023-01-18 cs.CE cs.NA math.NA
Goal oriented error estimation for adaptive sampling of PINNS
Otto-von Guericke University（奥托·冯·格里克大学）
本文研究了利用经典PINN和变分方法Deep Ritz求解拉普拉斯方程，提出面向目标的重要性采样策略以加速功能误差收敛和目标功能最小化。
2026-04-02 cs.NA math.NA
Semi and fully-discrete analysis of lowest-order nonstandard finite element methods for the biharmonic wave problem
本文针对固定边界双调和波方程，提出最低阶非标准有限元空间离散与显隐式时间离散方法，利用修正Ritz投影算子证明了半离散和全离散格式的稳定性与最优阶误差估计，并通过数值实验验证了理论结果。
2025-07-15 cs.NA math.NA
A note on the penalty parameter in Nitsche's method for unfitted boundary value problems
Nitsche方法是一种流行的方法来实现狄利克雷型边界条件的情况下，一个强大的强加是不方便或根本不可行的。该方法广泛应用于非拟合有限元法。从经典的（对称）Nitsche的方法，它是众所周知的，在该方法中的稳定化参数必须选择足够大，以获得唯一的离散系统的可解性。在这个简短的说明中，我们讨论了一个经常使用的策略来设置稳定参数，并描述了一个可能出现的问题。我们表明，在特定的情况下误差界可能会恶化，并给出计算的例子，其中Nitsche的方法产生大，甚至发散离散化误差。
2017-09-18 cs.CE cs.NA math.NA
$hp$-optimal interior penalty discontinuous Galerkin methods for the biharmonic problem
该研究针对带齐次本质边界条件的双调和问题，证明了IPDG方法的$hp$-最优误差估计，构造了关键的全局$H^2$分片多项式逼近元，讨论了多种相关情形的最优性，数值实验验证了理论并发现奇异边界下的$p$-次优现象。
2023-05-03 cs.NA math.NA
Energy-norm error estimates for finite element discretization of parabolic problems
TU Darmstadt（达姆施塔特工业大学）
本文基于有限元方法和Runge-Kutta时间步进方案，推导出抛物型初始边界值问题的最优a-先验误差估计，通过精心处理H(-1)-范数中的时间导数和L2投影，避免了人工正则性条件，提高了估计的适用性。
2015-07-18 cs.NA math.NA
Discretization error estimates for penalty formulations of a linearized Canham-Helfrich type energy
Freie Universität Berlin（柏林自由大学）
本文研究了带有Dirichlet边界条件的线性化Canham-Helfrich能量的最小化问题，采用两种惩罚格式与Bogner-Fox-Schmit有限元离散化，证明了最优误差估计，且无需处理粒子边界。
2017-09-26 cs.NA math.NA
Nitsche's method for a Robin boundary value problem in a smooth domain
在$n=2,3$，$\mathbb{R}^n$中，我们证明了一个有限元法应用于定义在光滑有界区域上的泊松方程的非齐次Robin边值问题（BVP）的几个最优阶误差估计.使用Nitsche方法弱施加边界条件。Robin边值问题被解释为罚参数为$\varepsilon$的经典罚方法。相对于$\varepsilon$，网格步长$h$的最佳选择是一个重要问题。本文仔细研究了$\varepsilon$对误差估计的依赖性。我们的误差估计不需要对解作不必要的正则性假设。数值例子也证实了我们的结果。
2022-05-17 cs.NA math.NA
A variational physics-informed graph neural network for heterogeneous solid mechanics
Indian Institute of Technology Madras（印度理工学院马德拉斯分校）
提出变分物理信息图神经网络，通过离散化承载非均质性，最小化离散势能，实现无惩罚界面表示，在刚度对比扫描中精度优于强形式PINN，适用于参数化代理和逆识别。
2026-09-11 cs.LG cs.NA math.NA
A Fourier penalty method for solving the time-dependent Maxwell's equations in domains with curved boundaries
McGill University（麦吉尔大学）；NJIT（新泽西理工学院）
本文提出一种高阶傅里叶惩罚方法，用于处理完美电导边界条件附近的麦克斯韦方程组，通过扩展非周期性域为周期性域并引入解析强迫项，实现高阶精度的边界条件强制，展示了在二维和三维中的收敛性和稳定性。
2015-11-14 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Penalty method for the Navier-Stokes-Fourier system with Dirichlet boundary conditions: convergence and error estimates
本文针对带Dirichlet边界条件的可压缩Navier-Stokes-Fourier系统，提出将流体区域嵌入立方体域的惩罚有限体积法，证明数值解弱收敛到耗散测度值解，并在强解存在时获得1/4至最优1/2速率的强收敛结果。
2023-08-07 cs.NA math.NA
Penalty method with Crouzeix-Raviart approximation for the Stokes equations under slip boundary condition
The University of Tokyo（东京大学）；Waseda University（早稻田大学）；Tokyo University of Science（东京科学大学）
本文研究了在滑边界条件下非齐次Stokes方程的有限元方案，结合非配准P1/P0逼近（Crouzeix-Raviart逼近）和惩罚法，以处理本质边界条件u·n_∂Ω = g在∂Ω上的问题，并证明了离散提升定理，从而建立了速度在H^1和L^2范数下的误差估计。
2018-09-25 cs.NA math.NA
Penalty-Based Feedback Control and Finite Element Analysis for the Stabilization of Nonlinear Reaction-Diffusion Equations
Rajiv Gandhi Institute of Petroleum Technology（Rajiv Gandhi石油技术学院）
本文利用惩罚技术分析反应扩散方程的狄利克雷边界反馈控制问题，建立等效罗宾问题在H²范数下的稳定化结果，并通过有限元方法验证理论结论。
2026-03-24 cs.NA math.NA math.OC
An A Posteriori Analysis of C^0 Interior Penalty Methods for the Obstacle Problem of Clamped Kirchhoff Plates
Louisiana State University（路易斯安那州立大学）；University of Tennessee（田纳西大学）
本文研究了C^0内点惩罚法在固定边Kirchhoff板障碍问题中的后验分析，提出了一种基于残差的误差估计器，并证明其可靠性和有效性，通过数值实验验证了该算法在二次和三次C^0内点惩罚法中的最优性能。
2015-11-26 cs.NA math.NA
Error Analysis of Mixed Residual Methods for Elliptic Equations
针对深度混合残差方法（MIM）求解线性椭圆方程的收敛速度，本文给出严格理论分析，证明其在Dirichlet边界条件下优于DRM和DGMW，而在Neumann和Robin情形下性能与其他方法相当。
2023-05-10 cs.NA math.NA
$L^{\infty}$-error estimates for Neumann boundary value problems on graded meshes
Universität der Bundeswehr München（联邦国防军慕尼黑大学）；Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）；Chemnitz University of Technology（开姆尼茨工业大学）
本文研究了在多边形域中Neumann边界条件下的有限元解的先验点估计，探讨了通过局部网格细化来提高收敛率，并利用加权Sobolev空间的正则性结果获得精确收敛阶。
2018-04-29 cs.NA math.NA
New $C^0$ interior penalty method for Monge-Ampère equations
本文针对Monge-Ampère方程提出一种基于离散Miranda-Talenti估计的新型C^0内罚方法，通过四阶半线性方程逼近粘性解，并证明格式适定性和误差估计。
2024-08-31 cs.NA math.NA
Boundary Value Correction for the Boundary Element Method
University College London（伦敦大学学院）；Jönköping University（延雪平大学）
针对三维Dirichlet问题，提出一种边界元方法，通过沿法向的一阶Taylor展开修正替代边界上的边界值，利用Calderón通量实现无额外未知场的修正，在适当条件下达到\\(h^{k+1/2}\\)阶收敛，并通过球体和椭球体实验验证了其有效性。
2026-09-28 cs.NA math.NA
Optimal error analysis of an interior penalty virtual element method for fourth-order singular perturbation problems
Nanjing University of Science and Technology（南京理工大学）；Xiangtan University（湘潭大学）
本文提出一种改进的内部惩罚虚拟元方法，证明其在边界层存在时仍能实现最优均匀误差估计，通过数值实验验证了方法的有效性。
2026-04-03 cs.NA math.NA
