Error Analysis of Mixed Residual Methods for Elliptic Equations
针对深度混合残差方法（MIM）求解线性椭圆方程的收敛速度，本文给出严格理论分析，证明其在Dirichlet边界条件下优于DRM和DGMW，而在Neumann和Robin情形下性能与其他方法相当。
2023-05-10 cs.NA math.NA
Global Convergence of Hessenberg Shifted QR III: Approximate Ritz Values via Shifted Inverse Iteration
我们给出了一个自包含的随机算法的基础上移位逆迭代可证明计算的特征值的任意矩阵$M\in\mathbb{C}^{n\times n}$向后错误$δ\|M\|$在$O(n^4+n^3\log^2(n/δ)+\log(n/δ)^2\log\log(n/δ))$浮点运算使用$O(\log^2(n/δ))$位的精度。虽然$O(n^4)$的复杂性对于大矩阵是禁止的，但是该算法是简单的，并且可以用于使用受控精度可证明地计算小矩阵的特征值，特别是用于计算移位QR算法中的Ritz值，如（Banks，Garza-Vargas，Srivastava，2022）。
2022-05-13 cs.NA math.NA
Neural numerical homogenization based on Deep Ritz corrections
Institute for Applied and Numerical Mathematics, Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院应用与数值数学研究所）
本文提出基于深度Ritz方法的神经数值均质化方法，用于处理具有时间变化或不确定性的高振荡系数问题。
2026-11-03 cs.NA math.NA
Convergence rates of individual Ritz values in block preconditioned gradient-type eigensolvers
许多流行的大型稀疏埃尔米特矩阵或矩阵对的特征值求解器可以被解释为加速块预条件梯度（BPG）迭代，以便通过组合已知估计来分析其收敛行为。BPG的一个重要特性是集群鲁棒性，即，通过足够大的块大小来确保用于计算群集特征值的合理性能。这一特点可以很容易地解释为精确逆（精确移位逆）预处理通过调整经典的估计非预处理的特征值求解器，而现有的结果更一般的预处理仍然是可改进的。我们期望将相应向量迭代的某些尖锐估计扩展到BPG，其中要导出各个Ritz值的收敛速度的适当界。在[Math. Comp. 88（2019），2737--2765]中，对于具有固定步长的BPG，已经实现了这种扩展。本文论述了更实际的情况下，步长隐式优化的瑞利-里兹方法。我们的新估计改进了一些以前的简洁和更灵活的界限。
2022-06-01 cs.NA math.NA
Higher-order multi-scale deep Ritz method for multi-scale problems of authentic composite materials
本文提出高阶多尺度深度Ritz方法（HOMS-DRM），结合高阶多尺度建模与改进深度Ritz方法，解决真实复合材料热传导多尺度问题，并证明其收敛性和数值精度。
2023-08-11 cs.NA math.NA
Verified eigenvalue and eigenvector computations using complex moments and the Rayleigh$\unicode{x2013}$Ritz procedure for generalized Hermitian eigenvalue problems
提出了一种计算广义厄米特本征值问题区域内本征值及相应本征向量的方法。该方法利用复数矩从随机矩阵中提取感兴趣的特征分量，并利用Rayleigh $\unicode{x2013}$ Ritz过程将给定的本征值问题投影为约化的本征值问题。复矩由围道积分给出，并使用数值积分进行近似。我们将复矩中的误差分成正交的截断误差和舍入误差，并对每一个进行评估。这种误差评估的思想继承了我们以前的汉克尔矩阵方法，而所提出的方法使验证的特征向量，并需要一半的正交点的数量为以前的方法，以减少相同的顺序的截断误差。此外，Rayleigh $\unicode{x2013}$ Ritz过程方法形成能够验证特征向量的变换矩阵。数值实验表明，该方法是比以前的方法更快，同时保持验证性能和工程几乎奇异矩阵束和存在多个和几乎多个特征值。
2022-10-25 cs.NA math.NA
Analysis of Deep Ritz Methods for Laplace Equations with Dirichlet Boundary Conditions
深度里兹方法（DRM）已被证明是有效的数值求解偏微分方程。本文给出了Dirichlet边界条件下Laplace方程的深度Ritz方法在$H^{1}$范数下的收敛速度，其中误差显式地依赖于深度神经网络的深度和宽度以及样本个数.此外，我们可以根据训练样本的数量来适当地选择深度神经网络的深度和宽度。证明的主要思想是将DRM的总误差分解为三部分，即近似误差、统计误差和边界罚函数引起的误差。我们用$\mathrm{ReLU}^{2}$网络来约束$H^{1}$范数下的近似误差，并通过Rademacher复杂度来控制统计误差。特别地，我们得到了梯度范数与$\mathrm{ReLU}^{2}$网络的非Lipschitz复合的Rademacher复杂性的界，这是巨大的独立利益。分析了边界罚方法引入的误差，并给出了一个预先调整罚参数的规则。
2021-11-03 cs.NA math.NA
Superconvergence of Ritz-Galerkin Finite Element Approximations for Second Order Elliptic Problems
Texas State University（德州州立大学）
本文推导了二阶椭圆方程-∇·(A∇u)=f在Dirichlet边界条件下的广义Ritz-Galerkin有限元近似O(h⁴)超收敛性，基于A-等边假设条件，通过数值实验验证了超收敛理论。
2017-06-24 cs.NA math.NA
An adaptive Deep Ritz framework for second-order fully nonlinear partial differential equations
Geneva School of Business Administration (HEG-Genève), University of Applied Sciences and Arts Western Switzerland (HES-SO)（日内瓦商业管理学院（HEG-Genève），瑞士西部应用科学和艺术大学（HES-SO））；Institute of Mathematics, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院数学研究所）
本文提出了一种替代PINNs的Deep Ritz框架，通过最小二乘法分离非线性项与变分特征，结合分裂方法迭代求解局部非线性问题和线性变分问题，采用自适应采样策略提升效率，通过数值实验验证了该方法在处理全非线性方程中的灵活性和准确性。
2026-09-30 cs.NA math.NA
Quadratic Interpolation and Rayleigh-Ritz Methods for Bifurcation Coefficients
University of Arizona（亚利桑那大学）
通过Rayleigh-Ritz近似线性化问题的特征向量，并利用Hilbert空间之间的二次插值，研究非线性分支问题中分岔系数的估计及其收敛速率。
2009-03-04 cs.NA math.NA math.SP
Stochastic Deep-Ritz for Parametric Uncertainty Quantification
本文提出一种基于深度学习的随机Deep-Ritz数值方法，通过结合深度学习近似与蒙特卡洛采样，有效解决了材料科学与工程中不确定性下的变分问题，并在多个变分问题上验证了其性能与精度。
2023-05-23 cs.NA math.NA
RUNNs: Ritz-Uzawa Neural Networks for Solving Variational Problems
Basque Center for Applied Mathematics（巴斯克应用数学中心）；Instituto de Matemáticas, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso（天主教法科大学瓦帕莱索数学研究所）；Department of Mathematics, CUNEF Universidad（CUNEF大学数学系）；Curtin University（科廷大学）；Department of Mathematics, University of the Basque Country UPV/EHU（巴斯克国立大学数学系）；Ikerbasque: Basque Foundation for Science（伊克拉巴斯克：巴斯克科学基金会）；School of Mathematical Sciences, University of Nottingham（诺丁汉大学数学科学学院）
RUNns通过迭代方法解决强、弱和超弱变分公式，通过数据驱动的频率调优策略缓解谱偏倚，有效处理低正则性解和高频振荡问题。
2026-04-12 cs.NA math.NA
Filtered Rayleigh-Ritz is all you need
本研究指出Lanczos算法等效于Krylov子空间上的Rayleigh-Ritz方法，发现伪态滤波可保留噪声下的最优性，证明多种谱提取方法同属Prony-Ritz等价类，可简化Lanczos分析并提升数值稳定性。
2025-03-21 cs.NA hep-lat math.NA
The Deep Ritz Method for Parametric $p$-Dirichlet Problems
University of Freiburg（弗莱堡大学）；Simula Research Laboratory（西穆拉研究实验室）
我们建立的误差估计的近似参数$p$ -狄利克雷问题部署深里兹方法。参数依赖性包括，例如，不同的几何形状和指数$p\in (1,\infty)$。将导出的误差估计与定量逼近定理相结合，得到了误差衰减率，并建立了Deep Ritz方法在高维函数的逼近中保留了神经网络的良好逼近能力，这使得该方法对参数问题具有吸引力。最后，我们提出了数值例子来说明潜在的应用。
2022-07-05 cs.LG cs.NA cs.NE
Error Estimates for the Deep Ritz Method with Boundary Penalty
Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克数学研究所）；Simula Research Laboratory（西穆拉研究实验室）
本文对线性椭圆型方程的Deep Ritz方法进行了误差估计。对于Dirichlet边界条件，我们估计了边界值通过边界罚方法施加时的误差。我们的研究结果适用于任意集的anastomic函数和估计的误差依赖的优化精度，近似能力的anastomic类和-在Dirichlet边界值的情况下-惩罚强度$λ$。据我们所知，我们的结果是目前文献中唯一的处理Dirichlet边界条件的情况下，在充分的一般性，即，而没有导致所有$H^1(Ω)$上的双折射率的低阶项。此外，我们还讨论了我们的结果对通过ReLU网络给出的animals类的影响以及与现有有限元函数估计的关系。对于高维问题，我们的结果表明，良好的逼近能力的光滑函数的神经网络继承了深里兹方法。
2022-09-05 cs.LG cs.NA math.NA
An Iterative Deep Ritz Method for Monotone Elliptic Problems
The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）
提出迭代深度 Ritz 方法（IDRM）求解单调椭圆问题，通过编码函数空间几何并引入凸惩罚提升性能，在收敛性理论上有所突破，且在精度上优于现有神经 PDE 求解器。
2025-01-25 cs.LG cs.NA math.NA
Efficient Shallow Ritz Method For 1D Diffusion-Reaction Problems
Purdue University（普渡大学）；Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）
本文提出一种用于一维扩散-反应问题的浅层Ritz方法，通过阻尼块牛顿算法交替优化ReLU神经网络的线性与非线性参数，实现近最优逼近阶，计算复杂度为O(n)。
2025-07-26 cs.LG cs.NA math.NA
A Hybrid Iterative Deep Ritz Method for Elliptic Interface Problems
The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；Shanghai Normal University（上海师范大学）
提出混合迭代深度Ritz方法，基于混合形式和水平集神经网络求解椭圆界面问题，避免界面采样，数值实验表明在高维、复杂界面和低正则性问题上优于现有神经求解器。
2026-09-24 cs.LG cs.NA math.NA
Resolvent sampling based Rayleigh-Ritz method for large-scale nonlinear eigenvalue problems
Northwestern Polytechnical University（西北工业大学）；University of Siegen（锡根大学）；Hefei University of Technology（合肥工业大学）
本文提出RSRR算法，通过解析采样构造近似本征空间，提升求解大规模非线性本征值问题的鲁棒性和可靠性，适用于边界元方法等高计算成本场景。
2016-05-11 cs.NA math.NA
Solving Elliptic Problems with Singular Sources using Singularity Splitting Deep Ritz Method
Jilin University（吉林大学）；The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；The Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学）
本文提出奇性分离深度Ritz方法，将解分解为基于Laplace基本解的奇异部分和由深度Ritz方法求解的正则部分，并引入路径跟踪策略选择惩罚参数，高效求解含点源、线源及其组合的变系数二阶椭圆方程。
2023-04-17 cs.LG cs.NA math.NA
A Shallow Ritz Method for Elliptic Problems with Singular Sources
National Yang Ming Chiao Tung University（国立阳明交通大学）；National Central University（国立中央大学）；National Center for Theoretical Sciences（国家理论科学研究中心）；National Taiwan University（国立台湾大学）
针对带界面delta函数奇异源的椭圆问题，提出仅含单隐藏层、以水平集为特征输入的浅Ritz型神经网络，通过将奇异源转化为界面曲面积分消除奇异性，经能量离散损失训练，提升了求解效率与精度，可处理不规则域及高维问题。
2022-07-01 cs.LG cs.NA math.NA
Deep Ritz-Finite Element methods: Neural Network Methods trained with Finite Elements
本文提出深度 Ritz-有限元方法，通过有限元空间计算损失积分来训练神经网络，用于求解低维椭圆型偏微分方程，兼具稳定性、收敛性及高效鲁棒性。
2025-02-05 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A simple stability analysis of the Lanczos algorithm in finite precision arithmetic
New York University Shanghai（纽约大学上海分校）
本文针对无再正交化的对称Lanczos算法开展有限精度稳定性分析，推导相关恒等式与定位关系，证明Greenbaum型向后稳定性结果，简化了Paige与Greenbaum的证明，仅在迭代次数中隐藏多项式因子。
2026-10-20 cs.NA math.NA
An abstract approach to the Robin-Robin method
本研究针对现有Robin-Robin方法的抽象框架无法处理初边值问题的局限，证明该通用框架可拓展应用于Lipschitz区域上的此类问题，完善了方法的适用范围。
2024-08-14 cs.NA math.NA
An Improved Robin-Robin Coupling Method for Parabolic-Parabolic Interface Problems
针对抛物-抛物界面问题，改进Robin-Robin耦合方法的第一步，使误差差分量无需额外假设即保持高阶收敛，并通过数值实验验证。
2025-09-09 cs.NA math.NA
Loosely coupled, non-iterative time-splitting scheme based on Robin-Robin coupling: unified analysis for parabolic/parabolic and parabolic/hyperbolic problems
基于Robin-Robin耦合条件，提出了一种松耦合、非迭代的时间分裂方案。我们应用一种新的统一分析，该计划适用于抛物/抛物耦合系统和抛物/双曲耦合系统。我们证明了这两个系统的方案是稳定的，误差收敛为$\mathcal{O}\big(Δt \sqrt{T +\log{\frac{1}{Δt}}}\big)$，其中$Δt$是时间步长
2021-10-15 cs.NA math.NA
Goal oriented error estimation for adaptive sampling of PINNS
Otto-von Guericke University（奥托·冯·格里克大学）
本文研究了利用经典PINN和变分方法Deep Ritz求解拉普拉斯方程，提出面向目标的重要性采样策略以加速功能误差收敛和目标功能最小化。
2026-04-02 cs.NA math.NA
N-Adaptive Ritz Method: A Neural Network Enriched Partition of Unity for Boundary Value Problems
University of California, San Diego（加州大学圣迭戈分校）；Coreform, LLC（Coreform有限责任公司）
提出神经网络增强单位分解法（NN-PU），结合预训练特征编码与Ritz能量最小化，实现边值问题的高效自适应求解，降低计算成本。
2024-01-16 cs.LG cs.NA math.NA
A Ritz-based Finite Element Method for a Fractional-Order Boundary Value Problem of Nonlocal Elasticity
给出了分数阶非局部连续介质Euler-Bernoulli梁模型的解析表达式和有限元解。采用一致的分数阶运动学关系的定义，控制方程和相关的边界条件推导的基础上变分原理。值得注意的是，分数阶非局部模型产生了一个自伴和正定系统接受一个独特的解决方案。此外，由于很难获得解析解的边值问题，一个有限元模型的分数阶控制方程。在对基准问题进行充分验证之后，采用分数阶有限元模型（f-FEM）研究了Euler-Bernoulli梁在各种载荷和边界条件下的非局部响应。分数阶正定系统将在这里使用，以解决一些矛盾的结果，通过经典的积分方法，非局部梁的非局部弹性。虽然在一维欧拉-伯努利梁的上下文中，f-FEM制定是非常普遍的，可以扩展到任何一般的分数阶边值问题的解决方案。
2020-06-02 cs.NA math.AP math.NA
A Computational Method for the Inverse Robin Problem with Convergence Rate
University College London（伦敦大学学院）；University of Helsinki（赫尔辛基大学）
本文针对椭圆方程逆Robin问题，提出一种基于唯一延拓思想且仅用一阶Lagrange有限元的参数重构方法，证明其具有二阶收敛性，并通过数值实验验证了理论结果。
2026-10-27 cs.NA math.NA
An Unconditionally Stable Explicit Robin-Robin Partitioned Scheme for Fluid-Structure Interaction
Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg（马格德堡奥托·冯·格里克大学）；University of Dundee（邓迪大学）；Texas Tech University（德克萨斯理工大学）；East China Normal University（华东师范大学）
针对流固耦合问题，提出一种可并行化的显式罗宾-罗宾分区格式，无需交错耦合或子迭代，经数值实验验证其稳定、高效，适用于工程大规模并行计算。
2026-09-02 cs.NA math.NA
Error Analysis of Three-Layer Neural Network Trained with PGD for Deep Ritz Method
The Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）
本文在深度Ritz方法中用PDG训练三层tanh网络求解三类边界条件的二阶椭圆方程，证明全局收敛并统一给出近似、泛化与优化误差界。
2024-05-19 cs.AI cs.NA math.AP
A Locking-free and Loosely Coupled Robin-Robin Scheme for Fluid-Poroelasticity Interaction
Wuhan University（武汉大学）；Leibniz University Hannover（汉诺威莱布尼茨大学）；East China Normal University（华东师范大学）
本文提出一种无锁化且松散耦合的鲁金-鲁金方案，用于解决流体-多孔弹性相互作用问题，通过引入辅助变量将Biot系统改写为四场问题，并证明该方法无条件稳定且具有最优阶误差估计。
2026-04-10 cs.NA math.NA
An improved a priori error analysis of Nitsche's method for Robin boundary conditions
Aalto University–School of Science（阿尔托大学理学院）
本文改进了Nitsche方法在Robin边界条件下的a priori误差分析，采用Gudi提出的技术，提高了误差分析的精度。
2015-02-24 cs.NA math.NA
A Hybrid Semi-Lagrangian Cut Cell Method for Advection-Diffusion Problems with Robin Boundary Conditions in Moving Domains
本文提出了一种新的离散化方法，用于求解复杂时变区域上具有Robin边界条件的对流-扩散问题。该方法是基于Bochkov等人提出的二阶割元有限体积法离散Laplace算子和Robin边界条件。为了克服小细胞的问题，我们使用分裂计划，使用半拉格朗日方法来处理平流。我们证明了二阶精度的$L^1$，$L^2$，和$L^\infty$规范的分析测试问题和数值收敛研究。我们还证明了该计划的能力，以处理转换的一个浓度场到另一个跨越移动边界。
2021-10-25 cs.NA math.NA
Numerical Solution of the Robin Problem of Laplace Equations with a Feynman-Kac Formula and Reflecting Brownian Motions
University of North Carolina at Charlotte（北卡罗来纳大学夏洛特分校）
本文提出基于费曼-凯克公式和反射布朗运动的数值方法，用于求解拉普拉斯方程的鲁金边界问题，通过模拟路径获得边界局部时间并验证方法的准确性和效率。
2015-06-10 cs.NA math.NA
Global Convergence of Hessenberg Shifted QR II: Numerical Stability
我们开发了一个框架，证明快速收敛的移位QR算法，使用里兹值作为移位，在有限算术。我们的主要贡献是一个二分法的结果，它解决了已知的前向不稳定性问题周围的移位QR迭代[Parlett和Le 1993]：我们给出了一个程序，可证明要么计算一组近似Ritz值的Hessenberg矩阵具有良好的前向稳定性，或导致早期解耦的矩阵通过少量的QR步骤。使用这个框架，我们表明，在本系列的第一部分中介绍的移位策略[银行，加尔萨-巴尔加斯，和Srivastava 2021]收敛迅速，在有限算术与所需精度的位数的多对数界，当调用控制特征向量条件数和最小特征值间隙的矩阵。
2022-05-13 cs.DS cs.NA math.NA
Exact imposition of boundary conditions with distance functions in physics-informed deep neural networks
在本文中，我们介绍了一种基于距离场的新方法，以在物理信息深度神经网络中精确施加边界条件。在无网格和粒子方法中满足Dirichlet边界条件的挑战是众所周知的。这个问题也是相关的物理通知神经网络（PINN）的解决方案的偏微分方程的发展。我们在人工神经网络中引入几何感知测试函数，以改善偏微分方程的深度学习训练。为此，我们使用的概念，从建设性的立体几何（R-功能）和广义重心坐标（平均值势场），以构建$ϕ$，一个近似的距离函数的边界域。为了精确地施加齐次Dirichlet边界条件，将试函数取为$ϕ$乘以PINN近似，并且将其通过超限插值的推广用于先验地满足复杂几何上的非齐次Dirichlet（本质）、Neumann（自然）和Robin边界条件。在这样做时，我们消除了建模误差与满足边界条件的配置法，并确保运动容许性满足逐点的里兹方法。本文给出了具有仿射边界和曲线边界的区域上线性和非线性边值问题的数值解。基准问题在一维线性弹性，对流扩散，梁弯曲;和在二维泊松方程，双调和方程，和非线性Eikonal方程被认为是。该方法扩展到更高的维度，我们展示了它的使用通过解决泊松问题的齐次Dirichlet边界条件的4D超立方体。该研究为无网格分析提供了一种途径，可以在精确几何条件下进行，而无需进行区域离散。
2021-11-07 cs.NA cs.NE math.NA
Penalty Robin-Robin domain decomposition schemes for contact problems of nonlinear elastic bodies
Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics（皮德斯特里亚赫力学与数学应用问题研究所）；Ivan Franko National University of Lviv（伊万·弗兰科利沃夫国立大学）
本文提出连续层面的区域分解方法求解非线性弹性单边和理想多体接触问题，并给出收敛性定理。
2012-09-05 cs.NA math-ph math.MP
Error estimates of $hp$-finite element method for elliptic optimal control problems with robin boundary
School of Mathematics and Statistics, Guangdong University of Technology（广东工业大学数学与统计学院）
本文研究了具有Robin边界条件的椭圆最优控制问题中$hp$有限元方法的先验和后验误差分析，通过构造辅助系统和准插值方法推导了误差估计并验证了其准确性。
2026-01-28 cs.NA math.NA math.OC
On an inverse Robin spectral problem
本文考虑由有界区域$Ω$的边界上Laplace算子的Dirichlet边界条件的主特征值和主特征函数的法向导数的边值求出$Ω$的边界的一部分$γ\subset \partial Ω$上的Robin系数的问题.我们证明了唯一性，以及局部Lipschitz稳定的反问题。此外，我们提出了一个迭代重建算法与数值计算在二维显示的方法的准确性。
2020-03-28 cs.NA math.AP math.NA
A Novel Method for Enforcing Exactly Dirichlet, Neumann and Robin Conditions on Curved Domain Boundaries for Physics Informed Machine Learning
Center for Computational and Applied Mathematics（计算与应用数学中心）；Department of Mathematics（数学系）；Purdue University（普渡大学）
本文提出了一种系统方法，用于在一般四边形域上精确执行狄利克雷、诺依曼和罗宾条件，结合TFC约束表达式和transfinite插值，通过四步流程解决复杂边界条件问题，验证了方法在多种二维域上的有效性。
2026-03-23 cs.LG cs.NA math.NA
