Rate of convergence of the Kac-like particle system
本文研究了与空间齐次Boltzmann方程相联系的Kac随机粒子系统。我们建立了粒子系统的混沌传播到玻尔兹曼方程唯一解的速率。我们使用概率耦合的方法，并给出，在适当的假设下的初始条件，收敛速率的粒子系统的经验措施的Boltzmann方程的解决方案，这种奇异的相互作用。
2020-10-21 math.PR
Quantitative propagation of chaos for the Boltzmann equation with moderately soft potentials
Delft Institute of Applied Mathematics, EEMCS, TU Delft（代尔夫特理工大学应用数学研究所）；School of Mathematical Sciences, Beihang University（北京航空航天大学数学科学学院）
研究具有适度软势的玻尔兹曼方程相关Kac粒子系统，在初始数据有特定条件下，证明其分布唯一性，建立从经验测度到弱解在Wasserstein - 2距离下的显式收敛速率，是软势设置下该系统首个定量收敛速率。
2026-07-16 math.AP math.PR
Two-Species Boltzmann--Kac Kinetics with Matsumoto--Yor Nonlinear Collisions: Conserved Energy and Conic Equilibria
Institute of Statistical Mathematics（统计数学研究所）；Graduate University for Advanced Studies（高级研究院）
该研究扩展了卡克动力学框架，确定了两物种系统的守恒能量与锥形测度，通过H定理证明熵产生消失的条件，推导了非平衡平衡态的分布。
2026-10-23 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Propagation of chaos for the homogeneous Boltzmann equation with moderately soft potentials
CEREMADE, CNRS UMR 7534, Universités PSL et Paris-Dauphine（巴黎第九大学）；Institut Universitaire de France (IUF)（法国高等研究院）
本文研究了中等软势下Kac粒子系统对均匀波尔兹曼方程的收敛性，证明了混沌传播并控制了相互作用的奇异性。
2025-12-30 math.AP math.PR
Pathwise Convergence of the Hard Spheres Kac Process
我们推导出两个估计的偏差的$N$粒子，硬球Kac过程从相应的玻尔兹曼方程，在预期的Wasserstein距离测量。特别注意的是支付给我们的估计的长时间的属性，利用限制玻尔兹曼方程在实现的相互作用粒子系统的水平的稳定性。因此，我们得到了一个估计的传播混沌，均匀的时间和多项式率，只要初始数据有一个$k^\mathrm{th}$时刻，$k>2$。我们的方法是类似于卡茨的建议有关的长期行为的粒子系统的极限方程。一路上，我们证明了一个新的估计的连续性的玻尔兹曼流测量Wasserstein距离。
2019-05-22 math.PR
Variational derivation of the homogeneous Boltzmann equation
Università di Pavia（帕维亚大学）
本文通过变分法推导均匀玻尔兹曼方程，证明该方程的唯一能量守恒解源于微观动力学，并建立熵混沌性的传播。
2026-10-30 math-ph math.MP math.PR
Large deviations for Kac-like walks
我们引入了卡茨型行走，其二元碰撞速率保留了总动量，但不保留动能。在大粒子数的限制下，我们用经验测度和流描述了动力学，证明了相应的大偏差原理。相关的速率函数具有显式表达式。作为这种分析的副产品，我们提供了一个梯度流的Boltzmann-Kac方程的制定。
2021-01-14 cond-mat.stat-mech math.PR
Kac's Process with Hard Potentials and a Moderate Angular Singularity
本文研究了Kac的多粒子气体动力学随机模型在硬势中具有中等角度奇异性的情形，证明了非截断粒子系统可以作为截断系统的极限，其速率与粒子数$N$无关.作为结果，我们得到了相应的玻尔兹曼方程的适定性结果，以及粒子系统在极限$N\rightarrow \infty$中的收敛性。
2020-08-29 math.PR
Kac's Program in Kinetic Theory
本文研究了不可压缩粒子系统在碰撞过程中的混沌传播和平均场极限。我们将考虑的主要例子是产生玻尔兹曼方程的卡茨和麦基恩\cite{Kac1956,McKean1967}的多粒子跳跃过程。我们解决了卡茨提出的猜想\cite{Kac1956}，激发他的计划，在严格的连接之间的长期行为的碰撞多粒子系统和它的平均场极限之一，有界以及无界碰撞率。受Grünbaum \cite{Grunbaum}的启发，我们开发了一种抽象方法，将混沌传播问题简化为证明生成算子的纯函数估计（{ \em一致性估计}），以及非线性极限方程流的可微性估计（{ \em稳定性估计}）。这使我们能够在平均场极限方程的水平上而不是在粒子系统的水平上（如卡茨所提出的）利用耗散性。利用这种方法，我们证明了：（1）对一族态的混沌性的定量估计，即在时间上一致的估计。(2)如\cite{CCLLV}中定义的{ \it熵无序性}的传播。(3)估计松弛至平衡的时间，即\emph{independent of the number of particles in the system}。我们的结果涵盖了碰撞率无界的两个主要玻尔兹曼物理碰撞过程：硬球和\emph{true}麦克斯韦分子相互作用。这些模型的\emph{stability estimates}的证明需要大量的分析工作和新的估计。
2012-07-23 math.AP math.PR
Boltzmann-Grad limit of a hard sphere system in a box with diffusive boundary conditions
在本文中，我们提出了一个严格的推导玻尔兹曼方程在一个紧凑的区域与漫反射边界条件。我们考虑一个系统的$N$硬球的直径$ε$在一个盒子$Λ:= [0, 1] \times (R/Z)^2$。当一个粒子遇到区域的边界时，它会立即以随机方向重新注入盒子中，并保持动能。我们证明了该过程的第一边际在尺度$Nε^2 = 1$，$ε\rightarrow 0$中收敛到Boltzmann方程的解，具有与Lanford经典定理相同的短时间限制。
2021-04-09 math-ph math.AP math.MP
A $N$-uniform quantitative Tanaka's theorem for the conservative Kac's $N$-particle system with Maxwell molecules
本文研究具有任意角分布的麦克斯韦分子的空间齐次玻尔兹曼方程。紧接着Kac的程序，重点讨论了与之相关的守恒Kac随机$N$ -粒子系统，一个具有能量守恒和总动量守恒的二元碰撞的马尔可夫过程.一个明确的马尔可夫耦合（一个概率，马尔可夫耦合的两个副本的过程）的构建，同时使用碰撞，并平行耦合的每个二进制随机碰撞的碰撞方向的球体上。两个耦合系统之间的欧几里德距离几乎肯定随时间减小，并且明确计算相关的二次耦合创建（平均平方耦合距离的时间变化）。然后，一族（索引为$δ> 0$）的$N$ -一致的“弱"耦合/耦合创建不等式被证明，导致$N$ -一致的幂律趋于平衡的顺序${\sim}_{ t \to + \infty} t^{-δ} $，常数取决于时刻的速度分布严格大于$2(1 + δ)$。对$4$阶矩的情况进行了显式处理，实现了Kac的程序，而不需要任何混沌传播分析。最后，两个反例表明，该方法：（i）需要依赖于$>2$ -时刻，（ii）不能提供收缩在二次Wasserstein距离在任何情况下。
2014-08-03 math-ph math.MP math.PR
Large time analysis of the rate function associated to the Boltzmann equation: dynamical phase transitions
本文研究均匀玻尔兹曼方程相关微观模型速率函数的大时间行为，证明碰撞次数在N与T联合发散时发生动力学相变，并建立方程的可控性。
2024-12-31 math-ph math.MP math.PR
A consistency estimate for Kac's model of elastic collisions in a dilute gas
一个明确的估计来自卡茨的平均场模型碰撞硬球，比较，在Wasserstein距离，经验的速度分布的两个版本的模型的基础上不同数量的粒子。对于合适的初始数据，以高概率，这两个过程在$N^{-1/d}$级的公差内一致，其中$N$是较小的粒子数，$d$是维数，条件是$d\ge3$。从这个估计，我们可以推断，空间齐次玻尔兹曼方程是很好的一类测度值过程，并提供了一个很好的近似的Kac过程时，粒子数很大。在附录中我们还证明了一个关于含时带号测度的时间积分的全变差的基本引理。
2016-04-06 math.AP math.PR
Statistical dynamics of a hard sphere gas: fluctuating Boltzmann equation and large deviations
我们提出了一个数学理论的动力学波动的硬球气体在玻尔兹曼-格拉德极限。我们证明：（1）来自玻尔兹曼方程解的经验测量的波动，用粒子平均数的平方根标度，收敛于由波动玻尔兹曼方程驱动的高斯过程，如[67]中所预测的;（2）大偏差在平均粒子数上是指数小的，并且在规则性假设下，通过一个大偏差功能，如以前在[61]中获得的随机碰撞动力学。结果在远离热平衡的情况下是有效的，但仅在短时间内有效。我们的策略是基于统一的累积量生成函数的先验界，表征小的相关性的精细结构。
2022-08-25 math-ph math.AP math.MP
Quantitative propagation of chaos for generalized Kac particle systems
我们研究一类一维粒子系统与真正的（鸟型）的二元相互作用，其中包括Kac的玻尔兹曼方程和非线性方程的动态经济模型中产生的财富分布的演变。我们得到明确的收敛速度的Wasserstein距离之间的法律的粒子和他们的限制法律，这是线性的时间和依赖于一个温和的多项式的方式上的粒子的数量。证明是基于一个新的粒子系统和一个合适的系统的非独立的非线性过程之间的耦合，以及最近的经验措施的尖锐估计。
2016-05-04 math.PR
Stochastic Cahn--Hilliard Equations from One-Dimensional Ising--Kac--Kawasaki Dynamics
Beijing institute of mathematical sciences and applications（北京国际数学研究中心）
本文通过一维Ising-Kac-Kawasaki动力学在临界温度附近的标度极限，证明了Kac粗粒化场收敛到保守随机Cahn-Hilliard方程的唯一解，并建立了相应的规范平衡测度弱收敛到守恒质量超平面上的标准φ⁴₁测度。
2026-05-30 math.PR
Central limit theorem for the solution of the Kac equation
我们证明了玻尔兹曼方程的Kac模拟的解可以看作是一个随机变量的随机数之和的概率分布。这一事实使我们能够研究收敛到平衡的手段，一些经典的陈述有关的中心极限定理。特别是，提供了一个新的证明收敛到麦克斯韦分布，与速率信息下的唯一假设，即初始能量是有限的，并在额外的条件下，初始分布有有限的时刻的顺序$2+δ$为一些$δ$在$(0,1]$。此外，还证明了Kac方程的解弱收敛必须满足初始能量的有限性。虽然这一说法似乎是直观清楚的，但据我们所知，还没有证据。
2009-01-16 math.PR
Central limit theorem for a class of one-dimensional kinetic equations
我们介绍了一类Boltzmann方程的实数线，这构成了经典的卡茨漫画的扩展。碰撞增益算子由具有一般性质的光滑变换定义。通过建立与中心极限问题的联系，我们能够证明方程的解朝着极限分布的长时间收敛。如果玻尔兹曼方程的初始条件属于某个稳定律$g_α$的正常吸引域，则极限是非平凡的，并且是$g_α$的膨胀的统计混合。在一些额外的假设下，Wasserstein度量的平衡显式指数率的计算，并显示强收敛的概率密度。
2008-10-16 math-ph math.MP math.PR
From a Kac-like particle system to the Landau equation for hard potentials and Maxwell molecules
我们证明了保守随机粒子系统收敛于硬势齐次朗道方程解的一个定量结果。主要有两个困难：（i）这类Landau方程的已知稳定性结果涉及正则解，似乎很难推广到研究某些经验测度的收敛速率;（ii）粒子系统的保守性是（近似）独立性的障碍。为了克服（i），我们证明了一个新的稳定性结果的朗道方程的硬势非常一般的措施解决方案。由于（ii），我们必须耦合，我们的粒子系统与一些非独立的非线性过程，其中的法律解决，在某种意义上，朗道方程。然后，我们证明，这些非线性过程并不是那么遥远的独立。最后，我们利用Maxwell集[25]的一些思想，证明了在Maxwell分子的情况下，粒子系统的收敛在时间上是一致的。
2015-10-05 math.PR
One-sided convergence in the Boltzmann-Grad limit
我们回顾各种贡献的基础工作兰福德推导玻尔兹曼方程的硬球动力学在低密度极限。我们特别关注对初始数据的假设，以及它们如何编码不可逆性。玻尔兹曼方程（例如玻尔兹曼的H定理）中不可能逆转时间，这与高阶边缘在某些奇异集上缺乏收敛有关。明确的反例挑选出微观集的初始数据应该收敛，以产生玻尔兹曼动力学。
2016-12-12 math-ph math.AP math.MP
Regularization properties of the 2D homogeneous Boltzmann equation without cutoff
我们考虑了二维空间齐次硬势玻尔兹曼方程。我们假设初始条件是一个具有指数矩的概率测度，而不是狄拉克质量。我们证明了一些正则化性质：对于一类很硬的势，解瞬时属于$H^r$，对于某些依赖于方程参数的$r\in (-1,2)$。我们的证明依赖于使用一个非常合适的Malliavin演算跳跃过程。
2009-11-16 math-ph math.MP math.PR
Derivation of the Boltzmann equation from hard-sphere dynamics (after Y. Deng, Z. Hani, and X. Ma)
I.H.E.S., Université Paris-Saclay, CNRS Laboratoire Alexandre Grothendieck（高等科学研究所，巴黎萨克雷大学，法国国家科学研究中心亚历山大·格罗滕迪克实验室）；Université Paris Cité, Sorbonne Université CNRS, IMJ-PRG（巴黎西岱大学，索邦大学法国国家科学研究中心，IMJ-PRG）；Sapienza Università di Roma Dipartimento di Matematica G. Castelnuovo（罗马智慧大学，G.卡斯特鲁诺沃数学系）
本文基于 Deng、Hani 和 Ma 的工作，推导了从硬球动力学到玻尔兹曼方程的收敛性结果，并解释了其证明中的关键要素。
2026-10-16 math-ph math.AP math.MP
Quantitative uniform propagation of chaos for Maxwell molecules
我们证明了在Wasserstein距离W_2的Kac的N粒子系统与麦克斯韦分子的空间均匀玻尔兹曼方程，有和没有截止的显式多项式速率的混沌传播。我们的方法主要是基于新的概率耦合技术。将它们与粒子系统最近的稳定化结果相结合，在初始分布的适当矩假设下，我们得到了W_2 ^2的几乎N^{-1/3}阶的时间一致估计。
2017-12-26 math-ph math.MP math.PR
Nonlinear recombinations and generalized random transpositions
本文将群体遗传学的非线性重组模型作为 Kac-Boltzmann 方程的组合版本，通过广义随机对换动力学进行平均场近似，证明了时间一致的混沌传播与紧致熵产生估计，并得出非线性方程收敛至平稳态的精确速度。
2024-12-23 math-ph math.CO math.MP
Feynman-Kac formula for the stochastic Bessel operator
我们引入了一个随机过程和泛函来描述随机Bessel算子生成的半群。最近Gorin和Shkolnikov证明了具有软边行为的随机矩阵系综的最大特征值可以通过分析三对角矩阵的大幂来理解，这些矩阵收敛于随机Airy半群中的算子。在本文中，我们取得了一些进展，实现戈林和Shkolnikov的程序在随机矩阵的硬边。我们分析了一个合适的三对角矩阵模型（$β$ -Laguerre系综的轻微修改）的大功率。对于有限的$n$，我们表示使用Feynman-Kac型公式，它确定了一个序列的随机过程$X^n$和泛函$Φ_n$的矩阵功率。证明了对于我们提出的随机Bessel半群，$Φ_n(X^n)$依概率收敛于极限泛函$Φ(X)$.我们还讨论了如何半群方法可以用来理解过渡从硬边到软边的$β$ -Laguerre模型。
2017-11-02 math.PR
Upper bounds for the function solution of the homogenuous 2D Boltzmann equation with hard potential
本文讨论了无截断的齐次$2D$ Boltzmann方程的解$f\_{t}(dv),$.初始条件$f\_{0}(dv)$可以是任何概率分布（狄拉克质量除外）。然而，对于充分硬势，半群具有正则化性质（参见\cite{[BF]}）：$f\_{t}(dv)=f\_{t}(v)dv$对于每个$t>0.$本文的目的是给出$f\_{t}(v),$的上界，其中对于某些$η,λ>0.$，最重要的上界是$f\_{t}(v)\leqCt^{-η}e^{-\left\vert v\right\vert ^λ}$型
2018-05-03 math.PR
The Multifractal Nature of Boltzmann Processes
我们考虑空间均匀玻尔兹曼方程（真）硬和适度软的潜力。研究了描述典型粒子速度随时间演化的随机过程$(V_t)_{t\geq 0}$的路径性质。我们表明，这个过程几乎肯定是多重分形，我们计算其奇异谱。对于硬势，我们还计算了位置过程$(X_t)_{t\ge0}$的多重分形谱。
2015-04-25 math.PR
Quantum harmonic oscillators and Feynman-Kac path integrals for linear diffusive particles
该研究提出一类新的可解多维量子谐振子，通过Riccati方程求解基态等，推导Feynman-Kac测度解与稳定性估计，得到哈密顿量谱的显式描述，方法可扩展到含时Schrödinger方程。
2021-06-28 math.PR
Nonasymptotic analysis of adaptive and annealed Feynman-Kac particle models
序列和量子蒙特卡罗方法，以及遗传型搜索算法可以被解释为分布空间中的费曼-卡茨模型的平均场和相互作用粒子近似。这些群体蒙特卡罗算法的性能与非线性Feynman-Kac半群的稳定性密切相关。在本文中，我们分析了这些模型的参考马尔可夫转移和势函数的振荡的Dobrushin遍历系数。关于一致集中不等式的充分条件。时间是用这两个量来明确表示的。我们提供了一个原始的扰动分析，适用于退火和自适应费曼-卡茨模型，产生什么似乎是第一个结果，这种类型的这些类型的模型。特别注意的是专门的玻尔兹曼-吉布斯措施的抽样的特殊情况。在这种情况下，我们设计了一个显式的方式调整的马尔可夫链蒙特卡罗迭代的温度时间表的数量。我们还设计了一个替代的相互作用粒子方法的基础上，自适应策略来定义的温度增量。由于势函数和参考马尔可夫转移现在都依赖于粒子模型上的随机演化，因此对这种自适应模型的性能的理论分析要复杂得多。这些复杂自适应模型的非渐近分析是一个开放的研究问题。我们开始这项研究的浓度分析的一个简化的自适应模型的基础上参考马尔可夫过渡，符合限制数量，粒子的数量趋于无穷大。
2016-09-30 math.PR math.ST stat.TH
Fluctuation theory in the Boltzmann--Grad limit
我们开发了一个严格的硬球动力学理论的动力学制度，远离热平衡。在低密度极限下，经验密度服从大数定律，动力学由玻尔兹曼方程控制。从这种行为的偏差所描述的动态相关性，这可以充分表征短时间。这提供了波动玻尔兹曼方程和大偏差渐近性。
2020-04-01 math.AP math.PR
