Sieving and the Erd{\H o}s-Kac theorem
通过计算矩，给出了Erd \H os-Kac定理的一个相对简单的证明.我们将展示如何证明自然延伸在筛理论的背景下，以及它如何导致几个相关的结果在文献中。
2006-06-01 math.NT math.PR
Moderate and Large Deviations for the Erdős-Kac Theorem
Erdens-Kac定理是数论中的一个著名结果，它说一个均匀选择的随机整数的不同素因子的个数满足一个中心极限定理。在本文中，我们建立了这个问题的大偏差和中等偏差在一个非常一般的设置为广泛的一类可加函数。
2015-11-26 math.NT math.PR
An Information-Theoretic Proof of the Kac--Bernstein Theorem
卡茨-伯恩斯坦定理的一个简短的信息论证明如下：对于任何独立的随机变量$X$和$Y$，如果$X+Y$和$X-Y$是独立的，则$X$和$Y$是正态分布的。
2022-02-21 cs.IT math.IT math.PR
Darling-Kac theorem for renewal shifts in the absence of regular variation
研究了在半稳定律的几何部分吸引域中具有更新分布的零常返更新马尔可夫链。利用经典的反演方法，我们得到了一个类似于Darling-Kac定律的极限定理，并得到了极限分布的一些有趣的性质。也是在这种情况下，我们得到了一个卡拉马塔型定理沿序正算子。在这两个结果中，我们确定了允许的类的连续性。我们提供了几个例子，这些结果适用于非平凡的无穷测度保持系统。
2018-03-28 math.DS math.PR
Reaching the best possible rate of convergence to equilibrium for solutions of Kac's equation via central limit theorem
令$f(\cdot,t)$为概率密度函数，其表示Kac方程在时间$t$的解，具有初始数据$f_0$，并令$g_σ$为具有零均值和方差$σ^2$的高斯密度，$σ^2$为$f_0$的二阶矩的值。这是第一个证明$f(\cdot,t)$和$g_σ$之间的总变异距离趋于零的研究，即$t\to +\infty$，其指数率等于-1/4。本文在$f_0$具有有限四阶矩且其傅里叶变换$φ_0$满足$|φ_0(ξ)|=o(|ξ|^{-p})$为$|ξ|\to+\infty$的条件下，证明了这一事实。这些假设肯定是弱于迄今为止在国家的最先进的文献，在任何情况下，获得较低的精确率。
2009-03-02 math.PR
Erdős-Kac theorems for discriminants of number fields
本文证明了当 G 为阿贝尔群时，随机 G-扩张中分歧素数个数的中心极限定理，推广了 Lemke Oliver 和 Thorne 在 G=S_d (2≤d≤5) 情形的工作，并首次给出不同素数处分歧事件不独立的例子。
2026-06-05 math.NT math.PR
Limit theorems for random walks on Fuchsian buildings and Kac-Moody groups
本文证明了Fuchsian建筑上迷向随机游动的逃逸率定理和中心极限定理，给出了速度和渐近方差的计算公式。特别是，这些结果适用于随机游动引起的双不变测度Fuchsian Kac-Moody群，但他们也适用于的情况下，建筑物是不相关的任何合理的组结构。我们的主要策略是构造一个更新结构的随机游动。为此，我们定义锥和锥类型的建筑物，并证明了相应的自动机在建筑物和相关的Coxeter组是强连接的。然后通过采用[21]中的技术证明了极限定理。更新时间的时刻是通过步行到建筑物的公寓收回控制。
2014-11-27 math.GR math.PR
The role of the central limit theorem in discovering sharp rates of convergence to equilibrium for the solution of the Kac equation
在Dolera，Gabetta和Regazzini [Ann. Appl. 19（2009）186-201]证明了Kac方程的解$f(\cdot,t)$与高斯密度$(0,σ^2)$之间的总变化距离有一个上限，该上限以等于-1/4的指数率趋于零，如$t\to+\infty$。在本文中，我们确定了一个下限，指数下降到零，以同样的速度，提供了一个适当的对称化形式的$f_0$有非零的第四累积量$κ_4$。此外，我们表明，上界$\bar{C}_δe^{-({1/4})t}ρ_δ(t)$是有效的一些$ρ_δ$消失在无穷大时，$\int_{\mathbb{R}}|v|^{4+δ}f_0(v)\,dv<+\infty$的一些$δ$在$[0,2[$和$κ_4=0$。这一声明的推广，连同一些关于非高斯初始条件，产生不可逾越的障碍-1收敛速度的评论。
2010-09-17 math.PR
The Kac formula and Poincaré recurrence theorem in Riesz spaces
给出了迭代过程的Riesz空间（非点态）推广，推广了常返性、首次常返性和条件遍历性的概念。Riesz空间条件版本的庞加莱递归定理和Kac公式的开发。在较弱的假设下，证明了每一个保条件期望过程关于其迭代的Cesàro平均所产生的条件期望是条件遍历的.应用于$L^1(Ω,{\mathcal A},μ)$中的过程，其中$μ$是一个概率测度，得到了上述定理的新的条件形式.
2022-07-25 math.DS math.FA math.PR
A probabilistic approach to the Erdös-Kac theorem for additive functions
我们提出了一个新的角度来评估的速度收敛到高斯分布和泊松分布的Erdös-Kac定理的加法算术函数$ψ$的随机整数$J_n$均匀分布在$\{1,...,n\}$。我们的方法是概率的，工作直接对空间的随机变量，而不使用任何傅立叶分析方法，我们的$ψ$是更一般的比那些考虑在文献中。我们的主要结果是（i）的Kolmogorov距离和Wasserstein距离的界限之间的分布的归一化$ψ(J_n)$和标准的高斯分布，和（ii）的Kolmogorov距离和全变差距离的界限之间的分布的$ψ(J_n)$和泊松分布在轻微的附加假设下$ψ$。我们的结果推广了文献中已有的结果。
2021-02-09 math.NT math.PR
On a Problem of M. Kac on Laplace Distributions
University of California San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
本文通过反例反驳了M. Kac在苏格兰书中的问题，探讨了非线性操作对特征函数的刻画，提出改进版问题并构建了通用框架。
2026-04-06 math.PR
Boost your favorite Markov Chain Monte Carlo sampler using Kac's theorem: the Kick-Kac teleportation algorithm
本文提出Kick-Kac传送算法，一种基于Kac定理的新型不可逆马尔可夫链，用于从目标分布采样，结合全局与局部动力学，保证不可约、Harris常返及几何遍历性，数值实验显示优于现有MCMC算法。
2023-05-13 cs.NA math.NA math.PR
A Feynman-Kac Type Theorem for ODEs: Solutions of Second Order ODEs as Modes of Diffusions
本文证明了一类二阶常微分方程的Feynman-Kac型结果。经典的Feynman-Kac定理指出，一类二阶抛物型方程的解是一个特殊扩散的平均值。在我们的情况下，我们表明，二阶常微分方程的系统的解决方案是通过Onsager-Machlup形式主义定义的扩散模式。我们的结果的一个潜在的效用是使用Monte Carlo型方法来估计常微分方程的解。我们的结论与我们的结果说明其实用程序在数值求解线性二阶常微分方程的例子。
2021-06-19 cs.NA math.CA math.NA
High and odd moments in the Erdős--Kac theorem
本文证明Erdős--Kac定理中Granville和Soundararajan给出的矩估计范围是精确的，并首次给出奇数阶矩在k=O((log log x)^{1/3})时的渐近公式，还发现泊松分布的中心矩可极好地近似Erdős--Kac矩。
2024-12-31 math.NT math.PR
On the well-posedness of a class of McKean Feynman-Kac equations
该研究分析带Feynman-Kac扰动的McKean型方程（MFKE）的适定性，在系数无强正则性假设下给出弱、强存在性及轨道唯一性条件，借助关联MFKE与非保守半线性抛物PDE解的表示定理完成证明。
2024-03-07 math.PR
Generalizations of Erdős-Kac theorem with applications
本文将 Erdős-Kac 定理从阿贝尔幺半群推广到满足附加条件的任意子集，统一研究 omega 函数与除数函数等算术函数，并应用于数域、整体函数域和几何不可约射影簇。
2025-06-03 math.NT math.PR
Random polynomials: central limit theorems for the real roots
实根的个数一直是随机多项式和随机函数理论中的一个中心课题，因为Littlewood-Offord和Kac在20世纪40年代的基本论文。这里的主要任务是确定这个随机变量的极限分布。1974年，Maslova证明了一个关于Kac多项式的实根个数的中心极限定理（CLT）。四十多年来，它一直是实根个数的唯一极限定理。本文用一种新的方法，导出了一类系数按多项式增长的随机多项式的实根个数的一般CLT。我们的结果推广并加强了Maslova定理。
2020-12-20 math.PR
Transforming the Erdős-Kac theorem
本文通过 delta 方法变换 Erdős-Kac 定理，构造方差稳定、宽度最优的 score 等区间估计，并用模糊覆盖概率验证其在小正整数上的可靠性。
2025-06-10 math.NT math.PR math.ST
A $N$-uniform quantitative Tanaka's theorem for the conservative Kac's $N$-particle system with Maxwell molecules
本文研究具有任意角分布的麦克斯韦分子的空间齐次玻尔兹曼方程。紧接着Kac的程序，重点讨论了与之相关的守恒Kac随机$N$ -粒子系统，一个具有能量守恒和总动量守恒的二元碰撞的马尔可夫过程.一个明确的马尔可夫耦合（一个概率，马尔可夫耦合的两个副本的过程）的构建，同时使用碰撞，并平行耦合的每个二进制随机碰撞的碰撞方向的球体上。两个耦合系统之间的欧几里德距离几乎肯定随时间减小，并且明确计算相关的二次耦合创建（平均平方耦合距离的时间变化）。然后，一族（索引为$δ> 0$）的$N$ -一致的“弱"耦合/耦合创建不等式被证明，导致$N$ -一致的幂律趋于平衡的顺序${\sim}_{ t \to + \infty} t^{-δ} $，常数取决于时刻的速度分布严格大于$2(1 + δ)$。对$4$阶矩的情况进行了显式处理，实现了Kac的程序，而不需要任何混沌传播分析。最后，两个反例表明，该方法：（i）需要依赖于$>2$ -时刻，（ii）不能提供收缩在二次Wasserstein距离在任何情况下。
2014-08-03 math-ph math.MP math.PR
Derivation of a Boltzmann equation with higher-order collisions from a generalized Kac model
在这项工作中，我们推广了M。Kac的原始多粒子二元随机模型，推导出一个空间齐次玻尔兹曼方程，该方程包括高阶碰撞项的线性组合。首先，我们证明了一个关于从有限族到无限族耦合方程收敛的抽象定理。我们将这个收敛定理应用于对应于上述广义Kac模型的边缘族。作为推论，我们证明了与广义Kac模型相关的边缘的混沌传播。特别是，第一个边缘收敛到一个玻尔兹曼方程的解决方案，包括相互作用的有穷级，其碰撞内核是麦克斯韦型与截止。
2022-11-08 math-ph math.AP math.MP
Stochastic Cahn--Hilliard Equations from One-Dimensional Ising--Kac--Kawasaki Dynamics
Beijing institute of mathematical sciences and applications（北京国际数学研究中心）
本文通过一维Ising-Kac-Kawasaki动力学在临界温度附近的标度极限，证明了Kac粗粒化场收敛到保守随机Cahn-Hilliard方程的唯一解，并建立了相应的规范平衡测度弱收敛到守恒质量超平面上的标准φ⁴₁测度。
2026-05-30 math.PR
A Generalization of the Erdős-Kac Theorem
给定$n\in\mathbb{N}$，令$ω\left(n\right)$表示$n$的不同素因子的数目，令$Z$表示标准正态变量，令$P_{n}$表示$\left\{ 1,\ldots,n\right\} $上的均匀分布。Erdens-Kac定理指出，$$P_{n}\left(m\le n:ω\left(m\right)-\log\log n\le x\left(\log\log n\right)^{1/2}\right)\to\mathbb{P}\left(Z\le x\right)$$作为$n\to\infty$ ;即，如果$N\left(n\right)$是$\lbrace 1,\ldots,n \rbrace$上均匀分布变量，则$ω\left(N\left(n\right)\right)$作为$n\to \infty$渐近正态分布，均值和方差均等于$\log \log n$。本文的贡献是一个推广的Erdens-Kac定理的一个更大的一类随机变量考虑扰动的均匀概率质量$\frac{1}{n}$在以下意义上。用$\mathbb{P}_{n}$表示由$\mathbb{P}_{n}\left(i\right)=\frac{1}{n}+\varepsilon_{i,n}$给出的$\left\{ 1,\ldots,n\right\} $上的概率分布。通过提供一些限制$\varepsil…
2020-10-31 math.NT math.PR
Large deviations for the empirical measure of random polynomials: revisit of the Zeitouni-Zelditch theorem
本文回顾了Ofer Zeitouni和Steve Zelditch关于带独立同分布的随机正交多项式的经验测度的大偏差的工作。高斯复系数，并将这一结果推广到实高斯系数。这篇文章不需要任何几何知识。为了清楚起见，我们集中在两个经典的情况下：Kac多项式和椭圆多项式。
2015-09-30 math.PR
Characterization theorems for $Q$-independent random variables with values in a locally compact Abelian group
设$X$是局部紧阿贝尔群，$Y$是它的特征群.继A. Kagan和G. Székely我们引入了一个概念的$Q$ -独立的随机变量值在$X$。本文证明了具有$X$中的值的$Q$无关随机变量的Cramér，Kac-Bernstein，Skitovich-Darmois和Heyde定理的群类似定理.这些定理的证明归结为求解群$Y$上的函数方程。
2017-03-19 math.PR
On an Erdős--Kac-type conjecture of Elliott
本文证明了Elliott基于Erdős--Kac定理提出的一个关于素数求和渐近性的猜想可由Bombieri--Vinogradov定理推出，并利用素数更深层的分布水平结果证明了一个涉及Poisson--Dirichlet分布的相关结论。
2024-07-12 math.NT math.PR
Continuous solutions of the complex Kac--Bernstein functional equation on the integers and the real numbers
研究整数集与实数集上复卡茨 - 伯恩斯坦泛函方程连续解的分类，利用\(\mathbb{Z}\)上分类推广一维环面\(\mathbb{T}\)上卡茨 - 伯恩斯坦定理，类似地推广\(\mathbb{R}\)上原定理，均从概率博雷尔测度推广到复博雷尔测度。
2026-07-28 math.CA math.CO math.GR
Chaos and Entropic Chaos in Kac's Model Without High Moments
在本文中，我们提出了一个新的局部Lévy中心极限定理，显示收敛到稳定状态，不一定是高斯，并使用它来寻找新的和直观的熵混沌家庭与潜在的单粒子功能，有时刻的顺序$2α$，与$1<α<2$。我们还讨论了相对熵相对于我们的特定的函数族的下半连续性结果，并使用它来显示在我们的设置熵混沌的稳定性的一种形式。
2013-03-17 math-ph math.MP math.PR
Central Limit Theorem for local linear statistics in classical compact groups and related combinatorial identities
本文讨论了来自经典紧群的随机矩阵的整体和局部线性统计量的CLT。我们的证明的主要部分是某些组合身份的精神，由卡茨和Spohn的作品。
1999-08-13 math.CO math.PR
Semilinear Feynman-Kac Formulae for $B$-Continuous Viscosity Solutions
本文用概率方法证明无穷维半线性 PDE 的 $B$-连续粘性解存在且唯一，并给出基于倒向随机微分方程的首个非线性 Feynman–Kac 表示框架。
2024-11-21 math.AP math.PR
Feynman-Kac formula under a finite entropy condition
受熵最优输运的启发，我们研究了抛物型方程$( \partial_t + b\cdot \nabla + Δ_{ a}/2 +V)g =0$在最终边界条件下解的一个扩展概念。众所周知，当漂移$b$、扩散矩阵$a$和标量势$V$足够规则且增长不太快时，该偏微分方程的黏性解$g$可用Feynman-Kac公式表示。在本文中，$b$和$V$不被假设为规则的，它们的增长由有限熵条件控制，例如允许$V$属于某个Kato类。我们表明，费曼-卡茨公式表示的解决方案，在一个扩展的意义下，抛物型方程。这个概念的解决方案是不可逆的，并表示与半鞅扩展的马尔可夫生成器$ b\cdot \nabla + Δ_{ a}/2.$我们的概率方法依赖于随机导数，半鞅，Girsanov定理和汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程满足$\log g$。
2022-09-02 math.AP math.PR
Conditioned random walks from Kac-Moody root systems
随机路径是随机游动的时间连续插值。利用Littelmann路模型，将Kac Moody代数g的每一个不可约最高权模与一条随机路W相关联.在适当的假设下，我们明确了事件E：W永远不会离开g的Weyl腔的概率。然后，我们给出了事件E条件下W定义的随机游动的规律，并证明了这个规律可以通过对W应用Biane，Bougerol和O 'Connell提出的广义Pitmann变换来恢复。这将[10]和[16]的主要结果推广到Kac Moody根系和任意最高权模。此外，我们在这里使用一个全新的方法，利用我们的建设的对称性的作用下的外尔群的g，而不是更新理论和Doob的定理马丁内核。
2013-12-22 math.CO math.PR math.RT
About Kac's Program in Kinetic Theory
在本说明中，我们介绍了最近工作arxiv：1107.3251的主要结果，它回答了50年前Kac提出的几个问题。在那里卡茨介绍了一个多粒子随机过程（现在表示为卡茨的主方程），其中，混沌数据，收敛到空间均匀玻尔兹曼方程。我们回答了\cite{kac}中提出的以下三个问题：（1）证明了真实微观相互作用中混沌的传播（2）通过得到与粒子数无关的速率，将随机过程的弛豫时间尺度与极限方程的弛豫时间尺度联系起来;（3）证明极限方程解的多粒子熵向玻尔兹曼熵的收敛性（玻尔兹曼$H$定理的微观证明）。这些结果的关键依赖于一个新的理论定量统一的时间估计的传播混沌。
2011-11-15 math-ph math.AP math.MP
Functional limit theorem for occupation time processes of intermittent maps
在强分布收敛意义下，我们建立了区间映射中靠近和远离中立不动点的占位以及等待远离这些点的占位的联合律的泛函极限定理.它同时是Darling-Kac型极限定理、Lamperti型占有时间广义反正弦律、Dynkin和Lamperti型等待时间广义反正弦律的泛函和联合分布推广.
2019-05-04 math.DS math.PR
