Generalized Spectral Clustering via Gromov-Wasserstein Learning
Stanford University（斯坦福大学）；Florida State University（佛罗里达州立大学）
我们建立了一个谱聚类和Gromov-Wasserstein学习（GWL），最近的最佳运输为基础的方法图分区之间的桥梁。这种联系既解释了GWL的最新性能，又改进了GWL的最新性能。Gromov-Wasserstein框架通过节点匹配问题的二次规划松弛来提供源图和目标图的节点之间的概率对应。我们的研究结果利用和连接的观察，GW的几何结构仍然有效的任何秩2张量，特别是邻接，距离，和各种核矩阵的图形，和热核优于邻接矩阵产生稳定和信息节点对应。在GWL框架中使用热核提供了新的多尺度图比较，而不损害理论保证，同时立即产生改进的经验结果。GWL框架对图划分的一个关键见解是计算从源图到具有孤立的自连接节点的模板图的GW对应。我们表明，当比较两个节点的模板图使用热核在无限的时间限制，所得到的分区同意与分区产生的费德勒向量。这反过来又产生了一个新的见解，通过镜头的最佳运输的k-割图分割问题。我们在一系列真实网络上的实验取得了与GWL相当的结果，并且在许多情况下表现优于GWL。
2021-03-03 cs.LG math.MG stat.ML
The Gromov-Wasserstein distance between networks and stable network invariants
我们定义了一个度量-网络Gromov-Wasserstein距离-加权，有向网络，是敏感的离群值的存在。除了证明其理论性质外，我们还提供了基于最佳传输的网络不变量，这些网络不变量通过下界近似这个距离。我们在一系列模拟网络数据集和真实世界的全球双边移民数据集上测试这些方法。对于我们的模拟，我们定义了一个基于随机块模型的网络生成模型。这可能是独立的利益为基准的目的。
2019-09-04 cs.DM math.MG
Stability and Finiteness of Wasserstein Spaces
本文在Gromov--Hausdorff收敛及其等变形式下，证明Wasserstein空间在奇异与非奇异空间类上的稳定性，并给出Perelman稳定性定理的Wasserstein空间版本。
2024-06-10 math.DG math.MG
Metric Geometry of Lebesgue, Wasserstein, and Gromov-Wasserstein Spaces: Submetries, Curvature, and Geodesics
本文构建了Z-GW空间等三类关联空间的统一度量几何理论，明确了其间的次淹没映射结构，证明了不同p值下的测地性关系，刻画了Z-GW空间的测地线并分类了其Alexandrov曲率界。
2026-08-13 math.MG math.OC
Fused ultrametric Gromov-Wasserstein for Scenario Tree generation in Multistage Stochastic Programming
University of Milano-Bicocca（米兰比可卡大学）
本文提出融合超度量Gromov-Wasserstein与融合Gromov-Wasserstein距离，用于多阶段随机规划场景树生成，同时保证边际保真度和非预期性，并给出稳定性定理及块坐标下降算法。
2026-09-30 math.MG math.OC
Gromov-Hausdorff convergence of discrete transportation metrics
本文继续研究离散集上概率测度的“Wasserstein式”运输距离。本文证明了当$N\to\infty$时，网格步长1/N的d维离散环面上的离散输运度量收敛于连续环面上的Gromov-Hausdorff意义下的标准2-Wasserstein距离W2.这是最近开发的离散运输指标的第一个收敛结果。结果表明，这些度量之间的兼容性和良好建立的2-Wasserstein度量。
2013-02-14 math.FA math.MG math.PR
Comparison Results for Gromov-Wasserstein and Gromov-Monge Distances
本文从理论上比较了 Gromov-Monge（GM）距离与 Gromov-Wasserstein（GW）距离，证明了非原子度量测度空间上两者相等，并建立了 GM 距离与欧氏空间中等距不变 Monge 最优传输距离的双向 Hölder 等价性。
2024-10-04 math.MG
Generalized Dimension Reduction Using Semi-Relaxed Gromov-Wasserstein Distance
提出基于半松弛Gromov-Wasserstein距离的通用降维方法，实现流形值多维缩放，并应用于政治选区划分计划的可视化与异常检测。
2025-02-27 math.MG math.OC
Metric properties of partial and robust Gromov-Wasserstein distances
University of Houston（休斯顿大学）；Colorado School of Mines（科罗拉多矿业学院）；University of Maryland（马里兰大学）；University of Nebraska - Lincoln（内布拉斯加大学林肯分校）；University of Tennessee - Knoxville（田纳西大学诺克斯维尔分校）；Florida State University（佛罗里达州立大学）；Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学）
本文研究 Chapel 等人提出的部分鲁棒 Gromov-Wasserstein 松弛的度量性质，刻画其非退化性与三角不等式失效方式，并构造一族真正成度量、拓扑等价且抗扰动的鲁棒部分 GW 距离。
2025-03-17 cs.LG math.MG
Gromov-Hausdorff limit of Wasserstein spaces on point clouds
我们考虑一个点云$X_n := \{ x_1, \dots, x_n \}$均匀分布在平坦的环面$\mathbb{T}^d : = \mathbb{R}^d / \mathbb{Z}^d $上，并通过连接彼此距离$\varepsilon$内的点来构造一个几何图。我们让$\mathcal{P}(X_n)$是$X_n$上的概率测度空间，并赋予它一个离散的Wasserstein距离$W_n$，由Chow等人，Maas和Mielke独立地介绍了一般有限马尔可夫链。我们表明，只要$\varepsilon= \varepsilon_n$衰减到零慢于一个明确的速率取决于水平的均匀性$X_n$，然后空间$(\mathcal{P}(X_n), W_n)$收敛在Gromov-Hausdorff意义上的概率测度的空间上$\mathbb{T}^d$赋予Wasserstein距离。本文提出的分析是在随机点云定义的发展方程的稳定性研究的第一步，随着点的数量增长到无穷大。
2019-05-24 math.AP math.MG math.PR
Gromov-Wasserstein Barycenters: The Analysis Problem
Florida State University（佛罗里达州立大学）；University of Virginia（弗吉尼亚大学）；Tufts University（塔夫茨大学）
本文研究在Gromov-Wasserstein距离下估计有限度量空间中编码成对距离的矩阵问题，提出两种方法解决对应的分析问题，并在机器学习中应用。
2026-03-30 cs.NA math.FA math.MG
Duality and quotient spaces of generalized Wasserstein spaces
本文利用Liero，Mielke和Savaré在[21]中的思想，建立了由Picolli和Rossi引入的广义波兰度量空间上的广义Wasserstein距离$W_1^{a,b}$的Kantorovich对偶.作为结果，我们给出了$W_1^{a,b}$与平坦度量一致的另一个证明，这是[25]的一个主要结果，因此我们得到了一个独立有趣的结果：对于每个波兰度量空间$X$，$\left(\mathcal{M}(X), W^{a,b}_1\right)$是测地空间.证明了紧群$G$在波兰度量空间$X$上的等距作用下，$(\mathcal{M}^G(X),W_p^{a,b})$与$(\mathcal{M}(X/G),W_p^{a,b})$等距同构，以及广义Wasserstein空间的Gromov-Hausdorff收敛和等变格罗莫夫-豪斯多夫收敛的几个结果.后一个结果分别在[22]，[14]和[8]中对标准Wasserstein空间得到了证明.
2019-06-09 math.DS math.FA math.MG
Characterization of Gromov-type geodesics
已知紧致度量空间的所有等距类的集合$\mathcal{M}$是一个测地空间，该集合具有Gromov-Hausdorff距离$d_\mathcal{GH}$。然而，在$\mathcal{M}$中没有已知的测地线结构表征。在本文中，我们提供了两个这样的特征。我们首先证明了每个Gromov-Hausdorff测地线实际上是某个紧度量空间的Hausdorff超空间中的测地线，我们称之为Hausdorff测地线。受此特征的启发，我们进一步阐明了Hausdorff测地线和Wasserstein测地线之间的结构连接：每个Hausdorff测地线都等价于所谓的Hausdorff位移插值。这种等价性使我们能够建立每一个Gromov-Hausdorff测地线是动态的，这是我们在最优输运理论中与动态最优耦合类比发展的一个概念。除了$\mathcal{M}$中的测地线外，我们还研究了紧度量测度空间的同构类的集合$\mathcal{M}^w$上的测地线。Sturm在$\mathcal{M}^w$上构造了一族Gromov型距离，记作$d_{\mathcal{GW},{p}}^\mathrm{S}$（对于$p\in[1,\infty)$），并证明了$(\mathcal{M}^w,d_{\mathcal{GW},{p}}^\mathrm{S})$也是一个测地空间.我们感兴趣的是$d_{\mathcal{GW},{…
2021-05-17 math.MG
Gromov-Hausdorff distance with boundary and its application to Gromov hyperbolic spaces and uniform spaces
本文引入了带边界的Gromov-Hausdorff距离的概念，记为$d_{GHB}$，从而构造了非完备度量空间的收敛框架.证明了一类直径有界的有界$A$ -一致空间是关于$d_{GHB}$的完全度量空间.作为应用，在适当的收敛性概念和假设下，我们证明了Gromov双曲性的稳定性，Gromov双曲空间的粗星形性质，一致化，拟双曲化和边界.
2021-08-08 math.MG
Lectures on Hausdorff and Gromov-Hausdorff Distance Geometry
该课程于2019年秋季在北京大学开设。主要内容包括：（1）一般拓扑学、超空间、度量与伪度量空间、图论。(2)度量空间中的图，最小生成树，Steiner最小树，Gromov最小填充。(3)Hausdorff距离，Vietoris拓扑，极限理论，完备性继承，完全有界性，超空间紧性。(4)Gromov-Hausdorff距离，三角不等式，紧空间等距类的正定性，有界紧空间的反例。(5)可分空间在\ell_\有限空间中的等距像的Gromov-Hausdorff距离，对应，对应的Gromov-Hausdorff距离。(6)Epsilon-isometries和Gromov-Hausdorff距离(7)不可约对应和Gromov-Hausdorff距离(8)格罗莫夫-豪斯多夫收敛，当格罗莫夫-豪斯多夫收敛时度量和拓扑性质的继承. (9)Gromov-T2空间（GH-空间），最优对应，紧度量空间的闭最优对应的存在性，GH-空间是测地的。(10)GH-空间的覆盖数、堆积数、完全有界性、完备性和可分性。(11)用到单形的GH-距离表示的mst-谱，GH-空间中的Steiner问题。(12)到多点单形的GH-距离，到至多相同点数单形的GH-距离。(13)广义Borsuk问题，广义Borsuk问题的GH-距离解，简单图的团覆盖数和色数，它们的对偶，用GH-距离计算这些数。
2020-12-01 math.MG
Gromov-Hausdorff Distance Between Segment and Circle
我们计算了欧氏平面上一条线段和一个圆之间的Gromov-Hausdorff距离。为此，我们引入了一些新的概念，如圆空间和度量空间的非线性度。
2021-01-14 math.MG
A note for Gromov's distance functions on the space of mm-spaces
这只是给\cite [第$3{1/2}_+$章]{gromov}的注释。也许这个注释对于了解度量几何的读者来说是显而易见的。我希望有人在这个方向上进一步研究。
2007-06-18 math.MG
Pointed Gromov-Hausdorff Distance between $l^p$-Wedge Sums and Isometric Embeddings of $l^\infty$
本文研究$l^p$-楔和的有向格罗莫夫-豪斯多夫距离并给出双侧估计，还证明了$l^\fty$可等距嵌入到非空度量空间构成的格罗莫夫-豪斯多夫空间中。
2026-10-12 math.MG
Realizations of Gromov-Hausdorff Distance
证明了对任意两个紧度量空间，存在一个“最佳”对应，在该对应处达到Gromov-Hausdorff距离.每一个这样的对应关系产生这些空间到一个紧凑的度量空间的等距嵌入，使得初始空间之间的Gromov-Hausdorff距离等于它们的图像之间的Hausdorff距离。此外，最优对应可以用于构造Gromov-T2空间中的最短曲线，其方式与Alexander Ivanov，Nadezhda Nikolaeva和Alexey Tuzhilin在arXiv：1504.03830中所做的完全相同，其中证明了Gromov-T2空间是测地线。请注意，本文中的所有证明都是初等的，只使用了紧性的概念。
2016-03-29 math.MG
Classical and continuous Gromov-Hausdorff distances
本文研究了格罗莫夫-豪斯多尔距离的连续性要求，证明了下半连续性时得到经典距离，而上半连续性仅在空间总界或有界紧致时与经典距离一致。
2026-03-27 math.MG
Metric Space Recognition by Gromov-Hausdorff Distances to Simplexes
本文研究了利用到单纯形的Gromov-Hausdorff距离区分有界度量空间，给出了距离非零却不可区分的实例，并证明了不可区分的充分和必要条件。
2024-12-25 math.MG
The Gromov-Hausdorff Distances between Simplexes and Ultrametric Spaces
本文研究了有界度量空间$X$与所谓的单纯形之间的Gromov-Hausdorff距离，所有非零距离都相同的度量空间。在单形的基数不超过$X$的基数的情况下，得到了一个新的距离公式。后者允许导出一个精确的公式之间的距离单纯形和超度量空间。
2019-07-08 math.MG
Gromov-Hausdorff distances between normed spaces
本文研究实赋范空间间的Gromov-Hausdorff距离，证明有限距离蕴含等距，并进一步证明每个有限维赋范空间与所有非等距赋范空间的距离均为无穷大。
2024-07-01 math.MG
Calculation of Minimum Spanning Tree Edges Lengths using Gromov--Hausdorff Distance
在本文中，我们展示了如何可以计算的最小生成树的边的长度构造一个有限的度量空间，从这个空间的Gromov-Hausdorff距离足够大的直径的单形。这里的单形是指有限的度量空间，它们的非零距离都是相同的。作为应用，我们把寻找Steiner最小树长或最小填充长度的问题归结为最大化作为Gromov-T2空间的点的有限个单形的总距离.
2016-05-05 math.MG
When the Gromov-Hausdorff distance between finite-dimensional space and its subset is finite?
本文刻画了有限维欧几里得空间中子集与全空间Gromov-Hausdorff距离有限的条件，即子集为某ε-网，并指出该结论在无穷维情形不成立。
2024-11-20 math.MG
Calculating Gromov-Hausdorff distance by means of asymptotic dimension
本文利用渐近维数计算无界度量空间的Gromov-Hausdorff距离，并证明欧几里得平面与整数格点平面之间的该距离等于其Hausdorff距离。
2025-05-01 math.MG
Geometry of Compact Metric Space in Terms of Gromov-Hausdorff Distances to Regular Simplexes
本文研究了紧度量空间的几何特征，这些特征可以用单形的Gromov-Hausdorff距离来描述，即，到有限度量空间，使得它们的所有非零距离彼此相等。事实证明，这些Gromov-Hausdorff距离依赖于紧度量空间的有限划分的一些几何特征;其中一些特征可以被认为是最小生成树的边长的自然模拟。因此，我们构造了一个意想不到的例子，一个连续族的两两非等距有限度量空间具有相同的距离，所有的单形。
2016-07-22 math.MG
Embeddings to Rectilinear Space and Gromov-Hausdorff Distances
本文证明了有限度量空间能否嵌入$m$维直线空间的问题，可转化为特殊有限度量空间之间的Gromov-Hausdorff距离问题。
2024-12-26 math.MG
Barycenters and a law of large numbers in Gromov hyperbolic spaces
本文研究Gromov双曲空间中概率测度的重心，证明收缩性质、有限均匀分布重心的确定性逼近和大数定律，将CAT(0)空间结果推广至含双曲常数附加项的情形。
2024-06-17 math.MG math.OC math.PR
On the Gromov-Hausdorff distance between the cloud of bounded metric spaces and a cloud with nontrivial stabilizer
本文研究了度量空间在零Gromov-Hausdorff距离下的等价类（云），证明了云是真类，并证明在一定限制下有界度量空间云与具有非平凡稳定子的云之间的距离有限。
2025-05-29 math.MG
The Gromov--Hausdorff Distance between Simplexes and Two-Distance Spaces
本文计算了任意单形（所有非零距离相同的度量空间）和有限度量空间（所谓的$2$ -距离空间）之间的Gromov-Hausdorff距离。作为推论，得到了$2$ -距离空间上广义Borsuk问题的完全解.此外，我们还根据单纯形与由图$G$构造的适当的$2$ -距离空间之间的Gromov-Hausdorff距离，导出了任意图$G$的团覆盖数和色数的计算公式.
2019-07-22 math.GT math.MG
Quantized Gromov-Hausdorff distance
量化度量空间是一个矩阵序单位空间，它具有Rieffel的Lip-norm的算子空间形式。我们在量子化度量空间中发展了量子Gromov-Hausdorff距离的一个算子空间形式。我们证明了两个量化的度量空间是完全等距的当且仅当它们的量化Gromov-Hausdorff距离为零。我们建立了一个完备性定理。作为应用，我们证明了具有1-正合矩阵序单位空间的量化度量空间是矩阵代数关于量化Gromov-Hausdorff距离的极限，并且矩阵代数自然收敛于量化Gromov-Hausdorff距离的球面.
2005-03-29 math.MG math.OA
Computing the Gromov--Hausdorff distance using gradient methods
针对 Gromov–Hausdorff 距离的组合优化难题，本文提出凸多面体上的二次松弛并用条件梯度下降求解，保证得到真实距离，还给出单位圆与单位半球间距离的新界。
2024-05-08 cs.CG math.MG
Who Invented the Gromov-Hausdorff Distance?
度量几何中最美丽的概念之一是Gromov-Hausdorff距离，它度量了两个度量空间之间的差异。为了定义距离，让我们等距地将这些空间嵌入到各种度量空间中，并测量它们的图像之间的Hausdorff距离。最佳匹配对应于最小Hausdorff距离。以这种方式比较度量空间的想法在M.Gromov的出版物中描述，可以追溯到1981年。结果表明，这种距离被限制到紧度量空间的等距类形成了一个度量，现在称为Gromov-Hausdorff度量。然而，M.格罗莫夫是否是第一个引入这个度量的人？事实证明，6年前这些格罗莫夫的作品，在1975年，另一位数学家，即大卫爱德华兹发表了一篇论文，他在其中定义了这种度量的另一种方式。此外，爱德华兹发现并证明了距离的基本性质。这似乎是不公平的，几乎没有人提到这爱德华兹的文件，包括著名的专家在度量几何。本出版物的主要目标是填补这一空白。
2016-12-01 math.DG math.MG
Optimal Transport and Ricci Curvature: Wasserstein Space Over the Interval
本文讨论了测地测度空间上的最优输运的概念和相应的（2-）Wasserstein距离。然后，我们研究位移凸性的熵泛函的空间上的概率测度。特别地，我们给出了广义Ricci界的Lott-Villani-Sturm概念与光滑流形的经典概念一致的详细证明.证明了广义Ricci界在格罗莫夫-豪斯多夫收敛下是保持的。特别是，我们详细研究了空间的概率测度的间隔，$P(X)$配备Wasserstein度量$d^W$。我们表明，这个度量空间是等距的希尔伯特空间，$L^2[0,1]$，这使得具体的计算，相反的通常状态的最优输运理论的事务的一个完全凸的子集。我们明确地证明了$(P(X),d^W)$有消失的Alexandrov曲率，并给出了一个易于工作的表达式，在这个空间上的熵泛函。此外，我们研究有限维Gromov-Hausdorff近似这个空间，并使用这些来构建一个措施的极限空间，熵措施首先考虑冯Renesse和Sturm。我们研究的措施，特别是解释为什么人们会期望它有广义里奇下界的性质。然后，我们表明，这实际上是不正确的。我们还讨论了找到一个不同的措施，承认广义里奇下界的可能性和后果。
2012-04-15 math.DG math.MG math.PR
Local and global visibility and Gromov hyperbolicity of domains with respect to the Kobayashi distance
本文在$\mathbb C^d$中引入局部可见与局部Gromov双曲域概念，证明有界域的局部与全局性质等价，从而可通过边界局部信息检测Gromov双曲性及双全纯映射的连续延拓性。
2023-03-13 math.CV math.MG
Extendability of Metric Segments in Gromov--Hausdorff Distance
本文研究了在等距的所有度量空间类上Gromov-Hausdorff距离的几何。对于这类连续曲线和它们的长度的定义，它表明，Gromov-Hausdorff距离是内在的。此外，考虑度量段，即，位于两个给定点之间的点的类，并考虑了超出其端点的这类线段的扩张问题。
2020-08-26 math.FA math.GN math.MG
Lipschitz (non-)equivalence of the Gromov--Hausdorff distances, including on ultrametric spaces
Gromov-Hausdorff距离度量紧度量空间之间的形状差异。虽然即使将距离近似到任何实际因素也会造成NP困难问题，但其松弛已被证明对几何数据分析中的问题有用，包括点云，流形和图形。我们调查修改后的Gromov-Hausdorff距离，放松的标准距离，保留其许多理论性质，其中包括他们的拓扑等价上的一组丰富的家庭的度量空间。我们证明了这两个距离是Lipschitz等价的任何家庭的度量空间的一致有界的大小，但等价并不成立，一般情况下，即使距离被限制到超度量空间。我们还证明了标准和修改后的Gromov-Hausdorff距离是相等的或在一个因素2从对方时，采取一个定期的单纯形，连接放松到一些著名的问题，在离散几何。
2022-09-09 cs.CG math.MG
The G-Gromov-Hausdorff Distance and Equivariant Topology
Sungkyunkwan University (SKKU)（成均馆大学）；Rutgers University（罗格斯大学）
本文研究了有限群作用下格罗姆-豪斯多夫距离的下界，并通过同调拓扑方法证明了同调刚性定理和球体距离的精确界。
2026-01-28 math.AT math.GT math.MG
Quantitative upper bounds on the Gromov-Hausdorff distance between spheres
本文开发了一种离散框架，用于获取球面间Gromov-Hausdorff距离的上界，首次提供了适用于所有维度对球面的定量界，并确定了圆与高维球面间的精确距离及2-球面到k-球面距离的渐近行为。
2024-08-26 math.AT math.CO math.MG
Sliced Wasserstein distance between probability measures on Hilbert spaces
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
本文提出在无限维Hilbert空间上定义切线Wasserstein距离，并探讨其与测度收敛的关系及经验测度的近似方法。
2025-12-08 math.MG math.OC math.PR
Efficient estimation of the modified Gromov-Hausdorff distance between unweighted graphs
本文提出一种多项式时间算法估计修正Gromov-Hausdorff距离，并在scikit-tda中实现，实验表明其能在多数无标度图上精确计算并有效检测网络异常值。
2024-06-05 cs.CG math.GT math.MG
