Ricci curvature of Markov chains on metric spaces
定义度量空间上马尔可夫链的里奇曲率为作用在具有Wasserstein运输距离的概率测度空间上的随机游动的局部收缩系数.对于黎曼流形上的布朗运动，这给出了切向量的里奇曲率的值。这个定义的正弯曲空间的例子包括离散立方体和离散版本的奥恩斯坦-乌伦贝克过程。此外，这个推广与黎曼流形上带漂移的布朗运动的Bakry-Emery里奇曲率是一致的。正的里奇曲率容易被证明蕴含着一个谱隙、一个Lévy-Gromov型高斯浓度定理和一种修正的对数Sobolev不等式。在几个有趣的例子中，这些界限很尖锐。
2007-07-30 math.MG math.PR
Synthetic notions of Ricci flow for metric measure spaces
该研究在含时度量测度空间中基于最优传输提出多种Ricci流合成概念，证明其可刻画光滑带权Ricci流，并探究非光滑情形下各概念的关联。
2025-01-13 math.DG math.MG
On Interpolation and Curvature via Wasserstein Geodesics
本文给出了$p$ -Wasserstein空间中沿测地线的插值不等式的一个证明.这个插值不等式是证明一般黎曼流形和Finsler流形的Borel-Brascamp-Lieb不等式的主要成分，并导致Lott-Villani和Sturm定义了一个抽象的里奇曲率条件。根据他们的想法，可以定义一个类似的条件，并且对于正弯曲的空间，可以证明庞加莱不等式。利用Gigli最近发展的度量测度空间上的微积分，甚至$q$ -拉普拉斯比较定理在$q$ -无穷小凸空间上也成立。在附录中，发展了Orlicz-Wasserstein空间的理论，并给出了证明这些空间中沿测地线的插值不等式的必要调整。
2014-01-06 math.AP math.DG math.MG
Curvature bounds for configuration spaces
我们证明了流形M上的位形空间继承了流形的许多曲率性质。例如，我们证明了M上的一个里奇曲率下界在Lott-Sturm-Villani、Bochner不等式、梯度估计和Wasserstein压缩意义下对构形空间蕴涵一个里奇曲率下界.此外，我们证明了位形空间上的热流，或无限独立粒子过程，可以被识别为熵的梯度流。
2014-05-22 math.DG math.FA math.MG
Evolution variational inequality and Wasserstein control in variable curvature context
本文继续研究具有可变里奇曲率界的度量测度空间。首先，我们研究了度量空间上的$(κ,N)$ -凸函数，其中$κ$是下半连续函数，以及在一个新的演化变分不等式的意义下的梯度流曲线，该变分不等式捕获了由$κ$提供的信息。然后，在以前的工作的精神Erbar，Kuwada和Sturm \cite{erbarkuwadasturm}，我们引入了熵曲率维数条件$CD^e(κ,N)$的度量测度空间和下半连续$κ$。这个条件是稳定的Gromov收敛，我们证明了等价于减少曲率维数条件$CD^*(κ,N)$提供的空间是非分支。最后，我们在Wasserstein空间上引入了一个关于演化变分不等式的黎曼曲率维数条件。一个结果是一个新的微分Wasserstein收缩估计。
2015-11-08 math.DG math.MG
On the rigidity of Wasserstein contraction along heat flows
本文证明热流 Wasserstein 收缩刚性等价于 Bakry–Émery 梯度估计刚性，并在 RCD 空间与加权流形中推出等号情形的直线分裂及加权欧氏空间刻画。
2025-07-25 math.DG math.MG
Metric measure spaces with Riemannian Ricci curvature bounded from below
本文对度量测度空间（X，d，m）引入了一个综合的RiemannianRicci下界的概念，它在测度格罗莫夫-豪斯多夫收敛下是稳定的，从而排除了Finsler几何.它可以在执行的洛特，斯特姆和维拉尼测地凸性条件的熵耦合的线性热流。除了稳定性之外，它还具有相同的张量化、全局到局部和局部到全局的性质。在RCD（K，\infty）空间中，我们证明了热流（可以等价地刻画为Dirichlet形式的流，也可以刻画为熵的Wasserstein梯度流）满足Wasserstein压缩估计和几个正则性，特别是Bakry-Emery估计和L^ \infty -Lip Feller正则化.我们还证明了由狄利克雷形式引起的距离与d相一致，局部能量测度具有由Cheeger松弛斜率的平方给出的密度，因此，底层的布朗运动具有连续的路径。所有这些结果都是在度量测度结构上独立于Poincaré和加倍假设而得到的，因此也适用于非局部紧的空间，如无限维空间
2012-01-11 math.AP math.DG math.MG
Stability of local Riemannian Ricci curvature lower bounds
Scuola Normale Superiore（比萨高等师范学院）；Università di Napoli Federico II（那不勒斯费德里科二世大学）
该研究证明局部黎曼-里奇曲率下界沿格罗莫夫-豪斯多夫收敛的稳定性，通过拉格朗日方法推导弱梯度平行四边形恒等式的稳定性，得到欧氏弱切向量几乎处处存在等应用。
2026-07-30 math.DG math.FA math.MG
Timelike Ollivier-Ricci curvature
EPFL（洛桑联邦理工学院）
本文在洛伦兹几何中引入余维数为1的粗Ricci曲率构造，通过1-Lorentz-Wasserstein距离和Moser型流恢复类时方向上的Ricci曲率及Bakry-Émery张量，呼应Raychaudhuri方程。
2026-09-17 gr-qc math.DG math.MG
Lagrangian calculus for nonsymmetric diffusion operators
利用熵的凸性在$L^2$空间上刻画了非对称扩散算子的Bakry-Emery Ricci张量的下界，并定义了一般度量测度空间的曲率维数条件和\cite{giglinonsmooth}意义下的平方可积$1$ -形式.这推广了Lott-Sturm-Villani方法对度量测度空间的Ricci曲率下界的研究。在广义光滑的情况下，后果是新的Bishop-Gromov估计，预紧测量格罗莫夫-豪斯多夫收敛，和Bonnet-Myers定理，推广以前的结果Kuwada \cite{kuwadamaximaldiameter}。我们证明了$N$ -翘曲积与提升向量场一起满足曲率维数条件。对于光滑黎曼流形，我们得到了非对称扩散算子对偶半群的一个发展变分不等式和压缩估计。Kuwada \cite{kuwadaduality, kuwadaspacetime}的另一个定理给出了Bakry-Emery梯度估计。
2017-02-08 math.DG math.MG math.PR
Non-branching geodesics and optimal maps in strong CD(K,{\infty})-spaces
我们证明了在度量测度空间中，熵泛函是K-凸沿每个Wasserstein测地线之间的任何最优输运两个绝对连续的措施，有限的二阶矩生活在一个非分支的测地线集。作为推论，我们得到在这些空间中，任何两个具有有限二阶矩的绝对连续测度之间只存在一个最优输运计划，并且该计划由一个映射给出。这些结果适用于Ricci曲率下有界的度量测度空间，特别是Ricci曲率下有界的黎曼流形的Gromov-Hausdorff极限.
2013-07-15 math.DG math.MG
Optimal transport and timelike lower Ricci curvature bounds on Finsler spacetimes
本文利用 q-Lorentz-Wasserstein 最优输运与概率测度 q-测地线，证明 Finsler 时空在加权 Ricci 曲率类时下界条件下满足 TCD_q(K,N)，并导出尖锐类时 Brunn-Minkowski 不等式。
2023-05-07 gr-qc math.DG math.MG
Comparison estimates on nonsmooth spaces with integrable Ricci lower bounds via localization
University of Warwick（华威大学）
本文通过局部化方法，在具有可积 Ricci 下界的度量测度空间上推广了 Bishop-Gromov 比较、Myers 直径估计和 Cheng 比较原理，获得了几何与函数不等式。
2025-10-06 math.DG math.MG
Convergence of pointed non-compact metric measure spaces and stability of Ricci curvature bounds and heat flows
本文讨论了点度量测度空间在没有紧性条件下的收敛性。我们提出了各种定义，证明了它们都是等价的，并且对于加倍空间，它们也等价于著名的测度-格罗莫夫-豪斯多夫收敛.然后，我们表明，曲率条件$CD(K,\infty)$和$RCD(K,\infty)$是稳定的，在这个概念下的收敛和热流传递到极限，以及在Wasserstein和$L^2$ -框架。我们还证明了在自然适应$Γ$ -Mosco意义下的Cheeger能量的变分收敛性和在空间一致有界或满足$RCD(K,\infty)$条件和$K>0$的情况下Laplacian谱的收敛性。当应用到黎曼流形，我们的结果允许序列的发散尺寸。
2013-11-19 math.AP math.DG math.FA
Wasserstein Barycenter Convexity Detects Hilbertian Geometry
School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）；School of Mathematical Sciences, University of Science and Technology of China（中国科学技术大学数学科学学院）
证明Boltzmann熵在Wasserstein重心处的凸性足以区分Hilbert空间与一般Banach空间，从而提供内蕴的最优传输测试。
2026-06-29 math.FA math.MG
Self-improvement of the Bakry-Émery condition and Wasserstein contraction of the heat flow in RCD(K,\infty) metric measure spaces
本文证明了RCD（K，\infty）度量测度空间（X，d，m）中的线性热流关于每个L^p-Kantorovich-Rubinstein-Wasserstein距离都满足收缩性质.特别地，我们得到了两个基本解之间的最优W_ \infty -耦合关于初始点距离的精确估计.这个结果是（X，d，m）中正则Cheeger-Dirichlet型的RCD（K，\infty）Ricci下界与相应的Bakry-Émery条件之间等价的结果.关键的工具是扩展到非光滑的度量措施设置的巴克里的论点，这使得能够提高之间的交换估计的马尔可夫半群和Carré du Champ相关联的狄利克雷形式。这种扩展是基于一个新的先验估计和一个容量参数的定期和紧狄利克雷形式是独立的利益。
2013-05-17 math.AP math.FA math.MG
First and second moments for self-similar couplings and Wasserstein distances
我们研究方面的Wasserstein距离的自相似措施的背景下。计算这两个措施之间的距离涉及到最小化某些时刻积分的空间\emph{couplings}，这是措施的积空间与原始措施作为规定的边缘。本文主要研究单位区间上由两个映射组成的满足开集条件的等压缩迭代函数系统的自相似测度。我们特别感兴趣的是了解的限制家庭的\emph{self-similar}耦合和我们的主要成就是明确计算的一阶和二阶矩积分等耦合。我们表明，这个家庭是足以产生一个明确的公式，第一Wasserstein距离，并提供非平凡的上限和下界的第二Wasserstein距离。
2014-01-28 math.FA math.MG math.OC
Uniqueness on average of large isoperimetric sets in noncompact manifolds with nonnegative Ricci curvature
该研究在具有非负Ricci曲率、欧几里得体积增长和二次曲率衰减的非紧完备黎曼流形中，证明了大体积等周集在体积趋于无穷时的平均唯一性及边界严格保体积稳定性，并构造反例说明无法对所有大体积都成立唯一性或严格稳定性。
2025-02-24 math.DG math.MG
Interpolated measures with bounded density in metric spaces satisfying the curvature-dimension conditions of Sturm
我们在概率测度的Wasserstein空间中构造测地线，沿着该测地线，所有测度的密度都有一个由测地线端点的密度决定的上界。使用这些测地线，我们表明，一个局部Poincaré不等式和措施的收缩性质遵循的里奇曲率界定义的Sturm。我们还证明了一个大类的凸泛函，一个局部Poincaré不等式隐含的功能的弱位移凸性。
2011-11-23 math.AP math.DG math.FA
Isometric study of Wasserstein spaces --- the real line
最近Kloeckner描述的结构等距群的二次Wasserstein空间$\mathcal{W}_2\left(\mathbb{R}^n\right)$。结果表明，在存在奇异等距流的意义上，实数线的情况是例外的。按照这条调查线，我们计算$\mathrm{Isom}\left(\mathcal{W}_p(\mathbb{R})\right)$，等距组Wasserstein空间$\mathcal{W}_p(\mathbb{R})$的所有$p \in [1, \infty)\setminus\{2\}$。我们表明，$\mathcal{W}_2(\mathbb{R})$也是例外的参数$p$：$\mathcal{W}_p(\mathbb{R})$是等距刚性的当且仅当$p\neq 2$。关于底层空间，我们证明了$p=2$的例外性消失，如果我们取代$\mathbb{R}$的紧区间$[0,1]$。令人惊讶的是，在这种情况下，$\mathcal{W}_p\left([0,1]\right)$是等距刚性的，当且仅当$p\neq1$。此外，$\mathcal{W}_1\left([0,1]\right)$允许分裂质量的等距，并且$\mathrm{Isom}\left(\mathcal{W}_1\left([0,1]\right)\right)$不能嵌入到$\mathrm{Isom}\left(\mathc…
2020-02-03 math-ph math.FA math.MG
Calculus and heat flow in metric measure spaces and applications to spaces with Ricci bounds from below
本文致力于对热流的更深入理解以及度量测度空间（X，d，m）上微积分工具的改进。我们的主要结果是：--一般地研究了度量空间（X，d）中的Hopf-Lax半群与Hamilton-Jacobi方程之间的关系。- 证明了L^2（X，m）中由适当的Dirichlet能量产生的热流与概率测度P（X）空间中相对熵泛函的Wasserstein梯度流的等价性. - 索伯列夫空间W^{1，2}（X，d，m）中Lipschitz函数能量稠密性的证明- 与最优输运问题有关的一大类Kantorovich势的可微性的精细和非常一般的分析。我们的结果特别适用于满足Lott & Villani [30]和Sturm [39，40]意义下的里奇曲率界的空间，并且既不需要加倍性质，也不需要局部Poincaré不等式的有效性.
2012-09-07 math.AP math.FA math.MG
Isometric rigidity of the Wasserstein space over the plane with the maximum metric
本文研究了配备最大范数度量的分支空间上的 $p$-Wasserstein 空间，证明了对所有 $p\geq1$ 这些空间均具有等距刚性，并揭示了其与欧氏度量及一维情况在刚性上的显著差异。
2025-05-21 math-ph math.FA math.MG
Characterization of Low Dimensional $RCD^*(K,N)$ spaces
本文利用\emph{non-empty}一维正则集给出了满足综合Riemann里奇曲率下界的度量测度空间（称为$RCD^*(K,N)$空间）的特征.特别地，我们证明了具有$Ric \ge K$和豪斯多夫维数$N$的Ricci极限空间类与$RCD^*(K,N)$空间类对于$N < 2$是重合的（它们可以是完备区间或圆）.我们还将证明一个Bishop-Gromov型不等式（也就是说，粗略地说，与Lévy-Gromov的等周不等式相反，以前只知道Ricci极限空间），这可能也是独立的兴趣。
2016-07-28 math.MG
Improved geodesics for the reduced curvature-dimension condition in branching metric spaces
本文证明了在满足约化曲率维数条件CD*（K，N）的度量测度空间中，对于中间时刻，在满足CD*（K，N）的临界凸性不等式的概率测度的Wasserstein空间中总是存在测地线，并且沿着这些测地线的测度的密度有一个上界.这个上界依赖于端点测度的密度的界、Ricci曲率的下界K、维数的上界N以及端点测度的支集的并集的直径。
2012-02-29 math.AP math.DG math.FA
Contraction and regularizing properties of heat flows in metric measure spaces
我们说明了一些新的收缩和正则化性质的热流度量测度空间，强调Hellinger-Kakutani，Kantorovich-Wasserstein和Hellinger-Kantorvich距离之间的相互作用。Hellinger-Kakutani距离的收缩性质和一般的Csiszár发散在任意度量-测度空间中成立，并且不需要对流的线性性进行假设。当涉及较弱的运输距离，我们将表明，收缩和正则化效应依赖于距离的对偶公式，并严格相关的设置$RCD(K,\infty)$度量测度空间的里奇曲率下界。
2019-04-22 math.AP math.MG
Displacement convexity of Boltzmann's entropy characterizes the strong energy condition from general relativity
本文将黎曼流形中里奇曲率下界与熵的测地凸性之间的对应关系推广到洛伦兹时空，证明 Hawking-Penrose 强能量条件等价于 Boltzmann-Shannon 熵在洛伦兹距离分数次幂诱导的概率测度空间中的测地凸性，为在非光滑时空中研究强能量条件奠定基础。
2023-09-23 math-ph math.DG math.MG
Generalized products and Lorentzian length spaces
本文在区间与度量空间的乘积上构造洛伦兹长度空间，研究度量与因果几何关系，并在对数-利普希茨条件下恢复推升性质，建立全局双曲性条件及类时里奇曲率下界，获得强能量条件下的分裂刚性。
2023-11-17 math-ph math.DG math.MG
