A note for Gromov's distance functions on the space of mm-spaces
Kei Funano
这只是给\cite [第$3{1/2}_+$章]{gromov}的注释。也许这个注释对于了解度量几何的读者来说是显而易见的。我希望有人在这个方向上进一步研究。
This is just a note for \cite[Chapter$3{1/2}_+$]{gromov}. Maybe this note is obvious for a reader who knows metric geometry. I wish that someone study further in this direction.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Notes on Pointed Gromov-Hausdorff Convergence
本文针对的是开始使用（指向）格罗莫夫-豪斯多夫收敛的每个人。主要介绍并研究了紧度量空间和点度量空间的格罗莫夫-豪斯多夫收敛。讨论了格罗莫夫-豪斯多夫收敛与极限之间的关系。
Gromov-Hausdorff distance with boundary and its application to Gromov hyperbolic spaces and uniform spaces
本文引入了带边界的Gromov-Hausdorff距离的概念，记为$d_{GHB}$，从而构造了非完备度量空间的收敛框架.证明了一类直径有界的有界$A$ -一致空间是关于$d_{GHB}$的完全度量空间.作为应用，在适当的收敛性概念和假设下，我们证明了Gromov双曲性的稳定性，Gromov双曲空间的粗星形性质，一致化，拟双曲化和边界.
Lectures on Hausdorff and Gromov-Hausdorff Distance Geometry
该课程于2019年秋季在北京大学开设。主要内容包括：（1）一般拓扑学、超空间、度量与伪度量空间、图论。(2)度量空间中的图，最小生成树，Steiner最小树，Gromov最小填充。(3)Hausdorff距离，Vietoris拓扑，极限理论，完备性继承，完全有界性，超空间紧性。(4)Gromov-Hausdorff距离，三角不等式，紧空间等距类的正定性，有界紧空间的反例。(5)可分空间在\ell_\有限空间中的等距像的Gromov-Hausdorff距离，对应，对应的Gromov-Hausdorff距离。(6)Epsilon-isometries和Gromov-Hausdorff距离(7)不可约对应和Gromov-Hausdorff距离(8)格罗莫夫-豪斯多夫收敛，当格罗莫夫-豪斯多夫收敛时度量和拓扑性质的继承. (9)Gromov-T2空间（GH-空间），最优对应，紧度量空间的闭最优对应的存在性，GH-空间是测地的。(10)GH-空间的覆盖数、堆积数、完全有界性、完备性和可分性。(11)用到单形的GH-距离表示的mst-谱，GH-空间中的Steiner问题。(12)到多点单形的GH-距离，到至多相同点数单形的GH-距离。(13)广义Borsuk问题，广义Borsuk问题的GH-距离解，简单图的团覆盖数和色数，它们的对偶，用GH-距离计算这些数。
Gromov-Hausdorff Distance Between Segment and Circle
我们计算了欧氏平面上一条线段和一个圆之间的Gromov-Hausdorff距离。为此，我们引入了一些新的概念，如圆空间和度量空间的非线性度。
A note on the equivalence of Gromov boundary and metric boundary
本文引入了准双曲可见空间的概念，探讨了格罗莫夫边界与度量边界的联系。
Pointed Gromov-Hausdorff Distance between $l^p$-Wedge Sums and Isometric Embeddings of $l^\infty$
本文研究$l^p$-楔和的有向格罗莫夫-豪斯多夫距离并给出双侧估计，还证明了$l^\fty$可等距嵌入到非空度量空间构成的格罗莫夫-豪斯多夫空间中。
Realizations of Gromov-Hausdorff Distance
证明了对任意两个紧度量空间，存在一个“最佳”对应，在该对应处达到Gromov-Hausdorff距离.每一个这样的对应关系产生这些空间到一个紧凑的度量空间的等距嵌入，使得初始空间之间的Gromov-Hausdorff距离等于它们的图像之间的Hausdorff距离。此外，最优对应可以用于构造Gromov-T2空间中的最短曲线，其方式与Alexander Ivanov，Nadezhda Nikolaeva和Alexey Tuzhilin在arXiv：1504.03830中所做的完全相同，其中证明了Gromov-T2空间是测地线。请注意，本文中的所有证明都是初等的，只使用了紧性的概念。
Classical and continuous Gromov-Hausdorff distances
本文研究了格罗莫夫-豪斯多尔距离的连续性要求，证明了下半连续性时得到经典距离，而上半连续性仅在空间总界或有界紧致时与经典距离一致。
Metric Space Recognition by Gromov-Hausdorff Distances to Simplexes
本文研究了利用到单纯形的Gromov-Hausdorff距离区分有界度量空间，给出了距离非零却不可区分的实例，并证明了不可区分的充分和必要条件。
The Gromov-Hausdorff Distances between Simplexes and Ultrametric Spaces
本文研究了有界度量空间$X$与所谓的单纯形之间的Gromov-Hausdorff距离，所有非零距离都相同的度量空间。在单形的基数不超过$X$的基数的情况下，得到了一个新的距离公式。后者允许导出一个精确的公式之间的距离单纯形和超度量空间。
Gromov-Hausdorff distances between normed spaces
本文研究实赋范空间间的Gromov-Hausdorff距离，证明有限距离蕴含等距，并进一步证明每个有限维赋范空间与所有非等距赋范空间的距离均为无穷大。
Calculation of Minimum Spanning Tree Edges Lengths using Gromov--Hausdorff Distance
在本文中，我们展示了如何可以计算的最小生成树的边的长度构造一个有限的度量空间，从这个空间的Gromov-Hausdorff距离足够大的直径的单形。这里的单形是指有限的度量空间，它们的非零距离都是相同的。作为应用，我们把寻找Steiner最小树长或最小填充长度的问题归结为最大化作为Gromov-T2空间的点的有限个单形的总距离.
When the Gromov-Hausdorff distance between finite-dimensional space and its subset is finite?
本文刻画了有限维欧几里得空间中子集与全空间Gromov-Hausdorff距离有限的条件，即子集为某ε-网，并指出该结论在无穷维情形不成立。
Calculating Gromov-Hausdorff distance by means of asymptotic dimension
本文利用渐近维数计算无界度量空间的Gromov-Hausdorff距离，并证明欧几里得平面与整数格点平面之间的该距离等于其Hausdorff距离。
Geometry of Compact Metric Space in Terms of Gromov-Hausdorff Distances to Regular Simplexes
本文研究了紧度量空间的几何特征，这些特征可以用单形的Gromov-Hausdorff距离来描述，即，到有限度量空间，使得它们的所有非零距离彼此相等。事实证明，这些Gromov-Hausdorff距离依赖于紧度量空间的有限划分的一些几何特征;其中一些特征可以被认为是最小生成树的边长的自然模拟。因此，我们构造了一个意想不到的例子，一个连续族的两两非等距有限度量空间具有相同的距离，所有的单形。
Embeddings to Rectilinear Space and Gromov-Hausdorff Distances
本文证明了有限度量空间能否嵌入$m$维直线空间的问题，可转化为特殊有限度量空间之间的Gromov-Hausdorff距离问题。
On the Gromov-Hausdorff distance between the cloud of bounded metric spaces and a cloud with nontrivial stabilizer
本文研究了度量空间在零Gromov-Hausdorff距离下的等价类（云），证明了云是真类，并证明在一定限制下有界度量空间云与具有非平凡稳定子的云之间的距离有限。
Calculating Gromov-Hausdorff Distance by means of Borsuk Number
本文的目的是证明Gromov-Hausdorff距离的性质和Borsuk猜想之间的联系。给定有界度量空间$X$的Borsuk数是基数$n$的下确界，使得$X$可以被划分为$n$更小的部分（在直径的意义下）。在有界度量空间的直径和基数分别小于另一个空间的直径和Borsuk数的假设下，得到了有界度量空间之间Gromov-Hausdorff距离的一个精确公式.利用Lusternik-Schnirelmann问题与Borsuk问题之间的Bacon等价性的结果，得到了几个推论.
The Gromov-Hausdorff distance between $l^p$-products of metric spaces
本文研究了度量空间 $l^p$-乘积的 Gromov-Hausdorff 距离，证明了 $l^\infty$-乘积与原空间的 Gromov-Hausdorff 距离等于直径的一半。
Geodesic in the Gromov-Hausdorff class for which the real line is an interior point
本文在Gromov-Hausdorff类中构造了一条测地线，其内点包含带自然度量的实数直线，解决了该空间中的测地线存在性问题。
Estimates of Gromov's box distance
1999年，M. Gromov在所有mm-空间的空间上引入了盒距离函数$\sikaku$。本文采用T. H.冷却（cf. \cite [引理5.10]{Colding}），我们估计$\sikaku(\mathbb{S}^n,\mathbb{S}^m)$和$\sikaku (\mathbb{C}P^n, \mathbb{C}P^m)$，其中$\mathbb{S}^n$是$\mathbb{R}^{n+1}$中的$n$维单位球面，而$\mathbb{C}P^n$是配备有Fubini-Study度量的$n$维复投影空间。在particular，我们给出了完整的答案练习格罗莫夫的绿皮书（cf. \cite [第$3{1/2}.18$节]{gromov}）。我们还从下面估计了$\sikaku \big(SO(n), SO(m)\big)$，其中SO（n）是特殊正交群。
Gromov-Hausdorff distance and Jung constant of finite-dimensional normed spaces
研究有限维赋范空间\(V\)及与\(V\)有有限豪斯多夫距离的子集\(X\)，通过证明得出\(X\)与\(V\)的格罗莫夫 - 豪斯多夫距离和豪斯多夫距离、容格常数的关系，特定条件下有更强结论。
A note on Gromov-Hausdorff-Prokhorov distance between (locally) compact measure spaces
给出了紧度量空间集合上的Gromov-Hausdorff度量的一个推广：紧度量空间集合上的Gromov-Hausdorff-Prokhorov度量.然后，我们将其扩展到非紧的情况下，通过描述一个度量的一组根完整的局部紧长度空间赋予一个局部有限的措施。我们证明了这个具有扩展的Gromov-Hausdorff-Prokhorov度量的空间是一个Polish空间。这种推广需要定义Lévy树，Lévy树是（可能是无界的）赋予局部有限测度的随机实树。
Comparison Results for Gromov-Wasserstein and Gromov-Monge Distances
本文从理论上比较了 Gromov-Monge（GM）距离与 Gromov-Wasserstein（GW）距离，证明了非原子度量测度空间上两者相等，并建立了 GM 距离与欧氏空间中等距不变 Monge 最优传输距离的双向 Hölder 等价性。
Embedding-Projection Correspondences for the estimation of the Gromov-Hausdorff distance
本文提出嵌入-投影对应（EPCs）用于估计紧度量空间之间的Gromov-Hausdorff距离，并重点研究不同维度球面之间的EPCs。
Guaranteeing Hausdorff-Gromov-Hausdorff Equality for Metric Graphs
该数学研究证明，当度量图与子集的Hausdorff距离满足特定可达条件、且Gromov-Hausdorff距离不超过图收缩率时，二者数值相等。
Quasi-isometric modification of Gromov-Hausdorff distance
本文定义了一种类似于Gromov-Hausdorff距离的距离，用于比较任意拟等距空间，并研究了在该距离下极限保持的性质以及全体度量空间类赋予该距离后的性质。
Gromov--Hausdorff Distance, Irreducible Correspondences, Steiner Problem, and Minimal Fillings
我们引入不可约的对应，使我们能够有效地计算Gromov-Hausdorff距离。通过这些对应，我们证明了在赋最大范数的空间$R^3$中，由不超过$3$点组成的度量空间的集合与多面体锥等距.证明了对于任何$3$ -点度量空间，如果所有的三角不等式在其中都是严格的，则存在一个邻域，使得以该邻域为边界的Steiner极小树（在Gromov-T2空间中）是极小填充，即，不可能通过等距地将这些树的边界嵌入到任何其它周围度量空间中来减小这些树的长度。另一方面，我们构造了一个$3$ -点边界的例子，它的点是$3$ -点度量空间，使得它在Gromov-T2空间中的Steiner极小树不是极小填充.后者证明了T2空间的Steiner子比小于1。不可约对应使我们能够创建一个快速算法来计算有限度量空间之间的Gromov-Hausdorff距离。我们进行了数值实验，并获得了更精确的上估计的Steiner子比：我们已经表明，它是小于$0.857$。
Clouds in Gromov-Hausdorff Class: their completeness and centers
本文研究了所有具有Gromov-Hausdorff距离的度量空间的真类.它的最大子类，由彼此之间有限距离的空间组成，我们称之为云。将度量空间中的所有距离乘以同一个正实数，得到Gromov-Hausdorff类的一个相似变换。在我们以前的工作中，我们观察到，通过这种转变，一些云可以跳到其他云。为了描述这种现象，我们研究了相似作用的稳定剂。在本文中，我们证明了每个具有非平凡稳定子的云都有一个中心，即，一个度量空间，对于该度量空间，来自稳定器的所有相似性在零距离处生成一个新的空间。此外，中心是模零距离唯一的。证明是基于云完备性定理。
Gromov-Hausdorff distance and stability of dynamical systems
本文引入F-空间概念与对应的格罗莫夫-豪斯多夫距离，定义动力系统间的新距离，证明其保持两类稳定性，研究豪斯多夫映射性质，还改进距离并计算环面平移的精确距离。
Gromov-Hausdorff distances between quotient metric spaces
本文研究群作用下度量空间及其商空间之间Hausdorff距离与Gromov-Hausdorff距离的关系，证明前者在G-不变子集上保持相等，而后者可被构造得任意大或任意小。
Fundamentals of Theory of Continuous Gromov--Hausdorff distance
本文研究了考虑拓扑差异的连续Gromov-Hausdorff距离，证明其在保持经典性质的同时具有不完整性，并探讨了拓扑维度的作用。
Compactness theorems for the spaces of distance measure spaces and Riemann surface laminations
本文给出了度量空间中Gromov紧性定理的一个推广，更确切地说，我们给出了距离测度空间中具有\emph{generalised Gromov-Hausdorff-Levi-Prokhorov distance}的紧性定理.利用这个结果，我们证明了Deligne-Mumford紧化是广义Gromov-Hausdorff-Levi-Prokhorov距离下Riemann曲面的模空间的完备化.进一步证明了Riemann曲面叠层空间的一个紧性定理。
Rough isometry between Gromov hyperbolic spaces and uniformization
本文证明了：给定两个完备测地Gromov双曲空间，它们是大致等距的和$\varepsilon>0$，或者这两个空间的带参数$\varepsilon$的一致化得到一致域，或者两个一致化空间都不是一致域.“一致化”的术语来自Bonk，Heinonen和Kokhena的工作，其中证明了具有参数$\varepsilon>0$的完全测地Gromov双曲空间的一致化，如果$\varepsilon$足够小，则会导致一致域。
Lower Bounding the Gromov--Hausdorff distance in Metric Graphs
本文在度量图中通过拓扑障碍证明Gromov-Hausdorff距离下界等于Hausdorff距离，并确定了最佳常数π/3。
Density of generic metric spaces in the Gromov--Hausdorff class
本文证明了一般度量空间在所有赋Gromov-Hausdorff距离的度量空间的真类中处处稠密。
The Gromov--Hausdorff Distance between Simplexes and Two-Distance Spaces
本文计算了任意单形（所有非零距离相同的度量空间）和有限度量空间（所谓的$2$ -距离空间）之间的Gromov-Hausdorff距离。作为推论，得到了$2$ -距离空间上广义Borsuk问题的完全解.此外，我们还根据单纯形与由图$G$构造的适当的$2$ -距离空间之间的Gromov-Hausdorff距离，导出了任意图$G$的团覆盖数和色数的计算公式.
Quantized Gromov-Hausdorff distance
量化度量空间是一个矩阵序单位空间，它具有Rieffel的Lip-norm的算子空间形式。我们在量子化度量空间中发展了量子Gromov-Hausdorff距离的一个算子空间形式。我们证明了两个量化的度量空间是完全等距的当且仅当它们的量化Gromov-Hausdorff距离为零。我们建立了一个完备性定理。作为应用，我们证明了具有1-正合矩阵序单位空间的量化度量空间是矩阵代数关于量化Gromov-Hausdorff距离的极限，并且矩阵代数自然收敛于量化Gromov-Hausdorff距离的球面.
Hausdorff Realization of Linear Geodesics of Gromov-Hausdorff Space
本文构造了Gromov-T2空间中直线测地线的一种实现（在~ \cite{Memoli2018}意义下），作为一条相对于T2空间的最短测地线。周围度量空间中Hausdorff距离。
Who Invented the Gromov-Hausdorff Distance?
度量几何中最美丽的概念之一是Gromov-Hausdorff距离，它度量了两个度量空间之间的差异。为了定义距离，让我们等距地将这些空间嵌入到各种度量空间中，并测量它们的图像之间的Hausdorff距离。最佳匹配对应于最小Hausdorff距离。以这种方式比较度量空间的想法在M.Gromov的出版物中描述，可以追溯到1981年。结果表明，这种距离被限制到紧度量空间的等距类形成了一个度量，现在称为Gromov-Hausdorff度量。然而，M.格罗莫夫是否是第一个引入这个度量的人？事实证明，6年前这些格罗莫夫的作品，在1975年，另一位数学家，即大卫爱德华兹发表了一篇论文，他在其中定义了这种度量的另一种方式。此外，爱德华兹发现并证明了距离的基本性质。这似乎是不公平的，几乎没有人提到这爱德华兹的文件，包括著名的专家在度量几何。本出版物的主要目标是填补这一空白。
On $p$-metric spaces and the $p$-Gromov-Hausdorff distance
对于每个给定的$p\in[1,\infty]$，我们研究了所有紧度量空间$\mathcal{M}$的集合的某些子族$\mathcal{M}_p$，其特征在于满足三角不等式的加强形式，其中包括，例如，超度量空间满足的强三角不等式。我们在$\mathcal{M}_p$上确定了一类单参数的Gromov-Hausdorff类距离$\{d_{\mathrm{GH}}^{\scriptscriptstyle{(p)}}\}_{p\in[1,\infty]}$，并研究了这些距离的几何和拓扑性质以及某些正则投影$\mathfrak{S}_p:\mathcal{M}\rightarrow \mathcal{M}_p$的稳定性.对于所有紧超度量空间的集合$\mathcal{U}$，它对应于$\mathcal{M}_p$族的情形$p=\infty$，我们研究了一个单参数交错型距离族，并揭示了它们与$\{d_{\mathrm{GH}}^{\scriptscriptstyle{(p)}}\}_{p\in[1,\infty]}$的关系.
Local and global visibility and Gromov hyperbolicity of domains with respect to the Kobayashi distance
本文在$\mathbb C^d$中引入局部可见与局部Gromov双曲域概念，证明有界域的局部与全局性质等价，从而可通过边界局部信息检测Gromov双曲性及双全纯映射的连续延拓性。
Characterizations of metric trees and Gromov hyperbolic spaces
在最近的一份文件Chatterji和Niblo证明，测地线度量空间是Gromov双曲当且仅当任何两个封闭的交叉球有一致有界偏心率。在他们的论文中，作者提出了这样一个问题：具有任意两个闭球的交具有偏心率为0的性质的测地线度量空间是否必然是实树。本说明的目的是肯定地回答这个问题。我们还部分地改进了Chatterji和Niblo的主要结果表明，已经次线性偏心率意味着Gromov双曲。
The ultrametric Gromov-Wasserstein distance
本文研究了紧致超度量测度空间，它构成所有度量测度空间$\mathcal{M}^w$的集合的子集$\mathcal{U}^w$.类似于超度量空间$\mathcal{U}$集合上的超度量Gromov-Hausdorff距离，我们在$\mathcal{U}^w$上定义了两个度量的超度量版本，即$p$阶的Sturm距离和$p$阶的Gromov-Wasserstein距离.我们研究了这些距离的基本拓扑和几何性质以及它们之间的关系，并为$p=\infty$导出了计算它们的多项式时间算法。此外，几个下界的距离推导和我们的一些结果推广到有限的超相异度空间的情况。
Every Compact Metric Space Is Isometrically Embeddable into the Gromov-Hausdorff Space
本文证明每个非空紧致度量空间均可等距嵌入Gromov-Hausdorff空间，通过将1-Lipschitz函数族实现为Cantor空间上的度量族，并给出有限逼近与精确距离公式。
Computing the Gromov--Hausdorff distance using gradient methods
针对 Gromov–Hausdorff 距离的组合优化难题，本文提出凸多面体上的二次松弛并用条件梯度下降求解，保证得到真实距离，还给出单位圆与单位半球间距离的新界。
Lipschitz (non-)equivalence of the Gromov--Hausdorff distances, including on ultrametric spaces
Gromov-Hausdorff距离度量紧度量空间之间的形状差异。虽然即使将距离近似到任何实际因素也会造成NP困难问题，但其松弛已被证明对几何数据分析中的问题有用，包括点云，流形和图形。我们调查修改后的Gromov-Hausdorff距离，放松的标准距离，保留其许多理论性质，其中包括他们的拓扑等价上的一组丰富的家庭的度量空间。我们证明了这两个距离是Lipschitz等价的任何家庭的度量空间的一致有界的大小，但等价并不成立，一般情况下，即使距离被限制到超度量空间。我们还证明了标准和修改后的Gromov-Hausdorff距离是相等的或在一个因素2从对方时，采取一个定期的单纯形，连接放松到一些著名的问题，在离散几何。
Submanifolds and differential forms on Carnot manifolds, after M. Gromov and M. Rumin
这些笔记的目的是根据M.鲁明在Gromov提供的丰富材料中，其中大部分涉及度量空间的分析，我们选择集中在卡诺流形的H{<$}lder等价问题上。这些注释在一定程度上涉及到Gromov为了构造水平子流形而使用的PDE技术。Rumin的复杂性也得到了解释。其结果是，这两种方法产生或多或少相同的结论，就H{<$}lder等价问题而言。
Matricial quantum Gromov-Hausdorff distance
在算子系统和有单位的C* 代数的背景下，我们在紧致量子度量空间中建立了Rieffel的Gromov-Hausdorff距离的矩阵形式.我们的方法产生一个度量空间的“isometric”的unital完整的序同构类的度量化的运营商系统，在许多情况下表现出相同的收敛性能的量子度规设置，例如在Rieffel的近似领域的矩阵代数使用Berezin量子化。在度量化单位C* 代数-代数的度量子空间内，我们建立了Cauchy序列关于较大Leibniz距离的收敛性，并证明了类似于Gromov和Rieffel的预紧性定理.
Path Connectivity of Spheres in the Gromov-Hausdorff Class
本文主要研究了所有度量空间和所有有界度量空间类上的Gromov-Hausdorff距离的几何性质。主要关注的是传递连接问题。描述了所有度量空间的Gromov-Hausdorff类的通连通分支，并在几种特殊情况下证明了球面的通连通性.
Gromov-Hausdorff class: its completeness and cloud geometry
本文主要研究Gromov-Hausdorff真类，它由直到等距的所有度量空间组成。在这一类中，一个广义Gromov-Hausdorff伪度量的引入和由此产生的空间的几何进行了研究。第一个主要结果是空间完备性的证明，即，证明了所有的基本序列都收敛于其中，然后将空间划分为由彼此相距有限距离的空间组成的极大真子类。我们把这样的子类称为云。乘法相似性组对云进行操作，将每个度量空间的所有距离乘以某个正数。我们提出的相似性映射的例子转移到另一个云。我们还表明，如果一个云包含一个空间，在所有相似性的作用下，它与自己保持零距离，那么这样的云收缩到这个空间。在最后一部分中，我们调查的子集的实数线就其行为下的各种相似性。
Solution to Generalized Borsuk Problem in Terms of the Gromov-Hausdorff Distances to Simplexes
本文研究了广义Borsuk问题：给定的有界度量空间$X$能否划分成给定数目的$m$（可能是无限个）子集，每个子集的直径小于$X$？我们给出了一个完整的答案，这个问题的Gromov-Hausdorff距离从$X$到一个单形的基数$m$和直径小于$X$。这里的单纯形是一个度量空间，所有的非零距离都是相同的。
Gromov--Hausdorff Distance to Simplexes
出现在Gromov-Hausdorff距离公式中的度量空间的几何特征，从这些空间到所谓的单形，即，到度量空间，研究了所有非零距离相同的度量空间。相应的计算基本上使用这些空间的分区的几何形状。在有限情形下，给出了最小生成树的长度。对于紧度量空间，以前也有类似的理论。本文将这些结果推广到任何有界度量空间，并简化了一些证明。
Geometry of Non-Archimedean Gromov-Hausdorff distance
本文研究了非阿基米德Gromov-Hausdorff度量的几何。这是我们系列工作的第一部分，我们试图在非阿基米德空间中建立一些关于Gromov-Hausdorff度量的对应的事实。本文的动机之一是通过p-adic分析来发现这种几何和数论之间的一些隐含关系，以便我们可以将前者作为研究相关算术方面的工具。
Extendability of Metric Segments in Gromov--Hausdorff Distance
本文研究了在等距的所有度量空间类上Gromov-Hausdorff距离的几何。对于这类连续曲线和它们的长度的定义，它表明，Gromov-Hausdorff距离是内在的。此外，考虑度量段，即，位于两个给定点之间的点的类，并考虑了超出其端点的这类线段的扩张问题。
A Lorentzian Gromov-Hausdoff notion of distance
本文是我研究（紧）整体双曲时空（有边界）等距类的模空间的三篇论文中的第一篇。引入Gromov-Hausdorff距离的概念，使这个模空间成为度量空间。这个度量空间的进一步性质将在接下来的论文中研究。这项工作的重要性可以定位在宇宙学、量子引力和--对数学家来说--全球洛伦兹几何等领域。
The G-Gromov-Hausdorff Distance and Equivariant Topology
本文研究了有限群作用下格罗姆-豪斯多夫距离的下界，并通过同调拓扑方法证明了同调刚性定理和球体距离的精确界。
Gromov's Compactness Theorem for the Intrinsic Timed-Hausdorff Distance
本文通过引入'地址'概念，证明了时间度量空间内在时间Hausdorff收敛的紧致性定理，并给出了新的Arzelà-Ascoli定理及三角不等式。
Gromov-Hausdorff distance between vertex sets of regular polygons inscribed in a given circle
本文研究圆内接正多边形顶点集在圆周度量下的 Gromov-Hausdorff 距离，完整解决了 m 可被 n 整除时 n 边形与 m 边形的情形，并给出到 2 边形和 3 边形的全部距离。
On a Problem of Gromov about Generalizing Alexandrov-Fenchel Inequality
本文回答了Gromov在《凸集与Kahler流形》一文中提出的关于混合体积的一个问题。为了读者的方便，我们提醒混合体积和混合判别式的定义和一些性质。
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