The embedded Nash problem in singular spaces: the case of surfaces
Javier de la Bodega
该研究提出允许环境空间含奇点的嵌入 Nash 问题，并在曲面情形完成求解，从而推广已有定理 1.22。
我们引入允许环境空间中存在奇点的嵌入 Nash 问题，并在曲面情形下解决了它，推广了 \cite[Theorem 1.22]{BdlB}。
We introduce the embedded Nash problem allowing singularities in the ambient space, and solve it in the case of surfaces, generalizing \cite[Theorem 1.22]{BdlB}.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The Local Nash problem on arc families of singularities
本文给出了复曲面奇点和解析复曲面奇点的局部Nash问题的肯定答案。作为推论，我们得到了准寻常奇点的局部纳什问题的肯定答案。
On the embedded Nash problem
本文研究光滑代数簇中超曲面的嵌入Nash问题，证明对的最小模型上的除子与具有固定接触阶的弧族相关，并用消解图解决了单分支平面曲线胚的情形，作为经典Nash问题的嵌入类比。
Nash Problem for quotient surface singularities
本文对商曲面奇性的Nash问题，特别是二十面体奇性$E_8$的Nash问题，给出了肯定的回答.
Simultaneous resolution of singularities in the Nash category: finiteness and effectiveness
本文给出了孤立实代数奇点的Nash平凡同时分解有限性定理和Blow-Nash平凡性有限性定理的实谱证明。也就是说，我们证明了一个家庭的纳什集在一个纳什流形索引的半代数集总是承认一个纳什平凡的同时解决方案后，分区的参数空间成100多个半代数片和孤立奇点的情况下，它承认有限的Blow-Nash平凡化。我们还补充了有限性结果与递归界。
The embedded Nash problem of birational models of rational triple singularities
我们考虑的问题是否可以构建一个嵌入式解决方案的奇异品种$X\subset \textbf{A}^n$的奇异性从数据的不可约组件的空间的射流（$X$）集中在奇异轨迹的$X.$我们表明，答案是否定的，一般来说，它是肯定的一些双有理模型的合理三重曲面奇点。
Bijectiveness of the Nash Map for Quasi-Ordinary Hypersurface Singularities
在本文中，我们给出了一个肯定的回答纳什关于弧空间的一个奇点，类的拟普通的超曲面奇点，在这种情况下，以前的结果和技术石井Shihoko。
Blow-Nash types of simple singularities
我们解决问题的分类下吹纳什等价的简单纳什函数芽。我们指出，这种分类与真正的分析分类是一致的。证明了简单芽与非简单芽不可能是Blow-Nash等价的。该方法是基于计算相关系数的实zeta函数相关联的纳什芽通过motivic集成。
Non-normalized Nash blowup fails to resolve singularities in dimension three
本文证明了在特征零域上，迭代非正规化的Nash吹胀未必能消解三维代数簇的奇点。
The Nash problem on arc families of singularities
纳什证明，每一个不可约组成部分的空间弧通过一个奇点对应于一个例外的除数，发生在每一个决议。他问，如果反过来也成立：是否每一个这样的例外除数对应于一个弧族？我们证明，逆复曲面奇点，但失败的一般。
Approximation on Nash sets with monomial singularities
本文主要研究可微半代数函数的Nash函数逼近问题。近似纳什函数是已知的半代数函数定义在仿射纳什流形M，在这里，我们将其扩展到定义在纳什子集X的M，其奇点是单项式的功能。为此，我们首先讨论了这样的集合X的“有限性”和“弱正规性”。也就是说，我们证明了：（i）X是n个开子集的并，每个Nash同构于仿射空间的坐标线性簇的有限并;（ii）X上的每个函数，如果它在X的每个不可约分支上是Nash，则它扩张为M上的Nash函数.然后，我们可以得到近似的半代数函数，甚至某些半代数映射的纳什集单项式奇点。作为一个很好的结果，我们证明了具有除角的m维仿射Nash流形是k类半代数纯的，当k>m^2时，也是Nash纯的。
Nash blowup fails to resolve singularities in dimensions four and higher
本文证明在任意特征的代数闭域上，对四维及以上代数簇迭代 Nash blowup 或规范化 Nash blowup 均不能消解奇点。
On the Nash Problem over 3-Fold Terminal Singularities of Type cAx/2
本文研究3折终端奇点类型cAx/2上的纳什估值，发现例外素数除子诱导纳什估值，并推测该结论适用于所有3折终端奇点。
On the monodromy conjecture, holomorphy conjecture, and embedded Nash problem for Pfaffian ideals
本文解决了Pfaffian理想的单值性猜想、全纯性猜想以及嵌入Nash问题。
An inverse mapping theorem for blow-Nash maps on singular spaces
两个实代数集之间的半代数映射$f:X\to Y$称为blow-Nash，如果它可以通过合成许多具有非奇异中心的blow-up而成为Nash（即半代数的和实解析的）.证明了如果blow-Nash自同胚$f:X\rightarrow X$满足雅可比行列式条件的下界，则$f^{-1}$也是blow-Nash且满足相同的条件.证明依赖于motivic整合参数和虚拟庞加莱多项式的McCrory-Parusibroski和Fichou。特别地，我们需要将Denef-Loeser变量变换关键引理推广到一般的一对一映射，而不仅仅是双有理映射。
Effective Łojasiewicz gradient inequality and finite determinacy of non-isolated Nash function singularities
设$X\subset \mathbb{R}^n$是紧半代数集，$f:X\to \mathbb{R}$是非零Nash函数.本文给出了在$x\in X$，$|f(x)|<\varepsilon$的D 'Acunto-Kurdyka型梯度不等式$|\nabla f(x)|\ge C|f(x)|^\varrho$中指数$\varrho\in[0,1)$的Solernó和D' Acunto-Kurdyka型估计，对于某些常数$C,\varepsilon>0$，根据多项式$P$的次数使得$P(x,f(x))=0$，$x\in X$ .作为推论，我们得到了非孤立Nash函数奇异性的充分度估计
Higher Nash blowup on normal toric varieties
代数簇的高阶Nash爆破将奇点替换为某些空间的极限，这些空间携带与非奇点处的簇相关联的高阶数据。在正常的复曲面品种的情况下，我们给出了一个组合描述的更高的纳什爆破的Gröbner风扇。这种描述将使我们能够证明类似的Nynth定理的通常纳什爆破在这种情况下。更确切地说，我们证明了正常的环面品种，更高的纳什爆破是同构的当且仅当品种是非奇异的。
Résolution du problème des arcs de Nash pour une famille d'hypersurfaces quasi-rationnelles
法向曲面奇异弧的纳什问题指出，奇异曲面的芽（S，O）上的弧族与（S，O）上的本质因子一样多。我们知道这个问题可以归结为对拟有理奇点的研究。本文对一类非有理拟有理超曲面的Nash问题给出了肯定的回答。本文用同样的方法对E_6和E_7型奇点的情形作了肯定的回答，并对D_n（n ≥ 4）型奇点的情形作了新的证明。
On a Computational Approach to the Nash Blowup Problem
本文通过计算方法发现纳什吹胀猜想的反例，并提供了无法通过标准化纳什吹胀解析的典范簇例子，同时展示了大量计算证据支持猜想的剩余开放案例。
A class of non-rational surface singularities with bijective Nash map
设（S，0）是复解析法曲面的芽.在极小分解下，我们考虑了既约例外因子E及其不可约分支E_i. Nash映射将S上过0的弧空间的每一个不可约分量C_k与由C_k中的一般弧的严格变换切割的E的唯一分量相关联。纳什证明了它的内射性，并问它是否是双射的。作为主要定理的一个特例，我们证明了当E.E_i <0时，对任意i都是如此。
Computational aspects of the higher Nash blowup
代数簇的高阶Nash爆破将奇点替换为某些空间的极限，这些空间携带与该代数簇在非奇点处相关联的高阶数据。在本文中，我们将定义一个高阶雅可比矩阵，它将允许我们对超曲面的高阶Nash爆破进行显式计算。首先，我们将推广一个已知的方法来计算这种修改的纤维。其次，我们将给出一个明确的描述理想的爆破给出了更高的纳什爆破。作为结果，我们将推导出正规超曲面的Nynth定理的高阶版本。
Nash problem for surface singularities is a topological problem
我们解决纳什问题的表面奇异使用楔。我们给出了A的特征的一个改进。用楔形表示的纳什映射的图像。我们的改进包括在双射性的纳什映射定义的基础领域，这是收敛的，如果该基础领域是复数，其通用弧有横向提升的特殊因子的一个奇点的分解楔形的特征。这改进了M. Lejeune-Jalabert和A.表面情况下的Reguera。在这样做的方式中，我们找到了一个重新制定的纳什问题的分支覆盖的正常表面奇点。作为一个推论，我们证明了图像的纳什映射的特点是组合的决议的奇异性，或者，什么是相同的，由拓扑结构的抽象链接的奇异性在复杂的分析情况。利用这些结果，我们证明了几个减少的纳什问题，最值得注意的是，如果纳什问题是真的奇点有合理的同源球链接，那么它是真的一般。
Mather-Yau's type theorem for higher Nash blowup algebras
本文针对任意域上的超曲面奇点，证明其局部环同构类型由高阶Nash爆破代数完全决定，先证该代数在接触等价下的稳定性，再用Samuel经典结果证逆命题，推广了经典Mather-Yau定理。
Characteristic-free normalized Nash blowup of toric varieties
本文研究环簇的标准化 Nash 爆破，引入锥体条件使定义多面体不依赖基域特征，从而推导奇点消解性质，恢复正特征已知结果并给出任意特征下非奇异的新族。
On the zero locus of ideals defining the Nash blowup of toric surfaces
我们考虑的问题，找到一个理想的爆破定义的纳什爆破的复曲面，使其零轨迹与奇异集的复曲面。
On the generalized Nash problem for smooth germs and adjacencies of curve singularities
本文研究光滑曲面芽上弧的广义Nash问题：给定其特殊点上的两个素除子，判断其中一个的弧空间是否包含在另一个的弧空间中.我们证明了这个问题是组合的，并探讨了它与几个平面曲线奇点邻接概念的关系。
Bilipschitz geometry of real surface singularities whose tangent cone is a plane
本文研究实曲面奇点在双Lipschitz等价下Nash锥与例外射线的行为，针对切锥为平面的孤立奇点情形。
Factorization of normalization of Nash blow-up of order n of An by the minimal resolution
我们证明了复曲面奇异性An的n阶Nash爆破的归一化可以被An的最小分解因子分解。结果是使用这些对象的组合描述。
The Nash problem of arcs and the rational double point $\mathbf{E_6}$
本文讨论纳什问题，证明了曲面$S$的奇异芽上弧族的个数与该奇异点的极小分解中例外因子的不可约分量的个数一致。我们提出了一个程序的情况下，正常的二维超曲面奇点的纳什问题的肯定解。我们说明了这个程序给出了一个肯定的解决方案的合理的二重点$\mathbf{E_6}$的纳什问题。我们还证明了一些结果的代数结构的$k$喷流的空间的任意超曲面奇点，并将其应用到特定的情况下，$\mathbf{E_6}$。
The Nash problem on arcs for surface singularities
设$(X,O)$是法向曲面奇点的芽，$π: \tilde X\longrightarrow X$是奇点的最小分解，$A=(a_{i,j})$是$\tilde X$的例外集的$n\times n$对称交矩阵.在一个旧的预印本纳什证明，一套弧的表面奇异性是一个计划${\cal H}$，并定义了一个地图${\cal N}$从一套不可约的组成部分${\cal H}$的一套例外的组成部分的最小分辨率的奇异性$(X,O)$。他证明，这张地图是内射，并要求如果它是满射。本文研究了正则分解${\cal H}=\cup_{i=1}^n \bar{\cal N}_i$：0对于任意两个不同例外分支的$(E_i,E_j)$，定义了数值Nash条件$(NN_{(i,j)})$ .我们知道$(NN_{(i,j)})$蕴涵$\bar{\cal N}_{i}\not\subset \bar{\cal N}_{j} $。在本文中，我们证明了$(NN_{(i,j)})$总是正确的至少有一半的夫妇$(i,j)$。条件$(NN_{(i,j)})$对于所有的$(i,j)$与$i\not=j$对都成立，它描述了一类负定矩阵，我们称之为纳什矩阵。如果$A$是纳什矩阵，则纳什映射${\cal N}$是双射的。特别是我们的结果只依赖于$A$，而不是例外集的拓扑类型。o我们恢复和改善相当大的几乎所有已知的结果在这个主题和我们的证明是…
Nash blowups of normal toric surfaces: the case of one and two segments
本文研究正规环面曲面奇点的Nash爆破消解问题，证明当对应半群的极小生成集位于一段或两段时迭代Nash爆破可消解奇点，并给出任意多段情形成立的例子。
A propos de la conjecture de Nash
本文论述的纳什问题，它声称有许多家庭的弧上的一个奇异的芽表面$U$有必要的组件的例外因子在desingularisation这个奇异性。令$\mathcal{H}=\bigcup \bar{N_α}$是$U$上弧集的特定分解，稍后将进行描述。我们给出两个新条件来确保$\bar{N_α}\not \subset \bar{N_β}$、$α\not = β$ ;更准确地说，对于第一个条件，我们声称如果存在$f \in {\mathcal{O}}_{U}$，使得$ord_{E_α}(f)<ord_{E_β}(f)$，其中$E_α, E_β$是去奇异化的异常约数，那么就是$\bar{N_α}\not \subset \bar{N_β}$。第二个条件是当奇点是有理的且是曲面的奇点时使用的，如下：设$(S,s)$和$(S',s')$是两个有理曲面奇点，使得存在从$(S,s)$到$(S',s')$的支配和双有理态射$π$;然后，设$E_α, E_β$是$(S,s)$的最小去奇异化中的例外因子的两个基本分量，使得它们由$π$、$E'_α$和$E'_β$形成的图像是$(S',s')$的例外因子;如果是$\bar{N'_α}(S',s')\not \subset \bar{N'_β}(S',s')$，则是$\bar{N_α}(S,s)\not \subset \bar{N_β}(S,s)$。这两个条件…
On the Nash problem for surfaces in positive characteristic
本文证明了当基场具有正特征时，从原点为奇点的代数曲面$X$上解析弧的参数化方案的不可约分支集到$X$的极小去奇异化$X'$的例外轨迹的不可约分支集的“Nash映射”的双射性.其思想是将曲面视为定义在特征为零的域上的另一个曲面的特化。一些相关的结果被证明。其中，对一个合适的单参数曲面族，利用M。阿廷提升正常表面的奇异性特征为零，似乎是一个合理的候选人是所需的工具。但有一些点，必要的一个完整的证明，这是尚未验证。
The Nash problem for torus actions of complexity one
我们解决了任意非有理正规簇的等变广义Nash问题，其环面作用的复杂性为1。也就是说，我们给出了一个明确的组合描述的纳什秩序的集合上的等变除数估值的任何这样的品种。使用这种描述，我们积极解决经典的纳什问题，在这种情况下，表明每一个基本的估值是一个纳什估值。我们还描述了终端估值和使用我们的结果来回答负面的问题德费尼克斯和Docampo通过构建的例子纳什估值既不是最小的，也不是终端，从而说明了一个引人注目的新功能的一类奇点正在考虑。
Jet schemes and minimal toric embedded resolutions of rational double point singularities
利用有理二重点奇点的喷流格式的结构，我们构造了这些奇点的“最小嵌入环面分解”。我们还建立，这些奇点，一个自然类的不可约组件的喷气计划集中在奇异轨迹和一组因子出现在每个“最小嵌入复曲面决议”之间的对应关系。我们证明了除了$E_8$的奇异性之外，这个对应是双射的.这可以看作是有理二重点奇点的嵌入纳什对应。
Exceptional rays and bilipschitz geometry of real surface singularities
已知环境bilipschitz等价保持切锥。本文研究了具有孤立奇点的$R^3$中实曲面在环境Bilipschitz等价条件下的Nash锥，特别是例外射线的行为.
Terminal valuations and the Nash problem
设X是特征为零的代数簇。终端赋值是在极小模型规划的意义下定义的，即由X上的极小模型上的例外因子给出的那些赋值。我们证明了X上的每个终端赋值都在Nash映射的像中，因此它对应于通过X的奇异轨迹的极大弧族。在二维空间中，这个结果给出了Fernández de Bobadilla和Pe Pereira定理的一个新证明，该定理指出，对于曲面，纳什映射是一个双射。
Three-dimensional counter-examples to the Nash problem
纳什问题是通过复杂多样性的奇异性和某些类型的除数赋值来询问弧族之间是否存在对应关系。Fernández de Bobadilla和Pe Pereira在第2维度上肯定地解决了这个问题，而Ishii和Kollár在所有维度上都给出了否定的答案$\ge 4$。在本说明中，我们讨论的例子表明，这个问题有一个否定的答案，以及在3维。这些例子还揭示了问题的不同性质，这取决于它是在代数环境中还是在分析环境中制定的。
Toric embedded resolutions of quasi-ordinary hypersurface singularities
利用复解析超曲面的复环态射，建立了复解析超曲面的拟寻常奇点的两个嵌入式分解过程，其中复环态射只依赖于奇点的拟寻常投影的特征单项式.这个结果回答了Lipman在Equisingularity and simultaneous奇点的分解，奇点的分解，Progress in Mathematics No.181，2000，485-503中的一个公开问题。在第一个过程中，奇异性被嵌入为超曲面。在第二个过程中，这是灵感的工作戈尔丁和Teissier的平面曲线（见解决奇异的平面解析分支与一个环面态射，loc。引用，第315-340页），我们以一个环面态射提供其嵌入分辨率的方式将奇点重新嵌入到更大维度的仿射空间中。我们比较这两个程序，我们表明，他们符合适当的假设。
Minimality of a toric embedded resolution of singularities after Bouvier-Gonzalez-Sprinberg
本文利用射流概形构造有理奇点的极小环面嵌入解消，并通过推广单纯锥的轮廓概念实现极小性。
Gröbner Fans and Minimal Embedded Toric Resolutions of Rational Double Point Singularities
本文通过显式构造ADE奇点的Gröbner扇并利用profile概念进行加细，重构了有理二重点奇点的嵌入环面消解。
Arc spaces of cA_1 singularities
设p是复超曲面的一个奇点，其切锥是秩至少为3的二次曲面。我们证明了通过p的弧空间是不可约的。使用de Fernex的方法，这表明纳什问题对于x^2+y^2+z^2+t^5=0有否定的答案。版本2：几个小的更正。
Notes on Nash modification
本文围绕代数簇的Nash修改展开，梳理了该领域的若干后续研究，涵盖正规簇推广、高阶Nash修改、环面簇情形及消奇点性质等主题。
Lattice cohomology and the embedded topological type of plane curve singularities
本文提出解析格上同调这一约化曲线奇点新不变量，证明其对不可约平面曲线奇点是完备嵌入拓扑不变量，并在多分支情形下与整Seifert形式比较。
A characterization of Lipschitz normally embedded surface singularities
复解析空间的任一芽都具有两个自然度量：由周围空间的厄米度量导出的外度量和芽上的黎曼度量。这两个度量在bilipschitz同胚上一般是不等价的。给出了法向曲面奇点为Lipschitz法向嵌入（LNE）的一个充要条件，即，以具有bilipschitz等效的外部和内部度量。在合作伙伴的论文[15]中，我们应用它来证明有理曲面奇点是LNE当且仅当它们是最小的。
Minimal surface singularities are Lipschitz normally embedded
复解析空间的任何芽都具有两个自然度量：由周围空间的厄米度量导出的{ \it外度量}和芽上的黎曼度量{ \it内度量}。我们证明了极小曲面奇点是Lipschitz正规嵌入的（LNE），即，恒等映射是外度量和内度量之间的bilipschitz同胚，并且它们是唯一具有此性质的有理曲面奇点。
Arc spaces of cA-type singularities
本文研究了奇异点xy=f（z_1，.，z_2）上的弧空间，z_n），并证明了2个主要结果。(i)不可约分量的个数等于f的重数减1。(ii)若n>1且f的齐次首项不是完满平方，则从不可约分支集到本质因子集的Nash映射不是满射的。
On Lipschitz Normally Embedded complex surface germs
本文系统地研究了Lipschitz正规嵌入的正规复曲面芽。我们特别证明了这样的胚芽的拓扑型决定了其最小分辨率的组合，其因素通过其极大理想的爆破，并通过其纳什变换，以及极曲线和判别曲线的一般平面投影，从而推广的结果Spivakovsky和Bondil的极小曲面奇异性。在附录中，我们给出了一个新的例子的Lipschitz正常嵌入曲面奇点。
The Nash-Tognoli theorem over the rationals and its version for isolated singularities
本文研究了有理数域上代数几何中的纳什-托尼利定理及其在孤立奇点情况下的扩展，证明了流形可被有限生成的代数数据描述。
Embedded $\mathbf{Q}$-Resolutions for Yomdin-Lê Surface Singularities
在以前的工作中，我们已经介绍和研究的概念，嵌入式$\mathbf{Q}$ -决议，这基本上是在允许最后的环境空间包含阿贝尔商奇点。在这里，我们显式地计算嵌入$\mathbf{Q}$ -分辨率的Yomdin-Lê表面奇点$(V,0)$在（整体）嵌入$\mathbf{Q}$ -分辨率的切锥通过只是加权爆破点。在这种情况下，应用广义A 'Campo公式来计算特征多项式。因此，除了第一个可能是特殊的因子外，$(V,0)$的分解中的一个例外因子对它的复单值性有贡献，当且仅当切锥中的相应因子也是如此。因此，所获得的分辨率是最优的，在这个意义上，可以选择权重，使得$(V,0)$的$\mathbf{Q}$ -分辨率中的每个例外因子，除了可能的第一个之外，都有助于其单值性。
Equinormalizable theory for plane curve singularities with embedded points and the theory of equisingularity
本文给出了一类广义约化平面曲线奇点族可等规化的判别准则。第一个准则是基于由Brücker-Greuel（\cite{BG}）引入的（非约化）曲线奇异性的$δ$ -不变量。第二个准则是基于广义约化的平面曲线奇点的$k$ -参数族（$k\geq 1$）的I-等奇异性，它是由Nyndham（\cite{No}）为单参数族引入的。研究了一类广义约化平面曲线奇点族的几种等奇异性的等价性。
The arc space of a toric variety
Ishii和Kollar的文章对弧族上的Nash问题在复曲面簇上给出了肯定的回答，在一般情况下也给出了否定的回答。纳什问题是关于弧族与赋值关系的问题之一。本文对复曲面簇的这种关系作了清楚的描述。复曲面簇的弧空间容许由该环面决定的群概型的作用。弧空间上的每个轨道对应于锥中的一个格点，因此对应于复曲面赋值。轨道之间的主导关系被描述的格点。作为一个推论，我们得到答案的嵌入式版本的纳什问题的不变理想的复曲面品种。
On Lipschitz Normally Embedded singularities
本文综述了Lipschitz正规嵌入奇点的一般理论，并重点介绍了复曲面情形下的判据、例子和性质，最后提出若干开放问题。
Resolving singularities of curves with one toric morphism
在约化曲线奇点的情况下，我们对B的一个问题给出了明确的肯定回答。Teissier关于复曲面的存在嵌入决议后重新嵌入。在包含在非奇异表面$S$中的曲线奇异性$(C,O)$的情况下，这样的重新嵌入可以根据$C$的最小嵌入分辨率的最大接触曲线的序列来定义。我们证明，存在一个复曲面修改后，重新嵌入，这提供了一个嵌入式解决方案的$C$。我们使用属性的半值空间的$S$在$O$来描述如何对偶图的最小嵌入分辨率的$C$可以看到本地热带化的$S$与此重新嵌入。
Deforming spaces of m-jets of hypersurfaces singularities
设$\mathbb{K}$是特征为零的代数闭域，$V$是由系数在$\mathbb{K}$中的不可约多项式$f$定义的超曲面.在这篇文章中，我们证明了一个嵌入变形的$V$，它允许同时嵌入分辨率诱导，在一定的温和条件下，变形的约化计划相关联的$m$ -喷流空间$V_m$，$m\geq 0$。允许同时嵌入分辨率的$V$的嵌入变形的示例是$V$的$Γ(f)$ -变形，其中$V$具有至多一个孤立奇点，并且$f$关于牛顿边界$Γ(f)$是非退化的。
A moduli scheme of embedded curve singularities
本文的主要目的是证明用一个容许的Hilbert多项式表示$(k^N,0)$的嵌入曲线奇异点的模空间的存在性，并研究它的基本性质。
Aequisingularitaet von normalen Flaechensingularitaeten
本文用数值不变量描述了一类法向曲面奇点族的等奇异性。通过equisingularity，我们的意思是惠特尼规律性或更严格的条件，使用纳什修正。
The arc space of the Grassmannian
本文从Schubert簇的奇异性出发，研究Grassmannian弧空间。我们的主要工具是弧空间的格拉斯曼分解，类似于Schubert胞腔剖分的格拉斯曼本身。正如舒伯特单元的组合学是由分区控制的，弧空间中的组合学是由平面分区（有时也称为3d分区）控制的。对分解中的块的几何分析和对平面划分的组合分析的组合导致奇点的不变量。作为一个应用，我们减少了对数正则阈值对涉及舒伯特品种的计算一个简单的线性规划问题。我们还研究了舒伯特品种的纳什问题，表明在这种情况下，纳什映射总是双射的。
RCD structures on singular Kahler spaces of complex dimension three
本文证明复三维对数终端奇点射影簇上具有有界Nash熵且Ricci曲率下有界的奇异凯勒度量可诱导出与之同胚的紧RCD空间，并由此建立klt奇点的代数、几何与解析结构之间的联系。
Contact loci of semihomogeneous singularities
本文研究半齐次奇点的接触轨迹几何，在特定维数和次数条件下肯定回答弧-弗洛尔猜想，并完整解决嵌入纳什问题。
A New Proof for the Embedded Resolution of Surface Singularities in Arbitrary Characteristic
任意特征的代数闭域上三维光滑环境空间中曲面奇点嵌入分解的一个新证明。证明利用了一个上连续的分辨率不变量，它规定了在每一步的决议算法的中心。分辨率不变量在每次爆破下严格减少。分辨不变量的定义是受特征为零的域上任意维奇点的奇点的分解证明的启发。它是在试图推广这些证明的设置任意特征。通常用于特征零点的分辨不变量在正特征域上表现得很差。它不是上连续的。此外，不变量可能在爆破下增加，这破坏了归纳论证。它示出了如何可以克服这些问题的情况下，嵌入在一个三维光滑的环境空间的表面奇点。类似的证明奇点的分解在特征零，系数理想是用来使感应的周围空间的尺寸。由于极大切触的超曲面不需要存在于正特征域上，因此系数理想被考虑为关于所有正则超曲面。相关的不变量，然后最大化的光滑子空间的所有局部标志。为了构造实现这一最大值的标志，引入了在所有坐标变化中最大化系数理想不变量的技术。这些所谓的“清洁技术”构成了证据的核心部分。它们可以被看作是Tschirnhausen变换的一个无特征的推广，Tschirnhausen变换是一种构造极大切触超曲面的经典技术。
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