Aequisingularitaet von normalen Flaechensingularitaeten
Achim Hennings
本文用数值不变量描述了一类法向曲面奇点族的等奇异性。通过equisingularity，我们的意思是惠特尼规律性或更严格的条件，使用纳什修正。
We give a description of the equisingularity of a family of normal surface singularities by numerical invariants belonging to them. By equisingularity we mean Whitney regularity or a more restrictive condition using the Nash modification.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Symmetric Determinantal Singularities II: Equisingularity and SEIDS
本文是介绍对称行列式奇点族的Whitney等奇异性研究的两部分论文的第二部分。该研究揭示了如何使用与奇异性的通用变形相关联的极曲线的多重性来控制这些曲线的Whitney等奇异性类型。
Equisingularity of families of isolated determinantal singularities
研究了孤立行列式奇点族的拓扑平凡性和Whitney等奇异性。一方面，我们利用消失的欧拉示性数给出了这类奇点的Lê-Ramanujam型定理.另一方面，我们推广了Teissier和Gaffney关于超曲面和完全相交的Whitney等奇异性的结果，分别在极重性的恒定性方面。
Equisingularity of families of functions on isolated determinantal singularities
研究了一类函数芽$\{f_t\colon(X_t,0)\to (\mathbb{C},0)\}$的等奇异性，其中$(X_t,0)$是$d$维孤立的行列式奇点.我们定义的$(d-1)$极性多重性的纤维$X_t\cap f_t^{-1}(0)$和我们如何显示的极性多重性的恒定性有关的米尔诺尔数的恒定性的$f_t$和惠特尼equisingularity的家庭。
Computing the equisingularity type of a pseudo-irreducible polynomial
平面曲线奇点的芽可以根据其等奇异性类型进行分类。对于C上的奇点，这个重要的数据与拓扑类相吻合。本文研究了一类奇性族，其中包含不可约奇性，其等奇异性类型可在关于Weierstrass方程判别赋值的拟线性时间内计算。
Equinormalizable theory for plane curve singularities with embedded points and the theory of equisingularity
本文给出了一类广义约化平面曲线奇点族可等规化的判别准则。第一个准则是基于由Brücker-Greuel（\cite{BG}）引入的（非约化）曲线奇异性的$δ$ -不变量。第二个准则是基于广义约化的平面曲线奇点的$k$ -参数族（$k\geq 1$）的I-等奇异性，它是由Nyndham（\cite{No}）为单参数族引入的。研究了一类广义约化平面曲线奇点族的几种等奇异性的等价性。
Non-compact Newton boundary and Whitney equisingularity for non-isolated singularities
在一个未发表的讲义中，J. Briançon观察到，如果$\{f_t\}$是一族孤立的复超曲面奇点，使得$f_t$的牛顿边界独立于$t$，并且$f_t$是非退化的，那么相应的超曲面族$\{f_t^{-1}(0)\}$是惠特尼等奇异的（因此是拓扑等奇异的）。第二作者在相当技术性的条件下，首次将这一论断推广到具有非孤立奇点的族。本文在较简单的条件下给出了一个新的推广。
Newton Polyhedra and Whitney Equisingularity for Isolated Determinantal Singularities
本文通过牛顿多面体与矩阵非退化条件，为孤立行列式奇点族提供了惠特尼等奇性的判定准则。
The Bi-Lipschitz Equisingularity of Essentially Isolated Determinantal Singularities
双Lipschitz几何是奇点理论现代研究的主要课题之一。然而，它从作品的重要数学家的上个世纪，特别是Zagliki。在这项工作中，我们调查的Bi-Lipschitz equisingularity的家庭本质上孤立的行列式奇点的启发的方法Mostowski和加夫尼。
Zariski equisingularity of surface singularities in $\mathbb C^3$ by a local invariant
本文通过定义一个新的局部不变量，研究了 $\mathbb C^3$ 中曲面奇点的扎里斯基等奇异性和性质。
Hypersurface Singularities and Milnor Equisingularity
假设$f$定义了一个奇异的复仿射超曲面。如果$f$的临界轨迹在原点是一维的，我们得到新的一般性界限上的同调群的Milnor纤维，$F_{f, \mathbf 0}$，$f$在原点，无论是积分或$\mathbb Z/p\mathbb Z$系数的行列。如果$f$的临界轨迹具有任意维数，我们证明了$F_{f, \mathbf 0}$的最小可能非零约化贝蒂数完全决定了$f$是否定义了光滑基上的孤立奇点族，且Milnor数为常数.这个结果在消失环作为反常范畴中的对象的结构方面有一个很好的解释。
Symmetric Determinantal Singularities I: The Multiplicity of the Polar Curve
本文是介绍对称行列式奇点族的Whitney等奇异性研究的两部分论文的第一部分。该研究揭示了如何使用与奇异性的通用变形相关联的极曲线的多重性来控制这些曲线的Whitney等奇异性类型。
Equisingularity classes of birational projections of normal singularities to a plane
给定二维局部正则环R的一个双有理正规扩张S，我们刻画了R中完全理想J的所有等奇异性类型，其爆破存在使局部环与S解析同构的某个点. Spivakovsky（Ann. of Math.1990）已经提出了对这种正常曲面奇点的芽进行分类的问题。这个问题有两部分：离散和连续。连续部分在某种程度上等价于平面曲线奇点的模问题，而本文的主要结果完全解决了离散部分。
Singularities in Positive Characteristic
本文综述了任意特征的代数闭域上代数簇的奇异性。特别是关于平面曲线奇点的等奇异性、超曲面奇点的分类和任意奇点的决定性等方面的结果。关于等奇异性的部分源于安东尼奥·坎皮略的两篇重要的早期论文。一个重点是积极和零特性之间的差异和开放的问题。
Equisingularity of families of hypersurfaces and applications to mappings
在研究孤立奇点的等奇异性时，我们有经典的Briancon、Speder和Teissier定理，该定理指出一族孤立超曲面奇点是Whitney等奇异的当且仅当超曲面的μ ^*-序列在族中是常数。本文推广到非孤立的超曲面奇性。通过假设原点外的非孤立奇点的惠特尼分层的层的不可收缩性，我们证明了族的惠特尼等奇异性等价于从μ ^* 序列的两个不同推广中选择的不变量的恒定性。给出了这一定理在更一般映射的等奇异性中的应用。
Whitney equisingularity for families of hypersurfaces in toric varieties
本文在具有任意奇点集的环面簇框架下，建立奇点未必孤立的函数族对应超曲面族满足Whitney等奇性的条件，拓展了Eyral与Oka此前针对复空间上函数族的相关研究结果。
Local volumes, equisingularity, and generalized smoothability
我们引入了一个相对非常充分的可逆层的限制局部体积作为不变的equisingularity通过确定其跨家庭的变化。我们应用这一结果给Whitney-Thom（微分）equisingularity的孤立的复杂的解析奇点的家庭的数字控制。局部体积的消失的表征产生了一类缺陷余法（DC）奇点。我们引入了广义光滑性的概念，通过考虑一类奇异变形为直流奇点。利用Whitney分层和余正规空间的函性性质，我们证明了余正规空间的纤维在横映射下表现良好。然后利用Thom的横截性、Hilbert-Burch和Buchsbaum-Eisenbud的结构定理，证明了所有维数至少为2，Cohen-Macaulay余维数为2，Gorenstein余维数为3的可光滑奇点，以及更一般的行列式奇点和Pfenstein奇点都变形为dc奇点。
Contact exponent and the Milnor number of plane curve singularities
研究了任意特征的代数闭域上平面代数体曲线奇点的接触指数（Hironaka [Hi]意义下）的性质.证明了接触指数是等奇异不变量，并给出了极大接触稳定性的一个新的证明。然后我们证明了Milnor数的一个界，并确定了达到这个界的代数体曲线的等奇异性类。我们不用牛顿图解法。我们的工具是[GB-P1]中提出的对数距离。
Equisingularity and simultaneous resolution of singularities
的目的，主要是暂时的和投机性的，这篇论文--在1997年9月的Obergobel工作周的一个调查讲座的产物--是指出一些（不是全部）的努力，已作出解释equisingularity，和它们之间的连接;并建议进一步探索的方向。Zebriki通过"维度类型”分层定义了n维超曲面V上的等奇异性，“维度类型”是一个通过仿射n空间的一般局部投影与一个点相关联的整数。一个可能更直观的等奇异性概念可以基于奇异性的同时可分解性的分层。这两种方法对于平面曲线奇点族是等价的。在更高的维度，我们问是否恒定的维类型沿着一个光滑的子品种W的V意味着一个同时解决的V沿W的奇点。(The converse为false）。其基本思想是遵循荣格的经典归纳策略--首先对一般投影的判别式进行去奇异化--以减少到询问是否存在一个典型的解析过程，当应用于准普通奇点时，该过程仅取决于它们的特征单项式。在二维空间中似乎是这样。在更高的维度中，这个问题是相当开放的。
Lipschitz geometry of complex surfaces: analytic invariants and equisingularity
证明了正规复曲面奇异性的芽$(X,0)$的外Lipschitz几何决定了其大量的解析结构。特别是，它遵循任何解析家庭的正常表面奇点与常数Lipschitz几何是Zebrski等奇异。我们还证明了$\mathbb C^3$中正规复超曲面奇性族的一个强逆：Zorski等奇异性蕴涵Lipschitz平凡性。因此，对于这样的一族Lipschitz平凡性，常Lipschitz几何和Zenkiki等奇异性是等价的。
Equisingularity and EIDS
本质上孤立的决定性奇点（EIDS）的研究是由Ebeling和Gusein-Zade发起的。它们作为行列式奇点是不可光滑的，并且通常具有非孤立奇点。它们的奇点在原点的删除邻域中是通用的，因此它们被描述为“本质上孤立的”。在本文中，我们研究这些奇异性的“景观”的角度介绍了MathArxiv 1501.00201。使用这一点来看，我们展示了来自稳定的拓扑结构和来自奇点的无穷小几何的不变量之间的连接。这为EIDS族的Whitney等奇异性提供了一个判据。
Determining plane curve singularities from its polars
本文讨论了一个非常经典的话题，至少可以追溯到Plücker：如何理解一个平面曲线奇点使用其极曲线。在这里，我们显式地构造一个平面曲线奇点直接从它的极基点的加权集群。特别地，我们从一般极线的等奇异性类和它们所共有的非奇点的组合数据中确定了平面曲线芽的等奇异性类（或拓扑等价类）。
Singularities of mappings on ICIS and applications to Whitney equisingularity
本文定义 ICIS 上解析映射芽的像 Milnor 数，证明其形变守恒，并以 $\mu_I^*$ 序列恒常性刻画余秩一映射芽族的 Whitney 等奇性。
Equisingularity at the Normalisation
本文研究了具有非孤立奇点的可收缩基T上的全纯约化映射芽族f_t：（C^3，O）->C的拓扑等奇异性.我们引入了族f_t的正规化上的等奇异性的概念，并证明了在许多情况下，它刻画了拓扑嵌入等奇异性和$R$ -等奇异性.此外，我们还将所得结果应用于参数曲面的拓扑A-等奇异性的研究，并在许多情况下用参数曲面奇异集的逆像的Milnor数的恒定性来证明它.我们的方法的一个新颖之处是，我们的拓扑trivialisations是全球的基础。
Equisingular calculations for plane curve singularities
给出了一种算法，即给定一个约化的平面曲线的平凡截面变形，在变形的参数空间中计算等奇异层（即特征为0的μ常数层）的方程。该算法适用于任何参数空间，不一定是简化的，并适用于定义在特征为0（或特征p>ord（C））的代数闭域上的代数体曲线奇点C。同时给出了计算J.Wahl等奇异性理想的算法。这些算法已在计算机代数系统Singular中实现。我们通过考虑两个非平凡的例子来展示它们的工作。由于这篇文章也是为非专家在奇点理论，我们包括一个简短的调查新的方法和结果的equisingularity在特征0。
Equisingular and Equinormalizable Deformations of Isolated Non-Normal Singularities
本文给出了任意维孤立非正规奇点族的等奇异性和等正规化性的新结果。定义了INNS的$δ$ -不变量和$μ$ -不变量，并利用$δ$和$μ$证明了等度正规化和弱等度正规化的充分必要数值条件.此外，我们确定了任意INNS的Milnor纤维的连通分量的数目。对于一般约化曲线族，我们研究了Milnor纤维的拓扑行为，刻画了这类曲线族的拓扑平凡性。最后提出了一些有待解决的问题和建议。此外，我们还对等奇异性和等正规化性的经典结果进行了综述，以供参考。
Jacobian Newton Polyhedra and equisingularity
这是1978年4月在RIMS举行的京都奇点研讨会上的一次演讲的手写笔记的LaTeX版本。给出了复解析超曲面的孤立奇点的各种不变量与由极线构造的雅可比牛顿多边形之间的关系。附录给出了牛顿多边形的半环的特征，因为Jacobian牛顿多边形的积对应于超曲面的E-E和。注意到混合多重性和混合体积之间的类比。从那以后，他们被解释了。
Geometry of non-degenerate locally tame non-isolated singularities
我们给出了一个标准来测试几何属性，如惠特尼equisingularity和托姆的$a_f$条件的新家庭（可能是非孤立的）超曲面奇点，“表现良好”相对于他们的牛顿图。作为一个重要的推论，我们得到在这样的家庭的所有成员有同构的Milnor纤维。
Equisingularity and The Euler Characteristic of a Milnor Fibre
研究了超曲面奇点的Milnor纤维的欧拉示性数.这个不变量是根据原始奇点和其Milnor纤维之间的纤维的欧拉示性数以及根据与中间纤维的层相关联的欧拉示性数给出的。由此我们可以推出Massey和Siersma关于具有一维临界轨迹的奇点的一个结果。这一结果也应用于等奇异性的研究。著名的Briançon-Speder-Teissier结果指出，一族孤立的超曲面奇点是等奇异的当且仅当它的$μ^*$ -序列是常数。本文证明了如果从n-空间到（n+1）-空间的余秩1复解析映射族的相似序列是常数，则映射族的象是等奇异的.对于从3-空间到4-空间的corank 1映射族，我们证明了反之亦然。
Enriques diagrams and adjacency of planar curve singularities
利用平面曲线的Enriques图研究了等奇异型的平面曲线奇点的邻接性。对于线性邻接得到一个完整的答案，而对于任意（解析）邻接的必要条件和充分条件证明。我们还展示了一个例子，奇异曲线的类型D'，可以变形为一个曲线的类型D没有D'是相邻的D。
Fine polar invariants of minimal singularities of surface
我们考虑极曲线$\PSO$，它是由复曲面奇异性的芽$(S,0)$到$\C^2$的一般投影所产生的。把$(S,0)$看作法向曲面的极小奇点（即具有约化切锥的有理奇点），给出了这类极曲线的$δ$ -不变量及其类平面投影的等奇异型，这也是$(S,0)$类平面投影的判别式. $\PSO$的这两个（等奇异性）数据在$(S,0)$的切锥几何的一侧和T. de Jong和D.范斯特拉顿为这些最小奇点的变形理论。这些树给出了一个组合设备的极曲线的描述，这使得它比我们以前的说明更清楚的主题。这一工作主要依赖于M.斯皮瓦科夫斯基在这里，我们通过变形（在切锥上，我们称之为斯科特变形）和爆破给出几何证明，尽管我们在某些时候需要斯皮瓦科夫斯基的结果，并从中提取一些其他结果。
On the factorization of the polar of a plane branch
本文给出了复平面曲线不可约芽的等奇异类的一般成员的一般极线的因式分解的尽可能完整的描述。我们的结果将改进M. Merle在70年代提出的，它是基于E. Casas-Alvero在90年代描述了这种极的奇点簇。利用我们的分析，将有可能刻画具有r个特征指数的不可约平面芽的所有等奇异类，这些类具有特殊的行为，即在这个等奇异类中一般曲线的一般极线只具有小于r个特征指数的不可约分量，推广了作者以前在r=2时得到的结果。
Topological equisingularity of function germs with 1-dimensional critical set
研究了具有一维临界集的全纯函数芽族的拓扑等奇异性。引入了在临界集上的等奇异性的概念，证明了在临界集上等奇异的族是拓扑等奇异的。我们证明了，如果一族具有1维临界集的芽具有常数的通有Le数，则它在临界集是等奇异的，从而是拓扑等奇异的（回答了D. Massey）。我们用它来修改文献中的奇异干的定义，引入和表征拓扑干（这个概念与阿诺德的一系列奇点密切相关）。给出了既约临界集为平面变形的族的拓扑等奇异性的另一个充分条件。最后研究了拓扑等奇异族中的临界集如何变形，并给出了临界集是具有奇异特殊纤维和光滑一般纤维的非平坦变形的拓扑等奇异族的例子.
Whitney regularity and Thom condition for families of non-isolated mixed singularities
本文从牛顿多边形的角度研究了混合多项式函数$f_t(\mathbf{z},\bar{\mathbf{z}})$的$1$ -参数变形族的等奇异性问题。我们证明了如果族中的成员$f_t$满足一些基本条件，这些条件可以很容易地用牛顿多边形来描述，那么相应的混合超曲面族$f_t^{-1}(0)$是Whitney等奇异的（因此是拓扑等奇异的），并且满足Thom条件。
Pairs of modules and determinantal isolated singularities
在行列式的情形下，我们继续发展孤立奇点的等奇异性的研究。这个版本的论文包括大量的新材料（增加了76%）。新材料引入了奇异性景观的概念，其中包括奇异性和相关结构的允许变形，对等奇异性问题有用。固定行列式奇点的表示矩阵M意味着将奇点视为给定秩或更小秩的矩阵集合的通过M的部分。改变M给出X的容许变形。这个版本还包括一个描述的余正规品种的秩奇点，这是适用于我们的机器。也有一个例子的行列式奇点是一个成员的两个惠特尼equisingular家庭，其通用元素有拓扑不同的smoothings。这个例子表明，不可能找到一个不变量，它只依赖于一个解析空间$X$与一个孤立奇点，其值是独立的参数为所有的惠特尼等奇异变形的$X$，这是确定的几何光滑的$X$。
The minimal Tjurina number of irreducible germs of plane curve singularities
本文对Dimca和Greuel提出的关于平面曲线奇点的不可约芽的Milnor数与Tjurina数之商的问题给出了肯定的回答。这一结果是基于一个闭公式的最小Tjurina数的equisingularity类的严格变换沿决议的多重性的序列。证明的关键点是Genzmer，Wall和Mattei以前的结果。
On tangency in equisingular families of curves and surfaces
研究了拓扑等价空间中切线极限的性质。在一般约化曲线族的背景下，我们引入了曲线的$s$ -不变量，并证明了在具有$s$ -不变量沿参数空间恒定的性质的惠特尼等奇异族中，族中每条曲线的切线数是恒定的。在家庭的孤立表面奇点的背景下，我们通过例子表明，惠特尼equisingularity是不足以确保家庭的切线锥同胚。我们解释了例外切线的存在是如何保存惠特尼equisingularity，但他们的数量可以改变。
Stratification of Unfoldings of Corank 1 Singularities
在研究的equisingularity家庭的映射加夫尼介绍了至关重要的概念，优秀的unfoldings。这个定义实质上是说族可以分层，使得除了族的参数轴之外，没有维度为1的层。考虑一类corank为1的多芽，其源维数小于目标维数。在本文中，它是如何图像米尔诺数可以确保一些条件所涉及的是优秀的。所使用的方法也可以成功地应用于二重点集是曲线的情况。为了证明这一结果，首次给出了corank 1多芽解纠缠的有理上同调描述。然后，利用Marar-Mond定理在这类映射的重点空间上的简单推广，给出了象Milnor数的上半连续性条件.由此得出主要结果。
On a certain generalization of triangle singularities
三角形奇点是与冯·戴克群相关的Fuchsian奇点，冯·戴克群是施瓦茨三角形群的指数为2的子群。Dolgachev对超曲面三角形奇点进行了分类，并给出了Arnold分类的14个例外单峰奇点。我们介绍了一个推广的三角形奇点更高的维度，表明只有100多个超曲面奇点的这种类型在每个维度，并给出了一个完整的列表中的三维。
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