Arithmetic statistics of isogeny Selmer groups associated to hyperelliptic curves
Charles University（查理大学）
本文结合Bhargava的数的几何方法与Vinberg理论中来自B型和C型Dynkin图表示的新参数化，确定了亏格g≥2的超椭圆曲线的雅可比簇相关同源Selmer群平均大小的渐近结果，并利用Greenberg-Wiles公式证明了这些同源Selmer群平均大小的下界。
2026-09-18 math.NT
Three-isogeny Selmer groups and ranks of abelian varieties in quadratic twist families over a number field
对于数域$F$上的交换阿贝尔簇$A$，在假定$A$因子的乘3是$F$上的3-同构的合成的条件下，证明了$A$的二次扭曲的平均秩是有界的.这是第一个这样的有界性的结果，一个绝对简单的阿贝尔簇$A$的尺寸大于1。事实上，我们在任意大的维度和任何数域上展示了这样的扭曲族。在一维空间中，我们证明了如果$E/F$是一条允许3-等距的椭圆曲线，则它的二次扭曲的平均秩是有界的.如果$F$是完全真实的，我们还表明，一个积极的比例扭曲的秩为0和一个积极的比例有$3$ -塞尔默秩1。这些结果有界的平均秩在家庭的二次扭曲代表新的进展Goldfeld的猜想-这表明，平均秩在二次扭曲家庭的椭圆曲线在$\mathbb{Q}$应该是$1/2$ -和第一个进展类似的猜想以外的其他领域$\mathbb{Q}$。我们的结果是从一个计算的平均大小的$ϕ$ -塞尔默群在家庭的二次扭曲的阿贝尔簇承认一个3-issues $ϕ$。
2017-11-30 math.NT
The $3$-isogeny Selmer groups of the elliptic curves $y^2=x^3+n^2$
研究椭圆曲线族E_n的3-同源Selmer群，证明对几乎所有n，Sel_φ(E_n)秩为0，而Sel_φ̂(Ê_n)秩由n中模3余2的素因子个数及n模9的同余类决定。
2023-11-29 math.NT
Class Groups and Selmer Groups in Special Families
本研究聚焦非阿贝尔数域，考察椭圆曲线中由3-同源诱导的Selmer群与理想类群3-部分之间的联系。
2025-04-21 math.NT
Experiments on $3$-isogeny Selmer groups of elliptic curves with a $3$-torsion point
Trinity College（三一学院）；University of Chicago（芝加哥大学）
本文构造显式矩阵计算带3-挠点椭圆曲线的3-同源Selmer群，通过数十亿曲线数据提出均匀分布猜想，预测平均大小为1+3^t。
2026-09-28 math.NT
p-Selmer ranks of CM abelian varieties
本文直接证明数域上复乘椭圆曲线的 p∞-Selmer 秩为偶数，并将该结果推广至阿贝尔簇。
2024-02-07 math.NT
On Conjectural Rank Parities of Quartic and Sextic Twists of Elliptic Curves
研究了定义在数域上的主极化阿贝尔簇上的自对偶素度同构的Selmer秩宇称在扭曲下的行为，扭曲与同构之间存在相容关系.特别是，我们研究的阿贝尔簇的Selmer秩奇偶性相关的椭圆曲线的秩奇偶性与$j$不变0或1728，假设Shafarevich-Tate猜想的同构。利用这些结果，我们给出了如何对定义在数域上的椭圆曲线的所有四次或六次扭曲的秩奇偶进行分类。这推广了Hadian和Weidian关于$p$ -Selmer秩在$p$ -twists下的行为的先前结果。
2020-06-16 math.NT
Second Isogeny Descents and the Birch and Swinnerton-Dyer Conjectural Formula
设h是椭圆曲线的p-等距线。我们描述了如何对Shafarevich-Tate群中被对偶Islach '杀死的非平凡元进行h-下降。这使得计算的p-Selmer群的椭圆曲线承认一个p-等距在Q可行的p = 5，7的情况下，等距下降是不够的，一个完整的p-下降将是不可行的。作为应用，我们完成了对Q上秩为0或1且导体小于5000的所有椭圆曲线的Birch和Swinnerton-Dyer全曲率公式的验证.
2012-09-17 math.NT
Comparison of the $μ$-invariants of an abelian variety and its dual abelian variety
本文将阿贝尔簇的对偶Selmer群与它在某个大Galois域上的对偶Selmer群进行了比较。给出了自然等距下广义Iwasawa $μ$ -不变量与其对偶Selmer群的关系式.
2013-05-15 math.NT
The distribution of the Tamagawa ratio in the family of elliptic curves with a two-torsion point
在最近的工作中，Bhargava和Shankar证明了$\mathbb{Q}$上椭圆曲线的$2$-Selmer群的平均大小正好是$3$，Bhargava和Ho证明了具有标记点的椭圆曲线族中$2$群的平均大小正好是$6$。与这些结果相反，我们证明了具有两个扭点的椭圆曲线族的$2$群的平均尺寸是无界的。特别地，双扭点的存在意味着有理等距的存在。一个附加到一对同源曲线的基本量是玉川比，它测量与同源曲线及其对偶相关的塞尔默群的相对大小。在以前的工作中，我们认为玉川比在二次扭曲的家庭，我们表明，在家庭的所有椭圆曲线与两个扭点，玉川比基本上是由一个正态分布与平均值为零和不断增长的方差。
2014-06-26 math.NT
Quadratic spaces and Selmer groups of abelian varieties with multiplication
本文将Poonen和Rains提出的、将Selmer群实现为正交二次空间中极大迷向子空间交的理论，推广至带复乘的阿贝尔簇，并探讨了相关的Shafarevich-Tate群问题。
2025-07-31 math.NT
On completely faithful Selmer groups of elliptic curves and Hida deformations
本文研究了完全忠实扭$\mathbb{Z}_p[[G]]$ -模及其在Selmer群研究中的应用.也就是说，如果$G$是属于某些类的多环$p$群的非交换群，我们建立了忠实挠$\mathbb{Z}_p[[G]]$ -模的丰度，即，整体零化子理想为零的非平凡扭模。然后，我们表明，这样的$\mathbb{Z}_p[[G]]$ -模块自然发生在算术，即在塞尔默组的形式的椭圆曲线和塞尔默组的Hida变形。值得注意的是，Hida变形的忠实Selmer群以前似乎没有出现在文献中。我们还将证明忠实的Selmer群具有各种算术性质。也就是说，我们证明了忠诚是一个等距不变量，我们证明了“控制定理”的结果，在一般容许$p$ -adic李扩张的Selmer群的忠诚。
2015-01-09 math.NT
$\sqrt{-3}$-Selmer groups, ideal class groups and large $3$-Selmer ranks
本文研究了具有有理 $3$-同源映射的椭圆曲线族 $E_{a,b}$，利用特定二次扩张的理想类群的 $3$-部分给出了其 $φ$-Selmer 群秩的上下界，并据此构造出无穷多条具有任意大 $3$-Selmer 秩且无阶为 $3$ 的非平凡有理点的曲线。
2025-02-03 math.NT
Bounding Selmer Groups of Superelliptic Jacobians via Class Groups
Tongji University（同济大学）
该研究在含本原p次单位根的数域上，借助类群的p挠子群界定超椭圆雅可比簇相关Selmer群的范围，并辅以实例说明结果。
2026-09-03 math.NT
Invariance of the parity conjecture for p-Selmer groups of elliptic curves in a $D_{2p^n}$-extension
在第二节中，我们给出了数域$L/K$的$D_{2p^{n}}$ -扩张的$p$ -奇偶性结果（$p\geq 5$）用于扭转$1\oplus η\oplus τ$：W（E/K，1 \oplus η \oplus τ）=（-1）^{< 1 \oplus η \oplus τ，X_{p}（E/L）>}，其中，$E$是$K,$上的椭圆曲线，$η$和$τ$分别是二次特征标和2次不可约表示$Gal(L/K)=D_{2p^{n}},$和$X_{p}(E/L)$的组是$p$-Selmer组。主要的新颖之处是，我们使用的一致性之间的结果$% ε_{0}$ -因素（由于德利涅）确定当地根数在坏的情况下（地方的添加剂减少2和3以上）。我们也给应用程序的$p$ -奇偶猜想（使用机器的Dokchitser兄弟）。
2010-02-02 math.NT
On Conjectures of $μ$-Invariant for Selmer Groups at $p=2$
The University of Massachusetts Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）；Morningside Center of Mathematics（中国科学院数学与系统科学研究院；中国科学院数学与系统科学研究所）；Academy of Mathematics and Systems Sciences, Chinese Academy of Science
本文证明了 $p=2$ 时具有次数 2 有理同源的椭圆曲线的 Greenberg 猜想，给出 $2$-adic $\mu$-不变量的精确上界，并证明精细 Selmer 群 $\mu$-不变量消失。
2026-09-28 math.NT
$3$-Selmer group, ideal class groups and cube sum problem
本文通过 Mordell 曲线 $E_a$ 的 $\phi$-Selmer 群秩与二次扩张理想类群 $3$-部分的关系，给出上下界，证明立方和问题部分情形，并构造显式族表明正比例曲线满足 Selmer 群为零或秩为 1。
2025-01-21 math.NT
The $p$-parity conjecture for elliptic curves with a $p$-isogeny
对于数域$K$上的椭圆曲线$E$，Birch和Swinnerton-Dyer猜想的一个结果是奇偶猜想：整体根数匹配Mordell-Weil秩的奇偶性。假设一个素数$p$的$\mathrm{Sha}(E/K)[p^\infty]$是有限的，这等价于$p$ -奇偶猜想：全局根数匹配$p^\infty$ -Selmer群的$\mathbb{Z}_p$ -corank的奇偶性。我们完成了证明$p$ -奇偶猜想的椭圆曲线，有一个$p$ -issures的$p > 3$（情况$p \le 3$是已知的）。T. Dokchitser和V. Dokchitser通过建立局部根数的代数公式的各个情况，证明了当$E$在$p$以上的所有地方都有半稳定约化时的情况。我们通过在其余情况下证明其公式来消除对约简类型的限制。我们应用我们的结果表明，$p$ -奇偶猜想成立的任何$E$与复乘法定义在$K$。因此，如果对于这样的椭圆曲线$\mathrm{Sha}(E/K)[p^\infty]$是无限的，则它必须包含$(\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)^2$。
2014-04-08 math.NT
A graph-theoretic approach to computing Selmer groups of elliptic curves $y^2 = x^3 + bx$ over $\mathbb{Q}(i)$
本文提出图论算法，通过加权图计算椭圆曲线在 $\mathbb{Q}(i)$ 上的 $\phi$-Selmer 群，并构造了秩平凡的无限族。
2025-06-21 math.NT
On the Selmer group and rank of a family of elliptic curves and curves of genus one violating the Hasse principle
本研究针对一族j不变量为零的椭圆曲线及其3-同源曲线，结合整二元三次型等价类，在Tate-Shafarevich群有限假设下推导秩的奇偶性与上下界，并构造出显式违反哈塞原理的亏格1曲线类。
2024-09-12 math.NT
Elliptic curves related to cyclic cubic extensions
本文的目的是研究定义在数域$F$上的一类椭圆曲线族$\{\mathscr{X}_H\}_H$，该数域$F$由与循环三次扩张$K/F$相关联的三次曲面$\mathscr{X}/F$的超平面截面产生.我们证明了每个$\mathscr{X}_H$在$F$上都有一个3-等距的$ϕ$，并且对偶Selmer群$S^{(\hatϕ)}(\hat{\mathscr{X}_H}/F)$被一类附着在$K/F$上的单位/类群所包围.通过椭圆曲线$\mathscr{X}_H$上的有理函数证明了这一点，并具有良好的性质。我们还证明了Shafarevich-Tate群$\text{\cyr X} (\hat{\mathscr{X}_H}/\rat)[\hatϕ]$作为特殊情况与$K$的一个类群重合.
2007-11-01 math.NT
Determining monogenity of pure cubic number fields using elliptic curves
该研究利用椭圆曲线的 3-同源 Selmer 群刻画纯三次数域单源性，提出排除判据并给出单源域数量界，且在 GRH 下判定多个具体域。
2025-06-11 math.NT
Rank distribution in cubic twist families of elliptic curves
本文研究椭圆曲线三次扭族的秩分布，通过伽罗瓦上同调技术证明存在无限多无立方因子扭参数使对应扭曲线的3-Selmer群为零、秩为0。
2024-11-28 math.AG math.NT
On certain root number $1$ cases of the cube sum problem
IIT Kanpur（印度坎普尔理工学院）
本文研究了立方和问题中根数为1的椭圆曲线，通过理想类群分析确定整数n是否为两个有理立方数之和。
2026-01-13 math.NT
On free resolutions of Iwasawa modules
令$Λ$（同构于$\mathbb{Z}_p[[T]]$）表示通常的Iwasawa代数，$G$表示全实数域的有限Galois扩张$L/K$的Galois群.当分圆$\mathbb{Z}_p$ -扩张上的非本原Iwasawa模在群环$Λ[G]$上有长度为1的自由分解时，我们证明了非交换Iwasawa主猜想的有效性，它允许我们在最大$Λ$ -阶中找到非本原$p$ -adic $L$ -函数（它是$K_1$ -群的一个元素）的代表.这一完整性结果涉及迪厄多内行列式的仔细研究。利用Greenberg的上同调准则，我们还得到了非本原Iwasawa模具有长度为1的自由分解的精确条件。作为最后一个结果的一个应用，我们考虑了$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，其循环等距为$p^2$。我们把它的非本原Selmer群的Pontryagin对偶的环$Λ$中的特征理想与两个特征理想联系起来，这两个特征理想被看作是$Λ$上的群环的元素，与两个非本原经典Iwasawa~模相关联。
2019-04-17 math.NT
Remarks on Greenberg's conjecture for Galois representations associated to elliptic curves
本文研究椭圆曲线 Galois 表示的 Greenberg 猜想，借助 Coates–Sujatha 精细 Selmer 群定理，在若干 Galois 理论条件下证明可约情形结论，并讨论不可约情形的 μ 不变量消失。
2025-06-05 math.NT
Ranks of abelian varieties in cyclotomic twist families
该研究在伽罗瓦作用可约假设下，给出分圆扭族中阿贝尔簇Mordell--Weil群平均秩的界，结合一致Mordell--Lang猜想得到相关曲线扭族有理点个数的近一致界，核心技术是确定3-同源Selmer群的平均大小。
2024-01-25 math.AG math.NT
Rank growth of elliptic curves over $N$-th root extensions
本文研究椭圆曲线在 $2n$ 次根扩张中的 Mordell–Weil 新秩增长，利用分圆扭转族结果与“关联技巧”证明平均新秩有界，并推出纯六次域上 HTP 的否定结果。
2023-01-26 math.AG math.NT
