发表机构
Trinity College; University of Chicago（三一学院; 芝加哥大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文构造显式矩阵计算带3-挠点椭圆曲线的3-同源Selmer群，通过数十亿曲线数据提出均匀分布猜想，预测平均大小为1+3^t。
AI 中文摘要
设 $E_{A,B}\colon y^2 +Axy + By = x^3$ 是 $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线。$3$-挠点 $(0,0)$ 诱导一个 $3$-同源 $\phi\colon E_{A,B}\to E_{A,B}'$。假设 $E_{A,B}$ 在 $3$ 处有好的约化，我们构造一个 $\mathbb{F}_3$ 上的显式 $(m+t)\times m$ 矩阵 $M_{A,B}'$，其核编码了对偶同源 Selmer 群 $\operatorname{Sel}_{\widehat{\phi}}(E_{A,B}')$ 模挠点 $(0,0)$ 的像。这里 $m = \omega(B) - 1$，而 $t$ 编码了全局 Selmer 比 $3^{t-2}$。我们在各种情形下为数以十亿计的椭圆曲线 $E_{A,B}$ 计算了 $M_{A,B}'$。基于我们的数据，并受数论中随机线性代数模型普遍性的启发，我们猜想对于固定的 $m$ 和 $t$，矩阵 $M_{A,B}'$ 变得均匀分布，并据此对 $\operatorname{Sel}_{\phi}(E_{A,B})$ 的分布提出了相应的猜想。我们的模型预测，对于固定的 $t$，$\operatorname{Sel}_{\phi}(E_{A,B})$ 的平均大小为 $1 + 3^t$。
英文摘要
Let $E_{A,B}\colon y^2 +Axy + By = x^3$ be an elliptic curve over $\mathbb{Q}$. The $3$-torsion point $(0,0)$ induces a $3$-isogeny $ϕ\colon E_{A,B}\to E_{A,B}'$. Assuming $E_{A,B}$ has good reduction at $3$, we construct an explicit $(m+t)\times m$ matrix $M_{A,B}'$ over $\mathbb{F}_3$, whose kernel encodes the dual isogeny Selmer group $\operatorname{Sel}_{\widehatϕ}(E_{A,B}')$ modulo the image of the torsion point $(0,0)$. Here, $m = ω(B) - 1$, and $t$ encodes the \emph{global Selmer ratio} $3^{t-2}$. We compute $M_{A,B}'$ in various regimes for billions of elliptic curves $E_{A,B}$. Based on our data, and motivated by prevalence of random linear algebraic models throughout number theory, we conjecture that, for fixed $m$ and $t$, the matrices $M_{A,B}'$ become uniformly distributed, and we formulate a corresponding conjecture for the distribution of $\operatorname{Sel}_ϕ(E_{A,B})$. Our model predicts that, for fixed $t$, the average size of $\operatorname{Sel}_ϕ(E_{A,B})$ is $1 + 3^t$.
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