Differential games and Hamilton-Jacobi equations in the Heisenberg group
这项工作的目的是双重的。首先研究了形式为$u_t(t,x)+\mathcal{H}(t,x,\nabla_H u(t,x))=0$的Hamilton-Jacobi方程的解，其中$\nabla_H u$表示定义在Heisenberg群${I\!\!H}$上的函数$u$的水平梯度.受Liu，Manfredi和Zhou（\cite{LiMaZh2016}）最近的论文的启发，我们证明了$u$关于${I\!\!H}$中的Korányi齐次距离$d_G$的Lipschitz连续保持性质.其次，我们非常有兴趣在${I\!\!H}$中引入博弈论，考虑到它的次黎曼结构：受到埃文斯和苏甘涅论文的启发，（参见\cite{EvSo1984}），在和Balogh，Calogero和Pini的论文\cite{BaCaPi2014}中，我们证明了以水平曲线作为其轨迹的零对策的上、下值函数的$d_G$ -Lipschitz正则性结果，并研究了与零对策相关的Hamilton-Jacobi-Isaacs方程。作为结果，我们还提供了初始Hamilton-Jacobi方程的黏性解的表示。
2018-03-01 math.AP
Continuity estimates for variable growth variational problems in the Heisenberg group
本文研究海森堡群中变增长变分问题局部极小元的正则性，在指数函数水平梯度满足可积性条件下，证明了水平梯度的Hölder连续性与连续性，是该领域首个正则性结果。
2025-10-17 math.AP
$C^{1,α}$-regularity for Mixed Local and Nonlocal Degenerate Elliptic Equations in the Heisenberg Group
Shaanxi University of Science and Technology（陕西科技大学）
本文在Heisenberg群上研究混合局部与非局部退化椭圆方程弱解的$C^{1,α}$正则性，通过Morrey型迭代方案和Hölder连续性证明了弱解的正则性。
2026-02-11 math.AP
On Local Lipschitz Regularity For Quasilinear equations in the Heisenberg Group
本文的目的是建立Heisenberg群中一类散度型退化椭圆型方程弱解的局部Lipschitz连续性。所考虑的增长和椭圆性条件的假设是p-Laplace方程和更一般的多项式或指数型增长的拟线性椭圆型方程的自然推广。
2019-03-06 math.AP
Non coercive unbounded first order Mean Field Games: the Heisenberg example
在本文中，我们研究了进化的一阶平均场游戏中的海森堡群，每个代理可以在整个空间中移动，但它必须遵循“水平”的轨迹，这是给定的向量场产生的组和动力学部分的成本只取决于水平速度。哈密顿量在梯度项中不是强制性的，连续性方程中的一阶项的系数在无穷远处可以有二次增长。本文的主要结果有两个：前者是建立一个弱解的平均场博弈系统的存在性，而后者是表示这个解决方案的拉格朗日制定的平均场游戏。我们还提供了一些海森堡型结构的推广。
2021-12-31 math.AP math.OC
First order Mean Field Games in the Heisenberg group: periodic and non periodic case
本文研究了海森堡群$\He^1$中的演化一阶平均场博弈，每个主体只能沿生成$\He^1$的向量场给出的“水平”轨迹运动，代价的动力学部分仅取决于水平速度.哈密顿量在梯度项中不是强制的，连续性方程中一阶项的系数在无穷远处可以二次增长，本文的主要结果有两个：前者是为了建立平均场博弈系统的弱解的存在性，而后者是为了遵循平均场博弈的拉格朗日公式来表示该解。我们将同时解决海森堡-周期性和非周期性的情况遵循两种不同的方法。为了得到这些结果，我们证明了一些有自己的兴趣的性质：唯一性结果的二阶福克-普朗克方程和概率表示的连续性方程的解决方案。\end{abstract}
2021-01-26 math.AP math.OC
Differential and Variational Approach to First Order Mean Field Games in a Generalized Form
本文通过微分与变分方法统一研究了均场博弈中第一阶问题，证明了哈密顿量可微时固定点的存在性及连续性方程的解法。
2025-11-29 math.AP
Regularity for Mixed Local and Nonlocal Degenerate Elliptic Equations in the Heisenberg Group
本文研究了Heisenberg群中混合局部与非局部退化椭圆方程的正则性，通过推导Caccioppoli型不等式和对数估计，证明了弱解的局部有界性、Hölder连续性及Harnack不等式。
2025-10-31 math.AP
Local regularity for nonlocal double phase equations in the Heisenberg group
针对Heisenberg群中非局部双相方程弱解的研究问题，基于De Giorgi-Nash-Moser理论思想，通过建立局部关键Sobolev-Poincaré型不等式等，证明其内部有界性与Hölder连续性，解决了相关公开问题。
2023-05-19 math.AP
Random walks and random tug of war in the Heisenberg group
结合某些随机过程的动态规划原理，研究了第一海森堡群$\mathbb{H}$上的$\mathbf{p}$ -调和函数的均值性质.我们实现的方法Peres-Scheffield提供的子椭圆$\mathbf{p}$ -拉普拉斯算子的博弈论解释;和Manfredi-Parviainen-Rossi通过渐近均值展开来表征其黏性解。
2019-04-26 math.AP
Regularity theory for nonlocal equations with general growth in the Heisenberg group
本文在海森堡群中研究非局部 $G$-Laplace 方程，利用改进的非局部 Caccioppoli 型估计，以 De Giorgi-Nash-Moser 理论统一证明了弱解的有界性、Hölder 连续性与 Harnack 不等式。
2023-07-04 math.AP
The Lusin theorem and horizontal graphs in the Heisenberg group
本文证明了可测函数$f_α$，$|α|=m$的每一个集合a. e.函数$g\in C^{m-1}$的$m$阶导数，其阶导数$m-1$可以具有比Lipschitz函数弱的任何连续模。这是Lusin、Moonens-Pfeffer和Francos早期结果的更强版本。作为应用，我们构造了Heisenberg群中的曲面，其中切空间是水平的。
2013-06-26 math.AP math.FA
On the existence of classical solutions for stationary extended mean field games
本文考虑了扩展的平稳平均场对策，即依赖于局中人速度场的平均场对策。我们证明了各种先验估计，推广了[GPSM 12]中关于拟变分平均场对策的结果。此外，我们使用伴随方法技术，以获得更高的正则性界。然后我们在相当一般的条件下，应用连续性方法建立了光滑解的存在性。当应用于标准的平稳平均场游戏[LL06a]，[GSM 11]或[GPSM 12]时，本文产生了各种新的估计和以前没有的正则性。我们还讨论了几个例子，其中经典解的存在性可以证明。
2013-05-13 math.AP
A Hessian-dependent functional with free boundaries and applications to mean-field games
本文研究由完全非线性算子驱动的Hessian依赖泛函，证明其对应平均场博弈解的存在性、值函数的Hölder连续性与密度的改进可积性，并证明约化自由边界为有限周长集合及泛函的Γ-收敛性。
2023-12-27 math.AP
Excess decay for quasilinear equations in the Heisenberg group and consequences
本文在海森堡群中为拟线性次椭圆 p-Laplace 型方程建立了与欧氏情形类似的过剩衰减估计，并由此将解的 Hölder 连续性推广到全范围 1<p<∞，同时证明了水平梯度的尖锐临界连续性结果。
2024-10-01 math.AP
Renormalization of contact vector fields with horizontal Sobolev regularity in Heisenberg groups
Scuola Normale Superiore（高等师范学院）；Università degli Studi di Padova（帕多瓦大学）
本文在Heisenberg群中研究具有水平Sobolev正则性的接触向量场的传输和连续性方程的适定性，通过适应平滑策略实现了首次在亚黎曼几何设置中的适定性结果。
2026-01-31 math.AP
Local regularity results for value functions of tug-of-war with noise and running payoff
证明了带噪声和运行支付的随机对策拔河的值函数的局部Lipschitz连续性和Harnack不等式。作为结果，我们得到了博弈论证明的非齐次$p$ -拉普拉斯方程的黏性解的相同的正则性时，$p>2$。
2015-09-10 math.AP
Discretization and Vanishing Discount Problems for First-order Mean Field Games
本文研究一阶折扣平均场博弈系统的时间离散化与消失折扣问题，利用时间离散化证明了解的存在性，并基于弱KAM理论分析消失折扣问题，同时给出了解非唯一性的实例。
2025-09-18 math.AP
On coupled systems of Kolmogorov equations with applications to stochastic differential games
证明了线性有界发展算子族$({\bf G}(t,s))_{t\ge s\in I}$在向量值有界连续函数空间中可与一类定义在$I\times \Rd$（其中$I$是右半线或$I=\R$）中的系数无界的椭圆算子系统$\bm{\mathcal A}$相关联，这些椭圆算子系统都具有相同的主部.我们建立了$({\bf G}(t,s))_{t \ge s\in I}$的一些连续性和表示性质以及$C_b(\Rd;\R^m)$中演化算子是紧的一个充分条件。我们还证明了一个统一的加权梯度估计和它的一些更相关的后果。
2015-06-16 math.AP
A Potential Approach for Planning Mean-Field Games in One Dimension
本文讨论了一阶和二阶一维平均场博弈（MFG）的规划问题。这些游戏是由一个哈密尔顿-雅可比方程耦合福克-普朗克方程。将庞加莱引理应用于Fokker-Planck方程，导出了势的存在性.将Hamilton-Jacobi方程用位势改写，得到了一类变分问题的Euler-Lagrange方程组。代替平均场规划问题（MFP），我们研究这个变分问题。利用变分学中的直接法，证明了该变分问题解的存在唯一性。变分法具有消除连续性方程的优点。我们还考虑了一阶MFP与拥塞。通过引入一个势函数并借助变分不等式理论证明了该拥塞问题存在弱解。最后，我们提出了一个应用程序的一维休斯模型的文件。
2021-04-25 math.AP
On Lipschitz solutions of mean field games master equations
当初始条件为Lipschitz连续时，我们建立了MFG主方程解的存在唯一性理论。也就是说，只要主方程的解在空间上是Lipschitz连续的，它就是唯一定义的。因为我们没有强加任何结构性假设，例如单调性，所以我们提供的解的概念存在最大时间。我们分析三个案例：有限状态空间的情况，希尔伯特空间上的主方程组的情况，以及最后在概率测度的集合上的情况，所有这些都在涉及公共噪声的情况下。在最后一种情况下，我们所指的Lipschitz连续性是关于参与者的状态变量的值函数的梯度。
2023-02-10 math.AP
Mean Field Games with infinitely degenerate diffusion and non-coercive Hamiltonian
本文研究扩散与哈密顿量退化程度不同的无穷退化平均场博弈系统，通过值函数方法证明HJE解的Lipschitz连续性与半凹性，利用消失粘性法获得弱解存在性，并构造辅助函数得到粘性解的几乎处处正则性。
2023-11-17 math.AP
A Lagrange-Galerkin scheme for first order mean field games systems
在这项工作中，我们考虑了一个一阶平均场对策系统的非局部耦合。连续性方程的拉格朗日-伽辽金格式，结合半拉格朗日格式的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，提出了离散的平均场游戏系统。在任意空间维度上，建立了该方案的解向平均场博弈系统的解的收敛性。该计划是实现近似两个平均场游戏系统在一维和二维。
2023-03-27 cs.NA math.AP math.NA
Boundary value problems and Heisenberg uniqueness pairs
本文提出一种基于偏微分方程边值问题在欧几里得空间中构造海森堡唯一性对的一般方法，并利用Paley-Wiener定理等工具证明了有界凸集边界与球面构成唯一性对的充要条件。
2023-04-05 math.AP math.CA
Regularity for Weak Solutions to First-Order Local Mean Field Games
本文在不要求单调性、凸性和变量可分性等条件下，为一阶稳态局部平均场博弈系统引入弱解概念，并借助散度型拟线性方程理论证明值函数局部 Hölder 连续。
2025-06-02 math.AP
A mean field game model with non-local spatial interactions and resources accumulation
LUISS University（鲁斯自由大学）
本文提出了一种考虑非局部空间相互作用和资源积累的均场博弈模型，并证明了该模型PDE系统的解存在性。
2026-01-20 math.AP math.OC math.PR
Lattice approximations of the first-order mean field type differential games
一阶平均场型微分对策理论研究了无限多个相同主体通过外部媒介相互作用的系统，假设每个主体由两个局中人控制。利用模型有限维微分对策的解，研究了一阶平均场型微分对策的值函数的逼近。模型博弈表现为平均场型连续时间马尔可夫博弈，即，由有限状态非线性马尔可夫链控制的无限多代理人和每个代理人的动态的博弈论问题。给定一个超解（或子解）的Hamilton-Jacobi方程的模型游戏，我们构建了一个次优策略的第一个（分别）。第二）玩家，并使用报酬函数的连续模和原始游戏与模型游戏之间的距离来评估近似精度。给出了有限维微分对策的值对平均场型微分对策的值函数的逼近。此外，我们提出的方法来建立一个有限维的微分对策，近似的原始游戏与给定的精度。
2020-11-23 math.AP math.OC math.PR
Master equations for finite state mean field games with nonlinear activations
该研究在有限状态空间构建带非线性激活的平均场博弈，推导相关系统与主方程，证明解的存在唯一性，还拓展至连续状态空间博弈并给出离散示例与闭式解。
2023-10-07 math.AP math.OC
Lipschitz Continuity Results for Minimax Solutions of Path-Dependent Hamilton--Jacobi Equations
针对时滞系统最优控制和微分博弈中产生的路径依赖 Hamilton--Jacobi 方程 Cauchy 问题，证明了其极小极大解在时间与泛函变量上满足 Lipschitz 连续性条件。
2024-12-23 math.AP math.DS math.OC
The global well-posedness for master equations of mean field games of controls
The Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学）；City University of Hong Kong（香港城市大学）
本文研究了控制均场博弈中主方程的全局良性，通过两种不同的单调性条件证明了其存在性和唯一性。
2026-01-04 math.AP math.OC math.PR
First order mean field games in crowd dynamics
在本文中，我们研究了一个二维人群模型，行人速度由两个元素组成：一个非局部相互作用项，模拟其他步行者对每个人的影响，和控制项。后一项可以由行人选择，使得他们的最终路径是最优的w.r.t.合适的成本标准。假设行人可以预测他们的选择对整个人群的演变的影响，这是很自然的考虑耦合的连续性方程的平均场系统，它描述了行人密度的演变，与最优化问题的HJB方程。我们表明，这样的耦合系统承认解决方案，我们解释的解决方案中的行人模型。我们还将这一结果扩展到多个行人群体存在于环境中的情况，每个人都有自己的目标。
2014-03-24 math.AP math.OC
Deterministic mean field games with control on the acceleration
在目前的工作中，我们研究了确定性平均场游戏（MFG）与有限的时间范围内的动力学的一般代理控制的加速度。它们是由一个系统的偏微分方程耦合的连续性方程的状态分布的密度（向前的时间）和一个哈密尔顿-雅可比（HJ）方程的最优值的代表剂（向后的时间）。状态变量是一对$(x, v)\in R^N\times R^N$，其中x代表位置，v代表速度。动态通常被称为双积分器。在这种情况下，系统的哈密顿量既不是严格凸的，也不是强制的，因此现有的关于MFG的结果不能应用。此外，我们将假设哈密顿量是无界的w.r.t.速度变量v.我们通过消失粘性方法证明了MFG系统弱解的存在性，并通过与最优控制相关的流将状态分布表征为初始分布的图像。
2020-07-28 math.AP math.OC
Modulation spaces of symbols for representations of nilpotent Lie groups
我们研究了由N. V. Pedersen（Invent. 118（1994），1- 36）对于幂零李群的任意不可约表示。为此，我们引入调制空间，这样的表示，并建立他们的一些基本性质。平方可积〔的〕的情况是特别重要的，在特殊情况下的海森堡群的薛定谔表示，我们恢复的经典调制空间中使用的时间-频率分析。
2009-09-27 math.AP math.RT
Wellposedness of Second Order Master Equations for Mean Field Games with Nonsmooth Data
本文研究了任意时间段上带共同噪声的平均场对策的二阶主方程。经典解通常需要单调性条件（或小的持续时间）和足够平滑的数据。在保持单调性条件的同时，我们的目标是放松数据的正则性，这是文献中的一个公开问题。特别是，我们不需要任何可微的措施，这使我们无法获得经典解。我们将提出三个较弱的解的概念，分别命名为{ \it好解}，{ \it弱解}和{ \it弱黏性解}，并建立在所有三个概念下的主方程的适定性。我们强调，由于博弈的性质，即使对于经典解，也不能期望比较原理。整体（在时间上）适定性的关键是一致的先验估计的Lipschitz连续性的措施。单调性条件对于这种一致估计是至关重要的，因此对于整体解的存在性是至关重要的，但是对于在这样的Lipschitz类中的唯一性是不需要的。为了方便我们的分析，我们构造了一个光滑的软化函数的Wasserstein空间，这是新的文献中，是有趣的。遵循同样的方法，我们的适定性结果，我们证明了收敛的纳什系统，一个高维系统的偏微分方程所产生的相应的$N$玩家游戏，在温和的正则性要求。我们还将证明相关的最佳轨迹的混沌性质的传播。
2022-01-03 math.AP math.OC math.PR
Existence of Solutions and Selection Problem for Quasi-stationary Contact Mean Field Games
本文研究了一类接触情形下平稳平均场博弈系统解的存在性，并探讨了当参数λ趋于0时系统解极限的选择问题。
2025-07-14 math.AP math.DS
Algebras of symbols associated with the Weyl calculus for Lie group representations
我们发展我们以前的方法外尔演算表示的无限维李群通过建立连续性的Moyal产品属于各种调制空间的符号。例如，我们证明了符号的调制空间$M^{\infty,1}$是一个结合巴拿赫代数，相应的算子是有界的.然后，我们将抽象结果应用到两类表示，即幂零李群的酉不可约表示，以及支配磁Weyl演算的半直积群的自然表示。本文对有限维海森堡群的薛定谔表示得到了经典的Weyl-Hörmander演算，在这种情况下，我们恢复了J. 1994年的Sjöstrand
2011-02-07 math.AP math.FA
